13-15共轭元正规子群
共轭类和正规子群的关系
共轭类和正规子群的关系在群论的世界里，聊起共轭类和正规子群，那真是一个有趣的故事啊！想象一下，一群小伙伴们聚在一起，有的玩得很开心，有的却总是要躲在角落里，这就像是共轭类和正规子群的关系。
你看，共轭类就像那些活泼的小朋友，他们总是喜欢围在一起，嘻嘻哈哈，换着不同的角色，展现不同的风采。
比如说，给你一个元素，咱们就可以通过群里的其他元素把它“变身”，就像魔法一样。
哦，对了，别忘了那群小伙伴，咋一看似乎都是不同的角色，但其实在这个大群体里，他们都有着共同的特征，简直就是一窝好基友！而正规子群嘛，嘿，感觉就像是这个大团体里的一小撮人。
他们不太喜欢变化，宁愿扎根在自己的小圈子里。
就像那些对家乡情有独钟的人，虽然外面的世界五光十色，他们却总是喜欢回到那个熟悉的小村庄。
正规子群的每个元素，和整个群体的元素之间，关系可不是一般的亲密哦。
你换哪个元素，他们都能跟得上，完全不掉链子。
这种关系让它们像是个大家庭，彼此之间非常默契，真是“家家有本难念的经”，却又能和谐共处。
聊到这里，有没有觉得这两个概念的关系像极了我们生活中的朋友呢？共轭类就像那些喜欢到处走动，探索新事物的朋友，而正规子群则是那些稳重、踏实的老友。
你想啊，谁不喜欢和一群有趣的小伙伴在一起呢？不过，正是那些相对安静的人，才是你最值得依靠的。
就像正规子群，它们虽然在群体中不那么张扬，但却总能在关键时刻给予支持。
在数学的角度看，共轭类的元素可以通过一个变换来获得，这听起来有点复杂，但其实就像在玩角色扮演游戏。
你选择一个角色，随着游戏的发展，你可以换上不同的装备和技能。
正规子群的元素则是坚守自己角色的人，他们知道自己的能力和局限，不会随便换来换去。
这样的选择让他们在稳定中寻求成长，活得稳稳当当。
而在这个群体中，大家也不会无缘无故地对某些角色排斥，彼此之间会形成一种特殊的关系。
共轭类里的每个元素都能通过正规子群找到归属感，这就像是无形的纽带，把彼此连接在一起。
正规子群求解方法的一个注记
正规子群求解方法的一个注记陈一萍【摘要】Cayley定理是抽象代数中一个非常重要的定理.因为这个定理建立了抽象的有限群G和一个具体群S n之间的联系.即G同构于S n的一个子群.所以,对于Sn的子群的研究就显得尤其重要.但是,在教学实践中,学生只是通过定义来求Sn或是S n的子群的正规子群往往是很困难的事情.本文给出了在群论和表示论中经常用到求Sn的正规子群的一种方法.通过这种方法,希望可以加深学生对相应知识的理解.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2018(034)001【总页数】4页(P80-83)【关键词】对称群;正规子群;共轭关系;共轭类【作者】陈一萍【作者单位】武汉大学数学与统计学学院,武汉 430072【正文语种】中文【中图分类】O152.11 引言给定一个有限群G，如何确定G的结构是群论中的一个主要问题.Cayley定理是抽象代数中很重要的一个定理.因为这个定理给出了研究抽象的有限群的一种表示论的看法.根据Cayley定理的叙述：设G是阶为n的群，则G同构于Sn的一个子群.这样，有限的抽象群就可以用一个具体的对称群表示出来.如果想要弄清所有的有限群的结构，就只需要弄清楚对称群的所有子群.可是，事实上，这种做法比较困难.但是，尽管如此，对称群的研究对我们理解一般抽象群是十分有益的.在传统教材中[1-2]，我们发现对共轭类，正规子群的叙述较少，在后续的教学研究中有一些新的研究内容涉及这两个问题[3-4].但总体来说内容不多.以至于在实际的教学中，学生在求正规子群时会有很多困难.这些困难的来源一方面在于很多学生不能认真，仔细地完成这项工作；另一方面的原因也在于按照传统教材的叙述如果仅仅是从定义出发，这项工作会变得繁冗，条理不清晰.基于这些原因，我们希望给出求解正规子群的一般方法.这些方法和技巧在研究群论和表示论中被经常用到.但是，在抽象代数教材中又几乎没有涉及.但愿这篇文章能够弥补这个知识点的空缺.按照Cayley定理，研究有限群的正规子群最终归结为研究对称群Sn子群的正规子群.在以下几节里，我们将重点讨论这种情形.2 正规子群与共轭类假设G是n阶有限群，H是G的m阶子群.经典的拉格朗日定理表明m是n的因子.假设α和β是G中的两个元素.α与β共轭是指存在G中的元素γ使得α=γβγ-1.共轭关系是一种等价关系，即满足：自反性，对称性和传递性.利用共轭关系可以给出群G中元素的共轭分类.群G中所有和α共轭的元素称为α的共轭类，记作[α].群N是群G的正规子群如果N是G的子群且对于任意g∈G有N=gNg-1.根据正规子群的定义，群G的正规子群是G中一些共轭类的并集.