导热数值解法
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4-1_导热问题的数值解法
w e n s xy 0
§4-2 稳态导热问题的数值解法
三、建立节点物理量的代数方程（离散方程） 边界节点 （3）边界节点的有限差分方程
一类边界条件：方程组封闭，可直接求解 二类、三类边界条件：边界温度未知，方程 y 组不封闭 将第二类边界条件及第三类 边界条件合并起来考虑，用 qw 表示边界上的热流密度或 热流密度表达式。用 表示 内热源。
四、设立迭代初场
代数方程组的求解方法有直接解法与迭代解法，传
热问题的有限差分法中主要采用迭代法。采用迭代
法求解时，需对被求的温度场预先设定一个解，这
个解称为初场，并在求解过程中不断改进。
§4-1导热问题数值求解的基本思想
五、求解代数方程组
本例中除 m=1 的左边界上 N 各节点的温度已知外，其 余 (M-1)N 个节点均需建 n 立离散方程，共有 (M-1)N y 个方程，则构成一个封闭 y 的代数方程组。
y
h3 t f
t0
h1t f
h2 t f
x
§4-2 稳态导热问题的数值解法
二、区域离散化（确立节点）
y
二维矩形域内稳态、 有均匀内热源、常物 性导热问题 (m,n)
h3 t f
t0
y
x
h1t f
h2 t f
x
§4-2 稳态导热问题的数值解法
三、建立节点物理量的代数方程（离散方程） (1) 泰勒级数展开法 根据泰勒级数展开式，用节点(m,n)的温度tm,n来 表示节点(m+1,n)的温度tm+1,n
(m,n)
x
x
m
M
求解时遇到的问题： ① 线性； ② 非线性； ③ 收敛性等。
四章节导热问题数值解法
O(h2)
(h)
由式(b)和式(d)消去f (x) 得：
f (x)
f (x)
f
(
x
2h) h2
2
f
(x
h)
O(h2
)
(i)
由式(a)和式(b)消去f (x) 得： f (x) f (x h) f (x h) 2 f (x) O(h3) (j) h2
由(e)式～(j)式分别略去 h 、h2 及 h3 以上各项得一阶、二阶
导数向前、向后及中心差分公式为：
、
一阶导数向前差分：
f (x) f (x h) f (x)
h
一阶导数向后差分： f (x) f (x) f (x h) h
一阶导数中心差分：
f (x) f (x h) f (x h) 2h
3 三种方法的特点 (1) 分析法
a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供 比较依据；
b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见。
(2) 数值法
在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于 复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低。
(3) 实验法
f (x)
fi ,
f (x h)
f i 1 ,
f (x h)
fi
……
1
x
函数 f（x）在点 x 的一、二阶导数的有限差分表达式分别为：
一阶导数向前差分：fi '
fi1 h
fi
一阶导数向后差分：fi '
fi fi1 h
一阶导数中心差分：fi '
04章-导热数值解法基础
4 导热数值解法基础
二、建立离散方程的方法
1、有限差分法（Taylor级数展开） 对节点(i+1, j)和节点(i-1, j)写出的函数t对(i, j)点泰勒级数 展开式： 2 2 3 3
t i 1, j t i , j Δ x ( t i 1, j t i , j
t Δx t Δx t ) i, j ( 2 ) i, j ( 3 ) i, j x 2! x 3! x t Δx 2 2 t Δx 3 3 t Δx ( ) i , j ( 2 ) i, j ( 3 ) i, j x 2! x 3! x
控制容积法中直接将能量守恒原理及傅里叶定律应用于节点代表的控制容积， 该方法物理概念清晰，推导过程简洁。对非均匀网格同样适用，只须将节点 间的不同距离反映到离散方程中，即Δx、 Δy 采用不同数值。
CUMT-SMCE
10/27
传热学 Heat Transfer
4 导热数值解法基础
4-2 稳态导热数值计算
传热学 Heat Transfer
4 导热数值解法基础
二、建立离散方程的方法
2、控制容积法（热平衡法） 流入流出微元体的净热流量 ＋ 微元体内热源生成热 = 微元体内能的增量 控制容积(i, j)的能量守恒方程为：
LP RP TP BP V E
当温度场还没有求出来之前，我们并不知道 温度梯度，由于相邻节点之间的间距非常小， 可以认为相邻节点间的温度呈线性分布，如 图所示。
舍去第三项及以后的各项得：
t i , j t i 1, j t ( ) O ( x ) x i , j x
一阶导数的向后差分表达式
CUMT-SMCE
导热问题的数值解法
3 1 2t 1 t t 2 3 4 tm1,n tm,n x x x 0 ( x ) 2 3 2! x m,n 3! x m,n x m,n
两式相加得:
2t tm1,n t m1,n 2tm,n ( 2 ) m,n x 2 0(x 4 ) x t m1,n tm1,n 2t m,n 2t 2 ( 2 ) m,n 0 ( x ) 2 x x 2 tm,n1 tm,n1 2tm,n t 同理 ( 2 ) m,n 2 y y
x x tm, 2 t (2 )t m,1 0 2 3) 对于第二类边界条件
t m1,1 tm1,1
x 0, 取 hx(t tm,1 ) 0 即可
x a 将hxt tm,1 换成q即可, 或取控制容积 , 用热力学定律仿上面方 法求解.
