高中数学专题课件：平面向量的数量积
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《平面向量的数量积 》课件
平面向量的数量积
目 录
平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的运算平面向量的数量积的应用平面向量的数量积的定理和推论平面向量的数量积的习题及解析
平面向量的数量积的定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
题目：已知向量$\overset{\longrightarrow}{a} = (x,1),\overset{\longrightarrow}{b} = (x + 1,x^{2})$，若$\overset{\longrightarrow}{a}\bot\overset{\longrightarrow}{b}$，则实数$x$的
向量的数量积为0当且仅当两向量垂直，即夹角为$90^circ$。
向量数量积与模长的关系
$|vec{a} cdot vec{b}| leq |vec{a}| times |vec{b}|$，即向量数量积的绝对值不超过两向量的模长的乘积。
向量数量积与点积的关系
如果两个向量的点积为0，则它们正交或其中一个向量是零向量。
向量投影
向量垂直与平行判定
动量与冲量
在物理中，向量的数量积可以用于描述物体的动量和冲量，这是理解力学问题的基础。
力的合成与分解
在分析力的合成与分解问题时，向量的数量积可以用于计算合力与分力的大小和方向。
平面向量的数量积的定理和推论
向量数量积的定义
两个向量的数量积定义为它们的模长和夹角的余弦值的乘积，记作$vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}| times |vec{b}| times cos theta$。
目 录
平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的运算平面向量的数量积的应用平面向量的数量积的定理和推论平面向量的数量积的习题及解析
平面向量的数量积的定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
题目：已知向量$\overset{\longrightarrow}{a} = (x,1),\overset{\longrightarrow}{b} = (x + 1,x^{2})$，若$\overset{\longrightarrow}{a}\bot\overset{\longrightarrow}{b}$，则实数$x$的
向量的数量积为0当且仅当两向量垂直，即夹角为$90^circ$。
向量数量积与模长的关系
$|vec{a} cdot vec{b}| leq |vec{a}| times |vec{b}|$，即向量数量积的绝对值不超过两向量的模长的乘积。
向量数量积与点积的关系
如果两个向量的点积为0，则它们正交或其中一个向量是零向量。
向量投影
向量垂直与平行判定
动量与冲量
在物理中，向量的数量积可以用于描述物体的动量和冲量，这是理解力学问题的基础。
力的合成与分解
在分析力的合成与分解问题时，向量的数量积可以用于计算合力与分力的大小和方向。
平面向量的数量积的定理和推论
向量数量积的定义
两个向量的数量积定义为它们的模长和夹角的余弦值的乘积，记作$vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}| times |vec{b}| times cos theta$。
数学公开课平面向量数量积的各种求法ppt课件
向量 $vec{a}$ 与单位向 量 $hat{u}$ 的数量积等 于 $vec{a}$ 在 $hat{u}$ 方向上的投影 ，即 $vec{a} cdot hat{u} = |vec{a}| cos theta$。
几何意义及应用
01 夹角计算
02 投影计算
03 判断垂直关系
04 判断共线关系
05 在力学中的应用
物理意义
在物理中，数量积可以表示两个力的合力在某一方向上的分量，或者表示一个 力在另一个力的方向上的投影。
运算律与性质
交换律
分配律
$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$
$(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$
2. 已知向量$vec{a} = (1,2)$，向量$vec{b} = (2,-1)$，且$vec{a}$与$vec{b}$的夹角为锐 角，求$vec{a} cdot vec{b}$。
解：首先计算夹角$theta$的余弦值，由于$costheta > 0$且夹角为锐角，因此可以直接计 算$costheta = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot |vec{b}|} = frac{1 times 2 + 2 times (-1)}{sqrt{1^2 + 2^2} times sqrt{2^2 + (-1)^2}} = 0$。
$\vec{a} \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = (1, 2) \cdot (5, 0) = 1 \times 5 + 2 \times 0 = 5$。 • 例题 2：已知 $|\vec{a}| = 3$，$|\vec{b}| = 4$，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^\circ$，求
第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT
(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝ （ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D， 所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D， 所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4， 所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依 题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法 定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适 的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量 积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的 运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标； 坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2
数学人教A版(2019)必修第二册6.2.4平面向量数量积(共15张ppt)
，求
∙ .
