专题1——集合与简易逻辑专题

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2021年高考数学经典例题专题一：集合与简易逻辑【含解析】

专题一集合与简易逻辑一、单选题1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UAB =（）A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---【答案】C 【解析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果. 【详解】由题意结合补集的定义可知：{}U2,1,1B =--，则(){}U1,1AB =-.故选：C.2．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件. 故选：A.3．设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（） A ．{x |2<x ≤3} B ．{x |2≤x ≤3} C ．{x |1≤x <4} D ．{x |1<x <4} 【答案】C 【解析】根据集合并集概念求解. 【详解】[1,3](2,4)[1,4)A B ==故选：C4．已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（）． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断. 【详解】(1)当存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12kk k m απβ=+-=或()()121kk k m απβ=+-=+，亦即存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-．所以，“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件. 故选：C.5．已知集合P ={|14}<<x x ，{|23}Q x x =<<，则P Q =（） A ．{|12}x x <≤ B ．{|23}x x << C ．{|34}x x ≤< D ．{|14}<<x x【答案】B 【解析】根据集合交集定义求解. 【详解】(1,4)(2,3)(2,3)P Q ==故选：B6．已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件. 【详解】依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件. 故选：B7．设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】∵A ､B ､C 三点不共线,∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AB -AC |⇔|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇔•AC >0AB ⇔与AC的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C.8．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D.9．已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C 【解析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故AB 中元素的个数为4.故选：C.10．设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】b =0 时，f(x)=cosx +bsinx =cosx , f(x)为偶函数； f(x)为偶函数时，f(−x)=f(x)对任意的x 恒成立， f(−x)=cos(−x)+bsin(−x)=cosx −bsinxcosx +bsinx =cosx −bsinx ，得bsinx =0对任意的x 恒成立，从而b =0.从而“b =0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件，故选C.11．已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D 【解析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.12．设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（） A ．–4 B ．–2C ．2D ．4【答案】B 【解析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值. 【详解】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a-=，解得：2a =-. 故选：B.13．已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =（） A ．∅ B ．{–3，–2，2，3） C ．{–2，0，2} D ．{–2，2}【答案】D 【解析】解绝对值不等式化简集合,A B 的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可. 【详解】因为{}{}3,2,1,0,1,2A x x x Z =<∈=--，{}{1,1B x x x Z x x =>∈=>或}1,x x Z <-∈，所以{}2,2AB =-.故选：D.14．已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()UA B ⋃=（）A ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}【答案】A 【解析】首先进行并集运算，然后计算补集即可. 【详解】由题意可得：{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U2,3A B =-.故选：A.15．设m R ∈，则“12m ≤≤”是“直线:0l x y m +-=和圆22:2420C x y x y m +--++=有公共点”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据条件先求m 的取值范围，再比较集合的包含关系，判断充分必要条件. 【详解】圆()()22:123C x y m -+-=-，圆心()1,2，半径3r m =-若直线l 与圆C 有公共点，则圆心()1,2到直线的距离332m d m -=≤-13m ≤<，{}12m m ≤≤ {}13m m ≤<，所以“12m ≤≤”是“直线:0l x y m +-=和圆22:2420C x y x y m +--++=有公共点”的充分不必要条件.故选：A16．设x ∈R ，则“2560x x -+<”是“|2|1x -<”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分别解出两个不等式的解集，比较集合的关系，从而得到两命题的逻辑关系. 【详解】2560x x -+<23x ⇒<<；|2|1x -<13x ⇒<<；易知集合()2,3是()1,3的真子集，故是充分不必要条件. 故选：A. 17．已知集合{}0,1,2,4A =，{}2,nB x x n A ==∈，则AB =（）A ．{}0,1,2B ．{}0,1,4C ．{}0,2,4D ．{}1,2,4【答案】D 【解析】由题知{}1,2,4,16B =,再根据集合交集运算求解即可. 【详解】因为{}0,1,2,4A =，{}1,2,4,16B =，所以{}1,2,4AB =，故选:D.18． “21a =”是“直线1x ay +=与1ax y +=平行”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】首先根基两直线平行求出a 的值，再根据小范围推大范围选出答案.【详解】因为直线1x ay +=与1ax y +=平行，所以0a ≠ 且两直线的斜率相等即1a a-=解得1a =±；而当1a =时直线1x ay +=为1x y +=，同时1ax y +=为1x y +=，两直线重合不满足题意；当1a =-时，1x y -=与1x y -+=平行，满足题意；故1a =-，根据小范围推大范围可得：21a =是1a =-的必要不充分条件. 故选：B19．已知命题:p “,a b 是两条不同的直线，α是一个平面，若,b a b α⊥⊥，则//a α”，命题:q “函数1,1()23,1x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，为R 上的增函数”，下列说法正确的是A ．“p q ⌝∧”为真命题B ．“p q ∧⌝”为真命题C ．“p q ∧” 为真命题D ．“p q ⌝∧⌝” 为真命题【答案】D 【解析】依题意得p 是假命题；因为312<又()312f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，得q 是假命题，则可判断正确结果．【详解】若,b a b α⊥⊥，则//a α或a α⊂，所以命题p 是假命题；函数1,1()23,1x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，当1x =时()011f e ==，当32x =时3323022f ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，因为312<又()312f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()f x 在R 上不是增函数，故q 是假命题；所以p ⌝与q ⌝是真命题，故“p q ⌝∧⌝” 为真命题故选：D ．20．记不等式组620x y x y +⎧⎨-≥⎩表示的平面区域为D ，命题:(,),29p x y D x y ∃∈+；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+.给出了四个命题：①p q ∨；②p q ⌝∨；③p q ∧⌝；④p q ⌝∧⌝，这四个命题中，所有真命题的编号是（） A ．①③ B ．①②C ．②③D ．③④【答案】A 【解析】如图，平面区域D 为阴影部分，由2,6y x x y =⎧⎨+=⎩得2,4x y =⎧⎨=⎩即A （2，4），直线29x y +=与直线212x y +=均过区域D ，则p 真q 假，有p ⌝假q ⌝真，所以①③真②④假．故选A ．21．已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B 【解析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.【详解】由题意，{5,7,11}A B ⋂=，故A B 中元素的个数为3.故选：B22．已知M 、N 为R 的子集，若RM N =∅，{}1,2,3N =，则满足题意的M 的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】D【解析】根据交集、补集的运算的意义，利用韦恩图可得出M ，N 关系，根据子集求解. 【详解】因为M 、N 为R 的子集，且RM N =∅，画出韦恩图如图，可知，M N ⊆，因为{}1,2,3N =，故N 的子集有32=8个. 故选：D23． “0a =”是直线(1)(1)20()a x a y a a R ++-+=∈与圆224x y +=相交的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据直线与圆相交的判定，充分条件，必要条件即可求解【详解】当0a =时，直线为0x y -=，过圆心(0,0)，故直线与圆224x y +=相交，当直线(1)(1)20()a x a y a a R ++-+=∈与圆224x y +=相交时，圆心到直线的距离222(1)(1)d a a =<++-，化简得220a +>，显然恒成立，不能推出0a =，所以“0a =”是直线(1)(1)20()a x a y a a R ++-+=∈与圆224x y +=相交的充分不必要条件，故选：A24．设集合()222021,2020A x y x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，(){},2x B x y y ==，则集合A B 中元素的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】分别作出2220212020x y +=，2x y =图象，判断交点个数即可.【详解】依题意：集合A B 中元素的个数即2220212020x y +=，2x y =图象交点个数如图所以一共有两个交点，所以集合A B 中元素的个数为2故选：C25．已知集合{}13A x x =≤<，{}B y y m =≤，且A B =∅，则实数m 应满足（）A ．1m <B ．1mC ．3m ≥D ．3m >【答案】A【解析】根据集合交集定义即可求解．【详解】解：∵集合{}13A x x =≤<，{}B y y m =≤，A B =∅∴1m <，故选：A ．26．命题000:,20p x R x lnx ∃∈+<的否定为（）A ．000,20x R x lnx ∃∉+≥B ．000,20x R x lnx ∃∈+>C ．,20x R x lnx ∀∈+>D ．,20x R x lnx ∀∈+≥【答案】D【解析】根据特称命题的否定是全称命题，直接写出即可.【详解】根据特称命题的否定是全称命题，所以命题p 的否定为,20x R x lnx ∀∈+≥.故选:D.27．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R （） A ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥ 【答案】B【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.详解：解不等式220x x -->得12x x -或，所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.28．已知两条直线,a b 和平面α，若b α⊂，则//a b 是//a α的（）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】D【解析】当b α⊂时，若//a b 时，a 与α的关系可能是//a α，也可能是a α⊂，即//a α不一定成立，故////a b a α⇒为假命题；若//a α时，a 与b 的关系可能是//a b ，也可能是a 与b 异面，即//a b 不一定成立，故////a a b α⇒也为假命题；故//a b 是//a α的既不充分又不必要条件故选：D29.设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则y x ∈S ；下列命题正确的是（）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素【答案】A【解析】分别给出具体的集合S 和集合T ，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.【详解】首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8ST =，包含4个元素，排除选项 C ；若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项D ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128ST =，包含7个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈，同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21p S p ∈，若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =，又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =，故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍. 若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p p p p p p ==即323121,p p p p ==，又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =，故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆. 若q T ∈，则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i q p i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==，即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =，此时{}234456*********,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确.故选：A .【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.二、填空题30．已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________ 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．点睛:（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．31．设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝【答案】①③④【解析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为：①③④.32．设A 是非空数集，若对任意,x y A ∈，都有,x y A xy A +∈∈，则称A 具有性质P .给出以下命题： ①若A 具有性质P ，则A 可以是有限集；②若12,A A 具有性质P ，且12A A ⋂≠∅，则12A A ⋂具有性质P ；③若12,A A 具有性质P ，则12A A ⋃具有性质P ；④若A 具有性质P ，且A ≠R ，则A R 不具有性质P .其中所有真命题的序号是___________.【答案】①②【解析】举特例判断①；利用性质P 的定义证明②即可；举反例说明③错误；利用反证法，结合举反例判断④.【详解】对于①，取集合{}0,1A =具有性质P ，故A 可以是有限集，故①正确；对于②，取12,x y A A ∈⋂，则1x A ∈，2x A ∈，1y A ∈，2y A ∈，又12,A A 具有性质P ，11,x y A xy A ∴+∈∈，22,x y A xy A +∈∈，1212,x y xy A A A A ∴+∈∈⋂⋂，所以12A A ⋂具有性质P ，故②正确；对于③，取{}1|2,A x x k k Z ==∈，{}2|3,A x x k k Z ==∈，12A∈，23A ∈，但1223A A +∉⋃，故③错误；对于④，假设A R 具有性质P ，即对任意,x y A ∈R ，都有,x y A xy A +∈∈R R ，即对任意,x y A ∉，都有,x y A xy A +∉∉，举反例{}|2,A x x k k Z ==∈，取1A ∉，3A ∉，但134A +=∈，故假设不成立，故④错误；故答案为：①②【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义，解题的关键是对集合新定义的理解，及举反例，特例证明，考查学生的逻辑推理与特殊一般思想，属于基础题.。

专题一集合与简易逻辑

专题一集合与简易逻辑【考试要求】理解集合、子集、补集交集、并集的概念。

了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能熟练使用有关的术语和符号，能正确地表示一些较简单的集合。

