概率公式总结

一、随机事件和概率

1、随机事件及其概率

运算律名称 表达式 交换律 结合律 分配律 德摩根律

2、概率的定义及其计算

公式名称 公式表达式

求逆公式 加法公式 条件概率公式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 （逆概率公式） 伯努力概型公式

两件事件相互独立相应

公式

)()()(B P A P AB P =；)()(B P A B P =；)()(A B P A B P =；1)()(=+A B P A B P ；

1)()(=+A B P A B P

二、随机变量及其分布

1、分布函数性质

2、散型随机变量

分布名称 分布律 0–1分布),1(p B 二项分布),(p n B 泊松分布)(λP 几何分布)(p G

超几何分布),,(n M N H

3、续型随机变量

分布名称 密度函数 分布函数 均匀分布),(b a U 指数分布)(λE 正态分布),(2

σμN

标准正态分布)1,0(N

三、多维随机变量及其分布

1、离散型二维随机变量边缘分布

2、离散型二维随机变量条件分布

3、连续型二维随机变量( X ,Y )的分布函数⎰⎰

∞-∞

-=

x y

dvdu v u f y x F ),(),(

4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：⎰⎰

∞-+∞

∞

-=

x

X dvdu v u f x F ),()( 密度函数：⎰

+∞

∞

-=

dv v x f x f X ),()(

5、二维随机变量的条件分布

四、随机变量的数字特征

1、数学期望

离散型随机变量：∑

+∞

==1

)(k k k p x X E 连续型随机变量：⎰

+∞

∞

-=

dx x xf X E )()(

2、数学期望的性质

(1)为常数C ,)(C C E = )()]([X E X E E = )()(X CE CX E =

(2))()()(Y E X E Y X E ±=± b X aE b aX E ±=±)()( )()()(1111n n n n X E C X E C X C X C E +=+ (3)若XY 相互独立则：)()()(Y E X E XY E = (4))()()]([222Y E X E XY E ≤ 3、方差：)()()(22X E X E X D -= 4、方差的性质

(1)0)(=C D 0)]([=X D D )()(2X D a b aX D =± 2)()(C X E X D -<

(2)),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 若XY 相互独立则：)()()(Y D X D Y X D +=± 5、协方差：)()(),(),(Y E X E Y X E Y X Cov -= 若XY 相互独立则：0),(=Y X Cov 6、相关系数：)

()(),(),(Y D X D Y X Cov Y X XY ==ρρ 若XY 相互独立则：0=XY ρ即XY 不相关

7、协方差和相关系数的性质

(1))(),(X D X X Cov = ),(),(X Y C o v Y X C o v =

(2)),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+ ),(),(Y X a b C o v d bY c aX Cov =++ 8、常见数学分布的期望和方差

分布 数学期望 方差 0-1分布),1(p B 二行分布),(p n B 泊松分布)(λP 几何分布)(p G

超几何分布),,(n M N H 均匀分布),(b a U

正态分布),(2σμN 指数分布)(λE

五、大数定律和中心极限定理

1、切比雪夫不等式

若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ξ有2

)

(})({ξξX D X E X P ≤

≥-或2

)

(1})({ξξX D X E X P -

≥<-

2、大数定律：若n X X 1相互独立且∞→n 时，

∑∑

==−→

−n

i i

D

n

i i X E n

X n

11

)(1

1

(1)若n X X 1相互独立，2)

(,)(i i i i X D X E σμ==且M i ≤2

σ则：

∑∑

==∞→−→

−n

i i

P

n

i i n X E n

X n

1

1

)(),(1

1

(2)若n X X 1相互独立同分布，且i i X E μ=)(则当∞→n 时：μ−→−

∑=P

n i i X n 1

1 3、中心极限定理

(1)独立同分布的中心极限定理：均值为μ，方差为02>σ的独立同分布时，当n 充分大时有： (2)拉普拉斯定理：随机变量),(~)2,1(p n B n n =η则对任意x 有：

(3)近似计算：)(

)(

)(

)(1

1

σ

μσ

μσ

μσ

μ

σ

μn n a n n b n n b n n X

n n a P b X

a P n

k k

n

k k

-Φ--Φ≈-≤

-≤

-=≤≤

∑∑==

六、数理统计

1、总体和样本

总体X 的分布函数)(x F 样本),(21n X X X 的联合分布为)(),(121k n

k n x F x x x F =∏=

2、统计量

(1)样本平均值：∑

==

n

i i X n

X 1

1

(2)样本方差：∑∑

==--=

--=

n

i i

n

i i X n X

n X X n S 12

21

2

2

)(11

)(1

1

(3)样本标准差：∑

=--=

n

i i X X n S 1

2

)(1

1 (4)样本k 阶原点距： 2,1,1

1

==

∑=k

X

n A n

i k

i k

(5)样本k 阶中心距：∑==-=

=n

i k i

k k k X X

n

M B 1

3,2,)(1

(6)次序统计量：设样本),(21n X X X 的观察值),(21n x x x ，将n x x x 21,按照由小到大的次序重新排列，得到

)()2()1(n x x x ≤≤≤ ，记取值为)(i x 的样本分量为)(i X ，则称)()2()1(n X X X ≤≤≤ 为样本),(21n X X X 的次序统计

量。),min(21)1(n X X X X =为最小次序统计量；),max(21)(n n X X X X =为最大次序统计量。 3、三大抽样分布

(1)2χ分布：设随机变量n X X X 21,相互独立，且都服从标准正态分布)1,0(N ，则随机变量222

212n X X X ++=χ