设 =12， =9， ∙ =-54 ，求与的夹角
向量的数量积的几何意义是什么？
B
a
A
b
C A1
B2
D
两个非零向量、，他们的夹角为，
探究向量在上的投影向量的情况.
两个非零向量、，他们的夹角为，是与方向相同的单位
向量.
（1） ∙ = , = .（求向量长度的工具）
如何规定向量的乘法.
向量的乘法的结果是什么量？这个值由那些量决定？符号
由什，我们把数量
cos量叫做、的数量积，记作 ∙
即 ∙ = cos
规定零向量与任一非零向量的数量积为0.
已知 = , = , 与的夹角 =
6.2.4向量的数量积
学习目标
1、向量数量积的运算.
2、向量投影及投影向量的概念
重点、难点 向量数量积的概念与运算律.
向量的概念源自哪一门学科？我们已经研究了向量的哪些
运算？这些向量的运算表运算结果是什么？
前面学习了向量的加，减，数乘（线性运算）.
其运算结果是向量.
向量能否相乘？如何规定向量的乘法？我们该怎样研究？
（2） ⊥ ⟺ ∙ =0.（直线垂直的重要条件）
（3） ∙ = ∙ = cos.
已知 = , = , 与的夹角 = °，求 ∙ ，
（ + ）2 ， + .
1、本节课学习了哪些知识和内容.
2、结合实例说明向量数量积的几何意义.
感谢聆听！
平面向量的数量积及运算律的课件
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感谢观看
分配律
总结词
平面向量数量积的分配律是指向量的数 量积满足分配律，即一个向量与一个标 量的乘积与该向量与一个向量的数量积 相等。
VS
详细描述
分配律表示为 $vec{a} cdot (lambda + mu) = lambda cdot vec{a} + mu cdot vec{a}$ 和 $(lambda + mu) cdot vec{a} = lambda cdot vec{a} + mu cdot vec{a}$，其中 $lambda$ 和 $mu$ 是标量，$vec{a}$ 是向量。这意 味着一个向量与一个标量的乘积可以分配 到该向量的各个分量上。这个性质在解决 物理问题和几何问题中非常有用，因为它 允许我们将标量因子分配给向量。
总结词
向量数量积的值等于两向量模的乘积与它们 夹角的余弦值的乘积。
详细描述
这是平面向量数量积的基本公式，表示两向 量的数量积与它们的模和夹角余弦值有关。 当两向量垂直时，夹角余弦值为0，数量积 为0；当两向量同向或反向时，夹角余弦值 为1或-1，数量积为两向量模的乘积。
向量数量积的坐标表示
要点一
总结词
结合律
总结词
平面向量数量积的结合律是指向量的数量积满足结合律，即三个向量的数量积满足结合顺序无关。
详细描述
结合律表示为 $(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$ 和 $(vec{a} cdot vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot (vec{b} cdot vec{c})$，即向量的数量积满足结合 律，与向量的结合顺序无关。这也是向量数量积的一个重要性质。
高三数学课件：平面向量的数量积
平面向量的数量积• (1) d 与b 的夹角： 共同的起点• (3)向量垂直:A O B知识梳理:• 1、平面向量的数量积• (2) 向量夹角的范围: [0° , 180°]tBO A —►4 ・(4)两个非零向量的数量积：a •b = \a\ \b\ cos0•规定：零向量与任一向量的数量积为o 几何意义：数量积―方等于Q的长度1创与〃在a的方向上的投影161 cos0的乘积。
o2、平面向量数量积的重要性质日方为非零向量，e为单位向量•(1) e・ a = a • e = \ a / cosO•(2)日丄〃的充要条件是a - b=0•(3)当日与〃同向时，曰・b = \a / I b I ；•当a与b反向时，a • b = - \a I lb 特别地：a・a=! a ] 2或(4) cosO= (5) \ \< \ a / / b 3、平面向量的数量积满足的运算率（1）（交换律）a・b = b・a（2）（实数与向量结合律）（入 a ）• b =2 （a ・b ） =a ・（lb ）（3）（分配律）Ca + b丿・c =a・c + b・二、基础练习1、判断下列命题的真假・(1)平面向量的数量积可以比较大小・(2)因为直线的夹角范围为[0。
，90°],所以向量的夹角范围也为[0。
，90°]o(3)已知方为非零向量因为0Xa =0,。
•方=0,所以a = 0 •(4)对于任意向量a、b、c,者B有。
力・c = a・Cb・c) 2已知丨曰/ =12,丨方/=9, a • b =-54~2,求曰和b 的^SftnAABC中，a =5, b =8, 060。