了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义。

了解命题及命题的逆命题、否命题、逆否命题的有关概念，会分析四种命题的相互关系。

理解充分条件、必要条件和充要条件的意义，掌握命题条件的充分性、必要性和充要性的判断。

【命题导向】集合是每年高考必考的知识点之一，考查方式可以是集合本身的性质与运算，也可以是以集合为载体而考查其它数学知识，特别考查集合语言和集合思想的运用。

集合在命题时，会以基本题型为主，大多数是选择题、填空题，多为学科内的小型综合题，从涉及知识上讲，常与映射、函数、方程、不等式等结合命题，还可能出小型应用题。

简易逻辑在命题时，可分为两大类，一类是条件、命题本身的基本题，多为选择题、填空题；另一类是简易逻辑与其他知识的综合题，主要是与几何知识、函数知识结合的充要条件的论证、复合命题真假的判断问题。

【试题精选】题型1 集合的基本概念与运算1．设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且123S S S I = ，则下面论断正确的是( )A ．C I Φ=)(321S S SＢ．⊆1S (C I S 2 C I S 3)Ｃ．C I S 1 C I S 2 C I S 3=∅Ｄ．⊆1S ( C I S 2 C I S 3)答案：C解析：本题主要考查了全集、子集的概念，以及交集、并集、补集几种集合的运算。

要求考生能借助图形或利用等价转化的方法将复杂问题转化为简单问题。

法一：利用文氏图求解由图可知A 、B 、D 均不成立法二：利用摩根法则C I A C I B=C I (A B ） C I A C I B= C I (A B ）可知C I S 1 C I S 2 C I S 3=C I (S 1 S 2 S 3）=C I I =∅。

集合与简易逻辑知识点总结- 高三数学一轮复习

知识点总结1 集合与简易逻辑一、集合(一)元素与集合1.集合的含义某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．2.集合元素的特征(1)确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．(2)互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．(3)无序性：集合与其组成元素的顺序无关．3.元素与集合的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作a A ∈)和不属于(记作a A ∉)两种．4.集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图)．5.常用数集的表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号 NN ∗或N + Z Q R (二)集合间的基本关系1.集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.(2)真子集：若A B ⊆，且存在b B ∈，但b A ∉，则集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B A ⊃≠）. 读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.(3)相等：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，同时B A ⊆，那么集合A 与B 相等，记作A =B ．(4)空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；(三)集合的基本运算(1)交集：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ⋂，即{}|A B x x A x B ⋂=∈∈且．(2) 并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A B ⋃，(3) 即{}|A B x x A x B ⋃=∈∈或．(3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且．(四)集合的运算性质(1)集合的运算性质：①交换律：A ∪B ＝B ∪A ；A ∩B ＝B ∩A ；②结合律：(A ∪B )∪C ＝A ∪(B ∪C )；(A ∩B )∩C ＝A ∩(B ∩C )；③分配律：(A ∩B )∪C ＝(A ∪C )∩(B ∪C )；(A ∪B )∩C ＝(A ∩C )∪(B ∩C )；【集合常用结论】1.子集个数：含有n个元素的有限集合M，其子集个数为2n；其真子集个数为2n－1；其非空子集个数为2n－1；其非空真子集个数为2n－2.2. 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；4.A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝B⇔B⊆A.5.集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解.二、简易逻辑(一).全称命题、特称(存在性)命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为特称(存在性)命题：¬p：∃x0∈M，¬p(x0).(2)特称(存在性)命题p：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题：¬p：∀x∈M，¬p(x).(二).充分条件与必要条件的判定方法(1)定义法：若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件).(2)集合法：利用集合间的包含关系。

第一章集合与简易逻辑

第一章集合与简易逻辑在数学的广袤世界里，集合与简易逻辑就像是构建知识大厦的基石，看似简单，却蕴含着深刻的思想和广泛的应用。

让我们一同踏上探索这一领域的旅程，揭开它们神秘的面纱。

首先，我们来聊聊集合。

集合是什么呢？简单来说，集合就是把一些具有特定性质的对象放在一起组成的整体。

比如说，咱们班所有同学就可以组成一个集合，操场上所有的篮球也能构成一个集合。

集合通常用大写字母来表示，比如A、B、C 等等。

集合中的元素，也就是组成集合的那些对象，用小写字母表示。

如果一个元素 x 属于某个集合 A，我们就记作 x ∈ A；要是不属于，那就是 x ∉ A。

集合的表示方法有好几种。

列举法大家应该很好理解，就是把集合中的元素一个一个地列出来，像｛1，2，3，4，5｝这样。

描述法呢，就是通过描述元素所具有的特征来表示集合，比如｛x ｜ x 是小于 10的正整数｝。

集合之间还有各种各样的关系。

两个集合相等，意味着它们包含的元素完全相同。

子集呢，就是一个集合中的所有元素都在另一个集合里。

比如说集合 A ＝｛1，2，3｝，集合 B ＝｛1，2，3，4，5｝，那 A 就是 B 的子集。

真子集就是除了自身以外的子集。

集合的运算也很重要。

并集，就是把两个集合中的所有元素合在一起组成的新集合。

比如 A ＝｛1，2，3｝，B ＝｛3，4，5｝，A 并 B就是｛1，2，3，4，5｝。

交集呢，是两个集合中共同拥有的元素组成的集合，A 交 B 就是｛3｝。

补集则是在一个给定的全集 U 中，某个集合 A 的补集就是 U 中不属于 A 的元素组成的集合。

说完了集合，咱们再来说说简易逻辑。

逻辑在我们的日常生活和数学推理中都扮演着重要的角色。

命题是简易逻辑的核心概念之一。

命题就是能够判断真假的陈述句。

比如“今天是晴天”，这能判断真假，就是个命题；但像“这个苹果真好吃”，这就不是命题，因为好不好吃因人而异，没法明确判断真假。

命题又分为真命题和假命题。

专题一-集合-与简易逻辑

专题一集合与简易逻辑一、考点回顾1、集合的含义及其表示法，子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、集合与其它知识的联系，如一元二次不等式、函数的定义域、值域等；3、逻辑联结词的含义，四种命题之间的转化，了解反证法；4、含全称量词与存在量词的命题的转化，并会判断真假，能写出一个命题的否定；5、充分条件，必要条件及充要条件的意义，能判断两个命题的充要关系；6、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。

二、经典例题剖析考点1、集合的概念1、集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。

如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；（3）集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法。

2、两类关系：（1）元素与集合的关系，用∈或∉表示；（2）集合与集合的关系，用⊆，≠⊂，=表示，当A⊆B时，称A是B的子集；当A≠⊂B时，称A是B的真子集。

3、解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题4、注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A⊆B,则有A=∅或A≠∅两种可能，此时应分类讨论例1、下面四个命题正确的是（A）10以内的质数集合是{1，3，5，7} （B）方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2} （C）0与{0}表示同一个集合（D）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}m}．若B⊆A，则实数m＝．例2、已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，2考点2、集合的运算1、交，并，补，定义：A ∩B={x|x ∈A 且x ∈B}，A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}，C U A=｛x|x ∈U ，且x ∉A ｝，集合U 表示全集；2、运算律，如A ∩（B ∪C ）=（A ∩B ）∪（A ∩C ），C U （A ∩B ）=（C U A ）∪（C U B ）， C U （A ∪B ）=（C U A ）∩（C U B ）等。

01-第一章集合与简易逻辑

1.1 集合〖考纲要求〗理解集合、子集的概念，了解空集、属于、包含、相等的意义. 〖复习要求〗掌握子集的概念，正确使用符号：∈，∉，⊆，⊂，≠，Γ ，H 等〖复习建议〗集合是高考必考内容，一般考查两方面：集合自身的知识与集合语言与集合思想的应用。

复习时要抓住元素这个关键，遇到集合问题，首先要弄清集合里的元素是什么。

注意区别：a 与{a }；{a ，b }与{(a ，b )}，φ与{φ}〖双基回顾〗集合元素具有的三大特征是：、、；集合的表示方法：、、；集合的分类：有限集与无限集。

