13-15共轭元正规子群

C C F D E B A
D D B C A F E
F F C A B E D
A、B、C属一类.
C3V群分成几类？
• 类的简单性质
( l ) 单位元自成一类．
( 2 ) 群中没有任何一个元是属于两个不同的类的，
即不同的类中没有共同的元．
( 3 ) 除单位元这一类外，其余各类都不是子群，因 为这些类中不包含单位元． ( 4 ) 交换群（阿贝尔群）每元自成一类．因为交换 群中的每一个元都可与其它元对易，因此对一切
于是， C1C2 = C2; C1C3 = C3; C2C3 =2C2; C2C2 =3C1 +3C3; C3C3 =2C1 + C3;
D3 E A B C D F E E A B C D F A A E F D C B B B D E F A C C C F D E B A D D B C A F E F F C A B E D
§1.3 共轭元与类
1. 共轭元 2. 若群 G 中存在一个元 X ，使群中的元A、 B 满足 B = XAX -1 （1.3-1）
那么，群元 B 与群元 A 共轭．
若 B 共轭于A，则A亦共轭于 B ，因为
A =X-1B(X-1)-1 = YBY-1
互为共轭的.
（1.3-2）
其中Y＝ X-1，是群 G 中的一个元，所以，A 与 B 是
( 7 ) 对于含转动操作的群, 转角相同而转轴可由群中
的元转成一致的，属同一类．
例如在D3 群中， A、B、C 同属一类，因为
DCD-1 = A
D3 E A B C D F E E A B C D F A A E F D C B B B D E F A C C C F D E B A D D B C A F E F F C A B E D
FBF-1 = A
y
3
B
2
A
x
1
C
也可以这样来考虑： A、B、C 为转角相同而转轴不 同的操作，但 C 轴可通过操作 D 转成 A轴，B轴可通 过操作 F 转成 A轴，故 A、B 、C 同属一类．同样， D 、F 同属一类，因为 D 、F 转角相同，且用 A、 B、C 之中任一操作都可使 D、F 两操作的转轴转成 一致． y
定理二 两个类的类乘有
C c iC j ijkC k
k
（ 1 . 3 -6 ）
式中cijk是个整数，说明类Ck在类乘 C iCj 中出现的次 数． 其中类乘是这样定义的：两个类的类乘为 一个集 合，其中的元分别由两个类中的元两两相乘而成．如 集合中有重复出现的元，则出现几次就取几次．
证明：由式XCX-1 = C 得
D3 群中，E自成 一类，D、F属一类，因为： EDE-1 = D
ADA-1 = BA= F
BDB-1 = CB = F CDC-1 =AC= F DDD-1 = FD-1=D FDF-1 = ED=D
D3 E A B C D F
E E A B C D F
A A E F D C B
B B D E F A C
对于矩阵群，两个元共轭就是两个矩阵相似.
2. 类 • 定义：群中互为共轭的元的完全集合就称作 类．
即，群G中的任何一个类 C 都满足
1 X C X C XG
（1.3-5）
例如，包含群元 A 的类，就由群中的每一个元 X 与 A 作乘积XAX-1形成，A 本身就是这个类的一个元， 因为 A = EAE-1.
X∈G 都有
XAX-1 = XX-1A = A , A ∈ G
( 5 ) 对于矩阵群，同一类中的各元互为相似 矩阵，因此，同类中各元具有相同的矩阵 迹． ( 6 ) 同类的元素有相同的阶．即： 如群中有一元 A，其阶为a，则Aa = E， 那么与A同类的任意元 XAX -1亦具有相同的 阶a。 证明: (XAX-1) a = (XAX-1)(XAX-1) …(XAX-1) = XAaX-1 = XEX-1 = E 所以，A与XAX-1有相同的阶．
CC C 1 2 k
k
1 XX , XG 逆定理：任何一个服从关系 成
立的集合η，必由若干完整的类构成．
证明：首先将η中的完整的类抽出，余下的
元的集合是ξ. 于是 XξX-1＝ξ. 考虑ξ中的某个 元R，则上式左边是 R 类的所有元，因此右边的ξ 就是一个完整的类．即η 必由一些完整的类构 成．
的次数等于类的群元数 h c（有时称 h c为类的阶）
• 有关类的定理
定理一
若η 为由群中若干完整的类构成的集合，即
C C C 1 2 k
k
X是群G中的任意元，则 XηX-1 =η 成立. 证明：已知XCkX-1=Ck ; 所以
1 1 1 1 X X X ( CC ) X X C X X C X 1 2 1 2
3
B
2
A
x
1
C
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( 8 ) 若 C 是群 G 的一个类，且 C = { C1, C2，…，
Cm}，C’是 C 中所有元的逆的集合，即C’ = {C1-1,
C2-1，…，Cm-1}．那么， C’也是群 G 的一个类，称
作 C 的逆类．
证明：己知 XCX-1 = C 对任一X ∈G 成立，那么 XC’X-1 =(XCX-1)-1= C-1 = C’ 对任一 X∈G 成立. 所以， C ’是群 G 的类. ( 9 ) 互逆类乘积的集合中一定有单位元出现，且出现
共轭具有传递性．若 A 与 B 共轭，B与C共轭，则A与
C共轭. 因为如果存在群元 X 及 Y 满足 B = XAX-1 及 C = YBY-1 则 （1 . 3 - 3 ）
C = YBY-1= Y(XAX-1)Y-1=(YX)A(YX)-1
（1 . 3 - 4 ）
YX 是群中的一个元，所以， A 与 C 共轭．
XCiX-1 = Ci， XCjX-1 = Cj
所以， Ci Cj = XCiX-1 XCjX-1 = XCiCjX-1
对所有 X ∈ G 成立．根据刚刚证明过的逆定理，集合 Ci Cj必由一些完整的类构成，因而可写成式（ 1 . 3 – 6 ）的形式.
例：D3群中，六个元共分三类，可表为
C1 = E；C2 = {A, B, C}; C3 ={D，F}