c
边界条件
y
b
t tb
q
0
t h
x a
2t 2t 0 2 2 y y t x0 0 x t xa q x t y0 h(t t ) y y b t tb
2. 区域离散化
有限差分法原理 finite difference 有限元法 finite element
2. 区域离散化 3. 建立节点物理量的代数方程 4. 设立迭代初场 5. 求解代数方程组
6. 解的分析
1. 数学描述
导热问题一般为:
无限长棱柱（如图）导热、 沿高度各截面的温度分布 相同，可简化为二维问题。
( const)
t (t ) 0 t f ( x, y.z )
w y
两式相加得:
2t tm1,n t m1,n 2tm,n ( 2 ) m,n x 2 0(x 4 ) x t m1,n tm1,n 2t m,n 2t 2 ( 2 ) m,n 0 ( x ) 2 x x 2 tm,n1 tm,n1 2tm,n t 同理 ( 2 ) m,n 2 y y
x x tm, 2 t (2 )t m,1 0 2 3) 对于第二类边界条件
t m1,1 tm1,1
x 0, 取 hx(t tm,1 ) 0 即可
x a 将hxt tm,1 换成q即可, 或取控制容积 , 用热力学定律仿上面方 法求解.
c
边界条件
y
b
t tb
q
0
t h
x a
2t 2t 0 2 2 y y t x0 0 x t xa q x t y0 h(t t ) y y b t tb
2. 区域离散化
有限差分法原理 finite difference 有限元法 finite element
2. 区域离散化 3. 建立节点物理量的代数方程 4. 设立迭代初场 5. 求解代数方程组
6. 解的分析
1. 数学描述
导热问题一般为:
无限长棱柱（如图）导热、 沿高度各截面的温度分布 相同，可简化为二维问题。
( const)
t (t ) 0 t f ( x, y.z )
w y
导热问题的数值解法-PPT精选文档
例：一圆形金属棒，长L=0.5m，横截面积为A=0.01m2，其 导热系数为常数1000W/m.℃，无内热源，金属棒两端温度 已给定，分别为100℃、500℃，且不随时间变化，金属棒 径向的温度变化忽略不计。求该金属棒内的温度分布。 解：
t t t q t V 2 2 2 x y z c
导
差分方程的建立－热平衡法 j n
t Q qF F n t t i 1 ,j i ,j Q y 1 i 1 ,j i ,j j y x t t i 1 ,j i ,j Q y 1 i 1 ,j i ,j x
x V y 1 2
n 1
Q t t y 1 f i , j f i , j
Q Q Q Q 0 i 1 , j i , j f i , j i , j 1 i , j i , j 1 i , j
Q i ,j 1 i ,j t t i ,j 1 i ,j y x 1
热
y
m 1 n 1
i, j1 i1 , j
i1 , j i, j1
y
11 导 热 问 题 的 数 值 解 法
i, j
x
i1 , j i, j1
y
稳态导热的有限差分方法
j y
11 导 热 问 题 的 数 值 解 法
i, j
x
2t 2t 2 0 2 x y
0,0
ix
i m
d2t ti 2 ti ti 1 1 2 2 dx x i
2 2 2
No.08 1013 4 导热问题的数值解法
Φ +Φ +Φ +Φ = 0 下 左 右 上
(m,n+1)
∆y
(m-1,n) (m, n) (m+1,n)
(m-1,n)
(m+1,n)
∆y
(m,n-1)
(m,n-1)
y o
∆x
∆x
15
x
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例，此时： 以二维、稳态、有内热源的导热问题为例，此时：
Φi = Φ +Φ +Φ ＋ 右 +Φg = 0 下 左 Φ 上
其节点方程为：
ti +1, j − 2ti , j + ti −1, j
∆x 2
& ti , j +1 − 2ti , j + ti , j −1 Φv ,i , j + + =0 2 ∆y λ
13
(2)热平衡法 (控制容积平衡法)
基本思想： 基本思想 对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得
温度场的代数方程组。它从基本物理现象和基本定律出发，不必事 先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。 能量守恒： 流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热= 控制体内能的增量 流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热