元素与集合只有两种关系：、；子集的定义与集合的相等： n 元集合子集的个数= ；全集的意义；交集、并集、补集的定义与运算提示：“和”、“或”、“且”体现在集合的运算中应该是 .一、知识点训练：1、用适当符号填空：0 {0，1}；{a ，b } {b ，a }；0 φ；{3＋17} {x |x ＞6＋3}2、用列举法表示{y |y =x 2－1，|x |≤2，x ∈Z}= .{(x ,y )|y =x 2－1，|x |≤2，x ∈Z}= . 3、M ={x |x 2＋2x －a =0，x ∈R}≠φ，则实数a 的取值范围是……………………………………（） (A )a ≤－1 (B ) a ≤1 (C ) a ≥－1 (D ) a ≥1. 4、已知集合A ={x |x 2－p x ＋15=0}，B ={x |x 2－5x ＋q =0}，如果A ∩B ={3}，那么p ＋q = . 5、已知集合A ={x |－1≤x ≤2}，B ={x |x ＜a }，如果A ∩B =A ，那么a 的取值范围是 . 6、已知集合A ={x |x ≤2}，B ={x |x ＞a }，如果A ∪B =R ，那么a 的取值范围是 .二、典型例题分析：1、如果a ∈A 则a-11∈A（1）当2∈A 时，求A （2）如果A 是单元素集，求A .2、A ={x |x =y 2－2y －8}，B ={y |y =－x 2＋2x ＋3}，求A ∩B .3、已知A ={x |x 2－a x ＋a 2－19=0}，B ={x |log 2(x 2－5x ＋8)=1},C ={x |12822=-+x x }，且A ∩B H Φ，A∩C =Φ，求实数a 及集合A .4、已知集合A ={x |x ≥|x 2－2x |}，B ={x ||1|1xx x x -≥-}，C ={x |a x 2＋x ＋b ＜0}，如果（A ∪B ）∩C =φ，A ∪B ∪C =R ，求实数a 、b 的值.*5、S =[－1，a ]，A ={y |y =x ＋1，x ∈S }，B ={z|z=x 2，x ∈S }，如果A =B ，求a 的值.*6、设f （x ）=x 2＋p x ＋q ，A ={x |f （x ）=x ，x ∈R}，B ={x |f (x －1)=x ＋1，x ∈R},C ={x |f (f (x ))=x }. （1）如果A ={2}，求B .（2）如果证明A 是C 的子集三、课堂练习：1、如果{x |x 2－3x ＋2=0}⊇{x |a x －2=0}，那么所有a 值构成的集合是 .2、A ={x |x =a 2＋1，a ∈Z}，B ={y |y =b 2－4b ＋5，b ∈Z}，则A 、B 的关系是 .3、满足{0，1}ΓM ⊆{0，1，3，5，6}的集合M 的个数为 .4、设集合A ={x |10＋3x －x 2≥0}，B ={x |x 2＋a ＜0}，如果B ⊆A ，那么实数a 的取值范围是 .四、课堂小结：1、学习集合，关键在搞清集合中元素的构成.2、掌握元素互异性在集合中的应用.3、能利用集合中元素满足的条件进行解题.五、能力测试：姓名得分 .1、全集I={x |x ≤4，x ∈N *}，A ={1，2，3}，A ∩B ={2，3}，那么B =…………………………（） (A ){2，3} (B ) {2，3}或者{2，3，4} (C ){1，4} (D ) {1，4}或者{1}2、集合A ={3－2x ，1，3}，B ={1，x 2}，并且A ∪B =A ，那么满足条件的实数x 个数有………（） (A )1 (B ) 2 (C )3 (D ) 43、三个集合A 、B 、C 满足A ∩B =C ，B ∩C =A ，那么有…………………………………………（） (A )A =B =C (B ) A ⊆B (C )A =C ，A ≠B (D ) A =C ⊆B4、已知非空集合M ，N ，定义M －N ={x |x ∈M ，x ∉N }，那么M －（M －N ）=……………………（） (A )M ∪N (B ) M ∩N (C )M (D ) N5、设M ={x |x ∈Z}，N ={x |x =2n ，n ∈Z }，P ={x |x =n ＋21}，则下列关系正确的是………………（） (A )N ⊂M (B ) N ⊂P (C )N =M ∪P (D ) N =M ∩P6、全集I={2，3，a 2＋2a －3}，A ={|a +1|，2}，A ={5}，则a =……………………………………（） (A )2 (B ) –3或者1 (C )－4 (D )－4或者27、集合A ={x |x ≤1}，B ={x |x ＞a }，如果A ∩B =Φ，那么a 的取值范围是……………………（） (A )a ＞1 (B ) a ≥1 (C ) a ＜1 (D ) a ≤18、集合A ={y |y =x 2+1}，B ={y |y =x +1}，则 A ∩B =………………………………………………（） (A ){(1,2),(0,1)} (B ){0,1} (C ){1,2} (D )),1[+∞9、A ={x |x ≠1，x ∈R}∪{y |y ≠2，x ∈R }，B ={z|z ≠1且z ≠2，z ∈R}，那么……………………（） (A )A =B (B )A ⊂B (C )A ⊃B (D )A ∩B =φ10、A ={x |f (x )=0},B ={x |g(x )=0},那么方程f 2(x )＋g 2(x )=0的解集是……………………………（） (A )A ∩B (B )A ∪B (C )A ∩B (D ) A ∪B11、非空集合S ⊆{1，2，3，4，5}，并且满足a ∈S 则6－a ∈S ，那么这样的集合S 一共有个. 12、设集合M ={x |x ＜5}，N ={x |x ＞3}，那么“x ∈M 或者x ∈N ”是“x ∈M ∩N ”的条件. 13、用列举法化简集合M ={x |Z x Z x∈∈-,36}= . 14、如果集合A ={x |a x 2+2x +1=0}只有一个元素，则实数a 的值为 . 15、集合A ={x |x 2－3x ＋2=0}， B ={x |x 2－a x ＋a －1=0} ，C ={x |x 2－m x ＋2=0}，若A ∪B =A ，A ∩C =C ，求实数a 、m 之值.*16、求集合{x |x 2＋(b ＋2)x ＋b ＋1=0，b ∈R}的各元素之和.1.2 不等式的解法——绝对值不等式〖考纲要求〗在掌握一元一次与一元二次不等式解法的基础上掌握绝对值不等式解法.〖复习建议〗掌握绝对值的概念，会把绝对值问题转化为简单的问题；掌握去绝对值的基本方法：找零点分区间讨论法与换元法.一、知识点训练：1、不等式|2x －7|<3的解为………………………………………………………………………（） (A )x >2 (B )2<x <5 (C )x <5 (D ) x >02、不等式(x －1)02≥+x 的解为……………………………………………………………（） (A )x ≥1 (B )x >1 (C ) x ≥1或者x =－2 (D ) x ≥－2且x ≠13、方程12|12|-+=-+x x x x 的解是…………………………………………………………………（） (A )x =－2 (B ) x ≠1 (C ) x ≤－2或者x ＞1 (D ) －2≤x ＜1 4、不等式525≤-x 的解集为； 5、不等式129->-x x 的解集为；二、典型例题分析：1、解不等式：(1)392+≤-x x(2)x x 2212>-1332)3(2-<+-x x x2、⑴已知适合不等式5|3|||≤-++x p x 的x 的最大值为4，求实数p 之值（p =0）.⑵已知适合不等式a x x >--+|3||1|的解集为R ，求实数a 的取值范围.3、关于x 的不等式2)1(|2)1(|22-≤+-a a x 与0)13(2)1(32≤+++-a x a x 的解集依次为A 、B ，如果A 是B 的子集，求实数a 的取值范围.三、课堂练习：1、不等式x x ≤-52 的解集为；2、不等式x x x ≥+-11的解集为； 3、如果不等式kx x >+|1|的解集为R ，则实数k 的取值范围是 .四、课堂小结：解绝对值不等式时，常需要分类讨论，有时也可以用绝对值的几何意义求解，以简化计算.五、能力测试：1、关于x 的不等式a x x <++-|2||1|解集为空集，则实数a 的取值范围是………………（）（A ）(3,＋∞) （B ）[3,＋∞) （C ）(－∞,3] （D ）(－∞,3)2、不等式|log |2|log 2|22x x x x +<-的解集为…………………………………………………（）（A ）(1，2) （B ）(0，1) （C ）(1，＋∞) （D ）(2，＋∞)3、若321><x x和同时成立，则x 满足是； 4、不等式02||2<--x x 的解集为 . 5、解不等式||1212x x ≤- 6、解下列不等式：5252)1(≤--x 432)2(+>+x x (3)311≥-+x x7、关于x 的不等式23+>ax x 与不等式|x －2－c |＜c －2同解，求a 与c 的值.8、函数)(x f =2x －1，)(x g =1－x 2，定义函数⎩⎨⎧<-≥=))(|)((|)())(|)((| |)(|)(x g x f x g x g x f x f x F ，试化简此函数解析式，并研究其最值.1.3 不等式的解法——一次与二次〖考纲要求〗熟练掌握一元一次与一元二次不等式的解法.〖复习建议〗掌握不等式的性质，知道解不等式的基本思想：化归与转化，掌握一元一次不等式：.一、知识点训练：1、x =3在不等式 ax ＞b 的解集中，那么…………………………………………………………（） (A)a ＞0，3a ＞b (B)a ＜0，3a ＜b(C) a ＞0，b =0 (D) a ≠0，3a ＞b 或者a =0，b ＜0 2、不等式ax 2+bx +c ＞0（a ≠0）的解集为Φ，那么………………………………………………（）(A)a ＜0，△＞0 (B)a ＜0，△≤0 (C) a ＞0，△≤0 (D) a ＞0，△≥0 3、不等式(x －1)02≥+x 的解为………………………………………………………………（）(A )x ≥1 (B )x >1 (C ) x ≥1或者x =－2 (D ) x ≥－2且x ≠1 4、不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为3121<<-x ，则a ；b . 5、不等式组⎩⎨⎧<-+>-+0820222x x x x 的解集为 .二、典型例题分析：1、如果不等式(a ＋b )x ＋(2a －3b )<0的解集为}31|{-<x x ，求不等式(a －3b )x ＋b －2a >0的解集.2、不等式2)1()12(2≤->-m x m x 对满足的一切实数m 的值都成立，求实数x 的取值范围.3、解关于x 的不等式0)(22>-+-m m x x4、如果不等式b x ax +<的解集为（4，16），求a 、b 的值.5、已知a ≠b ，解关于x 的不等式222)]1([)1(x b ax x b x a -+≥-+.三、课堂练习：1、在实数集内，关于x 的一元二次不等式)0(02≠<++a c bx ax 的解集是空集，则………… ( ) (A )04,02>-<ac b a 且 (B )04,02≤-<ac b a 且(C ) 04,02≤->ac b a 且 (D ) 0402>->ac b a 且2、0)(≥x f 解集是F ，0)(<x g 解集是G ，定义域都为R ，则不等式组⎩⎨⎧≥<0)(0)(x g x f 解集是 ……（）(A )G F (B ) G F (C ) G F (D ) G F 3、不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为212->-<x x 或，那么不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为 . 4、关于x 的不等式：ax 2＋4x －1≥－2x 2－a 恒成立，那么实数a ∈ .四、课堂小结：一元一次不等式的解法：关键是学会讨论，知道其解集情况与系数之间的关系。