，求PC • G44、已知\ a I =8, e是单位向量，当它们之间的夹角为典型例题例1、已知（曰-方）丄（a+ 3b）,求证：解：•・•（/力巾上冠2 §由）I(a - /?) - (a + 3 b) =0即a ' a + 3 a' b _ b • a- 3 b ' b =0即a - a + 2a' b- 3 b • b =0•I (a + b)2 = 4 b2即/ a + b I2 = 4 I b I2*./ a + b I = 2 I b I例2、已知/脚是非零向量，Ma + 3 b 与7日一5方垂直，a-4b与7a-2確直，求日与方的夹角。
《平面向量数量积》课件
向量夹角的度数等于数量积的绝对值除以两向量模的乘积
根据向量数量积的定义，两个向量的数量积等于它们的模的乘积和它们夹角的余弦值的 乘积。因此，当夹角为θ度时，θ等于数量积的绝对值除以两向量模的乘积。
THANK YOU
向量数量积的正负与夹角 余弦值正负相关
当两向量的夹角为锐角时，数量积为正；当 夹角为钝角时，数量积为负；当夹角为直角 时，数量积的绝对值等于两向量模的乘积。
向量数量积与向量夹角的关系
向量夹角与数量积的正负相关
当两向量的夹角为锐角时，数量积为正；当夹角为钝角时，数量积为负；当夹角为直角 时，数量积为0。
公式
$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$为向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
几何意义
表示向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$在夹角$theta$方向上 的投影长度乘积。
分配律
总结词
平面向量数量积满足分配律，即对于任意向量a、b和c，有$vec{a} cdot (vec{b} + vec{c}) = vec{a} cdot vec{b} + vec{a} cdot vec{c}$。
详细描述
根据平面向量数量积的运算性质，我们可以将$vec{a} cdot (vec{b} + vec{c})$展开为 $vec{a} cdot vec{b} + vec{a} cdot vec{c}$。这是因为数量积满足分配律，即对于任 意向量a、b和c，有$(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b}
根据向量数量积的定义，两个向量的数量积等于它们的模的乘积和它们夹角的余弦值的 乘积。因此，当夹角为θ度时，θ等于数量积的绝对值除以两向量模的乘积。
THANK YOU
向量数量积的正负与夹角 余弦值正负相关
当两向量的夹角为锐角时，数量积为正；当 夹角为钝角时，数量积为负；当夹角为直角 时，数量积的绝对值等于两向量模的乘积。
向量数量积与向量夹角的关系
向量夹角与数量积的正负相关
当两向量的夹角为锐角时，数量积为正；当夹角为钝角时，数量积为负；当夹角为直角 时，数量积为0。
公式
$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$为向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
几何意义
表示向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$在夹角$theta$方向上 的投影长度乘积。
分配律
总结词
平面向量数量积满足分配律，即对于任意向量a、b和c，有$vec{a} cdot (vec{b} + vec{c}) = vec{a} cdot vec{b} + vec{a} cdot vec{c}$。
详细描述
根据平面向量数量积的运算性质，我们可以将$vec{a} cdot (vec{b} + vec{c})$展开为 $vec{a} cdot vec{b} + vec{a} cdot vec{c}$。这是因为数量积满足分配律，即对于任 意向量a、b和c，有$(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b}
高中数学《平面向量的数量积》公开课优秀课件
(5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量数量积的坐标运算 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为θ， 则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝ x12＋y21. (3)cos〈a，b〉＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A→B＝a，则|a|＝ x1－x22＋y1－y22 (平面内两点间的距离公式)．
平面向量的数量积
❖ 教学目标：1 ．理解平面向量数量积的含义及其物理
意义. 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.