即：
Φ i + Φ g = Φ st
单位： 单位 [ W ]
注意：
横坐 标节 点编 号 N
(m,n)
n
（m，n）
∆y
y x
纵坐 标节 点编 号
∆x
m
M
8
N
(m,n)
网格( 网格 grid )划分 划分
网格划分方法: 网格划分方法 方法1： 方法 ： 先确定节点， 先确定节点，后定界面 方法2： 方法 ： 先确定界面，后定节点 先确定界面， 均分网格: 均分网格
导热数值解法
8
2. 节点温度差分方程组的求解方法
线性代数方程组的求解方法有消元法、矩阵求逆法、 迭代法等，这里仅简单介绍在导热的数值计算中常用 的迭代法中的两种： (1) 简单迭代法
(2) 高斯-塞德尔迭代法
9
(1) 简单迭代法 a1 1t1 a1 2 t 2 a 1 j t j a1n t n b1
（1）对实际导热问题的几何、物理性质进行分析， 做必要的、合理的简化，建立符合实际的物理模型。 （2）根据物理模型建立完整的数学模型，即给出 导热微分方程和单值性条件。 第(1)、(2)步是导热问题所有求解方法的基础。 （3）求解域离散化：用与坐标轴平行的网络线将所 涉及的空间和时间区域划分成有限个子区域，将网络线 的交点作为节点, 每个节点就代表以它为中心的子区域 （控制容积），节点温度就代表子区域的温度。
t i 1, j t i 1, j t i , j 1 t i , j 1 4 t i , j 0
可见，物体内每一个节点温度都等于相邻4个节点温度 的算术平均值。 2) 边界节点温度差分方程 对于具有第三类边界条件的边界 节点 ( i,j )所代表的控制容积，根据 其热平衡
2 B i 6 t i , j 2 B i t 0
7
绝热边界节点：
t i , j 1 t i , j 1 2 t i 1, j 4 t i , j 0
运用有限差分方法可以建立导热 物体所有内部节点和边界节点温度的 差分方程。求解这些差分方程构成一 个线性代数方程组就可以得节点温度 的数值。
y
t i 1, j t i , j
x x t i , j 1 t i , j
2 y
第5章-导热数值解法共61页文档
5.0 基本思想和求解步骤
一、基本思想
对把物原理来问在题时进间行、数空值间求坐解标的系基中本连思续想的 可物以理概量括的为场：（如导热物体的温度场）
用有限个离散点上的值的集合来代替 通过求解按一定方法建立起来的关于 这些值的代数方程，来获得离散点上 被求物理量的值
二、求解步骤
结合二维矩形域内稳态、无内热源、常 物性的导热问题，说明求解过程的各个 步骤。
A11 A12 A13 t1 B1 A21 A22 A23t2B2 A31 A32 A33 t3 B3
(K)
2
y
If xy ，则：
2 t m 1 , n t m , n 1 t m , n 1 4 t m , n 0 ( L )
此式为式(H) 在 h0时的特例。
若只考虑（G）x向，则：
y 1 tm 1 ,n tm ,n 0 x 根据对称性，有：
(M )
t m 1 t m 1 ( N ) ( 5 1 5 )
平直边界第三类边界条件 绝热平直边界 外部角点、内部角点
(1) 平直边界第三类边界条件
y 1 t m 1 ,n tm ,n x
x 1 tm ,n 1 tm ,n
2
y
x 1 tm ,n 1 tm ,n
2
y
h y 1 t t m
tm 4 个1 ,n 相 邻tm 控 1 制,n体t向m 内,n 部1 节tm 点,n （ 1m ,4 nt）m ,n 代 表0
的控制体的导热量 = 0
(5 1 )
y1tm1,ntm,n y1tm1,ntm,n
x
x
x1tm,n1tm,n x1tm,n1tm,n 0
y
y
(F)
3. 可求解的条件
第4章 导热问题的数值解法共30页
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t tm 1 ,n2 tm ,ntm 1 ,no( x2)
x2m ,n
x2
截断误差
同样可得：
未明确写出的级数余项中
的Δx的最低阶数为2
2t tm ,n 12tm ,ntm ,n 1o( y2)
y2m ,n
y2
28.05.2020 - 8 -
(3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好； b 费用昂贵
数值解法：有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD）
28.05.2020 - 2 -
第4章 导热问题的数值解法——§4-1 导热问题数值求解的基本思