专题一集合与简易逻辑

专题1集合与简易逻辑一.知识网络以“集合”为基础，由“运算”分枝杈.二．高考考点1．对于集合概念的认识与理解，重点是对集合的识别与表达.2．对集合知识的综合应用，重点考查准确使用数学语言的能力以及运用数形结合思想解决问题的能力.3．理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；命题的四种形式；相关命题的等价转换，重点考查逻辑推理和分析问题的能力.4．充分条件与必要条件的判定与应用.三．知识要点（一）集合1.集合的基本概念（1）集合的描述性定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合.认知：集合由一组指定的（或确定的）对象的全体组成，整体性是其重要特征之一.集合的元素须具备以下三个特性：（I）确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象是否为这个集合的元素是明确的，只有“是”与“否”两种情况.（II）互异性：集合中的任何两个元素都不相同.（III）无序性：集合中的元素无前后顺序之分.（2）集合的表示方法集合的一般表示方法主要有（I）列举法：把集合中的元素一一列举出来的方法.提醒：用列举法表示集合时，须注意集合中元素的“互异性”与“无序性”，以防自己表示有误或被他人迷惑.（II）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.①描述法的规范格式：｛x|p(x),x∈A｝其中，大括号内的竖线之前的文字是“集合的代表元素”，竖线后面是借助代表元素描述的集合中元素的属性及范围（即判断对象是否属于集合的确定的条件）.②认知集合的过程：认清竖线前的代表元素；考察竖线后面代表元素的属性及范围结合前面的考察与集合的意义认知集合本来面目.例：认知以下集合：;；;，其中M=｛0，1｝.分析：对于A，其代表元素是有序数对（x,y）,即点（x,y）点（x,y）坐标满足函数式y=x2-1(x ∈R) 点（x,y）在抛物线y=x2－1上集合A是抛物线y=x2-1(x∈R)上的点所组成的集合.对于B，其代表元素为y y是x的二次函数：y=x2-1(x∈R)，再注意到集合的意义是范围集合B是二次函数y=x2-1(x∈R)的取值范围集合B是二次函数y=x2-1(x∈R)的值域，故B=｛y|y≥－1｝.对于C，其代表元素是x x是二次函数y=x2-1的自变量集合C是二次函数y=x2-1的自变量的取值范围集合C是二次函数y=x2-1(x∈R)的定义域，即C=R.对于D，其代表元素是x x是集合M的子集集合D由M的（全部）子集组成，故D=｛φ，｛0｝，｛1｝，｛0，1｝｝.（III）数轴法和文氏图法：文氏图法是指用一条封闭曲线围成的区域（内部）表示集合的方法.此为运用数形结合方法解决集合问题的原始依据.评注：集合的符号语言与文字语言的相互转化，是师生研究集合的基本功.为了今后的继续性发展，这一软性作业必须高质量完成.2．集合间的关系（1）子集（I）子集的定义（符号语言）：若x∈A x∈B,则A B（注意：符号的方向性）规定：空集是任何集合的子集，即：对任何一个集合A，都有φ A显然：任何一个集合都是自身的子集, 即A A.（II）集合的相等：若A B且B A，则A=B.（III）真子集定义：若A B且A≠B；则A B（即A是B的真子集）.特例：空集是任何非空集合的真子集.（2）全集，补集（I）定义设I是一个集合，A I，由I中所有不属于A的元素组成的集合，叫做I中子集A的补集（或余集），记作A，即A=｛x|x∈I,且x A｝.在这里，如果集合I含有我们所要研究的各个集合的全部元素，则将I称为全集，全集通常用U表示.（II）性质：φ=U；U=φ；（A）=A（III）认知：补集思想为我们运用“间接法”解题提供理论支持.对于代数中的探求范围等问题，当正面入手头绪繁多或较为困难时，要想到运用“间接法”进行转化求解.（3）交集，并集（I）定义：①由所有属于集合A且属于B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，即A∩B=｛x|x∈A,且x∈B｝;②由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，即A∪B=｛x|x∈A,或x∈B｝.（II）认知：上面定义①、②中的一字之差（“且”与“或”之差），既凸显交集与并集的个性，又展示二者之间的关系.在这里，要特别注意的是，并集概念中的“或”与生活用语中的“或”含义不同，并集概念中的“或”源于生活，但又高于生活中的“或”：生活用语中的“或”是“或此”.“或彼”.二者只取其一，并不兼有；而并集概念中的“或”是“或此”.“或彼”“或彼此”，可以兼有.因此，“x∈A或x∈B”包括三种情形：x∈A且x B；x∈B且x A；x∈A且x∈B.（III）基本运算性质①“交”的运算性质A∩A=A；A∩φ=φ；A∩B= B∩A；A∩ A =φ；（A∩B）∩C= C∩（A∩B）= A∩B∩C②“并”的运算性质A∪A=A；A∪φ=A；A∪B= B∪A；A∪A=I；（A∪B）∪C=A∪（B∪C）= A∪B∪C③交.并混合运算性质A∪（B∩C）= （A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）；A∩（A∪C）=AA∪（A∩B）=A（IV ）重要性质①A∩B=A A B；A∪B=B A B；②A∩B=（A∪B）；A∪B=（A∩B）上述两个性质，是今后解题时认知、转化问题的理论依据.（二）简易逻辑1.命题（1）定义（I）“或”.“且”“非”这些词叫做逻辑联结词.（II）可以判断真假的词句叫做命题.其中，不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简易命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.复合命题的构成形式：①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）.（2）复合命题的真假判断（I）当p、q同时为假时“p或q”为假，其它情况时为真；（II）当p、q同时为真时“p且q”为真，其它情况时为假；（III）“非p”与p的真假相反.（3）认知（I）这里的“或”与集合的“并”密切相关（并集又称为或集）：集合的并集是用“或”来定义的：A∪B=｛x| x∈A或x∈B｝.“p或q”成立的含义亦有三种情形：p成立但q不成立；q成立但p不成立,p,q同时成立.它们依次对应于A∪B中的A∩ B；B∩ A；A∩B.不过，A∪B强调的是一个整体，而“p或q”是独立的三种情形的松散联盟.（II）“或”、“且”联结的命题的否定形式：“p或q”的否定p且q；“p且q” p或q.它们类似于集合中的（A∪B）=（A）∩（B），(A∩B）=（A）∪（B）（4）四种命题（I）四种命题的形式：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为原命题：若p则q；逆命题：若q则p;否命题：若p则q逆否命题：若q则p.（II）四种命题的关系①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.2.充分条件与必要条件（I）定义：若p q则说p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p q则说p 是q的充分必要条件（充要条件）.（II）认知：①关注前后顺序：若p q则前者为后者的充分条件；同时后者为前者的必要条件.②辨析条件、结论注意到条件与结论的相对性.若条件结论，则这一条件为结论的充分条件；若结论条件，则这一条件为结论的必要条件.③充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.四.经典例题例1．判断下列命题是否正确.（1）方程组的解集为｛（x,y）|x=－1或y=2｝;（2）设P=｛x|y=x2｝,Q=｛(x,y)|y=x2｝,则p Q;（3）设，则M N；（4）设，，则集合等于M∪N；分析：（1）不正确.事实上，方程组的解为有序实数对（-1，2），而－1或2不是有序实数对，故命题为假.正确解题：方程组解集应为（初始形式）==｛（-1，2）｝（2）不正确.在这里，P为数集，Q为点集，二者无公共元素，应为P∩Q=φ.（3）为认知集合中的元素的属性，考察代表元素的特征与联系：对两集合的代表元素表达式实施通分，对于集合M，其代表元素，2k+1为任意奇数；对于集合N，其代表元素，k+2为任意整数.由此便知M N，故命题正确.（4）不正确.反例：注意到这里f(x),g(x)的定义域未定，取，，则f(x)·g(x)=1(x≠－3且x≠1)，此时f(x)g(x)=0无解.揭示：一般地，设函数f(x),g(x)的定义域依次为P、Q，且，，则有例2．设集合A=｛x|x2+4x=0｝,B=｛x|x2+2(a+1)x+a2－1=0｝（1）若A∩B=B，求a的值；（2）若A∪B=B，求a的值.解：集合A=｛－4，0｝（1）A∩B=B B A即B｛－4，0｝由有关元素与B的从属关系，引入（第一级）讨论.（I）若0∈B，则有a2－1=0a=1（以下由a的可能取值引入第2级讨论）.又当a=－1时，方程x2+2(a+1)x+a2－1=0x2=0x=0此时B=｛0｝符合条件；当a=1时，方程x2+2(a+1)x+a2－1=0x2+4x=0x(x+4)=0此时B=A符合条件.（II）若－4∈B，则有16+2（a+1）(－4)+a2－1=0a2－8a+7=0(a－1)(a－7）=0 a=1或a=7当a=1时，由（I）知B=A符合条件；当a=7时，方程x2+2(a+1)x+a2－1=0x2+16x+48=0(x+12)(x+4)=0x=－12或x=－4此时B=｛－12，－4｝ A.（III）注意到B A，考察B=φ的特殊情形：B=φ=4（a+1）2－4(a2－1)<0 a<－1,此时集合B显然满足条件.于是综合（I）、（II）、（III）得所求a的取值集合为｛a|a=1或a≤－1｝.（2）集合B中至少有两个元素①而方程x2+2(a+1)x+a2－1=0至多有两个实根集合B中至多有两个元素②∴由①、②得集合B中只含两个元素B=A此时，由(1)知a=1，即所求a的的数值为a=1.点评：（1）在这里，对有关事物进行“特殊”和“一般”的“一分为二”的讨论尤为重要：对集合A.B 的关系，分别考察特殊（相等）和一般（真包含）情形，引出第一级讨论；对集合B的存在方式，又分别考察特殊（B=φ）和一般（B≠φ）的两种情形，引出第二级讨论.“特殊”（特殊关系或特殊取值）是分类讨论的切入点.（2）空集φ作为一个特殊集合，既是解题的切入点，又是设置陷阱的幽灵，注意到“一般”与“特殊”相互依存的辩证关系，解题时应适时考察“特殊”，自觉去构建“特殊”与“一般”的辩证统一.例3．已知A=｛x|x2-4x+3<0,x∈R｝,B=｛x|21-x+a≤0且x2-2(a+7)x+5≤0,x∈R｝若A B，试求实数a的取值范围.解：A=｛x|1<x<3｝=(1,3)注意A B，故对任意x∈(1,3),不等式21-x+a≤0与x2－2(a+7)x+5≤0总成立.（1）对任意x∈(1,3)，f(x)=x2－2(a+7)x+5≤0总成立，f(x)=0有两实根，且一根不大于1，而另一根不小于3①（2）令g(x)=－21－x, x∈(1,3),则对任意x∈(1,3)，21－x+a≤0总成立.a≤g(x)总成立a≤g min(x) a≤－1②∴将①.②联立得－4≤a≤－1.∴所求实数a的取值范围为｛a|－4≤a≤－1｝.点评与揭示：在某个范围内不等式恒成立的问题，要注意向最值问题的等价转化：（1）当f(x)在给定区间上有最值时a≤f(x)恒成立a≤f min(x)a≥f(x)恒成立a≥f max(x)（2）当f(x)在给定区间上没有最值时a≤f(x)恒成立a≤f(x)的下确界a≥f(x)恒成立a≥f(x)的上确界例4．已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.分析：从认知与q入手，为了化生为熟，将，q分别与集合建立联系.解：由已知得：x<-2或x>10；q：x<1-m或x>1+m(m>0).令A=｛x|x<-2或x>10｝,B=｛x| x<1-m或x>1+m(m>0)｝,则由是q的必要而不充分条件得B A或m9∴所求实数m的取值范围为[9，+∞）.点评：从认知已知条件切入，将四种命题或充要条件问题向集合问题转化，是解决这类问题的又一基本策略.例5．设有两个命题，p：函数f（x）＝＋2ax＋4的图像与x轴没有交点；Q:不等式恒成立，若“P或Q”为真，“P且Q”为假，则实数a的取值范围是（）A.（－∞，－2]B.[2,＋∞)C.[-2,2]D.(-2,2)分析：（ⅰ）化简或认知P、Q：函数f（x）＝＋2ax＋4的图像与x轴没有交点，△＝－2＜a＜2∴P: －2＜a＜2①又不等式恒成立a小于的最小值②＋≥＝2③∴由②、③得a﹤2即Q: a﹤2（ⅱ）分析、转化已知条件“P或Q”为真P、Q中至少有一个为真a﹤2④“P且Q”为假P、Q中至少有一个为假或为真a≤－2或a≥2⑤于是由④⑤得，同时满足上述两个条件的a的取值范围是a≤－2∴实数a的取值范围为（－∞，－2].例6. 若p：－2﹤m﹤0，0﹤n﹤1；q：关于x的方程有两个小于1的正根，试分析p是q的什么条件？分析：在这里，q是关于x的二次方程有两个小于1的正根的条件，为便于表述，设该方程的两个实根为，且.然后根据韦达定理进行推理.解：设，为方程的两个实根，且，则该方程的判别式为：△＝又由韦达定理得∴当0﹤﹤1时，由②得－2﹤m﹤0，0﹤n﹤1即q p③另一方面，若在p的条件下取m＝－1，n＝0.75，则这一关于x的二次方程的判别式△＝＝＝1－3﹤0，从而方程无实根∴p q④于是由③④得知，p是q的必要但不充分的条件.点评：若令f（x）＝，则借助二次函数y＝的图像易得关于x的二次方程有两个小于1的正根的充要条件为在这里容易产生错误结论为：方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根的充要条件是想一想：错在哪里？你能举出反例吗？注意到这里的p由※式中部分条件构造而成，它关于m、n的限制当然更为宽松.五.高考真题1．设I为全集，S1，S2，S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面判断正确的是（）A．S1∩（S2∪S3）=φ B. S1（S2∩S3）C．S1∩S2∩S3=φ D. S1（S2∪S3）分析：对于比较复杂的集合运算的问题，一要想到利用有关结论化简，二要想到借助特取法或文氏图筛选.解法一（直接法）：注意到A∩B=（A∪B），A∪B=（A∩B）及其延伸，∴S1∩S2∩S3=（S1∪S2∪S3）=I=φ，故选C解法二（特取法）：令S1=｛1，2｝，S2=｛2，3｝，S3=｛1，3｝I=｛1，2，3｝则S1=｛3｝S2=｛1｝S3=｛2｝由此否定A、B；又令S1=S2=S3=｛a｝，则I=｛a｝，S2=S3=φ，由此否定D.故本题应选C2．已知向量集合，则M∩N等于（）A．｛（1，1）｝ B. ｛（1，1），（-2，-2）｝ C .｛（-2，-2）｝ D.φ分析：首先考虑化生为熟.由向量的坐标运算法则得，又令=(x,y)，则有，消去λ得4x－3y+2=0,∴M=｛(x,y)|4x-3y+2=0,x,y∈R｝.同理=｛(x,y)|5x-4y+2=0,x,y∈R｝∴M∩N==｛（－2，－2）｝，∴本题应选C点评：从认知集合切入，适时化生为熟，乃是解决集合问题的基本方略.3．设集合I=｛(x,y)|x∈R,y∈R｝,A=｛(x,y)|2x－y+m>0｝,B=｛(x,y)|x+y－n≤0｝,那么点P(2,3)∈A∩(B)的充要条件是（）A．m>-1,n<5B m<-1,n<5C m>-1,n>5 D m<-1,n>5分析：由题设知P(2,3) ∈A，且P（2，3）∈B（※）又B=｛(x,y)|x+y-n>0｝,∴由（※）得，故本题应选A4．设函数，区间M=[a,b](a<b)，集合N=｛y|y=f(x),x∈M｝,则使M=N成立的实数对（a,b）有（）A．0个 B 1个 C 2个 D 无数多个分析：从认知集合切入.这里的集合N为函数f(x),(x∈M)的值域.注意到f(x)的表达式中含有|x|，为求f(x)的值域，先将f(x)化为分段函数的形式，以便于化整为零，逐段分析.∴当x>0时，f(x)<0;当x=0时，f(x)=0；当x<0时，f(x)>0.由此可知，当x≠0时，f(x) (x∈M)的值域与定义域M不可能相等；又当x=0时，f(x)的定义域为｛0｝，故不存在a<b使区间[a,b]仅含元素0，因此，本题应选A.点评：解决分段函数问题的基本策略：分段考察，综合结论.在这里，认知集合N仍是解题成败的关键所在.5．函数，其中P，M为实数集R的两个非空子集，又规定f(P)=｛y|y=f(x),x∈P｝f(M)=｛y|y=f(x),x∈M｝,给出下列四个判断：①若P∩M=φ，则f(P)∩f(M)= φ；②若P∩M≠φ，则f(P)∩f(M)≠φ；③若P∪M=R，则f(P)∪f(M)= R；④若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠ R其中正确判断有（）A．1个B2个C3个D4个分析：首先认知f(P)，f(M)：f(P)为函数y=f(x)(x∈P)的值域；f(M)为函数y=f(x)(x∈M)的值域.进而考虑仿照第1题，从构造反例切入进行筛选.（1）取P=｛x|x≥0｝,M=｛x|x<0｝,则f(P)=｛x|x≥0｝, f(M)=｛x|x>0｝此时P∩M=φ，P∪M=R，但f(P)∩f(M) ≠φ，f(P) ∪f(M)≠ R由此判断①.③不正确（2）当P∩M≠φ时，则由函数f(x)的定义知P∩M=｛0｝（否则便由f(x)的解析式导出矛盾），所以0∈f(P)，0∈f(M)，从而f(P)∩f(M)≠φ.由此判断②正确.（3）当P∪M≠R时，若0P∪M，则由函数f(x)的定义知，0f(P) ∪f(M)若存在非零x0P∪M,(※),易知x0f(P)当x0f(M)时，有x0f(P)∪f(M)；当x0∈f(M)时，则易知－x0∈M.注意到这里－x0≠0，所以－x0P，从而－x0f(P).又∵x0M，∴－x0f(M)，∴－x0f(P)∪f(M)（※※）∴由①.②知当P∪M≠R时，一定有f(P) ∪f(M)≠ R.故判断④正确.点评：认知f(P).f(M)的本质与特殊性，是本题推理和筛选的基础与保障.6．设全集I=R，（1）解关于x的不等式|x－1|+a－1>0(a∈R);（2）设A为（1）中不等式的解集，集合，若（A）∩B恰有3个元素，求a的取值范围.分析：（1）原不等式|x－1|>1－a，运用公式求解须讨论1－a的符号.（2）从确定A与化简B切入，进而考虑由已知条件导出关于a的不等式（组），归结为不等式（组）的求解问题.解：（1）原不等式|x－1|>1－a当1－a<0，即a>1时，原不等式对任意x∈R成立；当1－a=0，即a=1时，原不等式|x－1|>0x≠1;当1－a>0，即a<1时，原不等式x－1<a－1或x－1>1－ax<a或x>2－a于是综合上述讨论可知，当a>1时，原不等式的解集为R；当a≤1时，原不等式的解集为（－∞，a）∪（2－a,+ ∞）（2）由（1）知，当a>1时，A=φ；当a≤1时, A=｛x|a≤x≤2－a｝注意到==∴∴（A）∩B恰有3个元素A恰含三个整数元素.（A有三个元素的必要条件）(对A=[a,2－a]的右端点的限制)(对A=[a,2－a]的左端点的限制)故得－1<a≤0,∴所求a的取值范围为.点评：不被集合B的表象所迷惑，坚定从化简与认知集合B切入.当问题归结为A恰含三个整数时，寻觅等价的不等式组，既要考虑A含有三个整数的必要条件（宏观的范围控制），又要考虑相关区间的左\右端点的限制条件（微观的左右“卡位”），两方结合导出已知条件的等价不等式组.集合与简易逻辑专题练习一.选择题（每题4分，共32分）1.已知全集U，M、N是U的非空子集，且M N，则必有（）A. M NB. M NC.M=ND.M=N2.满足｛1｝A｛1，2，3，4，5｝，且A中所有元素之和为奇数的集合A的个数是（）A.5B.6C.7D.83.已知p：A B；q：A B=B ，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.设p:x<－1或x>1; q:x<－2或x>1,则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.设，，，并且，，，则（）A.x+y∈YB.x+y∈XC.x+y∈MD.x+m∈Y6.已知集合，，，则M，N，P满足关系（）A.M=N PB.M N=PC.M N PD.N P M7.若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的（）A.逆否命题B.逆命题C.否命题D.原命题8.给出命题：p：3≥3；q：函数在R上是连续函数，则在下列三个复合命题：“p且q”；“p或q”；“非p”中，真命题的个数为（）A.0B.1C.2D.3二.填空题（每题5分，共20分）1.已知命题或，，则p是q的条件.2.已知命题且，，则p是q的条件.3.“p或q为真命题”是“p且q为真命题”的条件.4.已知真命题“”和“”，则“”是“”的条件.三.解答题（本大题共有4题，满分48分）1.（本题满分12分）已知非空集合，求函数的值域.2.（本题满分12分）已知集合，且A∩B≠，A∩C= 同时成立，求实数a和集合A.3.（本题满分12分）已知集合，，C=A∩B,当C中仅含两个元素时，求实数m的取值范围.4．(本题满分12分)已知集合，且(A∪B)∩C=，(A∪B)∪C=R，求a，b的值。

