高中数学 全称量词与存在量词

[活学活用]
判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出这些命题的否 定． (1)有一个奇数不能被 3 整除； (2)∀x∈Z，x2 与 3 的和不等于 0； (3)有些三角形的三个内角都为 60° ； (4)每个三角形至少有两个锐角； (5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
解：(1)是特称命题，否定为：每一个奇数都能被 3 整除．
[解析]
(1)因为“∃x∈M， p(x)”的否定是“∀x∈
M， 綈 p(x)”， 所以命题“∃n∈N， n2>2n”的否定是“∀ n∈N，n2≤2n”，故选 C.
(2)由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的 否定形式是特称命题，所以 “ ∀ x ∈ R ， ∃ n ∈ N* ，使得 n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得 n＜x2”．
B．∃n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
( )
)
A．∀n∈N，n2>2n C．∀n∈N，n2≤2n
否定形式是
(2)(浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得 n≥x2”的 A．∀x∈R，∃n∈N*，使得 n＜x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得 n＜x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得 n＜x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得 n＜x2
2 (2)是全称命题，否定为：∃x0∈Z，x0 与 3 的和等于 0.
(3)是特称命题， 否定为： 任意一个三角形的三个内角不都为 60° . (4)是全称命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角． (5)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆 只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆 只有一个公共点的直线不是圆的切线.
的解集记为 D.有
下面四个命题： p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2； p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2； p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3； p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.
其中真命题是 A．p2，p3 C．p1，p2 B．p1，p4 D．p1，p3
(
)
(2)若命题“∃x0∈R， 使 x2 0＋(a－1)x0＋1<0”是假命题， 则实数 a 的取值范围是 A．[－1,3] C．(1,4) B．[1,4] D．(－∞，－1)∪[3，＋∞) ( )
答案：(1)×
(2)√
(3)√
2．下列全称命题为真命题的是 A．所有的质数是奇数 B．∀x∈R，x2＋1≥1 C．对每一个无理数 x，x2 也是无理数 D．所有的能被 5 整除的整数，其末位数字都是 5
(
)
答案：B
3．命题 p：∃x0∈R，x2 0＋2x0＋5<0 是________(填“全称命 题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或
∃x0∈M，綈 p(x0) ； (1)全称命题 p：∀x∈M，p(x)的否定綈 p：
全称命题的否定是 特称命题 ．
∀x∈M，綈 p(x) ； (2)特称命题 p：∃x0∈M，p(x0)的否定綈 p：
特称命题的否定是 全称命题 ．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略 (2)“有的等差数列也是等比数列”是特称命题 (3)“三角形内角和是 180° ”是全称命题 ( ( ( ) ) )
[活学活用]
用全称量词或存在量词表示下列语句： (1)不等式 x2＋x＋1>0 恒成立； 1 2 1 (2)当 x 为有理数时， x ＋ x＋1 也是有理数； 3 2 (3)等式 sin(α＋β)＝sin α＋sin β 对有些角 α，β 成立； (4)方程 3x－2y＝10 有整数解． 解：(1)对任意实数 x，不等式 x2＋x＋1>0 成立．
利用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型 (1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题 为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某 种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性 质；也可以根据函数等数学知识来解决． (2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论 “存 在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题， 一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设 出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论， 则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
[活学活用]
已知 p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，q：“∃x0∈R，使 x2 0＋2ax0 ＋2－a＝0”． 若命题“p 且 q”是真命题， 求实数 a 的取值范围．
解：p 为真时：x2－a≥0，即 a≤x2. ∵x∈[1,2]时，上式恒成立，而 x2∈[1,4]，∴a≤1. q 为真时：Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0， 即 a≥1 或 a≤－2. ∵p 且 q 为真命题，∴p，q 均为真命题． ∴a＝1 或 a≤－2. 即实数 a 的取值范围是(－∞，－2]∪{1}．
全称量词与存在量词
预习课本 P21～25，思考并完成以下问题
1．全称量词、全称命题的定义是什么？
2．存在量词、特称命题的定义是什么？
3．全称命题与特称命题的否定分别是什么命题？
[新知初探]
1．全称量词与全称命题
全称 量词 符号 全称 命题 形式 所有的、任意一个、一切、每一个、任给
∀
含有 全称量词 的命题 “对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立”，可用符号简记为“
2 2－a ，a≥－1， f(x)min＝ 2 2 1 ＋ a ＋ 2 － a ，a<－1.
