随机事件及其概率

第一章 随机事件及其概率
知识点释疑
问题一：随机事件是什么？
答：需要满足三个要素。

1、相同条件下可重复试验；2、每次试验结果可以互不相同；3、试验结果事先知道只是不知道每次试验的结果。

问题2：事件和集合有什么关系？
答：以两个事件A ，B 为例，通俗理解是事件A 、B 能同时发生用集合角度理解是两个集合有交集也记做AB ，如果两个事件不能同时发生，那我们称A 、B 互斥，即∅=AB 。

问题3：事件差如何理解？ 答：比如Ａ－Ｂ意思是从事件Ａ发生但是事件Ｂ不发生；从集合角度理解就是集合Ａ减去两个集合交集部分。

由此我们可理解这一公式)()()(AB P A P B A P -=-。

问题４：如何理解条件概率公式)
()
()(B P AB P B A P =
？ 答：我们借助集合和几何概型的定义理解。

假设事件Ａ和事件Ｂ互斥，那么公式显然成立；现在考虑事件Ａ和Ｂ有交集，我们知道此时事件Ｂ已经发生，那么事件Ａ想发生必定是在其集合公共部分，根据几何概型的定义，其概率当然就是)
()
(B P AB P 。

福州大学历年考试试题
概率公式计算 例题：设,2
1
)(,31)(,41)(===
B A P A B P A P 则.__________)(=+B A P 解：根据条件可得,21
)()()(31)()()(41)(⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧=====B P AB P B A P A P AB P A B P A P 于是有.61)(121)(41)(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧
===B P AB P A P
因此.3
11216141)()()()(=-+=
-+=+AB P B P A P B A P 总结：此类题型就是解方程组常见的有这几个：、、、、)()()()(B A P B A P A B P A P +
)()()-(B P A P B A P 、、总之我们只要知道其中3个就可以求出其他几个。

注：)
()
()()()()()()(A P AB P A P A P AB A P A P B A P A B P -=
-==
排列组合公式计算概率
例题1：任意将10本书放在书架上，其中有两套书，一套含三卷，另一套含四卷，则两套各自放在一起的概率为？
解：首先明确样本总体是10本书任意排列一共有!1010
10=A 种排法，接下来考虑如何排。

第一步取出其中一套书（含三卷），由于没要求这三卷如何排列，因此一共有33A 种排法；同理另一套有44A 种排法；现在将两套书看成2本书和剩下的3本书一起排列总共有55A 种排法；根据乘法原理一共有55
443
3A A A 种排法，因此其概率为
.210
1
!105
54433=A A A 这个方法称为捆绑法！
例题2：设一个袋中装有a 个黑球，b 个白球，现将求随机地一个个摸出，则第k 次摸出黑球的概率为？
解：我们从特殊情况入手。

当1=k ，显然概率为
b
a a
+；当2=k ，则意味着出现两种情况，第一次摸到黑球或第一次摸到白球，于是概率为b
a a C C a
b b a a
+=++22
2，因此我们猜想概率不变。

现在我们可以这样想，题目只要求第k 次要取到黑球，而其他次数不管，因此我们这样做，
先从a 个黑球中取出一个，其他1-k 个随便取都行，可见概率为.111b
a a
C C C k
b a k b a a +=+--+ 例题3：某厂卡车运送防“甲流”用品下乡，顶层装10个纸箱，其中5箱民用口罩、2箱医
用口罩、3箱消毒棉花；到目的地时发现丢失一箱，不知道丢的是哪箱，现在从剩下的9箱中任意打开2箱，结果都是民用口罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率？
解：首先我们将这类题目归类为条件概率问题。

所谓的条件是“确定其中2箱是民用口罩”，设这个事件为A ，又设“丢失的一箱也是民用口罩”为事件B ，现在我们要求的是)(A B P ，根据公式可得)
()
()(A P AB P A B P =
，显然)(AB P 表示剩下9箱中的情况是4箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花，然后求从这9箱中任意抽2箱是民用口罩的概率，显然就是
2924
)(C C AB P =；)(A P 表示9箱中随便打开2箱是民用口罩的概率，
这时候有下面2种情况，
1、5箱民用口罩，4箱非民用的，
2、4箱民用口罩，5箱非民用的；因此2
92
524)(C C C A P +=， 综上所述.8
3
)()()(==
A P A
B P A B P 法2：换个角度理解。

由于知道其中2箱是民用口罩，那么样本就剩下8箱，3箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花。

因此丢失一箱是民用口罩的概率显然就是.8
3
题型4：某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的40%，35%，25%，又这三条流水线的次品率分别为0.02,0.04,0.05。

现从出厂产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？
解：设事件)3,2,1(=i A i 表示“所取产品在第i 条生产线”，设事件B 表示“产品合格率”，则根据条件可知05.0)(,04.0)(,02.0)(321===A B P A B P A B P ，由于Ω=++321A A A ， 因此.0345.0%2505.0%3504.0%4002.0)()()(3
1
=⨯+⨯+⨯==
∑=i
i i
A B P A P B P
进一步，我们问如果已知抽到的那件是次品，问这个次品是出自第一条生产线的概率？ 其实此时我们要算的是)(1B A P ，
根据公式)
()
()()()()(1111B P A P A B P B P B A P B A P =
=代入数值即可算出。

此题考查的是全概率公式的应用，解题时分清事件关系。

例题5：（改编题）10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先，乙次，丙最后。

求甲抽到难签丙没抽到难签的概率。

解：设事件C B A ,,表示“甲乙丙抽到难签”，现在即求)(C A P ，显然我们需要注意到事件
B 也要考虑，.15
485961048693104)()()(=⨯⨯+⨯⨯=+=C B A P C AB P C A P
例题6：某班n 个男生和m 个女生)1(+≤n m 随机排成一列，则任意两女生均不相邻的概率为？
解：此题是插空法中的经典题目！为了保证任意两个女生不相邻这条件，我们先排男生，将所有男生全排列有n ！种排法，接下来这n 个男生产生n+1个空，刚好条件)1(+≤n m ，因
此从这n+1个空中选出m 个空给女生排列，然后女生全排列即可，于是概率为.)!
(!!1m n m C n m n ++ 例题7:两人相约于8点至9点之间在某地会面，先到者等候另一个人15分钟后即可离开，求两个人都能够会面的概率？
解：设甲乙到达的时间分别是y x
,，则依题意我们知道
两人会面必须满足25.060
15
=≤
-x y 小时，而样本总体是9,8≤≤y x ，如上图，设事件A 表示两人会面的概率，依照几何概型可知.16
7)
9,8()
9,8,25.0()(=
≤≤≤≤≤-=
y x S y x x y S A P 例题8：假设肺癌发病率为0.1%，患肺癌的人之中吸烟的占90%，不患肺癌的人中吸烟者占20%，试分别求吸烟者与不吸烟者患肺癌的概率。

解：我们设事件A 表示“患肺癌的”，事件B 表示“吸烟的人所占人群比例”，依题意可知
%20)(%,90)(%,1.0)(===A B P A B P A P ，我们需要求的是)(),(B A P B A P 。

根据公
式可知⎪⎩
⎪
⎨⎧===+==%20)(%,90)(2007
.0)()()()()(%
1.0)(A B P A B P A P A B P A P A B P B P A P ，而我们需要求的是
.000125
.0)(1)()()()()(00448.0)()()(⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
=--====B P AB P A P B P B A P B A P B P AB P B A P。