高考数学强基计划专题1集合与简易逻辑

2022年高考数学尖子生强基计划专题1集合与简易逻辑一、真题特点分析：1. 突出对思维能力的考查。

例1.【2020年武汉大学9】设A 是集合{}12345678910，，，，，，，，，的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A 的个数为（） A. 32B. 56C. 72D. 84答案：B 进行分类讨论例2.【2020 年清华大学】已知集合{},,1,2,3,,2020A B C ⊆，且A B C ⊆⊆，则有序集合组(),,A B C 的个数是（）．A ．20202B ．20203C ．20204D ．20205答案：C例3.【北大】已知()01,2,...,i x i n >=11.n i i x ==∏求证：))11.nni i x =≥∏【解析】不等式；柯西不等式或AM GM -平均不等式. 法一：AM GM -不等式.调和平均值n n ni n H G =≤=⎛⎫∑≤n i n ⎛⎫∑ni ≤∑ni ⎛⎫≤∑1nn i i n n +⎛⎫≤+=∑∑，即)1≤，即))1n ni ix ≤∏法二：由11.ni ix ==∏及要证的结论分析，由柯西不等式得))211i i x x ⎫≥⎪⎭，从而可设1i i y x =，且1111.n ni i i iy x ====∏∏从而本题也即证))11.n ni i y =≥∏从而))211nni ii x x ⎫+≥⎪⎭∏，即))21nnii ix y ≥∏，假设原式不成立，即))11,nni i x =<∏则))11.nni i y =<∏从而))21nnii ix y <∏，矛盾.得证.2.注重和解题技巧，考查学生应用知识解决问题的能力。

例4.【北大】10、已知实系数二次函数()f x 与()()(),g x f x g x =和()()30f x g x +=有两重根，()f x 有两相异实根，求证：()g x 没有实根. 【解析】设()2,f x ax bx c =++()2,g x dx ex f =++则由()()f x g x =，可得()()()()()()220,40.a d x b e x c f b e a d c f -+-+-=∆=----=由()()30f x g x +=可得()()()()()()223330,34330.a d x b e x c f b e a d c f +++++=∆=+-++=化简得223124,b e ac df +=+即()22434e df ac b -=-又240.b ac ->240.e df ∴-<()g x ∴没有实根.二、应试和准备策略1. 注意知识点的全面数学题目被猜中的可能性很小，一般知识点都是靠平时积累，因此，要求学生平时要把基础知识打扎实。

高中数学知识汇总第一章集合与简易逻辑

第一章集合与简易逻辑1.1 集合1）常用的数集有以下几类：2）集合的特征：确定34）集合的表示方法：。

5）集合的分类：有限集、无限集。

1.2 子集、全集、补集1）子集A B ⊂：集合A 包含于集合B 或集合B 包含集合A ，我们也说集合A 是集合B 的子集。

一般地：a :空集是任何集合的子集； b :任何集合是它本身的子集。

B A ≠⊂：集合A 真包含于集合B 。

一般地：空集是任何非空集合的真子集。

2）全集与补集S 是全集，A 是S 的一个子集，S C A 是补集（或余集），{,}S C A x x S x A =∈∉。

1.3 交集、并集交集：{,}A B x A x B ⋂=∈∈且。

并集：{,}A B x A x B ⋃=∈∈或。

交集并集1.4 含绝对值的不等式的解法1）{}(0)x a a x a a <=-<<<， 2）{,}(0)x a x a x a a >=<-><或。

1.5 一元二次不等式解法1）求根； 2）画图。

1.6 逻辑联结词1）与命题：2）或命题3）非命题：1.7 四种命题（1）四种命题的形式：1）原命题：若p 则q ； 2）逆命题：若q 则p ； 3）否命题：p ⌝则q ⌝； 4）逆否命题：若q ⌝则p ⌝；（2）四种命题的相互关系：（3）原命题与其他三个命题的真假关系： 1）原命题为真，它的逆命题不一定为真； 2）原命题为真，它的否命题不一定为真； 3）原命题为真，它的逆否命题一定为真；。

专题一第一讲集合与简易逻辑

[理](2011· 沈阳模拟)A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1 ＝0，a∈A}，则A∩B＝B时，a的值是 A．2 B．2或3 ( )
C．1或3
D．1或2
解析：验证a＝1时B＝∅满足条件；验证a＝2时B＝{1}
也满足条件．
答案：D
2． (2011· 全国新课标卷)已知集合M＝{0,1,2,3,4，}，N ＝{1,3,5，}，P＝M∩N，则P的子集共有 A．2个 B．4个 ( )
C．充分必要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
[解析] 显然a＝1时一定有N⊆M，反之则不一定成立，如a＝－1.故是充分不必要条件． [答案] A
6．(2011•合肥模拟)给定空间中的直线l及平面α.条件“直
线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α
垂直”的 A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既非充分也非必要条件 ( )
的集合共有6个．
[答案] A
[点评] 解决这类试题的关键是透彻理解新定义，抓住新
定义的本质，推出正确结论，有时还可以通过反例推翻
其中的结论．
1 [理]若x∈A，则工团 ∈A，就称A是伙伴关系集合，集 x
合M＝{－1,0，，2 ，1,2,3,4}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数为 ( )
[联知识串点成面] 1．四种命题有两组等价关系，即原命题与其逆否命题等价，否命题与逆命题等价． 2．含有逻辑联结词的命题的真假判断：命题 p∨q，只要 p，q 至少有一为真，即为真命题，换言之，见真则真；命题 p∧q，只要 p，q 至少有一为假，即为假命题，换言之，见假则假；綈 p 和 p 为一真一假两个互为对立的命题． 3．“或”命题和“且”命题的否定：命题 p∨q 的否定是綈 p ∧綈 q；命题 p∧q 的否定是綈 p∨綈 q.