❖ 教学重点：1.平面向量数量积的几何意义。
类型三 数量积的基本运算
已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)． 解：由已知得，a·b＝4×8× 12＝－16. (1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2× (－16)＋64＝48，所以 |a＋b|＝4. ②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16× 16－16×(－16)＋ 4×64＝768，所以|4a－2b|＝16. (2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0， 所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7. 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
课后作业
4．平面向量数量积的坐标运算 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为θ， 则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝ x12＋y21. (3)cos〈a，b〉＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A→B＝a，则|a|＝ x1－x22＋y1－y22 (平面内两点间的距离公式)．
平面向量的数量积
❖ 教学目标：1 ．理解平面向量数量积的含义及其物理
意义. 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.
❖ 教学重点：1.平面向量数量积的几何意义。
类型三 数量积的基本运算
已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)． 解：由已知得，a·b＝4×8× 12＝－16. (1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2× (－16)＋64＝48，所以 |a＋b|＝4. ②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16× 16－16×(－16)＋ 4×64＝768，所以|4a－2b|＝16. (2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0， 所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7. 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
课后作业
平面向量的数量积课件
已知$overset{longrightarrow}{a} = (1, - 1)$，$overset{longrightarrow}{b} = ( - 2,2)$，求$overset{longrightarrow}{a}$与$overset{longrightarrow}{b}$的数量积。
进阶习题1
平面向量数量积等于两向量长度之积与其夹角的余弦值之积。
当两向量夹角为锐角时，数量积大于0；当夹角为直角时，数量积等于0；当夹角为钝角时，数量积小于0。
角度
长度
平面向量数量积的结果是一个实数，其值始终为非负数。
正定性
对于任意三个向量$vec{A}$、$vec{B}$和$vec{C}$，有$(vec{A} + vec{B}) cdot vec{C} = vec{A} cdot vec{C} + vec{B} cdot vec{C}$。
进阶习题2
已知$overset{longrightarrow}{a} = (2, - 3)$，$overset{longrightarrow}{b} = (x,y)$，若$overset{longrightarrow}{a}$与$overset{longrightarrow}{b}$的数量积为0，求$x$和$y$的值。
利用平面向量数量积，可以求解三角形中的一些问题，例如求三角形的边长或角度。
03
02
01
通过平面向量数量积，可以求解两条直线的交点坐标。
求解交点
利用平面向量数量积的性质，可以判断两条直线是否平行或垂直。
判断平行或垂直
在解析几何中，一些复杂的问题可以通过平面向量数量积进行简化。
简化几何问题
在物理学中，力是向量，力的合成与分解可以通过平面向量数量积进行计算。
进阶习题1
平面向量数量积等于两向量长度之积与其夹角的余弦值之积。
当两向量夹角为锐角时，数量积大于0；当夹角为直角时，数量积等于0；当夹角为钝角时，数量积小于0。
角度
长度
平面向量数量积的结果是一个实数，其值始终为非负数。
正定性
对于任意三个向量$vec{A}$、$vec{B}$和$vec{C}$，有$(vec{A} + vec{B}) cdot vec{C} = vec{A} cdot vec{C} + vec{B} cdot vec{C}$。
进阶习题2
已知$overset{longrightarrow}{a} = (2, - 3)$，$overset{longrightarrow}{b} = (x,y)$，若$overset{longrightarrow}{a}$与$overset{longrightarrow}{b}$的数量积为0，求$x$和$y$的值。
利用平面向量数量积，可以求解三角形中的一些问题，例如求三角形的边长或角度。
03
02
01
通过平面向量数量积，可以求解两条直线的交点坐标。