即：相反，从定义可以直接验证：如果G中一些共轭类的并集和单位元构成群，则它一定是G的正规子群.那么，求解群G的正规子群归根结底就是要确定群G的共轭类.在下面一节将要讨论n元对称群的共轭类.3 共轭类和n元置换的型我们首先回忆一下：Sn中任意一个n元置换都可以写成不相交轮换的乘积.假设α=(a11…a1i)(a21…a2j)…(ar1…ark)是{1，…，n}的一个n元置换α的不相交轮换的分解，并且假设1，…，n这些数字在这些轮换中都已经出现.根据n元置换的定义，在α的基础上去掉括号，a11…a1ia21…a2j…ar1…ark是{1，…，n}的一个排列.例如：S5中置换(13)(24)会被记为(13)(24)(5).这样，打开括号后，得到1，…，5的一个排列13245.下面的一个引理给出Sn中共轭地作用下得到的置换与原来的置换之间的关系.定理1 设n元置换α=(a11…a1i)(a21…a2j)…(ar1…ark)，则对于Sn中任意置换γ，有γαγ-1=(γ(a11)…γ(a1i))(γ(a21)…γ(a2j))…(γ(ar1)…γ(ark)).证显然γ(a11)…γ(a1i)γ(a21)…γ(a2j)…γ(ar1)…γ(ark)是1，…，n的一个排列.左边置换作用在γ(a11)后得到γ(a12).右边的置换作用在γ(a11)上得到γ(a12).故此时等式成立.分别带入a12，…，ark至等式两端可以验证等式成立.这个引理表明共轭类中的所有置换在写成不相交轮换分解时候，任何一个特定长度的轮换个数是相同的.记α的循环分解中，长度为l的轮换个数为λl(α)个.显然，λl(α)是一个大于或者等于0的整数.称λl(α)为n元置换α的第l个型函数.符号(λ1(α)，…，λn(α))称为置换α的型.通过定义可知，型函数满足公式λ1(α)+2λ2(α)+…+nλn(α)=n.在下面的引理中，将要说明引理1的逆命题也是成立的.即在Sn中，两个n元置换在写成不相交的循环分解时，每个长度的轮换个数相同，则这两个置换共轭.定理2 在Sn中，置换α和β共轭当且仅当α与β的第l个型函数相同，其中l=1，…，n.证充分性由引理1可得.下面证明必要性.假设α=(a11a12…a1i)…(ar1ar2…ark)，β=(b11b12…b1i)…(br1br2…brk).令由于a11a12…a1ia21…a2j…ar1…ark与b11b12…b1ib21…b2j…br1…brk分别是1，…，n的排列.所以γ∈Sn.由引理1，γαγ-1=(γ(a11)…γ(a1i))…(γ(ar1)…γ(ark))=(b11…b1i)…(br1…brk).引理2表明Sn中的共轭类由置换的型函数完全决定.例如：在S5中，置换(235)(14)与(123)(45)对应的型函数为(0，1，1，0，0)，因而共轭.在数量关系的层面上，利用排列组合的知识可以知道，型为(λ1，…，λn)的置换个数是这个公式给出了Sn中共轭类元素的个数.为了确定置换的型函数，需要整数的划分这个概念.整数n的一个划分是指序列(a1…al)满足a1≥a2≥…≥al>0和a1+a2+…+al=n.例如：假设n=5.则(1，1，1，1，1)，(2，1，1，1)，(2，2，1)，(3，1，1)，(3，2)，(4，1)，(5)是整数5的所有划分.4 总结与举例分析结合第二和第三部分，求解对称群子群的正规子群的方法归纳如下：(a) 确定整数的划分.(b) 找到每种划分对应的元素的型，从而确定对称群的共轭类.(c) 利用对称群的共轭类对对称群子群大致分类.然后，细化分类.(d) 由于单位元和一些共轭类的并集构成的群是正规子群，所以利用拉格朗日定理，大致给出可能的共轭类的并集.然后再验证是否是群.以下利用两个例子分别说明.例1 求S4的正规子群.解易知S4中有24个元素.假设N是S4的正规子群，由拉格朗日定理可知，N的阶数是24的因子.下面来确定S4的共轭类.数字4有以下5种划分：(a) a1=a2=a3=a4=1.对应置换的型函数是(4，0，0，0).对应共轭类的代表元是(1).共轭类中有1个元素.(b) a1=2，a2=1，a3=1.对应置换的型函数是(2，1，0，0).对应共轭类的代表元是(12).共轭类中有6个元素.(c) a1=2=a2.对应置换的型函数是(0，2，0，0).对应共轭类的代表元是(12)(34).共轭类中有3个元素.(d) a1=3，a2=1.对应置换的型函数是(1，0，1，0).对应共轭类的代表元是(123).共轭类中有8个元素.(e) a1=4.对应置换的型函数是(0，0，0，1).对应共轭类代表元是(1234).共轭类中有6个元素.显然，单位元群和S4是S4的平凡的正规子群.(a)，(c)和(d)的并集恰好是4次交错群A4，因而是S4的正规子群.