隶属函数的确定方法[1]

第4章隶属函数的确定方法在模糊理论的应用中，我们面临的首要问题就是建立模糊集的隶属函数。

对于一个特定的模糊集来说，隶属函数不仅基本体现了它所反映的模糊概念的特性，而且通过量化还可以实现相应的数学运算和处理。

因此，“正确地”确定隶属函数是应用模糊理论恰如其分地定量刻划模糊概念的基础，也是利用模糊方法解决各种实际问题的关键。

然而，建立一个能够恰如其分地描述模糊概念的隶属函数，并不是一件容易的事情。

其原因就在于一个模糊概念所表现出来的模糊性通常是人对客观模糊现象的主观反映，隶属函数的形成过程基本上是人的心理过程，人的主观因素和心理因素的影响使得隶属函数的确定呈现出复杂性、多样性，也导致到目前为止如何确定隶属函数尚无定法，没有通用的定理或公式可以遵循。

但即便如此，鉴于隶属函数在模糊理论中的重要地位，确定隶属函数的方法还是受到了特别的重视，至今已经提出了十几种确定隶属函数的方法，而且其中一些方法基本上摆脱了人的主观因素的影响。

本章将选择4种经常使用的、具有代表性的方法予以介绍，它们是：直觉方法，二元对比排序法，模糊统计试验法，最小模糊度法。

4.1 直觉方法直觉的方法就是人们用自己对模糊概念的认识和理解，或者人们对模糊概念的普遍认同来建立隶属函例1、“正好”、“热”和“很热”图1 空气温度的隶属函数例2根据人们对汽车行驶速度中“慢速”、“中速”和“快速”这三个概念的普遍认同，可以给出描图2 汽车行驶速度的隶属函数虽然直觉的方法非常简单，也很直观，但它却包含着对象的背景、环境以及语义上的有关知识，也包含了对这些知识的语言学描述。

因此，对于同一个模糊概念，不同的背景、不同的人可能会建立出不完全相同的隶属函数。

例如，模糊集A = “高个子”的隶属函数。

如果论域是“成年男性”，其隶属函数的曲线如图3(a )所示；而如果论域是“初中一年级男生”，其隶属函数的曲线则为图3(b )所示的情形。

(a) (b)图3 不同论域下“高个子”的隶属函数4.2 二元对比排序法建立一个模糊集的隶属函数，实际上可以看成是对论域中每个元素隶属于某个模糊概念的程度进行比较、排序。

但一般来讲，人们对多个事物的同时比较存在着度量上的困难，为此Saaty 教授在设计层次分析法时提出了两两比较的策略。

借鉴两两比较排序的思想，人们提出了确定隶属函数的二元对比排序法。

二元对比排序方法就是通过对多个事物进行两两对比来确定某种特征下的顺序，由此来决定这些事物对该特征的隶属函数的大致形状。

这种方法更适用于根据事物的抽象性质由专家来确定隶属函数的情形，可以通过一名专家或者一个委员会，甚至一次民意测验来实施，是一种比较实用的确定隶属函数的方法。

二元对比排序方法的基本步骤如下：设X = {x , y , z , …} 为给定的论域。

对于某一模糊概念A ，任取一对元素x , y ∈X ，对x ，y 进行比较，令f y (x ) 表示以y 为标准x 隶属于A 的程度，f x (y ) 表示以x 为标准y 隶属于A 的程度，这里要求f y (x )，f x (y ) 按照下表取值： 元素x ，y 相比较 f x (y ) 的取值 f y (x ) 的取值 x 比y 隶属于A 的程度相同1 1 x 比y 隶属于A 的程度稍微大1 3 x 比y 隶属于A 的程度明显大1 5 x 比y 隶属于A 的程度突出大1 7 x 比y 隶属于A 的程度绝对大1 9 介于上述某两个判断之间 1 2、4、6、8之一(1) 定义一个相对优先度函数：)}(),(max{)()/(x f y f x f y x f y x y =，∀ x ，y ∈X显然，0 ≤ f (x /y ) ≤ 1，∀ x ，y ∈X 。

(2) 以f (x /y ) 为元素构造一个矩阵G ，称为相对优先矩阵：⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=M M M M L L L )/()/()/()/()/()/()/()/()/(z z f y z f x z f z y f y y f x y f z x f y x f x x f G (3) 对相对优先矩阵G 的每一行取最小值，即设)}/({min )/(y x f X x f Uy ∈=，∀ x ∈X称f (x /X ) 为x 的强度，记为A (x )，则A (x ) 即可作为x 对A 的隶属度值。

例3 设X = {x , y , z }，x , y , z 分别表示三种服装款式，A 表示按照某人的标准对服装款式“满意”。

假设经过二元对比得到：f y (x ) = 7，f x (y ) = 1，f z (y ) = 2，f y (z ) = 1，f z (x ) = 8，f x (z ) = 1。

根据相对优先度函数的定义有：f (x /x ) = 1，f (x /y ) = 1，f (x /z ) = 1；f (y /x ) = 1/7，f (y /y ) = 1，f (y /z ) = 1；f (z /x ) = 1/8，f (z /y ) = 1/2，f (z /z ) = 1。

于是可以求得相对优先矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=12/18/1117/1111G 通过计算x 、y 、z 强度从而得到：A (x ) = 1，A (y ) = 1/7，A (z ) = 1/8。

