高斯公式 通量与散度

1
由对称性
2 ( (Pxx
yQyz)Rzd)vdv
2(
xdv
ydv
zdv )
先
二
2
(zPdcvos
Q cos Rcos0)dS
{( x, y, z) x2 y2
0
z 2 ,0
z
h}
h
后 2 zdz dxdy
一
0 Dz
法
2 h z z2dz 2 0
h 0
z
3dz
uvdxdydz
u
v n
dS
(u x
v x
u y
v y
u z
v z
)dxdydz,
其中Σ是闭区域 的整个边界曲面， v 为函数 n
v( x, y, z)沿Σ的外法线方向的方向导数.
高斯(Gauss)公式 通量与散度
证 v v cos v cos v cos ,
n x
y
z
u v dS n
标
2 2 (2 3 )d 2 . 0
31
高斯(Gauss)公式 通量与散度
▲ 求 I (8 y 1)xdydz 2(1 y2 )dzdx 4 yzdxdy
1
0
0
2 (1 32)dzdx
1
Dzx
16 dzdx
Dzx
16 ( 2)2
补1 : y 3,取右侧
Dzx : x2 z2 ( 2)2
2
h4
z n
1 h
n
O
x
Dxy
y
19
高斯(Gauss)公式 通量与散度
1 : z h, ( x2 y2 h2 )
( x2 cos y2 cos z2 cos )dS z2dS
1
1
h2dxdy h4 cos 0,cos 0,cos 1
Dxy
故所求积分为
dS 1 0 0dxdy dxdy
▲
(P x
Q y
R)dv
z
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
证明思路 分别证明以下三式,从而完成定理证明.
P x
dv
P(
x,
y,
z)dydz
Q y
dv
Q(
x,
y,
z)dzdx
R z
dv
R(
x,
y,
z)dxdy
只证其中第三式,其它两式可完全类似地证明.
4
高斯(Gauss)公式 通量与散度
▲
( x2 cos y2 cos z2 cos )dS
z n
1h4 h4
2
1 1
1 h
n
1h4 .
2
1 h4
2 1
x O Dxy y
20
高斯(Gauss)公式 通量与散度
例 5 设函数u( x, y, z)和v( x, y, z)在闭区域上具
有一阶及二阶连续偏导数，证明
2
Dxy
R( x, y, z)dxdy 0
3
7
高斯(Gauss)公式 通量与散度
▲
R
dv z
{R[ x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy
Dxy
于是 R( x, y, z)dxdy
{R[ x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy
A dS dS dydz i dzdx j dxdy k
为向量场
A(
x,
y, z)穿过曲面Σ这一侧的
通量.
通量的计算公式
Pdydz Qdzdx Rdxdy
高斯(Gauss)公式 通量与散度
2.散度
A dS
设有向量场 A( x, y, z), P( x, y, z)为场中任一点,
u( v x
cos
v cos
y
v z
cos
)dS
[(u
v x
)
cos
(u v )cos y
(u v )cos
z
]dS
利用高斯公式，即得
u
v n
dS
[x
(u
v ) x
y
(u
v y
)
z
(u
v z
)]dxdydz,
高斯(Gauss)公式 通量与散度
uvdxdydz
(
u x
v x
u y
v y
u z
v z
17
高斯(Gauss)公式 通量与散度
例4 计算曲面积分
(x2 cos y2 cos z2 cos )dS, 其中为
锥面x2 y2 z2介于平面z 0及z h(h 0)之间
部分的下侧. cos 、cos 、cos 是在( x, y, z)处
的法向量的方向余弦.
解 空间曲面Σ在xOy面上的
本节的高斯公式表达了空间闭曲面 上的曲面积分与曲面所围空间区域上的 三重积分的关系.