根据拉格朗日定理，N的另一种可能性是(a)和(d)的并集，即：{(1)，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)}.可以验证这是一个同构于Z2×Z2的交换群.故其为S4的一个非平凡的正规子群.值得注意的是：“α与β在Sn中共轭当且仅当α与β有相同的型”这个结论强调的是在Sn中共轭.如果我们考虑给出Sn的某个子群的共轭类，则需要具体问题具体分析.例2 给出二面体群D6的共轭类.解 D6是S6的子群，其中包含12个元素.D6= {(1)，(123456)，(135)(246)，(14)(25)(36)，(153)(264)，(165432)，(26)(35)，(16)(25)(34)，(15)(24)(36)，(14)(23)(56)，(13)(46)，(12)(36)(45)}.如果按照在S6中共轭.我们大致可以把这12个元素分成5个共轭类：(a) (1).(b) (123456)，(165432).(c) (135)(246)，(153)(264).(d) (14)(25)(36)，(16)(25)(34)，(15)(24)(36)，(14)(23)(56)，(12)(36)(45).(e) (26)(35)，(13)(46).但是，需要注意在S6中共轭不表示在D6中共轭.所以，此时仍需要逐一验证.由于(14)(25)(36)是中心中的元素.故其单独在一个共轭类中.又因为[(26)(35)]-1(123456)[(26)(35)]=(165432)，[(26)(35)]-1(12)(36)(45)[(26)(35)]=(16)(25)(34)，[(13)(46)]-1(12)(36)(45)[(13)(46)]=(23)(14)(56)，(123456)-1(26)(35)(123456)=(13)(46)，(165432)-1(26)(35)(165432)=(24)(15)，所以，D6总共有6个共轭类：{(1)} {(14)(25)(36)} {(123456)，(165432)} {(135)(246)，(153)(264)} {(12)(36)(45)，(16)(25)(34)，(23)(14)(56)} {(26)(35)，(13)(46)，(24)(15)}.如果要求D6的正规子群，则需要按照上个例子中的方法分别进行讨论.我们把剩余的工作留给读者.[参考文献]【相关文献】[1] 刘绍学.近世代数基础[M].北京：高等教育出版社，2012.[2] 聂灵沼，丁石孙.代数学引论[M].北京：高等教育出版社，2000.[3] 周后型.三次对称群的一个特征性质[J].大学数学，1997，13(1)：107-108.[4] 唐曾林，黄雨星.有限群的共轭类个数与群的性质[J].大学数学，2008，24(6)：56-58.。
正规子群和群基本同态定理
商群
设N是群G的正规子群，(G/N, *)是群
封闭性：*的定义保证。 结合律：G的运算满足结合律。 单位元素：N本身(注意：G的单位元素e∈N) 逆元素：Na的逆元素是Na-1。
(G/N, *)称为G的商群。
同态核
假设G1, G2是群，f: G1→G2是同态映射，定义 集合 ker f = {x|x∈G1,且f(x)=e2},其中e2是G2的 ∈ 且 单位元素， ker f称为同态核。
G2的单位元素 ker f
G1
同态映射 f
G2
同态核是正规子群
ker f是G1的正规子群。
非空： G1的单位元必在ker f 中。 子群：任取a,b∈ ker f , 则：f(a)=f(b)=e2; 因此： f(ab1) = f(a)*[f(b)]-1= e 。 2 正规子群：任取a∈ ker f ,x∈G1, 则： f(a)=e2; 因此： f(xax-1) = f(x)* f(a)*[f(x)]-1 =e2 。
若aj=ak，则j,k对m同余，也对n同余，所以：bj=bk， 因此f是函数。 f(aj ak) = f(aj+k) = bj+k = bj * bk = f(aj)*f(ak)
同态基本定理的应用
例：G是群，H和K都是G的正规子群，且H⊆K， 证明：G/K ≅ (G/H)/(K/H)
比较同态基本定理， G/ker f ≅ G’ 定义f: G/H→G/K, 对任意Ha∈G/H, f(Ha)=Ka
群同态基本定理
离散数学 第14讲
上一讲内容的回顾
同构与同态 循环群与生成元 循环群的子群 无限循环群与整数加群同构 有限循环群与相应的剩余加群同构
(完整word版)正规子群
§3.4 正规子群同态基本定理在本节中讨论群的同态基本定理。
首先考虑一种特殊的等价关系。
3.4.1 定理H是G的子群，在G上定义二元关系~如下：a ~ b当且仅当ab-1∈H，则~是G上等价关系。