2 例题条件
y
h3t f
W
t0
t2 x 2
t2 y 2
0
x 0, t t0
x H,
t x
h2 (t
tf)
h2t f
y 0,
t y
h1 (t
tf)
yW ,
t y
h3 (t
tf)
h1t f
Hx
二维矩形域内稳态无内热源，
常物性的导热问题
28.05.2020 - 4 -
第4章 导热问题的数值解法———§4-1 导热问题数值求解的基本思想
第4章 导热问题的数值解法———§4-1 导热问题数值求解的基本思想
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例 此时：
Φ 上 Φ 下 Φ 左 ＋ Φ 右 Φ v 0 左Ad dxtyd dxt
导热问题的数值解法
第四章 导热问题的数值解法
4
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内部节点离散方程的建立
1物 理 问 题 的 数 值 求 解 过 程
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
改进初场
是否收敛 否
是 解的分析
第四章 导热问题的数值解法
5
2 例题条件
tm1,n
tm,n
t x
x
m,n
2t x2
m,n
x2 2!
3t x3
m,n
x3 3!
第四章 导热问题的数值解法
9
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t
tm1,n 2tm,n tm1,n o(x2 )
x2 m,n
x 2
同样可得：
2t tm,n1 2tm,n tm,n1 o(y2 )
代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法
第四章 导热问题的数值解法
24
直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解; 矩阵求逆、高斯消元法
缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性 问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的系数不 再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应 地不断更新）
25
例如：根据第 k 次迭代的数值 可以求得节点温度：
t1(k)、t2(k)....tn(k)
t1(k1) a11t1(k) a12t2(k) ...... a1ntn(k) b1(k)
在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）
t2(k1) a21t1(k1) a22t2(k) ...... a2ntn(k) b2(k) t3(k1) a31t1(k1) a32t2(k1) ...... a3ntn(k) b3(k) ....................................................... tn(k1) an1t1(k 1) an2t2(k 1) ...... ann1tn(k11) anntn(k ) bn(k )
传热学60-第四章 导热问题的数值解法
B (i,j 1)
第四章 导热问题的数值解法 9
根据傅里叶定律， L,R,T ,B各节点向P节点的导热量：
T (i,j 1)
LP RP BP LP
t i 1 , j t i , j ti 1 , j ti , j t i , j 1 t i , j ti , j 1 ti , j
tik 1 tik
的一阶导数采用向前差分，则
tik 1 2tik tik 1 a x 2
第四章 导热问题的数值解法 28
上式移项整理 k k 1 k k ti a ( t i 1 t i 1 ) ( 1 2 a )ti 2 2 x x
x
y 1 y 1 x 1 x 1
(i 1,j )
(i 1,j )
L
R
x
Z方向取单位长度 (i,j 1) B
y
y
第四章 导热问题的数值解法
10
若有内热源， v ,i , j 为P节点所在网格单元的内热源强度
则内热源发热量
在稳态导热下：
v , p v ,i , j x y 1
ti 1, j ti , j y x y 3 1 h(t f ti , j ) xy v ,i , j 0 x 2 2 4
第四章 导热问题的数值解法
19
不规则区域的处理
用阶梯形的折线来模拟真实边界
t2
t1
t2
t2
t2
t2
第四章 导热问题的数值解法 20
第四章 导热问题的数值解法
17
3.