由 f(x)的最小值 f(x)min≥a，知 a∈[－3,1]． 法二：x2－2ax＋2≥a， 即 x2－2ax＋2－a≥0， 令 f(x)＝x2－2ax＋2－a， 所以全称命题转化为∀x∈[－1，＋∞)， Δ＝4a2－42－a>0， f(x)≥0 恒成立， 所以 Δ≤0 或a<－1， f－1≥0， 即－2≤a≤1 或－3≤a<－2.所以－3≤a≤1. 综上，所求实数 a 的取值范围是[－3,1]．
[活学活用]
判断下列命题的真假． (1)p：所有的单位向量都相等； (2)p：任一等比数列{an}的公比 q≠0；
2 (3)p：∃x0∈R，x0 ＋2x0＋3≤0.
解：(1)p 是全称命题，是假命题． 若两个单位向量 e1，e2 方向不相同，虽然有|e1|＝|e2|＝1， 但 e1≠e2. (2)p 是全称命题，是真命题．
[解析]
(1)画出可行域如图中阴影部分
所示，由图可知，当目标函数 z＝x＋2y 经过 可行域内的点 A(2，－1)时，取得最小值 0， 故 x＋2y≥0，因此 p1，p2 是真命题，选 C. (2)由题意知∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0， ∴Δ＝(a－1)2－4≤0， 解得－1≤a≤3.故选 A.
∀x∈M，p(x) ” ______________
2．存在量词与特称命题
存在量词 符号表示 特称命题 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
∃
含有 存在量词 的命题 “存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立”可用符号简 记为“ ∃x0∈M，p(x0) ”
形式
3．全称命题与特称命题的否定
[答案] (1)C (2)D
(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要 明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及 相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存 在量词改成全称量词， 同时否定结论． (2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量 词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题 的否定．
根据等比数列的定义知，任一等比数列中，其每一项 an＋1 an≠0，所以其公比 q＝ a ≠0(n＝1,2,3，…)． n
(3)p 是特称命题，是假命题．
因为对于綈 p：∀x∈R，x2＋2x＋3>0 是真命题，这是
因为 x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2>0 恒成立.
全称命题与特称命题的否定
[典例] (1)设命题 p：∃n∈N，n2>2n，则綈 p 为(
“假”)，它的否定为綈 p：______________.
答案：特称命题 假
∀x∈R，x2＋2x＋5≥0
全称命题与特称命题
[典例]
判断下列语句是全称命题，还是特称命题．
(1)凸多边形的外角和等于 360° ； (2)有的向量方向不定； (3)对任意角 α，都有 sin2α＋cos2α＝1； (4)矩形的对角线不相等； (5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
[解]
(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于 360° ，
故为全称命题． (2)含有存在量词“有的”，故是特称命题． (3)含有全称量词“任意”，故是全称命题． (4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题． (5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称 命题．
判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中 含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称命题并不含 有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．
利用全称命题与特称命题求参数
[典例] 若命题“∀x∈[－1， ＋∞)， x2－2ax＋2≥a”是真命题，
求实数 a 的取值范围．
[解] 法一：由题意，∀x∈[－1，＋∞)， 令 f(x)＝x2－2ax＋2≥a 恒成立， 所以 f(x)＝(x－a)2＋2－a2≥a 可转化为∀x∈[－1， ＋∞)， f(x)min≥a 恒成立， 而∀x∈[－1，＋∞)，
1 2 1 (2)对任意有理数 x， x ＋ x＋1 是有理数． 3 2 (3)存在角 α，β，使 sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立． (4)存在一对整数 x，y，使 3x－2y＝10 成立.
全称命题、特称命题的真假判断
[典例]
1)C (2)A