2
高斯(Gauss)公式 通量与散度
一高、斯公高式也斯称为公奥高式公式,或奥斯特洛格拉斯 基公式.(俄)1801 –1861
设空间闭区域由分片光滑的闭曲面围成, 函数P( x, y, z)、Q( x, y, z)、R( x, y, z)在上
V 0 V V 0 V
高斯(Gauss)公式 通量与散度
散度在直角坐标系下的形式
(
P x
Q y
R z
)dv
vndS
1 V
(P x
Q y
R)dv z
1 V
vndS
积分中值定理,
(P
x
Q y
R) z
( , ,
)
1 V
vndS
两边取极限,
P Q R lim 1
x y z M V
vndS
divA
具有 一阶连续偏导数, 则有公式 高斯公式
Ω
(P x
Q y
R)dv z
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
或 (P cos Q cos Rcos )dS 这里是的整个边界曲面的外侧,cos ,cos ,
cos是上点( x, y, z)处的法向量的方向余弦 . 3
高斯(Gauss)公式 通量与散度
点(x,y,z)在曲面上, 可先用曲面方程将被积
函数化简，然后再用高斯公式.
I
1 a
xdydz
ydzdx
zdxdy
z
n
3 dxdydz 3 4 a3 4a2
O
a
a3
x
y
16
高斯(Gauss)公式 通量与散度
对有的非闭曲面的曲面积分,有时可作 辅助面, 化为闭曲面的曲面积分, 然后利用 高斯公式.(将辅助面上的积分减去).
投影域为 Dxy ,曲面 不是
封闭曲面, 为利用高斯公式
z n
1 h
n
补 1 : z h, ( x2 y2 h2 )
1取上侧, 1 构成封闭曲面,
x O Dxy y
1围成空间区域 .在上使用高斯公式.
18
高斯(Gauss)公式 通量与散度
( x2 cos y2 cos z2 cos )dS
(P x
Q y
R)dv z
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
证 设空间区域Ω 在xoy面上的投影域为Dxy
: z1( x, y) z z2( x, y), ( x, y) Dxy 假设域的边界曲面与任一平行坐标轴
柱面
z
n
的直即线边至界多面相由交于1,两 2点,. 3
三部分组成:
n
1 : z z1( x, y) (取下侧) 2 : z z2( x, y) (取上侧)
在P点的某邻域内作一包含P点在其内的闭曲面
, 它所围成的小区域及其体积记为 V , 以
表示 从 内穿出的通量, 若当 V 0, 即V
缩成P点时, 极限
lim
lim
A dS
V 0 V V 0 V
记存为 在,d则iv该A极,d即i限v A值 就li称m 为向量 场limA在 AP点 d处S 的散度.
高斯 Gauss,K.F. (1777–1855) 德国数学家、物理学家、天文学家
第六节 高斯 (Gauss)公式 通量与散度
flux divergence
高斯公式
物理意义---通量与散度
小结 思考题 作业
第十章 曲线积分与曲面积分
高斯(Gauss)公式 通量与散度
格林公式把平面上的闭曲线积分与 所围区域的二重积分联系起来.
R( x, y, z)dxdy
x
R(x, y, z)dxdy
Dxy
ny
1 2 3
1取下侧, 2取上侧, 3取外侧 一投,二代,三定号
R( x, y, z)dxdy R[x, y, z1( x, y)]dxdy
1
Dxy
R( x, y, z)dxdy R[x, y, z2( x, y)]dxdy
P
Q
R
x y z
高斯(Gauss)公式 通量与散度
散P,度Q,设的R均计A 可算P导公(,式x则, yA, z在)i(x,Qy(,
x, y, z) j R( x, y, z)点处的散度为
其中是曲线
z
y1
(1 y 3) 绕y轴旋转
x 0
一周所成的曲面, 它的法向量与y轴正向的夹角
恒大于 .
2
z
解
z y 1 x 0
绕y轴旋转曲面方程为
O
n
y 1 z2 x2 (如图)
x
y
30
高斯(Gauss)公式 通量与散度
▲
高斯公式
欲求 I (8 y 1)xdydz 2(1 y2 )dzdx 4 yzdxdy
(r sin z)rdrddz
2
1
3
x
0 d0 dr 0 r(sin z)rdz
9 . 2
1
3
z
o1
y
高斯(Gauss)公式 通量与散度
例3 计算I xdydz ydzdx zdxdy,
x2 y2 z2
为球面x2 y2 z2 a2的外侧.