内部角点
内部角点
P(i ,j ) ti ,j
导热问题的数值解法简介
热平衡法示意图
i , j+1 i-1, j n i-1,j w s i, j-1 x e i+1, j
y
节点温差方程的建立
内部节点温度差分方程 对于二维稳态导热问题，内部节点（i , j）所代表的 控制容积在导热过程中的热平衡可表示为：从周围 相邻控制容积导入的热流量之和为零：
w e s n 0
其中aij、bi为常数，且aii 0
简单迭代法
1 t1 b1 a12t2 ... a1 jt j ... a1ntn a11 1 t2 b2 a21t1 ... a2 jt j ... a2ntn a22 1 tn bn an1t1 ... anj t j ... an n 1tn 1 ann
求解域的离散化
2、节点的选择
y
步长
x
每个节点代表以它为中心的子区域（或称为控制容积），节 点的温度就是子区域的温度。
求解域的离散化
2、节点的选择
i, j+1
i-1, j i, j i+1,的建立
建立节点温度差分方程的方法有两种：泰勒级数展 开法与控制容积热平衡法 控制容积热平衡法的基本思路是，根据节点所代表 的控制容积在导热过程中的能量守恒来建立温度差 分方程。
节点温差方程组的求解
简单迭代法 设节点温度差分方程的形式为：
a11t1 a12t2 ... a1 j t j ... a1ntn b1 a21t1 a22t2 ... a2 j t j ... a2 ntn b2 a t a t ... a t ... a t b nj j nn n n n1 1 n 2 2
罗大雷-导热问题的数值解法
导热问题数值解法初次研究对物理物体的数值求解的基本思想可以概括为：把原有的时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热问题的温度场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上的值。
这些离散点上的被求解物理量的值的集合称为该物理量的数值解。
物理模型在四个输气的管道中间有一个各边长为10厘米的薄铁片，求导热其达到稳态后，这块铁片的温度分布。
四个输气管道里的气体温度是恒值分别为100℃、200℃、500℃、1000℃。
因此，可以看成是二维矩形域内的稳态、无内热源、常物性的导热问题。
建立数学模型描写物理问题的微分方程称为控制方程，导热微分方程为：22220t t xy∂∂+=∂∂ （1）其四个边界分别为第一类边界条件，1234t =1005002001000===℃、t ℃、t ℃、t ℃。
区域离散化用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成许多子区域，以网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置，称为节点。
相邻两节点的距离称为步长，记为x ∆、y ∆。
本模型x 、y 方向是各自均分的，各自为100个子区域。
节点的位置以该节点在两个方向上的标号m 、n 来表示。
每一个节点都可以看成是以它为中心的一个小区域的代表，由相邻的两节点连接的中垂线构成。
为叙述方便，我们把节点所代表的小区域称为元体。
数学模型离散化它的建立是数值求解过程中的重要环节，主要有泰勒级数展开法及热平衡法两种，取节点（m ，n ）及其临点为例。
泰勒级数展开法以节点（m ，n ）处的二阶偏导数为例用这种方法来导出其差分表达式。
对节点(1,)m n +及(1,)m n -分别写出函数t 对（m ，n ）的泰勒级数展开式：2233441,,,,,,2342624m n m n m nm nm nm nt x t x t xtt t xx xxx +∂∆∂∆∂∆∂=+∆++++∂∂∂∂ （2）2233441,,,,,,2342624m n m n m n m nm nm nt x t x t xtt t xxxxx-∂∆∂∆∂∆∂=-∆+-++∂∂∂∂ （3）将式（2）、（3）相加得24421,1,,,,24212m n m n m n m nm nt xtt t t x xx+-∂∆∂+=+∆++∂∂ （4） 将（4）式改写成2,2m n t x∂∂的表达式，有21,,1,2,222()m n m n m n m nt t t t O x xx+--+∂=+∆∂∆ （5）这是用三个离散点上的值来计算二阶导数2,2m nt x∂∂的严格的表达式，其中符号2()O x ∆表示未明确写出的级数余项中x ∆的最低阶数为2。
热传导问题的数值解法
热平衡法不是在控制方程的基础上进行离
散，而是直接对元体应用热力学第一定律
和傅里叶定律，从而得到该节点温度的离 w
e
散方程。
二维稳态常导热系数无内热源的稳态导热
问题，对元体(m,n)列出能量守恒方程：
s
w e n s 0
➢ 从元体西界面导入的热量为: ➢ 从元体东界面导入的热量为: ➢ 从元体北界面导入的热量为: ➢ 从元体南界面导入的热量为:
控制方程
t
a
2t x2
对该方程，扩散项在i时刻采用中心差分格式， 非稳态项取向前差分格式进行离散，得：
t (i1) n
t (i) n
a
t (i) n1
2tn(i)
x2
t (i) n1
t (i1) n
a x 2
t t (i)
(i)
n1 n1
1
2a x 2
t
(i n
)
上述离散方程一旦i时层各节点温度已知，每一个离散方程中只有一个未 知量，因此可以立即求出i+1时层上各内部节点的温度，而不必联立求解
2t x2
x2
1 12
4t x4
x4 ...