4.3 模糊统计试验法由Bernoulli 大数定律我们知道：在n 次重复独立试验中，如果事件A 发生的频数为n A ，则对于任意的ε > 0有1 ||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−→∞εp nn P A n其中p 是事件A 发生的概率。

这一结论说明，在次数足够多的重复独立随机试验中，随机事件的频率总是稳定在它发生的概率值附近，即事件发生的概率可以通过大量的统计试验来近似确定。

借用概率论的思想，人们设计了一种称之为模糊统计试验的方法来获得隶属函数：为了确定论域X 中的某个元素u 0对描述某个模糊概念的模糊集A 的隶属关系(即隶属度)，进行n 次重复独立统计试验。

由于每次试验的条件不同(带有模糊性)，那么每次试验中论域中哪些元素被判定为隶属于A 是不大明确的。

如果将每次试验中被判定隶属于A 的元素构成的集合均记为A *，显然A * 是论域X 上的分明子集，并且是边界可变的、可移动的，我们通常将A * 作为模糊集A 的弹性疆域。

由于每次试验中或者u 0∈A * 或者u 0∉A *，因而令u 0∈A *的次数为m ，并称m /n 为u 0对A 的隶属频率。

随着n 的增大，隶属频率会呈现稳定性，而隶属频率稳定所在的数值，就定为u 0对A 的隶属度A (u 0)。

归纳起来，模糊统计试验方法的基本步骤是：① 在每一次试验下，要对论域中固定的元素u 0是否属于一个可变动的分明集合A * (A * 作为模糊集A 的弹性疆域)作一个确切的判断；注意，在每一次试验下，A * 必须是一个确定的清晰集合；② 在各次试验中，u 0是固定的，而A * 在随机变动；如果在所作的n 次试验中，元素u 0属于A * 的次数为m ，则元素u 0对A 的隶属频率定义为：u 0对A 的隶属频率 = nm A u *0试验的总次数的次数”“∈ 当试验次数n 足够大时，元素u 0的隶属频率总是稳定于某一数，这个稳定的数即为元素u 0对A 的隶属度。

例4 为建立“青年人”的隶属函数，以人的年龄作为论域X (参见[7])。

① 调查若干人选，各自认真考虑“青年人”的含义之后，提出他认为“青年人”最合适的年龄区间(随机地将模糊概念明确化)。

表1记录了129人关于“青年人”年龄区间的调查结果。

如果设A =“青年人”，那么表中每个区间就是每次试验中的A *。

② 对∀ u 0∈X ，求出u 0对A 的隶属频率稳定值，作为u 0对A 的隶属度值。

比如，对于u 0 = 27(岁)，根据表1统计得知：当样本总数n =10, 20, …, 120, 129时，样本区间覆盖27的频数m = 6, 14, …, 95, 101，相应的隶属频率f = m /n = 0.60, 0.70, …, 0.79, 0.78，具体数据参见表2。

以n 为横坐标、f 为纵坐标绘制图形(图4)可以发现，u 0 = 27对A 的隶属频率稳定在0.78附近，因此“27(岁)”对模糊集“青年人”A 的隶属度确定为0.78。

类似地，对∀ x ∈[0, 40]，求出x 对A 的隶属频率值，作为x 对A 的隶属度值，见表3。

③ 根据表3的数据，可作出模糊集A =“青年人”的隶属函数曲线如图5。

表1 关于“青年人”年龄区间调查表 18−25 18−30 17−30 20−35 15−28 18−25 18−35 19−28 17−30 16−3015−28 15−25 16−28 18−30 18−25 18−28 17−30 15−30 18−30 18−3515−25 17−25 17−30 18−35 18−25 18−30 16−28 18−30 18−35 15−3018−35 15−28 15−25 16−32 18−30 18−35 17−30 18−35 16−28 20−3016−30 18−35 18−35 18−29 17−28 18−35 18−35 18−25 18−30 16−2817−27 15−26 16−35 18−35 15−25 15−27 18−35 16−30 14−25 18−2518−30 20−30 18−28 18−30 15−30 18−28 18−25 16−25 20−30 18−3518−30 18−30 16−28 17−25 16−30 18−30 15−25 18−35 18−30 18−2818−26 16−35 16−28 16−25 15−35 17−30 15−25 16−35 15−30 18−3015−25 16−30 16−30 15−28 15−36 15−25 17−28 18−30 16−25 18−3017−25 18−29 17−29 15−30 17−30 16−30 16−35 15−30 14−25 18−3516−30 18−30 18−35 16−28 18−25 18−30 18−28 18−35 16−24 18−3017−30 15−30 18−35 18−25 18−30 15−30 15−30 17−30 18−30表2 不同样本下u 0 = 27的隶属频率n 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100110 120 129m 6 14 23 31 39 47 53 62 68 76 85 95 101f 0.60 0.70 0.77 0.78 0.780.780.760.780.760.760.77 0.79 0.78表3 论域中每个元素对A 的隶属频率x11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A (x )0 0 0 0.016 0.209 0.395 0.519 0.961 0.969 1 x21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 A (x )1 1 1 1 0.992 0.798 0.783 0.767 0.620 0.597 x 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40A (x ) 0.209 0.209 0.202 0.202 0.202 0.008 00 0 0 A (x ) = 0，当x ∈[0, 10]∪[40, 100] 时图4 u 0 = 27的隶属频率稳定值x图5 “青年人”的隶属函数曲线模糊统计试验方法可以比较客观地反映论域中元素相对于模糊概念的隶属程度，也具有一定的理论基础，因而是一种常用的确定隶属函数的方法。