高三数学第二轮专题复习系列(1)-- 集合与简易逻辑

高三数学第二轮专题复习系列(1)-- 集合与简易逻辑一、【重点知识结构】二、【高考要求】1. 理解集合、子集、交集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能掌握有关的述语和符号，能正确地表示一些较简单的集合. 2. 理解|ax+b |<c,|ax+b |>c(c>0)型不等式的概念，并掌握它们的解法.了解二次函数、一元二次不等式及一元二次方程三者之间的关系，掌握一元二次不等式及简单分式不等式的解法. 3. 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义和判定.4. 学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质；学会判断和推理，解决简易逻辑问题，培养逻辑思维能力. 三、【高考热点分析】集合与简易逻辑是高中数学的重要基础知识，是高考的必考内容.本章知识的高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用、判断命题的真假、四种命题的关系、充要条件的判定等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现. 四、【高考复习建议】概念多是本章内容的一大特点，一是要抓好基本概念的过关，一些重点知识（如子、交、并、补集及充要条件等）要深刻理解和掌握；二是各种数学思想和数学方法在本章题型中都有较好体现，特别是数形结合思想，要善于运用韦氏图、数轴、函数图象帮助分析和理解集合问题. 五、【例题】集合集合的基本概念集合与集合的关系集合的应用集合及元素集合分类及表示子集、包含与相等交集、并集、补集解含绝对值符号、一元二次、简单分式不等式简易逻辑命题逻辑联结词简单命题与复合命题四种命题及其关系充分必要条件【例1】设}13|{},13|{,,22++==+-==∈y y b b B x x a a A R y x ，求集合A 与B 之间的关系。

高考数学第二轮专题复习集合与简易逻辑

高考数学第二轮专题复习系列（１）——集合与简易逻辑一、大纲解读集合部分的考点主要是集合之间的关系和集合的交并补运算，重点掌握集合的表示法和用图示法表示集合之间的关系；简易逻辑部分的考点主要是逻辑联结词、四种命题和充要条件，重点掌握充要条件和含有逻辑联结词的复合命题.二、高考预测根据考试大纲的要求，结合高考的命题情况，我们可以预测集合与简易逻辑部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用、判断命题的真假、四种命题的关系、充要条件的判定等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现三、高考风向标集合是每年高考的必考内容，主要从两个方面考查:一方面，考查对集合概念的认识和理解，如对集合中涉及的特定字母和符号、元素与集合间的关系，集合与集合间的比较；另一方面，考查对集合的知识应用以及利用集合解决问题的能力．简易逻辑主要是考查命题与命题间的逻辑关系以及判断、推理能力，其中对于充要条件的考查方式非常灵活，其试题内容多结合其他章节的内容来命制．下面结合高考试题，对集合与简易逻辑这部分内容的考点加以透析：考点一对集合中有关概念的考查例１（２008广东卷文１）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（）Ａ．A ⊆B Ｂ．B ⊆C Ｃ．A ∩B =C Ｄ．B ∪C =A分析：本例主要考查子集的概念及集合的运算．解析：易知选Ｄ．点评：本题是典型的送分题，对于子集的概念，一定要从元素的角度进行理解．集合与集合间的关系，寻根溯源还是元素间的关系．考点二对集合性质及运算的考查例２．（２008 湖南卷文１）已知{}7,6,5,4,3,2=U ，{}7,5,4,3=M ，{}6,5,4,2=N ，则（）Ａ．{}4,6M N = Ｂ．M N U = Ｃ．U M N C u = )( Ｄ．N N M C u = )(分析：本题主要考查集合的并、交、补的运算以及集合间关系的应用．解析：由{}7,6,5,4,3,2=U ，{}7,5,4,3=M ，{}6,5,4,2=N ，故选Ｂ．点评：对集合的子、交、并、补等运算，常借助于文氏图来分析、理解．高中数学中一般考查数集和点集这两类集合，数集应多结合对应的数轴来理解，点集则多结合对应的几何图形或平面直角坐标系来理解．考点三对与不等式有关集合问题的考查例３．（２008辽宁卷理１）已知集合{}30,31x M x N x x x ⎧+⎫=<=-⎨⎬-⎩⎭，则集合{}1x x 为（）Ａ．M N Ｂ．M N Ｃ．()R M N Ｄ．()R M N 分析：本题主要考查集合的运算，同时考查解不等式的知识内容．可先对题目中所给的集合化简，即先解集合所对应的不等式，然后再考虑集合的运算．解析：依题意：{}{}31,3M x x N x x=-<<=-，∴{|1}M N x x ⋃=<， ∴()R M N ={}1.x x 故选Ｃ．点评：同不等式有关的集合问题是高考命题的热点之一，也是高考常见的命题形式，且多为含参数的不等式问题，需讨论参数的取值范围，主要考查分类讨论的思想，此外，解决集合运算问题还要注意数形结合思想的应用．考点四对与方程、函数有关的集合问题的考查例４．（２008陕西卷理２）已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=， {|2}B x x a a A ==∈，，则集合)(B A C U 中元素的个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４分析：本题集合A 表示方程的解所组成的集合，集合B 表示在集合A 条件下函数的值域，故应先把集合A 、B 求出来，而后再考虑)(B A C U ．解析：因为集合{}{}1,2,2,4A B ==，所以{}1,2,4AB =，所以{}()3,5.UC A B =故选Ｂ．点评：在解决同方程、函数有关的集合问题时，一定要搞清题目中所给的集合是方程的根，或是函数的定义域、值域所组成的集合，也即要看清集合的代表元素，从而恰当简化集合，正确进行集合运算．考点五对充分条件与必要条件的考查例５．（２008福建卷理２）设集合{|0}1x A x x =<-,{|03}B x x =<<，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件分析：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，需首先对命题进行化简，然后再进行判断．解析：由01x x <-得01x <<,可知“m A ∈”是“m B ∈”的充分而不必要条件，故选Ａ．点评：充分条件和必要条件，几乎是每年高考必考内容，且此考点命题范围广泛，形式灵活多样，因此在解答时要特别细心．此考点的解题关键是要分清条件和结论，然后判断是由条件推结论，还是由结论推条件，从而得出条件和结论的关系．从集合的包含关系来判断条件与结论间的逻辑关系常用有如下结论：设p 包含的对象组成集合A ，q 包含的对象组成集合B ，若A 错误!B ，则p 是q 的充分不必要条件；若B 错误!A ，则p 是q 的必要不充分条件；若A B =，则p 是q 的充要条件；若A 错误!B 且B 错误!A ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.考点六对新定义问题的考查例6．（２008江西卷理２）定义集合运算：{},,.A B z z xy x A y B *==∈∈设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B *的所有元素之和为（）Ａ．0 Ｂ．２ C ．３Ｄ．6分析：本题为新定义问题，可根据题中所定义的*A B 的定义，求出集合*A B ，而后再进一步求解．解析：由*A B 的定义可得：*{0,2,4}A B =，故选Ｄ．点评：近年来，新定义问题也是高考命题的一大亮点，此类问题一般难度不大，需严格根据题中的新定义求解即可，切忌同脑海中已有的概念或定义相混淆．四扫雷先锋易错点一：集合的概念【例１】已知集合M=，，，，}13|{}3|{Z n n x x N Z n n x x ∈+==∈=}13|{Z n n x x P ∈-==，，且P c N b M a ∈∈∈，，，设c b a d +-=，则（）A ．M d ∈B ．N d ∈C ．P d ∈D ．P M d ∈【分析】三个集合都是整数集的子集，集合M 中的整数都能被３整除，集合N 中的整数被３整除余数是１，集合P 中的整数被３整除余数是２．三个集合中的整数n ，在进行c b a d +-=的运算时，n 只代表整数的意思．考生可能忽视了集合元素的无序性，认为三个集合中的n 必须是同一个值．【解析】 ()331313()2311d n l s n l s n l s N =--+-=-+-=-+-+∈，选B ．【点评】集合{}3,M x x n n Z ==∈中的n 可以用任何一个字母表示，只要这个字母是整数就可，即{}{}{}(){}3,3,3,31,x x n n Z x x k k Z x x t t Z x x n n Z =∈==∈===∈==+∈等，这就是集合中的元素无序性的体现，这和数列中的项有确切的位置是不同的．易错点二集合的运算【例２】已知向量()(){}|1,23,4,M a a R λλ==+∈，()(){}|2,24,5,N a a R λλ==--+∈，则=N M （）Ａ．(){}1,1 Ｂ．()(){}2,2,1,1-- Ｃ．(){}2,2-- Ｄ．Φ【分析】集合()(){},,4,32,1|R a a M ∈+==λλ ()(){},,5,42,2|R a a N ∈+--==λλ均是坐标形式的向量的集合，两个集合中的λ并非同一个值．两个集合的代表元素均是有序实数对．【解析】令1212342245λλ+=--+（，）（，）（，）（，）得方程组 12121324124252λλλλ+=-+⎧⎨+=-+⎩…………（）…………（）解得1210λλ=-⎧⎨=⎩，故=N M (){}2,2--．选Ｃ．【点评】本题的两个集合实际上是以向量的形式给出的两条直线上的点的集合，如集合M 中，如果我们设(),a x y =，则有1324x y λλ=+⎧⎨=+⎩（这实际上是直线的参数方程），消掉λ得4320x y -+=，我们所求的是这两条直线的交点坐标．本题易出错的地方是将两个集合中的λ误认为是同一个值，而那样的λ是不存在的，从而选Ｄ．易错点三：逻辑连接词１．命题“p 且q ”为真；２．命题“p 或非q ”为假；３．命题“p 或q ”为假；４．命题“非p 且非q ”为假．【分析】本题既涉及函数的知识又涉及命题真假的判断．可能出错的地方，一是对函数的性质认识不足，导致对命题,p q 的真假判断出错；二是对含有逻辑连接词的命题真假判断的法则掌握不准确，导致解答失误．【解析】由30x ->，得3x <，所以命题p 为真，所以命题非p 为假．又由0k <，易知函数()k h x x=在(0,)+∞上是增函数，命题q 也为假，所以命题非q 为真．所以命题“p 且q ”为假，命题“p 或非q ”为真，命题“p 或q ”为真，命题“非p 且非q ”为假．故答案为１２３．【点评】解答本题的关键是首先要根据题设条件判断命题p 与命题q 的真假，由此作出命题非p 与非q 的真假，命题p 的真假是通过求函数定义域来判断的，而命题q 的真假是根据反比例函数的增减性来判断的．注意“p 或q 为真的充要条件是p ，q 至少有一真”，“p 且q 为真的充要条件是,p q 同时为真”，“p 和p ⌝一真一假”这些含有逻辑连接词的命题真假的判断法则．易错点五：充要条件【例５】 “1a =”是“函数()||f x x a =-在区间[)1,+∞上为增函数”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件【分析】一是对函数()||f x x a =-认识不清，这个函数实际上是分段函数()()()x a x a f x x a x a -+≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，它在(],a -∞上单调递减，在(),a +∞上单调递增；二是对充要条件缺乏明确的判断方法．【解析】函数()||f x x a =-的图象是由()||=f x x 的图象左右平移而得到的，函数()||=f x x 在[)0,+∞上单调递增，只要a 1≤函数()||f x x a =-就在区间[)1,+∞ 上单调递增．由此知“a 1=时函数()||f x x a =-在区间[１, +∞）上为增函数”是真命题，而“函数()||f x x a =-在区间[)1,+∞ 上为增函数时1a =”是假命题．故“1a =”是“函数()||f x x a =-在区间[)1,+∞ 上为增函数” 充分不必要条件．选Ａ．【点评】设原命题为“若p 则q ”．则四种命题的真假和充要条件的关系是：１若原命题为真，则p 是q 的充分条件；２若逆命题为真，则p 是q 的必要条件；３若原命题和逆命题都为真，则p 是q 的充要条件；４若原命题为真而逆命题为假，则p 是q 的充分而不必要条件；５若原命题为假而逆命题为真，则p 是q 的必要而不充分条件；⑥若原命题和逆命题都为假，则p 是q 的既不充分也不必要条件．易错点六：量词【例6】命题“对任意的x R ∈，3210x x -+≤”的否定是Ａ．不存在x R ∈，3210x x -+≤ Ｂ．存在x R ∈，3210x x -+≤ Ｃ．存在x R ∈，3210x x -+> Ｄ．对任意的x R ∈，3210x x -+> 【分析】本题是对全称命题的否定，因此否定时既要对全称量词“任意”否定，又为对判断词“≤”进行否定，全称量词“任意”的否定为存在量词“存在”等，判断词“≤”的否定为“＞”，可能的错误是“顾此失彼”，忽略了细节．【解析】一个命题的否定其实就是推翻这个命题，要推翻“对任意的x R ∈，3210x x -+≤”，我们只要有一个x ，使3210x x -+>就足够了．即存在x R ∈，3210-+>．选Ｃ．x x【点评】许多同学对全称命题的否定是一个特称命题心存疑惑，实际上我们要肯定一个结论，必须对这个结论所包括的所有对象都适合，我们要否定一个结论只要有一个反例就足够了．同时要注意命题的否定是我们推翻这个命题，故我们之否定它的结论，而否命题是命题之间的一种特定的关系，是对一个命题从形式上做的变化，故对否命题我们必须按照其定义，是既否定它的条件也否定它的结论．注意体会下表五规律总结１．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么，即元素分析法的掌握．２．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；３．抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；４．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化．５．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；6．含参数的问题，要有分类讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题；7．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键．8．逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比；9．通常命题“p或q”的否定为“p⌝且q⌝”、“p且q”的否定为“p⌝或q⌝”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等；１0．有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若p，则q”的形式；１１．判断充要关系的关键是分清条件和结论；１２．判断“p 是q 的什么条件”的本质是判断命题“若p ，则q ”及“若q ，则p ”的真假；１３．判断充要条件关系的四种方法：１定义法：若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p q ⇔，则p 是q 的充要条件。

