广东省肇庆市实验中学高二数学 数列的综合问题

一、求数列的通项公式
1、观察法：找项与项数的关系，然后猜想、检验，即得通项公式，注意利用前n 项得到的通项公式不一定唯一
（1） 已知数列 ,321
9,1617,815,413试写出其一个通项公式：_______________.
（2） 数列31537
,,
,,,
5211717
的一个通项公式是
2、数列}{n a 前n 项和n S ，则⎩⎨⎧≥-==-2111
n S S n S a n n n （注意：不能忘记讨论1=n ）
（1）如果数列{a n }的前n 项之和为S n =－n 2＋3n ，求其通项公式.
（2）已知数列}{n a 前n 项和1322++-=n n S n ，则=n a __________.
（3）已知各项全不为零的数列{a k }的前k 项和为S k ,且S k ＝∈+k a a k k (21
1N *),其中
a 1=1.，求数列{a k }的通项公式;
3、已知)2)((1≥=--n n f a a n n ，且{f(n)}成等差（比）数列，则求n a 可用累加法 （1） 已知数列}{n a ，若满足291=a ，)2(121≥-=--n n a a n n ，求n a
（2）已知数列{}n a 满足11a =，n
n a a n n ++=--111(2)n ≥，求n a
（3）已知数列{}n a 满足11a =，11
(1)
n n a a n n --=-(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式
4、已知
)2)((1
≥=-n n f a a n n
，求n a 用累乘法. （1） 已知数列}{n a ，若满足a 1=1,)2(1
1≥+=-n n n
a a n n ，求n a
5、配凑法
（1） 已知数列}{n a 的首项1，121(,2)n n a a n N n -=+∈≥，求出}{n a 的通项公式
（2） 在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．求出}{n a 的通项公式
（3） 设数列{}n a 的首项1
13(01)2342
n n a a a n --∈==，
，，，，，…．求{}n a 的通项公式
二、数列求和
1、 裂项相消法:适用于⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧
+1n n a a c 其中{ n a }是各项不为0的等差数列，c 为常数；
部分无理数列、含阶乘的数列等 （1）求和：11
1
1447
(32)(31)
n n +++
=⨯⨯-⨯+
（4） 求)(,32114321132112111*N n n
∈+++++++++++++++
2、 错位相减法:适用于{}n n b a 其中{ n a }是等差数列，
{}n b 是各项不为0的等比数列。

（1）设a 为常数，求数列a ，2a 2，3a 3，…，na n ，…的前n 项和。

（2）已知1,0≠>a a ，数列{}n a 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令
)(lg N n a a b n n n ∈⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n S 。

3、 分组求和法、
（1） 数列2211,(12),(122),,(1222),
n -++++++
+求数列通项公式{}n a ，前n
项和n S
数列综合答案
3、（1）
228n a n =+ （2121n + （3）1
2n a n
=-
4、（1）2
1
n a n =+
5、（1）21n
n a =- （2）由题设1431n n a a n +=-+，得
1(1)4()n n a n a n +-+=-，n ∈*N ．
又111a -=，所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列． （3）由1
32342
n n a a n --==，，，，…，
整理得 11
1(1)2
n n a a --=--．
又110a -≠，所以{1}n a -是首项为11a -，公比为1
2
-
的等比数列，得1
111(1)2n n a a -⎛⎫
=--- ⎪
⎝⎭
3、（1）1
21; 2
2n
n n +---。