证(1) 任给a∈G，都有aa-1 = e∈H，所以a ~ a；(2) 任给a, b∈G，如果a ~ b，则ab-1∈H，所以ba-1 = (b-1)-1a-1 = (ab-1)-1∈H，因此b ~ a；(3) 任给a, b, c∈G，如果a ~ b且b ~ c，则ab-1, bc-1∈H，所以ac-1 = aec-1 = a(b-1b)c-1 = (ab-1)(bc-1)∈H，因此a ~ c。
■这种等价关系记为~H，称为由H生成的等价关系。
由H生成的等价关系中的等价类有一个明显的表示。
3.4.2 定理H是G的子群，~H是由H生成的等价关系。
(1) 任给a∈G，都有a= Ha = {ha | h∈H}。
特别地，e= He = H。
(2) 任给a∈G，都有|a|= |H|。
证(1) 任给x∈a，都有x ~H a，由~H的定义得xa-1∈H，设xa-1 = h∈H，则x = xe = x(a-1a) =(xa-1)a = ha，因此y∈Ha。
任给x∈Ha，都存在h∈H，使得x = ha，所以xa-1 = (ha)a-1 = h(aa-1) = he = h∈H，由~H的定义得x ~H a，因此x∈|a|。
(2) 取H到a的映射F：H→a F(h) = ha。
显然F是满射。
任给x, y∈H，如果F(x) = F(y)，则xa = ya，由消去律得x = y，所以F是单射。
因为F是双射，所以|a| = |H|。
■因为e= H，所以a~H b当且仅当ab-1∈H=e当且仅当ab-1~H e。
1定理3.4.2的(2)告诉我们，商集G/~H中每个元素（作为G的子集）的基数都是|H|，这样的元素共有|G/~H|个，所以有：3.4.3 定理如果H是G的子群，则| G | = |H|⋅|G/~H|。
有限群共轭类的计算
有限群共轭类的计算有限群表⽰论的⼀些基本定理：1、有限群的不同的（⾮等价的）不可约表⽰的个数是有限的，并且等于这个群的共轭元素类的个数。
1a、只有有限多不可约表⽰，它的数⽬正好等于有限群G的共轭类的数⽬。
1b、G的不可约表⽰的个数（确切到同构）等于G的共轭类的个数。
G的两个元素t和t'说是共轭的，如果存在s∈G使得t'=sts^(-1)；这是⼀个等价关系，这个关系将G划分成类（也叫做共轭类）。
——群G的共轭类个数k是G的不变量，G是Abel群当且仅当k=|G|——群G的共轭类个数与群G的同阶元个数分布是G的两个不变量，同阶元之间不⼀定共轭2、不可约表⽰的阶数必然是群的因数，⽽且正则表⽰等于所有不可约表⽰的和，其中每⼀个不可约表⽰重复出现的次数恰好等于其阶数。
3、有限群的阶数n与不可约表⽰阶数n_1,n_2,…n_k之间的下⾯有趣的关系式：n=∑[i=1->k](n_i)^2。
n_1=1。
3a、有限群不等价不可约表⽰维数平⽅和等于群的阶数∑[j](m_j)^2=g4、每个有限群G都有⼀个正则表⽰，维数是有限群G的阶|G|。
5、线性⽆关定理：G在K⾥的不同特征标σ_1,…, σ_n总是线性⽆关的。
6、下列性质是等价的：a、G是⼀个Abel群。
b、G的⼀切不可约表⽰都是⼀级的。
6a、有限可换群每⼀个元素组成⼀个共轭元素类。
因此，k=n，n_1=n_2=…=n_k=1，即这样群的所有不可约表⽰都是⼀阶的，⽽且不可约表⽰的个数等于群的阶数。
上⾯定理所⽤到的⼀些基本定义：定义1：若⾏列式不为零的m*m矩阵集合构成的群D(G)与给定群G同构或同态，则D(G)称为群G的⼀个m维线性表⽰，简称表⽰（representation）。
定义1a：群G的⼀个n阶表⽰是G到n阶⾮退化矩阵群⾥的⼀个同态映像。
⼀个群G在⼀个域K上的向量空间V上的线性表⽰是G到V的⾃同构群GL(V)中的⼀个同态ρ:G->GL(V)。
判定正规子群的若干条件及方法
判定正规子群的若干条件及方法判定正规子群的条件和方法有以下几种：
1. 左陪集与右陪集可以彼此重合。
如果对于群G中任意一个元
素g，左陪集gH与右陪集Hg相等，则H是G的一个正规子群。
2. 子群是核的像的逆像。
如果H是群G的一个正规子群，那么G 关于Hom(G, N)的核就是H，其中Hom(G, N)是从G到N的群同态集，
而N是任意一个群。
3. 由H和G/H诱导的同态的核相等。
如果H是群G的一个正规
子群，则群G/H的正规子群是由H诱导的同态群的核。
反之亦然。
判定正规子群的方法：
1. 利用群运算律来验证。
如果H在群G中是正规子群，则对于H 中任意元素h和任意元素g∈G，会有ghg⁻¹∈H。
可以验证这个式子是
否成立，从而证明H是否是G的正规子群。
2. 利用H的内禀运算来验证。
如果对于所有的x∈H和g∈G，
gxg⁻¹也在H中，那么H是G的一个正规子群。
3. 利用同态映射的性质来验证。