集合与简易逻辑(高考知识点复习总结)

专题一：集合与常用逻辑用语一、知识梳理：1、集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。

集合中的每一个对象称为该集合的元素。

集合的常用表示法：______ 、 ____ 。

集合元素的特征： _____ 、 ____ 、 _______。

2、子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ⊆B ，或B ⊃A ，读作“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ”。

即：若A a ∈则B a ∈，那么称集合A 称为集合B 的子集注：空集是任何集合的子集。

3、真子集：如果A ⊆B ，并且B A ≠，那么集合A 成为集合B 的真子集，记为A ⊆B 或B ⊇A ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”，如：}{}{b a a ,⊆。

集合的子集个数：设含有n 个元素的集合A ，则A 的子集个数为________；A的真子集个数为；A 的非空子集个数为；A 的非空真子集个数为。

4、补集：设A ⊆S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C s ，读作“A 在S 中的补集”，即A C s =}{A x S x x ∉∈且,|。

5、全集：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。

通常全集记作U 。

6、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作B A ⋂（读作“A 交B ”），即：B A ⋂=}{B x A x x ∈∈且,|。

B A ⋂=A B ⋂，B A ⋂B B A A ⊆⋂⊆，。

7、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作B A ⋃（读作“A 并B ”），即：B A ⋂=}{B x A x x ∈∈或,|。

B A ⋃=A B ⋃，⊆A B A ⋃，⊆B B A ⋃。

8、元素与集合的关系：有、两种，集合与集合间的关系，用。

一、集合与简易逻辑训练题及参考答案

一、集合与简易逻辑训练题一．选择题1 .集合{},,a b c 的子集共有（） A ．5个 B ．6个 C ．7个Ｄ．8个2. 下列五个写法：①{}{}00,1,2;∈②{}0;∅⊆③{}{}0,1,21,2,0;⊆ ④0;∈∅⑤0∅.=∅其中错误．．写法的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43. 设集合S ＝｛x ｜5<x ｝，T ＝｛x ｜2142<+x x ｝.则T S ⋂＝（） A. ｛x ｜－7＜x ＜－5 ｝ B. ｛x ｜ 3＜x ＜5 ｝C. ｛x ｜－5 ＜x ＜3｝D. ｛x ｜－7＜x ＜5 ｝4. 定义Ａ－Ｂ＝{},,x x A x B ∈∉且若Ａ＝{}10,8,6,4,2,1，Ｂ＝{}1,4,8，则Ａ－Ｂ＝（）Ａ．{}4,8 Ｂ．{}1,2,6,10 Ｃ．{}1 Ｄ．{}2,6,10 5．“6πα=”是“1cos 22α=”的（） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件w.w.w.k.s.5.u.c.o.mC ．充分必要条件 w.w.w.k.s.5.u.c.o.mD ．既不充分也不必要条件6. 集合{}{}22,1,1,21,2,34,A a a B a a a =+-=--+{}1,A B ⋂=-则a 的值是（）A ．1-B ．0或1C ．0D ．27. 下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是（） A.p:a c +＞b+d , q:a ＞b 且c ＞dB.p:a ＞1,b>1， q:()(10)x f x a b a =-≠>的图象不过第二象限C.p: x=1, q:2x x =D.p:a ＞1, q: ()log (10)a f x x a =≠>在(0,)+∞上为增函数8. 已知双曲线22122x y -=的准线过椭圆22214x y b+=的焦点，则直线2y kx =+与椭圆至多有一个交点的充要条件是（）A. 11,22k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦B. 11,,22k ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C. k ⎡∈⎢⎣⎦D. 2,,k ⎛⎡⎫∈-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭b 二．填空题9. 若集合{}Z x x x A ∈≥=,1||，集合{}21<<-=x x B ，则=B A .10.设全集{}1lg |*<∈==x N x B A U ，若{}4,3,2,1,0,12|=+==n n m m B C A U ，则集合B=__________.11. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 . 12. 已知集合{}2log 2,(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c = .13. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的的条件（充要条件，充分不必要，必要不充分，既不充分也不必要）.14. 设集合,A B 满足：{}{}1,2,3,4,5A B ==， {}|M x x A =⊆， {}|N x x B =⊆，则MN = .三．解答题15.已知，}8,6,4{)(},3{==B A C B A U ，}5,1{)(=B C A U ,|},3,10|{)()(*N x x x x B C A C U U ∈≠<= 求)(B A C U ,,A B .16. 若},01|{},023|{22=-+-==+-=a ax x x B x x x A }02|{2=+-=bx x x C 同时满足A B ⊆，C C A = ，求实数b a ,的所有值.17.设集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=<-=1212|,2|||x x x B a x x A ，若B A ⊆，求实数a 取值范围．18. 已知集合}023|{2=+-=x x x A ，}0)5()1(2|{22=-+++=a x a x x B ，（1）若}2{=B A ，求实数a 的值；（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围19.记函数f(x)=132++-x x 的定义域为A, g(x )=lg[(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B. (1) 求A ；(2) 若B ⊆A, 求实数a 的取值范围.20. 已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则11aA a+∈-。

高三二轮复习-------集合与简易逻辑专题

第１讲 │ 要点热点探究
命题“ 是奇函数，是奇函数” 命题 “若 f(x)是奇函数，则 f(－ x)是奇函数” 的否是奇函数－是奇函数命题是( ) 命题是 A．若 f(x)是偶函数，则 f(－ x)是偶函数是偶函数，．是偶函数－是偶函数 B．若 f(x)不是奇函数，则 f(－x)不是奇函数不是奇函数，．不是奇函数－不是奇函数 C．若 f(－x)是奇函数，则 f(x)是奇函数是奇函数，．－是奇函数是奇函数 D．若 f(－x)不是奇函数，则 f(x)不是奇函数不是奇函数，．－不是奇函数不是奇函数
点评】【点评】本题由学生比较容易出错的集合本质属性的认识入手，考查两个数集之间关系的判断，识入手，考查两个数集之间关系的判断，弄清每个集合的代表元素是求解的关键，表元素是求解的关键，常常要区分清点集和数集的代表元定义域和值域的代表元素，素，定义域和值域的代表元素，本题借助集合工具分别表示函数的定义域和值域的数集，这是历年高考题命制的热点，函数的定义域和值域的数集，这是历年高考题命制的热点，体现高考试题源于教材又高于教材的命题原则，体现高考试题源于教材又高于教材的命题原则，应引起我们高度的重视．高度的重视．
第１讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ► 探究点四与集合有关的创新题定义集合运算：A*B＝{x|x∈A且x∉B}，若A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,5} ，则A*B 的子集个数为( ) A．4 B．3 C．2 D．1 A 【解析】依题意，A*B＝{1,7}，所以A*B的子集个数为4，选择A
2．[2010·天津卷] 设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}， B＝{x| |x－b|>2，x∈R}．若A⊆B，则实数a，b必满足 ( ) A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3 C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥3