m,n
m,n
tm1,n
tm1,n
2tm,n
2t x2
x2
1 12
4t x4
x4 ...
m,n
m,n
2t x 2
tm1,n
tm1,n x 2
2tm,n
0(x2 )
m,n
略去截断误差，得到温度在x方向二阶导数的中心差分表达式:
2t
tm1,n tm1,n 2tm,n
数值解： 用导热体内有限个离散点上的温度值的集合来代替实际连续的温度场 分布
传热学课件第四章 导热问题数值解法基础
i , j
t x
t i 1 , j t i , j x
0 x
2.一阶导级的向后差分表达式：舍去<2>式△x2后各项，则有：
i , j
t x
t i , j t i 1 , j x
0 x
第一节 建立离散方程的方法
二、泰勒级数展开法（有限差分法）
k 2 k 1
对 流 h t f t1 A
k k
显式
△x
C.内能增量△u：
u c
x 2
A t1
k
k 1
t1 /
k
△x/2
k hx
据热平衡A+B=C并整理得：
k f
t 2 t1
k
t
t1
k
1 2
c
x
2
t1
k 1
LP
△y
t i 1 , j t i , j x
t i , j 1 t i , j y
y 2
x 2
1
BP
1
x 2
y 2
EP h t f t i , j
△x
1
FP h t f t i , j
t x
t
2
2
x i , j 2!
2
t x
3
x i , j 3!
3
3.一阶导级的中心差分表达式：<1>-<2>式且忽略后项，则有：
i , j
t x
第5章-导热数值解法
M-1, m, m+1,
tm
rt m 1 1 2r t m rt m 1 (5 4)
i
i
i
tm
i 1
tm
i
t m 1 2 t m t m 1 a (5 3) 2 x
i
i
i
2 解的稳定性
有的差分格式的计 算结果与真值十分 相近。有的差分格 式的计算结果严重 偏离真值，甚至发 生上下震荡，得不 到结果。
对节点(m+1,n)及(m-1,n)分别写出函数t对 (m,n)的泰勒级数展开式：
t m 1,n
t t t m ,n x 2 x m , n x
2
m ,n
x (A) 2
2
t m 1,n
t t t m ,n x 2 x m ,n x
2
m ,n
三、边界节点离散方程的建立
1. 边界上温度之已知，即给定第一类边界 条件 则 M 2 N 2 为内部节点，可全部 由内部节点方程求出。对每一个节点， 列一个内部节点方程。
M 2 N 2 个内部节点 可列出 M 2 N 2 个方程
可解
三、边界节点离散方程的建立
2. 边界上温度未知，如第二、三类边界条 件或绝热边界条件，须补充列出边界节 点方程。 平直边界第三类边界条件 绝热平直边界
外部角点、内部角点
(1) 平直边界第三类边界条件
y 1
t m 1,n t m ,n x
t m ,n 1 t m ,n x 1 2 y t m ,n1 t m ,n x 1 2 y hy 1 t t m ,n 0 (G )
tm
rt m 1 1 2r t m rt m 1 (5 4)
i
i
i
tm
i 1
tm
i
t m 1 2 t m t m 1 a (5 3) 2 x
i
i
i
2 解的稳定性
有的差分格式的计 算结果与真值十分 相近。有的差分格 式的计算结果严重 偏离真值，甚至发 生上下震荡，得不 到结果。
对节点(m+1,n)及(m-1,n)分别写出函数t对 (m,n)的泰勒级数展开式：
t m 1,n
t t t m ,n x 2 x m , n x
2
m ,n
x (A) 2
2
t m 1,n
t t t m ,n x 2 x m ,n x
2
m ,n
三、边界节点离散方程的建立
1. 边界上温度之已知，即给定第一类边界 条件 则 M 2 N 2 为内部节点，可全部 由内部节点方程求出。对每一个节点， 列一个内部节点方程。
M 2 N 2 个内部节点 可列出 M 2 N 2 个方程
可解
三、边界节点离散方程的建立
2. 边界上温度未知，如第二、三类边界条 件或绝热边界条件，须补充列出边界节 点方程。 平直边界第三类边界条件 绝热平直边界
外部角点、内部角点
(1) 平直边界第三类边界条件
y 1
t m 1,n t m ,n x
t m ,n 1 t m ,n x 1 2 y t m ,n1 t m ,n x 1 2 y hy 1 t t m ,n 0 (G )
导热问题数值解法
W
h3 tf h2 tf
y x
t0
h1 tf
H
传输原理
2. 区域离散化 (discretization)
沿x方向和y方向分别以Δx，Δy为间隔把 求解区域划分成很多个小的子区域。 步长：相邻两节点间的距离Δx, Δy。 节点：网格线(边界线)的交点。
( m, n) 节点表示： (m 1, n) (m, n 1) (m 1, n) (m, n 1)
级数展开式分别为：
h2 h3 f ( x h) f ( x) hf ( x) f ( x) f ( x) 2! 3! h2 h3 f ( x h) f ( x) hf ( x) f ( x) f ( x) 2! 3!