如果存在一个群同态f: G → K ，其中K是另一个群，并且H是K的正规子群，同时f(H) = H'，那么H
是G的一个正规子群。
正规子群的判定条件
正规子群的判定条件
在群论中，一个子集要成为一个正规子群，需要满足以下条件：
1. 封闭性：该子集对于群的乘法运算封闭，即对于任意的元素a和b属于该子集，它们的乘积ab也属于该子集。
2. 单位元：该子集包含原群的单位元素，即恒等元素e。
3. 逆元：对于该子集中的任意元素a，它的逆元素a⁻¹也属于该子集。
4. 对称性：对于该子集中的任意元素a和原群中的任意元素g，如果ag和ga都属于该子集，则称该子集是正规子群。
具体来说，如果一个子集N满足对于任意的元素a属于N和任意的元素g属于原群G，都有ag和ga都属于N，那么N就是G的正规子群。
正规子群的重要性在于它们可以作为群的商空间，用于定义群的商群和因子群等概念，进一步研究群的结构和性质。
第三章正规子群和群的同态与同构
(不一定是满射).则群 G的单位元的象是群 G
的单位元; G的元素 a 的逆元的象是a的象的
逆元,即
a1
1
a
或
(a1) (a)1.
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抽象代数
证 设e是群 G的单位元,且在 之下(e) e.
由于 是同态映射,故在 之下有 e e2 e2 e.
复习回顾:
注:对于同构的群G与G,我们认为G与 G是代数相同的,因为这是对于近世代数所 研究的问题来说,除了符号与名称上的区别 之外,二者没有实质的差异.
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抽象代数
定理1 设G是一个群,G是一个有代数 运算(也称为乘法)的集合. 如果G ~ G,则 G 也是一个群.
H ~(H) . 但 H 是子群,从而(H)也是群且是G的子群.
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抽象代数
2) 当 H G时,由于 1(H )显然非空,任取
a,b1(H) ,且在 之下令(a) a, (b) b .则
(ab 1 )
1
ab ,
其中
a,b
H
,而
a(N)a1 (N), (N)G.
2)若NG,则可类似证明1(N )G.
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抽象代数
定理3 群G 的一个正规子群与一个子群 的乘积是一个子群; 两个正规子群的乘积仍是 一个正规子群.
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第二章2.群中的等价关系--陪集，共轭，正规子群与商群
第⼆章2.群中的等价关系--陪集，共轭，正规⼦群与商群群作为代数结构⾸先是⼀个集合，那么元素间可能有各种等价关系，这些等价关系给出了群的划分，也使群⾃⾝结构的特异性突出。
⼀、陪集 定义 设H是G的⼀个⼦群，a\in G，作集合aH=\{ax|x\in H\}，称aH是关于⼦群H的⼀个左陪集。
类似地，可定义右陪集Ha=\{xa|x\in H\}. 对于陪集，我们有如下性质: (i) aH中元素个数与H⼀样。
（重新排列定理） (ii) H本⾝也是H的⼀个陪集(eH, He). (iii) a在陪集aH中，称a为陪集aH的⼀个代表。
(iV) 设b\in aH，则有aH=bH. 即aH中任⼀元素，均可作aH的⼀个代表。
(V) 由此可以定义等价关系a,b\in G，若a^{-1}b\in H, 则a\sim b. 此等价关系给出G的⼀个划分 G=a_1H\cup a_2H\cup...\cup a_l H. 下⾯重点证明(iV)和(V)。
证明: (iV) 有b=ah,\, h\in H。
则对\forall h_i\in H，有ah_i=b(h^{-1}h_i). 即aH\subset bH. 同理，bh_i=a(hh_i)\in aH，即bH\subset aH. 故aH=bH. (V) ⾃反: a^{-1}a=e\in H\quad\Rightarrow a\sim a. 对称: a\sim b\quad\Rightarrow a^{-1}b\in H\quad\Rightarrow (a^{-1}b)^{-1}=b^{-1}a\in H\quad\Rightarrow b\sim a. 传递: a\sim b, b\sim c\quad\Rightarrow a^{-1}b,\,b^{-1}c\in H\quad\Rightarrow(a^{-1}b)(b^{-1}c)=a^{-1}c\inH\quad\Rightarrow a\sim c. 定义 群G中⼦群H的相异陪集个数称为H在G中的指数，记为(G:H). 定理2.3(Lagrange定理) n阶群G的⼦群H的阶m是n的⼀个因数。
