随机事件及其概率
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第一章 随机事件及其概率
知识点释疑
问题一:随机事件是什么?
答:需要满足三个要素。1、相同条件下可重复试验;2、每次试验结果可以互不相同;3、试验结果事先知道只是不知道每次试验的结果。 问题2:事件和集合有什么关系?
答:以两个事件A ,B 为例,通俗理解是事件A 、B 能同时发生用集合角度理解是两个集合有交集也记做AB ,如果两个事件不能同时发生,那我们称A 、B 互斥,即∅=AB 。 问题3:事件差如何理解? 答:比如A-B意思是从事件A发生但是事件B不发生;从集合角度理解就是集合A减去两个集合交集部分。由此我们可理解这一公式)()()(AB P A P B A P -=-。 问题4:如何理解条件概率公式)
()
()(B P AB P B A P =
? 答:我们借助集合和几何概型的定义理解。假设事件A和事件B互斥,那么公式显然成立;现在考虑事件A和B有交集,我们知道此时事件B已经发生,那么事件A想发生必定是在其集合公共部分,根据几何概型的定义,其概率当然就是)
()
(B P AB P 。
福州大学历年考试试题
概率公式计算 例题:设,2
1
)(,31)(,41)(===
B A P A B P A P 则.__________)(=+B A P 解:根据条件可得,21
)()()(31)()()(41)(⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧=====B P AB P B A P A P AB P A B P A P 于是有.61)(121)(41)(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧
===B P AB P A P
因此.3
11216141)()()()(=-+=
-+=+AB P B P A P B A P 总结:此类题型就是解方程组常见的有这几个:、、、、)()()()(B A P B A P A B P A P +
)()()-(B P A P B A P 、、总之我们只要知道其中3个就可以求出其他几个。
注:)
()
()()()()()()(A P AB P A P A P AB A P A P B A P A B P -=
-==
排列组合公式计算概率
例题1:任意将10本书放在书架上,其中有两套书,一套含三卷,另一套含四卷,则两套各自放在一起的概率为?
解:首先明确样本总体是10本书任意排列一共有!1010
10=A 种排法,接下来考虑如何排。第一步取出其中一套书(含三卷),由于没要求这三卷如何排列,因此一共有33A 种排法;同理另一套有44A 种排法;现在将两套书看成2本书和剩下的3本书一起排列总共有55A 种排法;根据乘法原理一共有55
443
3A A A 种排法,因此其概率为
.210
1
!105
54433=A A A 这个方法称为捆绑法!
例题2:设一个袋中装有a 个黑球,b 个白球,现将求随机地一个个摸出,则第k 次摸出黑球的概率为?
解:我们从特殊情况入手。当1=k ,显然概率为
b
a a
+;当2=k ,则意味着出现两种情况,第一次摸到黑球或第一次摸到白球,于是概率为b
a a C C a
b b a a
+=++22
2,因此我们猜想概率不变。
现在我们可以这样想,题目只要求第k 次要取到黑球,而其他次数不管,因此我们这样做,
先从a 个黑球中取出一个,其他1-k 个随便取都行,可见概率为.111b
a a
C C C k
b a k b a a +=+--+ 例题3:某厂卡车运送防“甲流”用品下乡,顶层装10个纸箱,其中5箱民用口罩、2箱医
用口罩、3箱消毒棉花;到目的地时发现丢失一箱,不知道丢的是哪箱,现在从剩下的9箱中任意打开2箱,结果都是民用口罩,求丢失的一箱也是民用口罩的概率?
解:首先我们将这类题目归类为条件概率问题。所谓的条件是“确定其中2箱是民用口罩”,设这个事件为A ,又设“丢失的一箱也是民用口罩”为事件B ,现在我们要求的是)(A B P ,根据公式可得)
()
()(A P AB P A B P =
,显然)(AB P 表示剩下9箱中的情况是4箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花,然后求从这9箱中任意抽2箱是民用口罩的概率,显然就是
2924
)(C C AB P =;)(A P 表示9箱中随便打开2箱是民用口罩的概率,
这时候有下面2种情况,
1、5箱民用口罩,4箱非民用的,
2、4箱民用口罩,5箱非民用的;因此2
92
524)(C C C A P +=, 综上所述.8
3
)()()(==
A P A
B P A B P 法2:换个角度理解。由于知道其中2箱是民用口罩,那么样本就剩下8箱,3箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花。因此丢失一箱是民用口罩的概率显然就是.8
3
题型4:某厂有三条流水线生产同一产品,每条流水线的产品分别占总量的40%,35%,25%,又这三条流水线的次品率分别为0.02,0.04,0.05。现从出厂产品中任取一件,问恰好取到次品的概率是多少?
解:设事件)3,2,1(=i A i 表示“所取产品在第i 条生产线”,设事件B 表示“产品合格率”,则根据条件可知05.0)(,04.0)(,02.0)(321===A B P A B P A B P ,由于Ω=++321A A A , 因此.0345.0%2505.0%3504.0%4002.0)()()(3
1
=⨯+⨯+⨯==
∑=i
i i
A B P A P B P
进一步,我们问如果已知抽到的那件是次品,问这个次品是出自第一条生产线的概率? 其实此时我们要算的是)(1B A P ,
根据公式)
()
()()()()(1111B P A P A B P B P B A P B A P =
=代入数值即可算出。此题考查的是全概率公式的应用,解题时分清事件关系。
例题5:(改编题)10个考签中有4个难签,3人参加抽签(不放回),甲先,乙次,丙最后。求甲抽到难签丙没抽到难签的概率。
解:设事件C B A ,,表示“甲乙丙抽到难签”,现在即求)(C A P ,显然我们需要注意到事件