工学院机电工程教研室 传输原理
4.2 内节点离散方程的建立方法
数值计算过程的核心内容 . 两种方法: 泰勒级数展开法;
控制容积热平衡法 .
2t 2t 0 2 2 x y
4.2.1 泰勒级数展开法
根据泰勒级数，导出节点（m,n）处二阶偏导数 的差分表达式：
t m 1, n t m , n t m 1, n t m , n t x x t x x
导热问题数值解法
(Numerical Method of Conduction)
工学院机电工程教研室
传输原理
引言
1 求解导热问题的三种基本方法：(1) 理论分析法；(2) 数 值计算 法；(3) 实验法 2 三种方法的基本求解过程 (1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接 对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解 称之为分析解，或叫理论解；
工学院机电工程教研室
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2t 2t 0 2 2 x y
x 0 x H y 0 y W t t0 t h (t - t f ) x t -l h (t f - t ) y t -l h (t - t f ) y
-l
2.
区域离散化
网格划分： 用一系列与坐标轴平行网格线把求解区域划分成许多子区域 节点:网格线的交点，分内节点和外节点 步长：相邻两节点间距离，在一个方向步长也可不均匀 均分网格: x const
4.1 导热问题数值求解的基本思想 4.1.1 基本思想
4.1.2 导热问题数值求解的基本步骤
返回
4.1.1 基本思想
数值解： 用导热体内有限个离散点上的温度值的集合来代替实际连续的温度场分布
y
x
返回
2
4.1.2 导热问题数值求解的基本步骤
1. 数学描述 二维矩形区域内的稳态、无内热源、常物性导热问题
2 3 4 t 1 t 1 t 1 t 2 3 4 tm-1,n tm,n - x x x x ... 2 3 4 2! x m,n 3! x m,n 4! x m,n x m,n
t m -1,n - t m,n
x
t m 1,n - t m,n x tm,n 1 - tm,n
Φn lx Φs lx
y tm,n-1 - tm,n y
w e n s 0
将各表达式代入对元体(m,n) 能量守恒方程得：
ly
t m-1,n - tm,n
平直边界节点： 外部角点： 内部角点：
返回
例题讲解
请列出下图所示直径为d的圆截面直肋的一维稳态、无内热源、常物性导热问题内
节点2的离散方程式（导热系数为λ，肋高方向的步长为Δx）。
对节点2，列热平衡式：
Ac
4
d2
P d
l Ac
t -t t1 - t2 l Ac 3 2 hPx t f - t2 0 x x
x
tm1,n - tm,n lx tm,n1 - tm,n lx tm,n-1 - tm,n 0 ly y y x
整理得:
tm1,n tm-1,n - 2tm,n x
2
tm,n1 tm,n-1 - 2tm,n y
2
0
基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得温度场的 代数方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程， 依据能量守恒和Fourier导热定律即可。
x y
，则有：
y x
tm,n
. 2 x m,n 2xqw 1 2t m-1,n t m1,n t m,n -1 4 l l
2、边界上的外部角点
边界节点D代表的区域为1/4个普通元体大小的面积。 qw
y tm-1,n - tm,n x tm,n -1 - tm,n l l 2 x 2 y xy . x y m,n qw 0 4 2
（2）假设一组解（即迭代初场），记为t1(0)、t2(0)、t3(0),由迭代公式逐 一计算出改进值t1(1)、t2(1)、t3(1)。每次计算均用t的最新值代入。
（3）以计算所得之值作为初场，重复上述计算，直到相邻两次迭代值之 差小于允许值，此时称为已经达到迭代收敛，迭代计算终止。
( k 1) 1 (k ) (k ) t b a t a t 1 1 12 2 13 3 a11 ( k 1) 1 ( k 1) (k ) t b a t a t 2 2 21 1 23 3 a22 ( k 1) 1 ( k 1) ( k 1) t b a t a t 3 3 31 1 32 2 a33
（1）将方程组改写成关于t1,t2,t3的显式形式，即迭代方程。
1 b1 - a12t2 - a13t3 t1 a11 1 b2 - a21t1 - a23t3 t 2 a22 t 1 b - a t - a t 3 31 1 32 2 3 a 33
高斯-赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度的最新值
23
1. 高斯-赛德尔迭代法 下面以简单的三元方程组为例说明该方法的步骤：
a11t1 a12t 2 a13t3 b1 a21t1 a22t 2 a23t3 b2 a t a t a t b 33 3 3 31 1 32 2
采用热平衡法建立节点的离散方程，物理概念清晰，推导过程简单， 并且对于建立边界节点的离散方程也能适用，需要掌握。 (m,n+1)
n
(m-1,n) (m, n) (m+1,n)
y
w s
x
(m,n-1)
e
返回
4.3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
4.3.1 边界节点离散方程的建立
2
x 4 ...
