球的组合体专题训练

球的组合体
1.球的表面积与体积： 2
4S R π=, 34
3
V R π=
. 2.正方体、长方体与球：(1)设正方体的棱长为a ，则内切球半径为2
a
R =
，外接球半径2R a =
，与棱相切的球半径2
R a =.(2)
长方体的外接球直径2R =3.
直棱柱与球的组合问题
直棱柱的外接球，其球心一定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径.
4.正四面体与球：设正四面体的棱长为a ，则该正四面体的：(1)
全面积2
S ；(2)体
积312V a =
；(3)对棱中点连线段的长2d =；(4)内切球半径12r a =；(5)外接球半径4
R a =
；(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值
(等于正四面体的高). 可以用分割的方法求出内切球半径，也可以也可以运用正四面体的二心合一性质，作出
截面图，通过点、线、面关
系解之.在Rt BEO ∆中，22
2B O B E E O =+
，即
222
)R r =+
，得R =，得3R r =.
5.一般棱锥与球:利用2
2
2
R d r
=+求解. 三、高考真题演练
1.【2012新课标理11】
已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =,则此棱锥的体积为
A A
B
C D
2.【2013新理6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为A
333350086613722048.
. . .3333
A cm
B cm
C cm
D cm ππππ
3.【2015新理科一理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为1620π+，则r =B .1 .2 .4 .8A B C D
4.【2015新课标2理9】已知,A B 是球O 的球面上两点，o
90AOB ∠=,C 为该球面上的动点，若三棱锥O A B C -体积的最大值为36，则球O 的表面积为
.36 .64 .144 .256A B C D ππππ C
5.【2016全国三理10】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若
AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是B 932.4 .
.6 .23
A B C D ππ
ππ 6.【2016理科6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是
283
π
，则它的表面积是A .17 .18 .20 .28A B C D ππππ
四、经典例题解析
【例1】【2006全国一】已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为C .16 .20 .24 .32A B C D ππππ
【变式练习】1.【2010新课标理】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为B 2
2
2
27
11.. .
.53
3
A a
B a
C a
D a ππππ 2.【2008新课标理】一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为
8
9
，底面周长为3，则这个球的体积为
_________.3
4π=
V 3.【2009全国一理15题】直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若
12AB AC AA ===，
o 120BAC ∠=，则此球的表面积等于 .π20=S .
4.已知底面边长为a 正三棱柱111C B A ABC -的六个顶点在球1O 上，又知球2O 与此正三棱柱5个面都相切，求球1O 与球2O 的体积之比与表面积之比
.
解：如图，由题意得两球心1O 、2O 是重合的，过正三棱柱的一条侧棱1AA 和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为a ，则a R 632=
，正三棱柱的高为a R h 3
3
22==，由O D A Rt 11∆中，得
222222125(
)()()33612R R a a a =+=+=
，16
R a =. 1:5::2
22
121==∴R R S S ，1:55:21=V V .
汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）
【例2】一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 _________. 14π.
【变式练习】1.若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 .27π
2.球面上有四个点,,,P A B C ，如果,,PA PB PC 两两互相垂直，且PA PB =PC a ==，则这个球的表面积为__________.2243S R a ππ==球. 【例3】若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是
_________.π9
【变式练习】1.在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱
SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 .π36
2.在正三棱锥S ABC -中，侧棱SC ⊥侧面SAB ，侧棱2SC =，则此正三棱锥的外接球的表面积为____. 12π
3.已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为___________.3)2(2222=++=c b a R ，
23
=
R ,πππ2
383334343=⋅==R V
.
墙角模型（三条线两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
图2
图
3
【例4】一个四面体所有棱长都为
，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为
_______.3π
【变式练习】1.已知三棱锥S ABC -
中，
SA BC SB AC SC AB ====C
.64 .16 .14 .4A B C D ππππ
2.在三棱锥A BCD -中，AB ，其余棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为_______.
203
π
对棱相等模型（补形为长方体）
【例5】已知三棱锥-P ABC 中，⊥PA 平面ABC ，∆ABC 是边长为3的等边三角形，
2=PA ，则该三棱锥的外接球的体积为________.2416S R ππ==.
【变式练习】1.已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，
1AC =，且o 120BAC ∠=，则该球的表面积为A 4050.
. .12 .1533
A B C D ππ
ππ 垂面模型（一条直线垂直于一个平面）题设：如图，⊥PA 平面ABC .
【例6】三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，PAC ∆和ABC ∆均为边长为2的正
三角形，则三棱锥
ABC P -外接球的半径为 . R =
【变式练习】【2017
八市联考】已知三棱锥-A BCD 的一条棱长为a ，其余棱长均为1，当三棱锥-A BCD 的体积最大时，其外接球的表面积为________.
可以看成两个等边三角形绕着公共边旋转，当体积最大时，两个面垂直. 5
3
==R S π 切瓜模型（两个平面互相垂直）
图9-1
图9-2
图9-3
图9-4
【例7】在菱形ABCD 中，o 60,A AB ==将ABD ∆沿BD 折起到PBD ∆的位置，
若二面角
P BD C -
-的大小为
23
π
，则三棱锥P BCD -的外接球的体积为C 4.
. .3262
A B C D π 【变式练习】如图，ABCD 为边长为2的正方形，点,E F 分别是边,AB BC 的中点，将
,AED EBF ∆∆，FCD ∆分别沿,,DE EF FD 折起，使三点,,A B C 重合于点'A ，若四面体
'A EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为
B 222
B C D 【折叠模型】题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠
图11
【例8】在矩形ABCD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将矩形
ABCD 折成一个直二面角
D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为C 125.
12A π 125.9B π 125
.6
C π 125
.
3
D π 【变式练习】1.在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥A BCD -的外接球的表面积为___________．BD 的中点是球心O ，
132==BD R ，ππ1342==R S
两直角三角形拼接在一起(斜边相同,
也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型
图13
【例9】【2014全国】正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4，底面边长为2，
则该球的表面积为A 8127.
.16 .9 .44
A B C D ππ
ππ 【变式练习】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为32，则该球的表面积为________. ππ4942
==R S 锥体的内切球问题
图14
图
15
【例10】正三棱锥S ABC -，底面边长为3，侧棱长为2，则其外接球和内切球的半径是多少?
设正三棱锥S ABC -的高为h ，外接球半径为R ，内切球半径为r ，则
222()(
3)3R h R =-+，2222(3)13
h =-=,2R =.
由221
1131333)332r ⨯=+⨯⨯得r =
.
【变式练习】正三棱锥的高为3，底面边长为正三棱锥内有一个球与其四个面相切．则球的表面积与体积分别为___________. 43R =,
64256
;9
81ππ。