解 能否直接用高斯公式 因被积函数中的
( x y)dxdy ( y z)xdydz
其中Σ为柱面 x2 y2 1及平 面z 0, z 3所围成的空间闭 区域 的整个边界曲面的外侧.
解 P ( y z)x, Q 0, x R x y,
1
3
z
o1
y
P y z, Q 0, R 0,
x
y
z
原式 ( y z)dxdydz
Dxy
R z
dv
R(
x
,
y,
z
)dxdy
8
高斯(Gauss)公式 通量与散度
▲
R z
dv
R(
x,
y,
z)dxdy
同理
P x
dv
P(
x,
y,
z)dydz
自 己
Q y
dv
Q(
x,
y,
z
)dzdx
证
合并以上三式得
(P x
Q y
R)dv z
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
高斯公式
9
高斯(Gauss)公式 通量与散度
使用Guass公式时应注意:
(
P x
Q y
R z
)dv
Pdydz
Qdzdx Rdxdy 高斯公式
使用Guass公式时易出的差错:
(1) 搞不清 P,Q, R是对什么变量求偏导; (2) 不满足高斯公式的条件, 用公式计算;
(3) 忽略了 的取向, 注意是取闭曲面的
外侧.
12
二、简单的应用
例1 计算曲面积分
xx,,yy))dxHale Waihona Puke Baiduy
Dxy
O
x Dxy
n
ny
{R[ x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy
Dxy
6
高斯(Gauss)公式 通量与散度
▲ R
z 2 : z z2( x, y)
n
z
dv
R(
x,
y,
z)dxdy
n
由曲面积分的计算法
1 : z z1( x, y) O
故 I 2 (32 ) 34 1 1 2 1 32
高斯(Gauss)公式 通量与散度
二、物理意义 通量与散度
flux divergence
1. 通量
设有一向量场
A P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
则称沿场中有向曲面Σ某一侧的曲面积分:
取曲面 无关而只取决于的边界曲线（或沿G 内任一闭曲面的曲面积分为零）的充分必要条件 是等式P Q R 0在G内恒成立．
x y z
▲高斯(Gauss)公式 通量与散度
1987年研究生考题,计算(10分)
计算曲面积分
I (8 y 1)xdydz 2(1 y2 )dzdx 4 yzdxdy
与曲面 无关而只取决于的边界曲线？ 即在怎样的条件下，沿任意闭曲面的曲面积分 为零？
高斯(Gauss)公式 通量与散度
我们有以下结论：
定理2 设G是空间二维单连通区域，P( x, y, z)、 Q( x, y, z)、R( x, y, z)在G内具有一阶连续偏导数，
则曲面积分 Pdydz Qdzdx Rdxdy在G内与所
O
x Dxy ny
3 :母线平行于z轴的柱面. (取外侧)
5
高斯(Gauss)公式 通量与散度
▲
R z
dv
R(
x,
y,
z)dxdy
z
n
由三重积分的计算法
投影法(先一后二法)
Rdv
z
Dxy
z2( x, y) R dz dxdy
z1 ( x, y) z
R(
x,
y,
z
)
z2 ( z1 (
)dxdydz,
v
uvdxdydz
u
n
dS
(
u x
v x
u y
v y
u z
v z
)dxdydz,
符号
2 x 2
2 y2
2 z 2
，称为拉普拉斯(Laplace)
算子，这个公式叫做格林第一公式．
高斯(Gauss)公式 通量与散度
沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
问题：在怎样的条件下，曲面积分
Pdydz Qdzdx Rdxdy
补1 : y 3, 取右侧.
有 I
1 1
1
P x
Q y
R z
dxdydz
z
n
O
n
x
y
y 1 z2 x2
(8 y 1 4 y 4 y)dxdydz
Dzx : x2 z2 ( 2)2
dv
3
dxdz
dy
1 z2 x2
2
d
0
0
2
d
3
dy
1 2
柱 坐
Dxz