求解交点
利用平面向量数量积的性质，可以判断两条直线是否平行或垂直。
判断平行或垂直
在解析几何中，一些复杂的问题可以通过平面向量数量积进行简化。
简化几何问题
在物理学中，力是向量，力的合成与分解可以通过平面向量数量积进行计算。
《平面向量的数量积 》课件
数量积的性质
对称性
了解数量积的对称性质，即两个向量的数量积与 顺序无关。
同向向量和垂直向量的数量积
学习同向向量和垂直向量的数量积的特点和计算 方法。
分配律
掌握数量积的分配律，即对两个向量进行数量积 后再进行加法等价于对两个向量分别进行数量积 再进行加法。
零向量的数量积
了解零向量在数量积中的特殊性质。
《平面向量的数量积 》 PPT课件
这个PPT课件将帮助你了解平面向量的数量积及其重要性。你将学习到平面 向量的基础知识、数量积的定义和性质，并了解它在向量夹角计算、向量投 影和向量垂直判定中的应用。
简介
平面向量的定义和表示
了解平面向量的定义和表示方法，以及如何在平面 上进行向量表示。
向量的模长和方向角
学习如何计算向量的模长和方向角，并应用于问题 求解。
数量积的定义
1 两个向量的数量积公式
掌握两个向量的数量积的公式，以及如何进行计算。
2 两个向量数量积的几何意义
了解两个向量数量积的几何意义，以及它在平面向量中的应用。
3 两个向量数量积的计算方法
学习使用点乘法进行向量数量积的计算，掌握计算的步骤和技巧。
数量积的应用
1
向量夹角的计算
学习如何通过数量积计算两个向量的夹角，并将其应用于几何问题的解决。
2
向量投影的计算
掌握如何利用数量积计算一个向量在另一个向量上的投影，并理解投影的几何意 义。
3
向量垂直的判定
了解如何通过数量积判断两个向量是否垂直，并应用于物理和几何问题的分析。
总结
数量积的基本概念
概述平面向量的数量积的基 本概念和定义。
数量积的性质
总结数量积的各种性质，包 括对称性、分配律等。
高中数学平面向量的数量积(公开课)(共22张PPT)
时，
；
3或－3 3、若 a 1， a、b共线，则 a b b 3， .
（3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向 时， a · b = -| a | · |b| ．
（2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据)
|b|cos 的乘积。
练习二：
3 a a e 、 e a e 求 在 方向上的数量及 ； （1）e · a=a · e=| a | cos 4 0 o 2、已知a 2， b 3，a 与b 的交角为90 ，则a b
1、已知 a 8， 为单位向量，当它们的夹角为 e
-20
平面向量的数量积的几何意义 a b a b cos
B b
作OA a， OB b ，过点B作 BB1
O
a
垂直于直线OA，垂足为 B1，
B1
A
则 OB1 | b | cosθ
投影：| b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影。
几何意义: a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向 上的投影
O 当
A
B
A
O
A O
B
90 ，a 与b 垂直， 记作 a b
B
新课引入
物理中功的概念
F θ
s
一个物体在力F 的作用下产生位
移s，那么力F 所做的功应当怎样计
算？
W | F || s |cos
其中力F 和位移s 是向量，功是数量.
是F的方向 与s的方向 的夹角。
平面向量的数量积的定义
复习回顾
相关主题
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a
Ob B
A
（2）若 ，则向量 a与b方向相反；
b
a
B
O
A
即当 0或 时，向量a与b互相平行。
（3）若 ，则向量 a与b垂直，B
2
b
记作 a b
O
a A
规定：零向量与其它向量的夹角可根据需要确定。
如图,等边三角形ABC中,求 求（1）AB与AC的夹角；
（2）AB与BC的夹角。
C'
C
120 60
(1)投影是一个数量，不是向量。 (2)当 为锐角时投影为正值 OB1
当 为钝角时投影为负值- OB1 当 为直角时投影为0
r
当 为0时投影为 b
r
当为 时投影为- b
5、向量的数量积的几何意义
bB
O
θ |b|cosθ B1 a
A
两个向量a、b 的数量积是其中的一个向量a 的模 a 与 另一个向量 b 在向量 a 方向上的投影 b cos 的乘积。
A
平移向量至 始点重合
1200
B D
2、向量的数量积的定义
为
一般地，如果两个非零向量
（0 ），那么我们把
|aa、|b|b的|c夹os角θ
叫做向量 a与b 的数量积，记作 a b ，
即
a b |a||b|cos θ
B
b
O
a
A
向量的数量积的说明 ab |a||b|cosθ
a b 1、 不能写成
(4)a a
2
a
|
a |2
(√)
(5)若a b 0,则a与b中至少有一个为0.
(×)
2、在ABC中，AB BC 0，则ABC的形状是
A、 锐角三角形
B、 直角三角形 （ D ）
C、 钝角三角形
新疆 王新敞
奎屯
D、 不能确定
3、在ABC中，AB BC 0，则ABC的形状是 C
（ C）
B A
4、向量的数量积的运算律
B
b
θ┐
O a B1 A
B
B
b
b
┐ θ a ┓θ a
B1 O A O(B1) A
0
(1)
r
uuu2r
b cos OB1
(2)
r2
uuur
b cos OB1
（3）
r2
b cos 0
b │ │cosθ叫做向量 a
在向量
b a 上的投影，│ │cosθ叫做向量
a
b
在向量
上的投影.