高考数学分类详解《集合与简易逻辑》专题1

高考数学分类详解《集合与简易逻辑》专题12020.031,已知集合A ＝{x|x<a}，B ＝{x|1<x<2}，且=R ，则实数a的取值范围是 A a B a<1 C a2 D a>22,设()2:400p b ac a ->≠，()2:00q x ax bx c a ++=≠关于的方程有实根，则p 是q 的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3,设集合{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，，则A B =U （）Ａ．{}|2x x >- Ｂ．{}1x x >-|Ｃ．{}|21x x -<<- Ｄ．{}|12x x -<<4,若集合{}012M =，，，{}()210210N x y x y x y x y M =-+--∈，≥且≤，，，则N 中元素的个数为（）Ａ．9 Ｂ．6 Ｃ．4 Ｄ．25,设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T =IA ．∅ B ．1{|}2x x <- C ．5{|}3x x > D ．15{|}23x x -<<6,设全集U ＝{1，3，5，6，8}，A ＝{1，6}，B ＝{5，6，8}，则(C U A)∩B ＝(A)｛6｝ (B){5，8} (c){6，8} (D){3，5，6，8}7,已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（）Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x > Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >8,若数列{}n a 满足212n n a p a +=（p 为正常数，n *∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，则（） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件9,命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是（）A ．若12≥x ，则1≥x 或1-≤x B.若11<<-x ，则12<x C.若1>x 或1-<x ，则12>x D.若1≥x 或1-≤x ，则12≥x10,已知集合{|10}M x x =+>,1{|0}1N x x =>-,则M N I =A ．{x|-1≤x ＜1}B ．{x |x>1}C ．{x|-1＜x ＜1}D ．{x|x ≥-1}11,已知集合11{11}|242x M N x x +⎧⎫=-=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，，，则M N =I （） A ．{11}-， B ．{0} C ．{1}- D ．{10}-，12,设集合{12345}U =，，，，，{13}A =，，{234}B =，，，则()()U UA B =I 痧（）A ．{1}B ．{2}C ．{24}，D ．{1234}，，，13,设集合{4,5,6,8}M =，集合{3,5,7,8}N =，那么M N =U （）（A ）{3,4,5,6,7,8} （B ）{5,8} （C ）{3,5,7,8} （D ）{4,5,6,8}M =14,已知全集U=|1,2,3,4,5|,且A ＝{2,3,4},B={1,2},则⋂A （C U B ）等于 A.{2} B.{5} C.{3,4} D.{2,3,4,5}15,已知全集{}{}632,6,5,4,3,2,1，，集合==A U ，则集合C uA 等于（A ）{1，4} （B ）{4，5} （C ）{1，4，5} （D ）{2，3，6}16,设集合{()||2|},A x y y x =-1，≥2{()|||}B x y y x b =-+，≤，A B ≠∅I ．（1）b 的取值范围是；（2）若()x y A B ∈I ，，且2x y +的最大值为9，则b 的值是．17,若集合{13}A =，，{234}B =，，，则A B =I （） A ．{1} B ．{2} C ．{3} D ．{1234}，，，18,已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B =∅I ，则实数a 的取值范围是．19,设P和Q是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈∉，且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，那么P Q -等于（）Ａ．{}|01x x << Ｂ．{}|01x x <≤ Ｃ．{}|12x x <≤ Ｄ．{}|23x x <≤20,“2a =”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件21,命题“对任意的x R ∈，3210x x -+≤”的否定是（A ）不存在x R ∈，3210x x -+≤ （B ）存在x R ∈，3210x x -+≤ （C ）存在x R ∈，3210x x -+> （D ）对任意的x R ∈，3210x x -+>22,已知p 是r 的充分条件而不是必要条件,q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题： ①r 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件； ③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④┐p 是┑s 的必要条件而不是充分条件； ⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件. 则正确命题的序号是A.①④⑤B.①②④C.②③⑤D.②④⑤ 23,若}}{{032,122=--===x x x B x x A ，则B A ⋂＝（A ）{}3 （B ）{}1 （C ）Φ (D) {}1-24,设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}ba b a b a +=，则b a -=A ．1B ．1-C ．2D ．2- 25,若}{2228x A x -=∈Z ≤<，{2R |log |1}B x x =∈>，则)(C R B A ⋂的元素个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）326,设M N ，是两个集合，则“M N ≠∅U ”是“M N ≠∅I ”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件27,“|x|<2”是“x 2-x-6<0”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件28,设集合(){}(){},||2|,0,,|,A x y y x x B x y y x b A B =≥-≥=≤-+⋂≠∅，（1）b 的取值范围是 .（2）若(),,x y A B ∈⋂且2x y +的最大值为9，则b 的值是 .29,“1x >”是“2x x >”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件30,若集合{}01M =，，{}012345I =，，，，，，则I M ð为（）Ａ．{}01，Ｂ．{}2345，，，Ｃ．{}02345，，，，Ｄ．{}12345，，，，31,“-1＜x ＜1”是“x 2＜1”的（A ）充分必要条件（B ）充分但不必要条件（C ）必要但不充分条件（D ）既不充分也不必要条件32,解析：()f x 在()-∞+∞，内单调递增，则()f x '在()-∞+∞，上恒成立。

第一章、集合与简易逻辑(教师版) (1)

专题：集合与简易逻辑一、基本概念和公式（一）集合与集合的运算1、集合的概念（1）集合的性质：确定性、无序性、互异性（2）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法（VENN 图）（3）空集的性质：空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集（4）集合的分类：无限集、有限集（5）特殊集合的表示：C 、R 、Z 、Q 、N 、N+或N*2、集合与元素的关系：属于、不属于3、集合与集合的关系：包含于、包含、真包含、不包含、等于4、集合的运算关系：交集、并集、补集5、有限子集的子集和真子集的个数：若有限子集A 中有n 个元素，则A 的子集的个数有2n 个；真子集的个数有21n -个；非空真子集的个数有22n -个6、集合运算中常用的结论：();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==（二）常用的逻辑用语1、命题（1）含有量词的命题：含有全称量词的命题（任意）；存在性命题（存在）（2）逻辑连接词：且、或、非2、四种命题：原命题、逆命题、否命题、逆否命题互为逆否命题（互为等价）：原命题与逆否命题、否命题与逆命题3、充要条件：充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件4命题的否定命题命题的否定)(,x p A x ∈∀ )(,x p A x ⌝∈∃)(,x p A x ∈∃ )(,x p A x ⌝∈∀“若p ，则q ”的否定“若p ，则┓q ” 正面词语都是任意的所有的任意两个至多有一个至少有一个至多有n 个否定词语不都是某个某些某两个至少有两个一个也没有至少有n+1个二、集合与简易逻辑典型例题1、区分集合中元素的形式：例：集合{}342+-==x x y x M ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+==3,6,cos 3sin ππx x x y y NM N = ;N M C u ⋃)(______________;（答：}1{）2、条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况例：（1）若非空集合}5312/{-≤≤+=a x a x A ，}0)22)(3/({≤--=x x x B ，则使得B A A ⋂⊆成立的a 的集合是____________________（答：96≤≤a ）（2）集合M=},04/{2<++a x x x N =},02/{2>--x x x 若N M ⊆，则实数a 的取值范围为___________（条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况）（答：3≥a ）3、子集问题例：满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有______个。

高中数学专题知识框架及应用结构图(彩色版)-01集合与简易逻辑基本知识总结

一、集合概念概念指定的某些对象的全体称为集合元素与集合元素与集合的关系有且仅有两种：属于（∈）或不属于（∉）.元素特性确定性、互异性、无序性常用数集实数集R；有理数集Q；整数集Z；自然数集N；正整数集N*(或N＋)表示方法列举法、描述法基本关系子集A⊆B①空集是任何集合的子集.②空集是任何非空集合的真子集.③若A⊆B，B⊆C，则A⊆C.④A＝B⇔A⊆B且B⊆A.⑤有限集合的子集个数：n个元素的集合有2n个子集；其中有2n－1个真子集；有2n－1个非空子集；有2n－2个非空真子集.真子集A⊂B相等集合A＝B基本运算交集A∩B A∩B＝{x|x∈A且x∈B}A∩B⊆AA∩B⊆BA∩Ø＝Ø并集A∪B A∪B＝{x|x∈A或x∈B}B⊆A∪BA⊆A∪BA∪Ø＝A补集∁U A∁U A＝{x|x∈U且x∉A}A∪(∁U A)＝UA∩(∁U A)＝Ø∁U(∁U A)＝A二、简易逻辑命题概念能够判断真假的语句四种命题原命题：若p，则q逆命题：若q，则p否命题：若¬p，则¬q逆否命题：若¬q，则¬p充要条件充分条件p⇒q，p是q的充分条件若命题p对应集合A，命题q对应集合B，则：p⇒q等价于A⊆B；p⇒q且q⇒p等价于A＝B.必要条件p⇒q，q是p的必要条件充要条件p⇒q且q⇒p，p、q互为充要条件逻辑联结词且命题“p∧q”：一假则假，同真为真.类比集合的“交”或命题“p∨q”：一真则真，同假为假.类比集合的“并”非命题“¬p”：真假相反类比集合的“补”量词全称量词∀，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题.存在量词∃，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题.。

高考数学专题一+集合与简易逻辑

专题一集合与简易逻辑【考点聚焦】考点1：集合中元素的基本特征，集合的表示法，元素与集合的关系，集合与集合之间的包含关系，集合的交、并、补运算。

考点2：绝对值不等式、一元二次不等式及分工不等式的解法。

考点3：简单命题与复合命题的相关概念，真假命题的判断，四种命题及其关系，反证法的证题思想。

考点4：充分必要条件的有关概念及充分条件与必要条件的判断。

【自我检测】1、_____________________________，称集合A 是集合B 的子集；2、_____________________________，叫做集合U 中子集A 的补集；3、_____________________________，叫做A 与B 的交集；4、_____________________________，叫做A 与B 的并集；5、如果已知_____________，那么p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；如果_____________，那么p 是q 的充分且必要条件；【重点∙难点∙热点】问题1：集合的相关概念1 解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x |x ∈P },要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题2 注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ,则有A =∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论例1：设A ={(x ,y )|y 2－x －1=0},B ={(x ,y )|4x 2+2x －2y +5=0},C ={(x ,y )|y =kx +b },是否存在k 、b ∈N ,使得(A ∪B )∩C =∅，证明此结论思路分析：由集合A 与集合B 中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b 、k 的范围，又因b 、k ∈N ,进而可得b 、k 的值解 ∵(A ∪B )∩C =∅，∴A ∩C =∅且B ∩C =∅∵⎩⎨⎧+=+=bkx y x y 12 ∴k 2x 2+(2bk －1)x +b 2－1=0 ∵A ∩C =∅ ∴Δ1=(2bk －1)2－4k 2(b 2－1)<0 ∴4k 2－4bk +1<0,此不等式有解，其充要条件是16b 2－16>0, 即 b 2>1①∵⎩⎨⎧+==+-+b kx y y x x 052242∴4x 2+(2－2k )x +(5+2b )=0 ∵B ∩C =∅,∴Δ2=(1－k )2－4(5－2b )<0 ∴k 2－2k +8b －19<0, 从而8b <20, 即 b <2 5 ②由①②及b ∈N ,得b =2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得⎪⎩⎪⎨⎧<--<+-032,018422k k k k ∴k =1,故存在自然数k =1,b =2,使得(A ∪B )∩C =∅点评本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题解决此题的关健是将条件(A ∪B )∩C =∅转化为A ∩C =∅且B ∩C =∅，这样难度就降低了演变1：已知集合A ={(x ,y )|x 2+mx －y +2=0},B ={(x ,y )|x －y +1=0,且0≤x ≤2},如果A ∩B ≠∅,求实数m 的取值范围点拨与提示：本题考查学生对集合及其符号的分析转化能力，A ∩B ≠∅即是两集合中方程联立的方程组在[0,2]上有解。

专题1——集合与简易逻辑专题

2021年高考数学经典例题 专题一：集合与简易逻辑【含解析】

专题一 集合与简易逻辑

集合与简易逻辑知识点总结- 高三数学一轮复习

第一章 集合与简易逻辑

专题一-集合-与简易逻辑

01-第一章 集合与简易逻辑

专题一 集合与简易逻辑

高考数学强基计划专题1集合与简易逻辑

高中数学知识汇总 第一章 集合与简易逻辑

专题一 第一讲 集合与简易逻辑

高三数学第二轮专题复习系列(1)-- 集合与简易逻辑

高考数学第二轮专题复习 集合与简易逻辑

集合与简易逻辑(高考知识点复习总结)

一、集合与简易逻辑训练题及参考答案

高三二轮复习-------集合与简易逻辑专题

高考数学分类详解《集合与简易逻辑》专题1

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高考数学专题一+集合与简易逻辑

2021年高考数学经典例题专题一：集合与简易逻辑【含解析】

专题一集合与简易逻辑

第一章集合与简易逻辑

01-第一章集合与简易逻辑

专题一集合与简易逻辑

高中数学知识汇总第一章集合与简易逻辑

专题一第一讲集合与简易逻辑

高考数学第二轮专题复习集合与简易逻辑