山东省高考数学 第17题优美解

2012年高考数学（山东）第17题（理）试题优美解

试题（山东、 理科17）

已知向量(sin ,1),cos ,cos 2)(0)3

A m x n x x A ==>u r r ，函数()f x m n =⋅u r r 的最大值为6.

（Ⅰ）求A ；

（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移

12

π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5[0,]24π上的值域.

解法1

（Ⅰ）⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=+=+

=⋅=62sin 2cos 22sin 232cos 2sin cos 3)(πx A x A x A x A x x A x f ， 则6=A ; （Ⅱ）函数y=f （x ）的图象像左平移

12π个单位得到函数]6

)12(2sin[6ππ++=x y 的图象， 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数)34sin(6)(π+

=x x g . 当]245,0[π∈x 时，]1,2

1[)34sin(],67,3[34-∈+∈+ππππx x ，]6,3[)(-∈x g . 故函数g （x ）在5[0,]24

π上的值域为]6,3[-. 解法2 由)34sin(6)(π+

=x x g 可得)34cos(24)(π+='x x g ，令0)(='x g ， 则)(234Z k k x ∈+=+π

ππ，而]24

5,0[π∈x ，则24π=x ， 于是367sin 6)245(,62sin 6)24(,333sin 6)0(-======πππππg g g ，

故6)(3≤≤-x g ，即函数g （x ）在5[0,]24π上的值域为]6,3[-.