m,n
t m1,n t m -1,n - 2t m,n
0(x 2 )
略去截断误差，得到温度在x方向二阶导数的中心差分表达式:
2t x 2
m,n
t m 1,n t m -1,n - 2t m ,n x 2
同理,得温度在y方向二阶导数的中心差分表达式:
y const
3. 建立节点物理量的代数方程
关于节点物理量的代数方程也称离散方程，建立离散方程是数值求解过程 中的重要环节，是本章的重点内容。
4. 设立温度场的迭代初值 节点代数方程组的求解一般采用迭代法，需要对被求解的温度场预 先假定一个初始温度分布，称为初场
5. 求解代数方程组
6. 解的分析
将差分表达式代入控制方程
2t 2t 0 得: 2 2 x y
tm1,n tm-1,n - 2tm,n x
如果 x y
2
tm,n1 tm,n-1 - 2tm,n y
2
0
则有:
tm,n
1 t m 1,n t m -1,n t m ,n 1 t m ,n -1 4
(m,n+1)
n
(m-1,n) (m, n) (m+1,n)
w e n s 0
y
w s
x
(m,n-1)
e
12
从元体西界面导入的热量为: 从元体东界面导入的热量为: 从元体北界面导入的热量为: 从元体南界面导入的热量为:
w ly
Φe ly
2t y 2
m,n
t m,n 1 t m,n -1 - 2t m,n y 2
2t 2t 0 2 2 x y
t x 2
2
m,n
t m 1,n t m -1,n - 2t m ,n x
2
2t y 2
m,n
t m,n 1 t m,n -1 - 2t m,n y 2
代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法
22
直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解： 矩阵求逆、高斯消元法
缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题（若物性 为温度的函数，节点温度差分方程中的系数不再是常数，而是温度的函数。 这些系数在计算过程中要相应地不断更新）
迭代解法：先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不断予以改进、 直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。 迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯-赛德尔迭代、块迭 代、交替方向迭代等
1、平直边界上的节点 边界节点(m,n)代表的区域为半个普通大小元体。对该半个元体应用能量平衡
qw
l y
tm-1,n - tm,n
x x tm,n -1 - tm,n xy . l m,n yqw 0 2 y 2
如
x tm,n 1 - tm,n l 2 y
返回
4.2 内节点离散方程的建立方法
包括Taylor级数展开法和热平衡法
4.2.1 Taylor 级数展开法 4.2.2 热平衡法（热力学第一定律）
返回
4.2.1 Taylor 级数展开法
2t 推导温度在x方向二阶导数的代数表达式 x 2
对节点(m+1,n)和节点(m-1,n)分别写出t对 节点(m,n)的Taylor级数展开:
即：
hPx 2 hPx 2 t1 - 2 t2 t3 tf 0 l Ac l Ac
4.3.3 求解代数方程的迭代法
写出所有内节点和边界节点的温度差分方程n个未知节点 温度，n个代数方程式：
t1 a11t1 a12t 2 ...... a1n t n b1 t 2 a 21t1 a 22t 2 ...... a 2 n t n b2 ............................................ t n a n1t1 a n 2 t 2 ...... a nnt n bn
m ,n
2t 2t 0 2 2 x y
3 4 1 2t 1 t 1 t t 2 3 tm1,n tm,n x 2 x 3 x 4 x 4 ... 2! x m,n 3! x m,n 4! x m,n x m,n
y x
tm,n
. 2 3x m,n 2xqw 1 2t m-1,n 2t m,n 1 t m,n -1 t m1,n 6 2l l
三、第三类边界条件情形
qw ht f - tm,n