全特征子群,特征子群,正规子群的关系
《近世代数》论文课程：《近世代数》姓名：XXX学号：XXXXXXX专业：XXXXXXXXXXXXX全特征子群，特征子群，正规子群的关系内容：1）引入群的定理2）表述其关系3）证明并且举例4）总结摘要：本论文通过对近世代数的一些基本定理及相关性质的阐述，如：全特征子群，特征子群，正规子群等等。
从而推导出全特征字群，特征子群，正规子群间的关系。
本文的结构是先从相关的定理及相关性质着手，然后根据定理及相关性质来推导全特征字群，特征子群，正规子群间的关系。
本文先从全特征子群开始研究，依次为特征子群，正规子群。
经过本文对全特征字群，特征子群，正规子群的研究，我发现了其规律：全特征子群包含与特征子群，特征子群包含于正规子群;全特征子群特征子群正规子群。
一、有关群的定理定理1设H是群G的一个子群，如果H对G的每个自同态映射都不变，既对每个自同态映射θ都有θ（H）∈H，则称H为群G的一个全特征子群。
定理2设H是群G的一个子群，a∈G。
则称群G的子集aH=｛ax|x∈H｝为群H关于子群H的一个左陪集。
而称Ha=｛xa|x∈H｝为群G关于子群H的一个右陪集。
左陪集的相关性质：⑴如果a∈H,则a∈aH。
⑵a∈H ﹤﹦﹥aH=H⑶b∈aH﹤﹦﹥aH=bH⑷aH=bH，即a与b同在一个作陪集中﹤﹦﹥ a b∈H（b ∈H）⑸若aH∩bH≠空集，则aH=bH定理3对群G的所有自同构都不变的子群，亦即对G的任何自同构ε都有ε（N）∈N的子群N，叫做G的一个特征子群。
定理4如果用aH，bH，cH，…表示子群G中的所有不同的左陪集，则有等式G=aH∪bH∪cH…,称其为群G关于子群H的左陪集分解。
而称｛a,b,c, …｝为G关于H的一个左陪集代表系。
同理关于有陪集的分解：G=H a ∪H b ∪Hc …。
则称{ a ，b ，c ，…}是关于子群H的一个右陪集代表系。
例1：取S的子群H={(1)，（12）}，则（1）H={（1），（12）}，H（1）={（1），（12）}，（13）H={（13），（123）}，H（13）={（13），（132）}，（132）H={(132),(23)};H（123）={（123），（23）}。
子群与正规子群的判定及求法
子群与正规子群的判定及求法1.引言1.1 概述在数学中，群是一种代数结构，它是集合及其上的一种二元运算构成的。
群的研究在数学领域具有重要的地位，并且在许多领域中都有广泛的应用。
在群论中，子群和正规子群是两个基本的概念。
子群是指群中的一个子集，该子集在相同的二元运算下也构成一个群。
子群的判定是群论的一个重要问题，它涉及到对群的结构和性质进行分析。
如何判定一个集合是否是给定群的子群，这是我们在本文中要探讨的一个问题。
正规子群是在子群的基础上，具有一些更为特殊的性质。
具体来说，对于一个群的正规子群，它在群的乘法运算下是不变的。
这意味着正规子群对于群的乘法运算是封闭的，并且对于群的元素进行乘法运算后，结果仍然在正规子群中。
正规子群的判定和求法是群论中的一个重要主题。
本文的目的是介绍子群和正规子群的判定方法和求法。
我们将详细讨论如何判定一个集合是否是给定群的子群，并给出相应的证明方法。
同时，我们还将探讨正规子群的定义和性质，以及正规子群与子群之间的关系。
通过本文的研究，我们能够深入理解子群和正规子群的概念，并掌握判定和求法的方法。
同时，研究子群和正规子群也对于深入理解群论以及其他数学领域中的概念和应用具有重要意义。
通过对子群和正规子群的研究，我们可以进一步拓展和应用这些数学工具，促进数学领域的发展。
接下来，我们将在正文部分详细介绍子群的判定方法、正规子群的判定方法，以及子群和正规子群的求法。
最后，我们将对本文进行总结，并展望子群和正规子群研究的未来发展方向。
1.2文章结构文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文共分为三个部分：引言、正文和结论。
每个部分都有其特定的目标和内容，旨在全面介绍子群和正规子群的判定与求法的相关知识。
在引言部分，首先对本文的研究主题进行概述，明确讨论的范围和问题。
随后，介绍了文章的结构，以方便读者理解文章的整体安排和内容安排。
最后，明确了本文的目标，即通过详细讨论子群和正规子群的判定和求法，深入探究其原理和应用。
近世代数--13子群-精品文档
的 子 群 , ( Z , ) 是 (Q , ) 的 子 群 ; (R \ {0}, ) 是
(C \ {0}, ) 的子群, (Q \ {0}, ) 是 (R \ {0}, ) 的子群.
