导热数值解法

1、平直边界上的节点 边界节点(m,n)代表的区域为半个普通大小元体。对该半个元体应用能量平衡
qw
l y
tm-1,n - tm,n
x x tm,n -1 - tm,n xy . l m,n yqw 0 2 y 2
如
x tm,n 1 - tm,n l 2 y
4.3.2 处理不规则区域的阶梯型逼近法（不要求） 4.3.3 求解代数方程的迭代法
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4.3.1 边界节点离散方程的建立
边界节点的离散方程的形式与边界条件的类型有关 一、第一类边界条件情形 这种情形边界节点不需要离散方程。 二、第二类边界条件情形 此时边界温度值未知，需建立边界 节点温度的离散方程。 设边界热流密度为qw，并且导热体 内有内热源，采用元体能量平衡法 来建立边界节点温度的离散方程。
（1）将方程组改写成关于t1,t2,t3的显式形式，即迭代方程。
1 b1 - a12t2 - a13t3 t1 a11 1 b2 - a21t1 - a23t3 t 2 a22 t 1 b - a t - a t 3 31 1 32 2 3 a 33
即：
hPx 2 hPx 2 t1 - 2 t2 t3 tf 0 l Ac l Ac
4.3.3 求解代数方程的迭代法
写出所有内节点和边界节点的温度差分方程n个未知节点 温度，n个代数方程式：
t1 a11t1 a12t 2 ...... a1n t n b1 t 2 a 21t1 a 22t 2 ...... a 2 n t n b2 ............................................ t n a n1t1 a n 2 t 2 ...... a nnt n bn
w
l y
tm-1,n - tm,n x
y x tm,n -1 - tm,n y tm 1,n - tm, n l l 2 y 2 x 3xy . x y m,n qw 0 4 2
如
lx
tm, n 1 - tm, n
x y ，则有：
y const
3. 建立节点物理量的代数方程
关于节点物理量的代数方程也称离散方程，建立离散方程是数值求解过程 中的重要环节，是本章的重点内容。
4. 设立温度场的迭代初值 节点代数方程组的求解一般采用迭代法，需要对被求解的温度场预 先假定一个初始温度分布，称为初场
5. 求解代数方程组
6. 解的分析
t m -1,n - t m,n
x
t m 1,n - t m,n x tm,n 1 - tm,n
Φn lx Φs lx
y tm,n-1 - tm,n y
w e n s 0
将各表达式代入对元体(m,n) 能量守恒方程得：
ly
t m-1,n - tm,n
（2）假设一组解（即迭代初场），记为t1(0)、t2(0)、t3(0),由迭代公式逐 一计算出改进值t1(1)、t2(1)、t3(1)。每次计算均用t的最新值代入。
（3）以计算所得之值作为初场，重复上述计算，直到相邻两次迭代值之 差小于允许值，此时称为已经达到迭代收敛，迭代计算终止。
( k 1) 1 (k ) (k ) t b a t a t 1 1 12 2 13 3 a11 ( k 1) 1 ( k 1) (k ) t b a t a t 2 2 21 1 23 3 a22 ( k 1) 1 ( k 1) ( k 1) t b a t a t 3 3 31 1 32 2 a33
x
tm1,n - tm,n lx tm,n1 - tm,n lx tm,n-1 - tm,n 0 ly y y x
整理得:
tm1,n tm-1,n - 2tm,n x
2