5、向量的数量积的几何意义
成
（3）分配律： (a b) c a c b c
立 ？
（4）数乘结合律(：a) b (a b) a (b)
验证向量数量积的运算律 （1）交换律：a b b a
a b a b cos b a cos b a
思考：
( ab )c a(bc ) 能否对任意向量a,b,c都成立？
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 将公式中的力与位移推广到一般向量
结果是两个向量的模及其夹角余弦的乘积。
出现了向量的一种新的运算
1、向量的夹角
对于两个非零向量a、b，如果以O为起点，
作OA a，OB b, 那么射线OA、OB的夹角
叫做向量a与向量b的夹角，其中0 .
B
b
O
a
A
（1）若 0，则向量 a与b方向相同；
如图所示，等边三角形ABC的边长为1，求
（1）
的数量积；
（2）
的A数B量与积；AC
AB与BC
C
A
B
3、向量的数量积的重要性质
已知a,b均为非零向量，且a与b的夹角为θ
（1）当a与b同向时,ab | a | | b |
当a与b反向时,ab | a | | b |
即 a // b a b | a || b |
问题:
（1）实数乘法有哪些运算律？
（2）这些运算律是否能适用于 向量的数量积的运算？
实数乘法（1）交换律：ab ba
（2）结合律：(ab)c a(bc)
（3）分配律：(a b)c ac bc
类比猜想
向量的数量积
是
（1）交换律： a b b a
否 都
（2）结合律： (a b) c a (b c)
如何验证？
可借助向量数量积的几何意义验证； 或通过向量数量积的坐标表示验证。
5、向量的数量积的几何意义
如图，作出│b│cosθ，并说出它的几何 意义；│a│cosθ的几何意义又是什么？
B
b
θ┐
O a B1 A
(1)
B
B
b
b
┐ θ a ┓θ a
B1 O A O(B1) A
(2)
（3）
5、向量的数量积的几何意义
且 a b， 不能省略。 “”Biblioteka 2、向量的数量积是一个数量,不是向量。
a ,b 当 为非零向量时，数量积的正负
由夹角余弦值决定。
3、规定 4、特别记
0a 0
2
aa a
例1、已知 | a | 5,| b | 4, (1)当a 与b的夹角是1200 时，求a b； (2)当a b 时，求a b； (3)当a // b 时，求a b.
用向量的几何意义验证
（3）分配律：( a b ) c a c b c
向量a、b、a + b在c上的投影分 别是OM、MN、 ON, 则
(2) 已知ABC，AB a, AC b, 当a b 0时，ABC为__直__角___三角形。
(3)已知向量a满足a2 8，则| a | __2__2___
1、已知 a, b, c均为非零向量,试
判断下列说法是否正确？
(1)0 a 0 (×)
(2)0 a 0 ( × )
(3)若a b | a || b |,则a // b ( √ )
(2)a b a b 0
两个重要的充要条件
3、向量的数量积的重要性质
| a b|| a ||b| 成立吗?
（3）| ab|| a||b|
ab
(4)cos θ
ab
2
(5)a a a a cos 0 a
2
2
即 a a
例2、填空
(1) 若 | a | 12，| b | 9，a b 54 2 , 则a与b 的夹角θ __1_35_0___
问题1:
我们学习了向量的哪些运算？ 这些运算的结果是什么？
平面向量的加法、减法和数乘三种运算； 运算的结果仍是向量
问题2: F
s
F 一个物体在力 的作用下发生了位移 ，
那么该力对此物体所做的功为多少？
s
W |F||s|cos θ 其 是中F力与Fs和的位夹移角s，是而向功量W，是数量.
W |F||s|cos θ
即：向量数量积运算不满足结合律
（2）数乘结合律：
(a) b (a b) a (b)
若 0，则显然成立
若 0，
( a )与b；a与b；a与( b )的夹角分别是什么？
若 0,
( a )与b；a与b；a与( b )的夹角又是什么？
（3）分配律：(a b) c a c b c