例 2 设 P 是一个数域 , n N . 于是 , SLn (P ) 是
GLn (P ) 的子群.(参看§2 的例 2).若令 H 表示数域 P
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§3
子
群
定理 3.3 是:
设 G 是一个群 , H 是 G 的一个
非空子集.那么, H 为 G 的子群的充分必要条件 (1) ab H , a, b H ; 1 a H , a H . (2)
证明 先证明必要性.假设 H 是 G 的子群. 首先,根据子群的定义, H 满足条件(1). 其次,
a H , e aa H . 最后 , 对于任意的 a H ,
1 1
我们有
ae ea a ; aa a a e .
“” 所以 H 关于 H 上的代数运算 构成一个群.□
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1
1
§3
子
群
例 1
(R , ) 是 (C , ) 的子群 , (Q , ) 是 (R , )
例4 考察 S3 的子集
A3 {(1), (123), (132)} .
易见, A3 是 S3 的子群.
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§3
子
群
设 S 是一个集合 ; I 是一个非空集合 ( 称为指 标集);对于任何 i I , Si 都是 S 的子集.这时,我们 称 {Si }iI 为 S 的一族子集.令
1.4群的各种子集
● 按陪集分割 （子群与陪集元素数目相同）
类 （每个类中元素数目不一定相同） 是分割群的两种重要方式
13
3. 相逆类：
类 中元素Rj的逆元Rj-1也必定互相共轭
1 1 Ri SRj S 1 Ri1 SR j S 逆元Rj-1的集合也够成类，记作
与
称为相逆类，它们包含的元素数目相同n(α) 与其逆 重合，
练 习
由C4v群乘法表找共轭元素即类 D3
15
5. 共轭子群：
设H和K是群G的两个子群，若有 g G 使得
K gHg 1 {k ghg 1 h H }
则称H是K的共轭子群 对称性：K是H的共轭子群，同时H也是K的共轭子群 传递性：若H1,H2是K的共轭子群，则H1,H2也互为共轭子群
一个元素R就可以求出R类的所有元素，即
n(α): 类中所含元素数目 gc : 群G所包含的类的数目
性质：
S G, SES1 SS1E E 1）恒元自成一类 2）阿贝尔群的每个元素自成一类 S，R G, SRS1 SS1R R
12
3）若R的阶为m，即Rm=E，则R类所有元素的阶都是m。
4）对任意给定的 S G 当Rj取遍所有元素时 SRj S 1 不会有重复
故
类中每个元素只出现一次，仍为自身。
5）对给定的Rj，让S取遍群G所有元素， SRj S 1 会有重复 且可证明 Rk SRj S 1 重复次数m(α)都相同 6）类 中包含的元素数目是群G阶的因子n(α)=g/m(α) 7）由于共轭关系具有传递性，两个不同的类没有公共元素 可将群G按照共轭类进行分割
1.4
群的各种子集
一、子群 1. 定义： 设H是群G的一个子集， 若对于与群G同样的乘积规则， H也构成一个群， 则称H为G的子群，常记为 H G 证明群G的非空子集H是G的子群 充要条件：
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1. 共轭元 2. 若群 G 中存在一个元 X ，使群中的元A、 B 满足 B = XAX -1 （1.3-1）
那么，群元 B 与群元 A 共轭．
若 B 共轭于A，则A亦共轭于 B ，因为
A =X-1B(X-1)-1 = YBY-1
互为共轭的.
（1.3-2）
其中Y＝ X-1，是群 G 中的一个元，所以，A 与 B 是
定理二 两个类的类乘有
C c iC j ijkC k
k
（ 1 . 3 -6 ）
式中cijk是个整数，说明类Ck在类乘 C iCj 中出现的次 数． 其中类乘是这样定义的：两个类的类乘为 一个集 合，其中的元分别由两个类中的元两两相乘而成．如 集合中有重复出现的元，则出现几次就取几次．
证明：由式XCX-1 = C 得
XCiX-1 = Ci， XCjX-1 = Cj
所以， Ci Cj = XCiX-1 XCjX-1 = XCiCjX-1
对所有 X ∈ G 成立．根据刚刚证明过的逆定理，集合 Ci Cj必由一些完整的类构成，因而可写成式（ 1 . 3 – 6 ）的形式.
例：D3群中，六个元共分三类，可表为
C1 = E；C2 = {A, B, C}; C3 ={D，F}
于是， C1C2 = C2; C1C3 = C3; C2C3 =2C2; C2C2 =3C1 +3C3; C3C3 =2C1 + C3;
D3 E A B C D F E E A B C D F A A E F D C B B B D E F A C C C F D E B A D D B C A F E F F C A B E D
对于矩阵群，两个元共轭就是两个矩阵相似.
2. 类 • 定义：群中互为共轭的元的完全集合就称作 类．
即，群G中的任何一个类 C 都满足
1 X C X C XG
（1.3-5）
例如，包含群元 A 的类，就由群中的每一个元 X 与 A 作乘积XAX-1形成，A 本身就是这个类的一个元， 因为 A = EAE-1.
X∈G 都有
XAX-1 = XX-1A = A , A ∈ G
( 5 ) 对于矩阵群，同一类中的各元互为相似 矩阵，因此，同类中各元具有相同的矩阵 迹． ( 6 ) 同类的元素有相同的阶．即： 如群中有一元 A，其阶为a，则Aa = E， 那么与A同类的任意元 XAX -1亦具有相同的 阶a。 证明: (XAX-1) a = (XAX-1)(XAX-1) …(XAX-1) = XAaX-1 = XEX-1 = E 所以，A与XAX-1有相同的阶．
CC C 1 2 k
k
1 XX , XG 逆定理：任何一个服从关系 成
立的集合η，必由若干完整的类构成．
证明：首先将η中的完整的类抽出，余下的
元的集合是ξ. 于是 XξX-1＝ξ. 考虑ξ中的某个 元R，则上式左边是 R 类的所有元，因此右边的ξ 就是一个完整的类．即η 必由一些完整的类构 成．
D3 群中，E自成 一类，D、F属一类，因为： EDE-1 = D
ADA-1 = BA= F
BDB-1 = CB = F CDC-1 =AC= F DDD-1 = FD-1=D FDF-1 = ED=D
D3 E A B C D F
E E A B C D F
A A E F D C B
B B D E F A C
共轭具有传递性．若 A 与 B 共轭，B与C共轭，则A与
C共轭. 因为如果存在群元 X 及 Y 满足 B = XAX-1 及 C = YBY-1 则 （1 . 3 - 3 ）
C = YBY-1= Y(XAX-1)Y-1=(YX)A(YX)-1
（1 . 3 - 4 ）
YX 是群中的一个元，所以， A 与 C 共轭．
的次数等于类的群元数 h c（有时称 h c为类的阶）
• 有关类的定理
定理一
若η 为由群中若干完整的类构成的集合，即
C C C 1 2 k
k
X是群G中的任意元，则 XηX-1 =η 成立. 证明：已知XCkX-1=Ck ; 所以
1 1 1 1 X X X ( CC ) X X C X X C X 1 2 1 2
3
B
2
A
x
1
C
( 8 ) 若 C 是群 G 的一个类，且 C = { C1, C2，…，
Cm}，C’是 C 中所有元的逆的集合，即C’ = {C1-1,
C2-1，…，Cm-1}．那么， C’也是群 G 的一个类，称
作 C 的逆类．
证明：己知 XCX-1 = C 对任一X ∈G 成立，那么 XC’X-1 =(XCX-1)-1= C-1 = C’ 对任一 X∈G 成立. 所以， C ’是群 G 的类. ( 9 ) 互逆类群, 转角相同而转轴可由群中
的元转成一致的，属同一类．
例如在D3 群中， A、B、C 同属一类，因为
DCD-1 = A
D3 E A B C D F E E A B C D F A A E F D C B B B D E F A C C C F D E B A D D B C A F E F F C A B E D
FBF-1 = A
y
3
B
2
A
x
1
C
也可以这样来考虑： A、B、C 为转角相同而转轴不 同的操作，但 C 轴可通过操作 D 转成 A轴，B轴可通 过操作 F 转成 A轴，故 A、B 、C 同属一类．同样， D 、F 同属一类，因为 D 、F 转角相同，且用 A、 B、C 之中任一操作都可使 D、F 两操作的转轴转成 一致． y
C C F D E B A
D D B C A F E
F F C A B E D
A、B、C属一类.
C3V群分成几类？
• 类的简单性质
( l ) 单位元自成一类．
( 2 ) 群中没有任何一个元是属于两个不同的类的，
即不同的类中没有共同的元．
( 3 ) 除单位元这一类外，其余各类都不是子群，因 为这些类中不包含单位元． ( 4 ) 交换群（阿贝尔群）每元自成一类．因为交换 群中的每一个元都可与其它元对易，因此对一切