tm,n1 tm,n-1 - 2tm,n y
2
0
基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得温度场的 代数方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程， 依据能量守恒和Fourier导热定律即可。
2 3 4 t 1 t 1 t 1 t 2 3 4 tm-1,n tm,n - x x x x ... 2 3 4 2! x m,n 3! x m,n 4! x m,n x m,n
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4.2 内节点离散方程的建立方法
包括Taylor级数展开法和热平衡法
4.2.1 Taylor 级数展开法 4.2.2 热平衡法（热力学第一定律）
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4.2.1 Taylor 级数展开法
2t 推导温度在x方向二阶导数的代数表达式 x 2
对节点(m+1,n)和节点(m-1,n)分别写出t对 节点(m,n)的Taylor级数展开:
在均分网格中，一、二阶导数常见的差分表达式如下表所示
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4.2.2 热平衡法（热力学第一定律）
控制容积(元体) : 节点代表的区域 ,由相邻两节点连线的中垂线构成 二维常导热系数无内热源的稳态导热问题，对元体(m,n)列出能量守恒方程：
Ein Eg - Eout E s
稳态、无内热源时,从所有方向流入控制体的总热流量＝0
采用热平衡法建立节点的离散方程，物理概念清晰，推导过程简单， 并且对于建立边界节点的离散方程也能适用，需要掌握。 (m,n+1)
n
(m-1,n) (m, n) (m+1,n)
y
w s
x
(m,n-1)
e
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4.3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
4.3.1 边界节点离散方程的建立
t t m-1,n 两式相加得: m 1,n
2t 2t m,n 2 x
4 1 t 2 x 4 12 x m,n
x 4 ...
m,n
t m1,n t m-1,n 2t x 2
m,n
2t 2t m,n 2 x x 2
1 4t x 4 12 x m,n
(m,n+1)
n
(m-1,n) (m, n) (m+1,n)
w e n s 0
y
w s
x
(m,n-1)
e
12
从元体西界面导入的热量为: 从元体东界面导入的热量为: 从元体北界面导入的热量为: 从元体南界面导入的热量为:
w ly
Φe ly
m ,n
2t 2t 0 2 2 x y
3 4 1 2t 1 t 1 t t 2 3 tm1,n tm,n x 2 x 3 x 4 x 4 ... 2! x m,n 3! x m,n 4! x m,n x m,n
代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法
22
直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解： 矩阵求逆、高斯消元法
缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题（若物性 为温度的函数，节点温度差分方程中的系数不再是常数，而是温度的函数。 这些系数在计算过程中要相应地不断更新）
迭代解法：先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不断予以改进、 直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。 迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯-赛德尔迭代、块迭 代、交替方向迭代等
将差分表达式代入控制方程
2t 2t 0 得: 2 2 x y
tm1,n tm-1,n - 2tm,n x
如果 x y
2

tm,n1 tm,n-1 - 2tm,n y
2
0
则有:
tm,n
1 t m 1,n t m -1,n t m ,n 1 t m ,n -1 4
y x
tm,n
. 2 3x m,n 2xqw 1 2t m-1,n 2t m,n 1 t m,n -1 t m1,n 6 2l l
三、第三类边界条件情形
qw ht f - tm,n
将该热流密度的表达式代入第二类边界条件中，可得第三类 边界条件下边界节点的离散方程。
高斯-赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度的最新值
23
1. 高斯-赛德尔迭代法 下面以简单的三元方程组为例说明该方法的步骤：
a11t1 a12t 2 a13t3 b1 a21t1 a22t 2 a23t3 b2 a t a t a t b 33 3 3 31 1 32 2
如
x y ，则有：
y x
t m,n
. 2 x 2xqw 1 m,n t m -1,n t m,n -1 4 2l l
3、边界上的内部角点
边界节点F代表的区域为3/4个普通元体大小的面积。对该外部节点元体应 用能量平衡 q
2t y 2

m,n
t m,n 1 t m,n -1 - 2t m,n y 2
2t 2t 0 2 2 x y
t x 2
2

m,n
t m 1,n t m -1,n - 2t m ,n x
2
2t y 2

m,n
t m,n 1 t m,n -1 - 2t m,n y 2
4.1 导热问题数值求解的基本思想 4.1.1 基本思想
4.1.2 导热问题数值求解的基本步骤
Baidu Nhomakorabea
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4.1.1 基本思想
数值解： 用导热体内有限个离散点上的温度值的集合来代替实际连续的温度场分布
y
x
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2
4.1.2 导热问题数值求解的基本步骤
1. 数学描述 二维矩形区域内的稳态、无内热源、常物性导热问题
平直边界节点： 外部角点： 内部角点：
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例题讲解
请列出下图所示直径为d的圆截面直肋的一维稳态、无内热源、常物性导热问题内
节点2的离散方程式（导热系数为λ，肋高方向的步长为Δx）。
对节点2，列热平衡式：
Ac

4
d2
P d
l Ac
t -t t1 - t2 l Ac 3 2 hPx t f - t2 0 x x
2t 2t 0 2 2 x y
x 0 x H y 0 y W t t0 t h (t - t f ) x t -l h (t f - t ) y t -l h (t - t f ) y
-l
2.
区域离散化
网格划分： 用一系列与坐标轴平行网格线把求解区域划分成许多子区域 节点:网格线的交点，分内节点和外节点 步长：相邻两节点间距离，在一个方向步长也可不均匀 均分网格: x const
x y
，则有：
y x
tm,n
. 2 x m,n 2xqw 1 2t m-1,n t m1,n t m,n -1 4 l l
2、边界上的外部角点
边界节点D代表的区域为1/4个普通元体大小的面积。 qw
y tm-1,n - tm,n x tm,n -1 - tm,n l l 2 x 2 y xy . x y m,n qw 0 4 2
2
x 4 ...
m,n
t m1,n t m -1,n - 2t m,n
0(x 2 )
略去截断误差，得到温度在x方向二阶导数的中心差分表达式:
2t x 2

m,n
t m 1,n t m -1,n - 2t m ,n x 2
同理,得温度在y方向二阶导数的中心差分表达式: