三角形中的边角关系、命题与证明

高效学案
4、三角形中的重要线段
（1）三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，连接这个角的顶点和交点之间的线段.
（2）三角形的中线：三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线.
（3）三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高.
三、经典例题
【例1】以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）
A ．1cm ，2cm ，4cm
B ．8cm ，6cm ，4cm
C ．12cm ，5cm ，6cm
D ．2cm ，3cm ，6cm
【变式1】两根木棒的长分别为7cm 和10cm ，要选择第三根棒，将它钉成一个三角形框架，那么第三根木棒长x cm 的范围是__________．
【变式2】若a 、b 、c 是△ABC 的三边，化简c b a a c b c b a +--+--+--．
【变式3】如图，已知P 是△ABC 内一点，连结AP ，PB ，PC ．求证：PA+PB+PC >
2
1(AB+AC+BC)．
【例2】等腰三角形的两边长分别为5 cm 和10 cm ，则此三角形的周长是（ ）
A ．15cm
B ．20cm
C ．25 cm
D ．20 cm 或25 cm
【例3】已知△ABC 中：
（1）∠A=20°，∠B ﹣∠C=40°，则∠B=______；
（2）∠A=120°，2∠B+∠C=80°，则∠B=_______；
（3）∠B=∠A+40°，∠C=∠B ﹣50°，则∠B=_______；
（4）∠A ：∠B ：∠C=1：3：5，则∠B=_______．
E D
A 2 1 A
B
C 【变式】如图把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 在四边形BCDE 的内部时，则∠A 与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变.请试着找出这个规律，你发现的规律是（ ）
A.∠A=∠2＋∠1
B.2∠A=∠2＋∠1
C.3∠A=2∠1＋∠2
D.3∠A=2∠1＋2∠2
【例4】如图，α、β、γ分别是△ABC 的外角，且α：β：γ= 2：3：4，则α =__________．
【变式1】如图，五角星ABCDE ，求E D C B A ∠+∠+∠+∠+∠的度数．
【变式2】已知：如图1，线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、CB ，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A 、∠B 、∠C 、∠D 之间的数量关 ；
（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N ．利用（1）的结论，试求∠P 的度数；
（3）如果图2中∠D 和∠B 为任意角时，其他条件不变，试问∠P 与∠D 、∠B 之间存在着怎样的数量关系？
【例5】如图，∆ABC 中，AD 是BC 上的中线，BE 是∆ABD 中AD 边上的中线，若∆ABC 的面积是24，则∆ABE 的面积是________．
【例6】如图，在△ABC 中，BE ⊥AC ，BC=5cm ，AC=8cm ，BE=3cm .
（1）求△ABC 的面积；
（2）画出△ABC 中的BC 边上的高AD ，并求出AD 的值．
【例7】已知：如图AB//CD 直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，BEF ∠的平分线与DFE ∠的平分线相交于P ，求证 90=∠P ．
【变式】如图，∠MON=90°，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上运动，BE 平分∠NBA ，BE 的反向延长线与∠BAO 的平分线交于点C ．∠BAO=45°则∠C 的度数是（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．55°
D ．60°
【例8】如图，△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线交于点O ，若∠A=70°，则∠BOC= 度．
【变式】认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？ 探究2：如图2中，O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？ 探究3：如图3中，O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？
四、方法归纳
1、三角形的边的关系，只需验证：两个较短的边之和大于第三边即可.
2、三角形的两边长分别为b a ,，则第三边长c 的取值范围是：b a c b a +<<-.
3、三角形的几种“心”.
（1）重心：三条中线的交点.（2）外心：三边垂直平分线的交点.
（3）内心：三条内角平分线的交点.（4）垂心：三条高线的交点.
五、课后作业
【作业1】
1.如图所示，共有_______个三角形，以AD 为一边的三角形有___________________，∠C 是△ADC 的________边的对角，AE 是△ABE 中∠_____的对边.
2.一个三角形周长为27cm ，三边长为2：3：4，则最长边为______cm.
3.已知在△ABC 中，5=a ，3=b ，那么第三边c 的取值范围是_____________.
4.在△ABC 中，2∠A=3∠B=6∠C ，则△ABC 是________三角形.
