工程测试技术习题答案.doc

第一章三、计算题

1-2求正弦信号的绝对均值和均方根值。

解答：

1 T 1 T 2x0 T

2 x0 T 4x0 2 x0

μ2 sin ωtdt cosωt 2

x(t)d t x0 sin ωt dt

x T

T 0 T 0 Tω0 Tω π

x

rms 1 T 2 (t )dt 1 T 2 sin 2 ωtdt x2 T 1 cos2 ωx x x0 0 t dt 0

T 0 T 0 T 0 2 2 1-3 求指数函数的频谱。

解答：

X( f) xt()e j2 f t dt at j2 f t dt A e(a j2 f )t A Aa( j2 f)

Ae e (a j2 f) 0 a j2 f 2 2

0 a (2 f )

k

X ( f )

(2 f )2

a2

( f ) arctan Im X ( f )

arctan

2 f Re X ( f ) a

|X(f) φ(f

A/

) π/2

0 f

0 f -π/

2

单边指数衰减信号频谱图

1-5 求被截断的余弦函数( 见图 1-26) 的傅里叶变换。

cos ω

t T x(t)

t

t

T

解：

x(t)

w(t)cos(2 f 0t )

w(t) 为矩形脉冲信号

W ( f ) 2T sinc(2 Tf )

cos(2 f 0t)

1 e j

2 f 0t

e j 2

f 0 t

1 2

1

所以 x(t)

w(t)e j 2 f 0t j 2 f 0t

2

w(t)e

2

根据频移特性和叠加性得：

X ( f )

1 W ( f f 0 ) 1

W ( f f 0 ) 2 2

T sinc[2 T ( f f 0 )] T sinc[2 T ( f f 0 )]

可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动 f 0，同时谱线

高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。

X(f)

T

-f 0

f

f

被截断的余弦函数频谱

1-6 求指数衰减信号

x(t) e at sin ωt 的频谱

.

x(t)

指数衰减信号解答：

sin( 0t ) 1 e j 0 t e

2 j

所以

x(t) e at 1 e j 0t e

2 j

j0t j0t

单边指数衰减信号x1(t) e at (a 0,t 0) 的频谱密度函数为

X1 ( f ) x(t )1 e j t dt e at e j t dt 1 a j

2 2

0 a j a 根据频移特性和叠加性得：

1

X1 ( 0 ) X1 ( 1 a j ( 0

)

a j ( 0

)

X ( ) 0 )

( 0 ) 2 a2 ( 0 )2

2 j 2 j a2

0 [ a2 ( 2 02 )]

j

2a 0

[ a2 ( 0 )2 ][ a2 ( 0 ) 2 ] ( 0 ) 2 ][ a2 ( 0 )2 ]

[a2

X( ω) φ(ω)

π

0ω

-π

0ω

指数衰减信号的频谱

图

1-7 设 有 一 时 间 函 数 f ( t ) 及 其 频 谱 如 图 1-27 所 示 。 现 乘 以 余 弦 型 振 荡

cos ω0t (ω0 ωm )

。在这个关系中，函数 f ( t ) 叫做调制信号，余弦振荡

cos ωt 叫做载波。

试求调幅信号

f (t ) cos ω0t 的傅里叶变换， 示意画出调幅信号及其频谱。

又问：若 ω0

ωm 时

将会出现什么情况？

f(t)

F(ω)

t m

ωm ω

-ω

图 1-27 题 1-7 图

解：

x(t )

f (t) cos( 0t ) F ( )

F [ f (t )]

cos( 0t) 1 e j

t

e j

t

1 2 1

所以

x(t) f (t)e j 0t f (t )e j 0t

2 2

根据频移特性和叠加性得：

X ( f )

1 0

)

1 0

)

F ( F (

2

2

可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，

各向左右移动载频 ω0 ，同时谱线高

度减小一半。

X(f)

- ω0

ω

f

矩形调幅信号频谱

若

ω

ω 将发生混叠。

m