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几何概型知识与常见题型梳理

几何概型和古典概型是随机概率中两类主要模型，是概率考查中的重点，下面就几何概型的知识与常见题型做一梳理，以期能使读者对于这一知识点做到脉络清晰，条理分明。

一基本知识剖析

1. 几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。

2.几何概型的概率公式：

构成事件 A的区域长度（面积或体积）P（A）=

的区域长度（面积或体；

试验的全部结果所构成积）

3.几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； 2）每个基本事件出现的可能性相等．

4.几何概型与古典概型的比较：一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几

何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度（或面积、体积等）有关，

即试验结果具有无限性，是不可数的。这是二者的不同之处；另一方面，古典概型与几何概

型的试验结果都具有等可能性，这是二者的共性。

通过以上对于几何概型的基本知识点的梳理，我们不难看出其要核是：要抓住几何概型具有无限性和等可能性两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的，这是区分几何概型与古典概型的关键所在；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均

等的，这是解题的基本前提。因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的基本思路是相

同的，同属于“比例法”，即随机事件 A 的概率可以用“事件 A 包含的基本事件所占的图形

的长度、面积（体积）和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积（体积）和角度等”之比来表示。下面就几何概型常见类型题作一归纳梳理。

二常见题型梳理

1. 长度之比类型

例 1.小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察，

时一班，求小赵等车时间不多于10 分钟的概率．

已知该站发往各站的客车均每小

例 2 在长为 12cm的线段 AB上任取一点 M，并以线段 AM为边作正方形，求这个正方形的面积

介于 36cm2与 81cm2之间的概率．

2.面积、体积之比类型

例 3.（08江苏高考6） . 在平面直角坐标系xoy 中，设D是横坐

标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域， E 是到原点的距

离不大于 1 的点构成的区域，向 D 中随意投一点，则落入 E 中的

概率为。

3. 角度之比型

ABC 中，过直角顶点 C 在 ACB 内部做一条射线 CM ，与 例 4. 如图所示，在等腰直角 线段 AB 交于点 M ，求 AM

AC 的概率。 C

A M D B

4. “会面”类型的几何概型

例 5. 某码头接到通知，甲、乙两艘外轮都会在某天 9 点到 10 点之间的某一时刻到达该码

头的同一个泊位，早到的外轮要在该泊位停靠 20 分钟办理完手续后才离开，求两艘外轮至

少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。

5. 与其他章节知识综合类

例 6. 已知两数 m ， n 是某事件发生的概率取值， 则关于 x 的一元二次方程 x 2 nx m 0

有实根的概率是（ ） A.

1

B.

1 C.

1

D.

1 2

4

8

16

经典例题：如图， AOB 60 ， OA 2 ， OB 5 ，在线段 OB 上任取一点 C ，

试求： (1) AOC 为钝角三角形的概率；

A

(2) AOC 为锐角三角形的概率．

O D C E B

当堂练习：

1．从一批羽毛球产品中任取一个， 其质量小于 4.8g 的概率为 0.3 ，质量小于 4.85g

的概率为 0.32 ，那么质量在 [4.8 ，4.85] （ g ）范围内的概率是（ ）

A ．0.62

B ．0.38

C ．0.02

D ．0.68

．在长为 的线段 AB 上任取一点 P ，并以线段 AP 为边作正方形，这个正方形

2 10 cm

的面积介于 25 cm 2与 49 cm 2之间的概率为（ ）

A ．

3

B ．

1

C ．

2

D ．

4

10

5

5

5

3．同时转动如图所示的两个转盘， 记转盘甲得到的数为 x ，转盘乙得到的数为 y ，

构成数对（ x ，y ），则所有数对（ x ，y ）中满足

xy ＝ 的概率为（

）

4

A ．

1

B ．

2

C ．

3

D ．

1

16 16

16

4

1

2

1

2

甲

乙

4 3 4 3

4．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色， 每个图形只能涂一种颜色， 则三个形状颜色不全相同的概率为 A ．

3

B ．

3

C ．

1

D ．

1

4

8 4

8

5．两人相约 7点到 8点在某地会面，先到者等候另一人 20分钟，过时离去．则 求

两人会面的概率为（ ） A ．

1

B ．

4

C ．

5

D ．

7

3 9

9

10

6如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正

方形区域的概率为（ ） A ．

2

B ．

1

C ．

2

D ．

1

3

3

7．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为

45 ，若向圆内投镖，

如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为（ ）

A ．

1

B ．

1

C ．

1

D ．

3

8

4

2

4

8．现有 100ml 的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取 20ml 的蒸馏水，抽

到细菌的概率为 ． 1 C

( ) D ． 1 A ． 1

B ．

1

100 20

10

5

9．一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早

晨5:00 至7:00和下午 5:00 至 6 : 00 ，则该船在一昼夜内可以进港的概率是 （ )

1

1

1

1

A ．

4

B

．

8

C

． 10

D

． 12