5.在△ABC 中，已知∠B －∠A=5°，∠C －∠B=20°，则∠A=_______.
6.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=25°，CD ⊥AB 于D ，则∠ACD =_________.
7.等腰三角形周长为14，其中一边长为3，则腰长为________.
8.一个三角形有两条边相等，一边长为4cm ，另一边长为9cm ，那么这个三角形的周长是__________.
9.在△ABC 中，∠B ，∠C 的平分线交与点O ，若∠BOC=132°，则∠A=________.
10.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，∠ADE=30°，∠C=120°，则∠A 等于（ ）
A.60°
B.45°
C.30°
D.20°
11.如果三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形一定是（ ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
12.一个三角形的两边长分别为3和7，若第三边长为偶数，则第三边为（ ）
A.4，6
B.4，6，8
C.6，8
D.6，8，10
13.能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）
A.三角形的角平分线
B.三角形的中线
C.三角形的高线
D.以上都不对
14.在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，则△ABC 是（ ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.正三角形
15.如图，AD 、AF 分别是△ABC 的高和角平分线，已知∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF 数.
（提示：先证明∠DAF=
21（∠C －∠B ））
16.如图，已知I 为△ABC 的内角平分线的交点.求证：∠BIC=90°＋
2
1∠A.
17.如图，在△ABC 中，∠B = 60°，∠C = 50°，AD 是∠BAC 的平分线，DE 平分∠ADC 交AC 于E ，求∠BDE 的度数.
18.如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，FD ⊥BC ，DE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，已知∠AFD=150°，求∠EDF 等于多少度？
【作业2】
1.如图，AD ，BE ，CF 是△ABC 的中线、高、角平分线.则：BD=___=21___；∠___=∠___=90°；∠___=∠___=2
1∠___. 2.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，已知AB=6，BC=4，AD=5，则CE=______.
3.如图，AD 、AE 分别是△ABC 的中线、高，且AB=5，AC=3，则△ABD 与△ACD 的周长的差是_________，△ACD 与△ABD 的面积关系为__________.
第1题 第2题 第3题 第4题 第5题
4.如图，△ABC 的周长是21cm ，AB=AC ，中线BD 分△ABC 为两个三角形，且△ABD 的周长比△BCD 的周长大6cm ，则AB= ，BC=_________.
5.如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且2ABC cm 8=∆S ，则阴影部分的面积等于_________.
6.在△ABC 中，若AB=5，AC=2，且三角形周长为偶数，则BC=________.
7.△ABC 的三边长是a ，b ，c ，则c b a a c b c b a +++-----=________.
第8题 第9题 第10题
8.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，点B 沿CB 所在直线远离C 点移动，下列说法不正确的是（ ）
A.三角形面积随之增大
B.∠CAB 的度数随之增大
C.边AB 的长度随之增大
D.BC 边上的高随之增大
9.如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线BE ，CD 相交于点F ，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（ ）
A.118°
B.119°
C.120°
D.121°
10.如图，在△ABC 中，BO ，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ，则∠BOC 与∠A 的大小关系是（ ）
A.∠BOC=2∠A
B.∠BOC=90°+∠A
C.∠BOC=90°+
21∠A D.∠BOC=90°2
1-∠A
11.如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF.以下结论：①AD∥BC；
②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°﹣∠ABD；④∠BDC=∠BAC.其中正确的结论有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
12.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于D，已知∠A=50°，求∠BDC的度数．
13.如图，已知BD为∠ABC的平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，CD与BD交于点D，试说明∠A=2∠D．
14.如图，已知AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P，求证：EP⊥FP．
15.如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．
16.已知：∠MON=40°，OE 平分∠MON ，点A 、B 、C 分别是射线OM 、OE 、ON 上的动点（A 、B 、C 不与点O 重合），连接AC 交射线OE 于点D ．设∠OAC x =°.21
（1）如图1，若AB ∥ON ，则
①∠ABO 的度数是 ；
②当∠BAD=∠ABD 时，=x ；当∠BAD=∠BDA 时，=x ．
（2）如图2，若AB ⊥OM ，则是否存在这样的x 的值，使得△ADB 中有两个相等的角？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由．
第二节：命题与证明
一、课堂导入
有个学生请教爱因斯坦逻辑学有什么用。

爱因斯坦问他：“两个人从烟囱里爬出去，一个满脸烟灰，一个干干净净，你认为哪一个该去洗澡？”“当然是脏的那个。

”学生说“不对。

脏的那个看见对方干干净净，以为自己也不会脏，哪里会去洗澡？”
从这个故事可以看出逻辑推理对于我们的生活中经常用到.同样，数学也离不开逻辑推理，也就是证明.
