回归直线方程的三种推导方法

回归直线方程的三种推导方法 巴州二中母润萍

回归直线方程是新课改新增内容之一，在必修数学3中对两个具有线性相关关系的变量利用回归分析的方法进行了研究，书中直接给出了回归直线方程系数的公式，在选修2-3中给出了回归直线方程的截距和斜率的最小二乘法估计公式的另一种形式的推导方法，根据所学知识，我总结了3种推导回归直线方程的方法：

设x 与y 是具有线性相关关系的两个变量，且相应于样本的一组观测值的n 个点的坐标分别是：112233()()()()n n x y x y x y x y ，，，，，，，，，设所求的回归方程为i i y bx a =+，(123)i n =，，，，．显然，上面的

各个偏差的符号有正、有负，如果将他们相加会相互抵消一部分，因此他们的和不能代表n 个点与回归直线的整体上的接近程度，因而采用n 个偏差的平方和Q 来表示n 个点与相应直线（回归直线）在整体上的接近程度，即

Q =∑(y i −y i ̂)2n

i=1

=∑(y i −bx i −a )2n

i=1

求出当Q 取最小值时的a b ，的值，就求出了回归方程． 下面给出回归方程的推导方法一：

一、先证明两个在变形中用到的公式

公式（一）2

2

2

11()n

n

i i

i i x x x nx ==-=-∑∑，其中

12n

x x x x n +++=

证明：

2

2

2

2

121

()()()()

n

i n i x x x x x x x x =-=-+-+

+-∑∵

2

22

2

1212()

2n n x x x x x x nx

nx

n

++

+=++

+-+

2

2

2

222222212

1

2

1()2()n

n

n

i i x x x nx nx x x x x nx

==++

+-+=++

+=-∑

2

2

21

1()n

n

i i i i x x x nx

==-=-∑∑∴．

公式（二）

1

1

()()n

n

i

i i i i i x

x y y x y nx y

==--=-∑∑

证明：

11221

()()()()()()()()

n

i i n n i x x y y x x y y x x y y x x y y =--=--+--+

+--∑∵

11221122()()n n n n x y x y x y x y y x x y y x x y y x nx y

=++

+-+++++++

12121

[()()]n

i i n n i x y x x x y y y y x nx y

==-++

++++++∑

12

121

()

()n n n i i i x x x y y y x y n y x nx y n n

=++

+++

+⎡⎤

=-+

+⎢⎥⎣⎦∑

1

1

2n

n

i i i i i i x y nxy nxy x y nxy

===-+=-∑∑，

1

1

()()n

n

i i i i i i x x y y x y nx y

==--=-∑∑∴．

二、推导：将Q 的表达式的各项先展开，再合并、变形 2222112233()()()()n n Q y bx a y bx a y bx a y bx a =--+--+--+

+--

22

2

2121122()[2()2()]

n y y y y bx a y bx a =++

+-+++展开

2

2

22

1

1

1

1

1

222n n n

n

n

i i i i i

i i i i i i y b x y a y b

x

ab x na ======--+++∑∑∑∑∑合并同类项

2

22

211

11122n

n

i

i n n n

i i i i i i i i i y x na na b b x b x y y n

n =====⎛⎫ ⎪ ⎪=--+-+ ⎪ ⎪⎝

⎭∑∑∑∑∑以a b ，的次数为标准整理

22

22

1

1

1

2()2n

n n

i

i i i i i i na na y bx b

x

b x y y ====--+-+∑∑∑转化为平均数x y

，

2

22

2

2

1

1

1

[()]()2n

n

n

i

i i i i i i n a y bx n y bx b

x

b x y y ====----+-+∑∑∑配方法

2

2

2

2

2

22

1

1

1

[()]22n

n

n

i

i i i i i i n a y bx ny nbxy nb x b

x

b x y y ====---+-+-+∑∑∑展开

2

2

2

2

221

1

1

[()]()2()()

n

n

n

i i i i i i i n a y bx b x nx b x y nxy y ny ====--+---++∑∑∑整理

22

2

2

1

1

1

[()]()2()()()n

n

n

i

i i i i i i n a y bx b

x

x b x x y y y y ====--+----+-∑∑∑用公式（一）、（二）变形

2221

21

11()()[()]()()()n

i i n n

i i i n

i

i i i x x y y n a y bx x x b y y x x ====⎡⎤

--⎢⎥⎢⎥=--+--+-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦

∑∑∑∑配方