1
D
A
B C
1
2
3
A B
C
D
E
F
G
【例2】如下左图所示，a ∥b ，∠1为（ ）
A ．90°
B ．80°
C ．70°
D ．60°
【变式】已知：如图，C AED ∠=∠，21∠=∠，︒=∠90BEC ，求证：AC FG ⊥.
【例3】如图所示，在锐角△ABC 中，CD 和BE 分别是AB 和AC 边上的高，且CD 和BE•交于点P ，若∠A=50°，则∠BPC 的度数是（ ）
A ．150°
B ．130°
C ．120°
D ．100°
例2图 例3图 例4图 【例4】如图：AD ⊥BC 于D ，EF ⊥BC 于F ，交AB 于G ，交CA 延长线于E ，∠1=∠2. 求证：AD 平分∠BAC ，填写分析和证明中的空白. 证明：∵AD ⊥BC ，EF ⊥BC （已知）
∴________∥_________（ ） ∴_______＝________（两直线平行，内错角相等） ________＝ （两直线平行，同位角相等） ∵ （已知）
∴______________即AD 平分∠BAC （ ）
【例5】如图，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥，垂足为D ，求证：1B ∠>∠.
【例6】如图1,在△ABC中，AD⊥BC，AE是角平分线.
1、（1）求∠DAE与∠B、∠C之间的关系；
2、（2）如图2，AE是∠BAC的角平分线，FD 垂直于BC于D，求∠DFE与∠B、∠C之间的关系；
3、（3）如图3，当点F在AE延长线上时，FD仍垂直于BC于D，继续探讨∠DFE与∠B、∠C的关系.
4、
5、
6、
7、
8、
图1
图2
F
图3
四、方法归纳
反证与证明：
1、判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可.
2、反例是具备命题条件但不具备命题结论的例子.
3、涉及数的问题举出一些特殊值，一些几何问题可以构造出适当几何图形，构造的图形也是解题的步骤，需要辅助几
何表述，才能成为解题过程.
五、课后作业
【作业1】
1．下列语句：①若直线a∥b，b∥c，则a∥c；②生活在水里的动物是鱼；③作两条相交直线；④AB=3，CD=3，问AB与CD相等吗？④连结A，B两点；⑤内错角不相等，两直线不平行.其中是命题的有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（）
A.垂直
B.两条直线
C.同一条直线
D.两条直线垂直于同一条直线
3．下列各组所述几何图形中，一定全等的是（ ） A.一个角是45°的两个等腰三角形 B.腰长相等的两个等腰直角三角形 C.两个等边三角形
D.各有一个角是40°，腰长都为5的两个等腰三角形
4．若三角形的三个外角的度数之比为2：3：4，则与之对应的三个内角的度数之比为（ ） A.4：3：2 B.3：2：4 C.5：3：1 D.3：1：5
第5题 第6题 第9题
5．如图，如果AB ∥CD ，那么角α，β，γ之间的关系式为（ ）
A.α+β+γ=360°
B.α-β+γ=180°
C.α+β+γ=180°
D.α+β-γ=180°
6．如图，若AB ∥CD ，EF 与AB 、CD 分别相交于点E 、F ，EP 与EFD ∠的平分线相交于点P ，且︒=∠60EFD ，FP EP ⊥，则=∠BEP __________．
7．若一个三角形的外角平分线与三角形的一边平行，则这个三角形是_________三角形．
8．用反证法证明“三角形三个内角中至少有两个锐角”时应首先假设_________________． 9．如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，∠CDE=150°，则∠C=__________． 10．把命题“在同一个三角形中，等角对等边”改写成“如果……那么……”的形式：
____________________________________________． .
11．如图，∠A =∠E ，BE 是∠DBC 的角平分线，求证：∠ACB=∠A+2∠E ．
A
E D
B
C。