《量子力学》几简作业题

1 0 ,积分可 12 - 2
得: ln
1 ln 2 c 1 1 c2(c e 1 ).
c
* （1）可知 满足
d 2 * 2m [E U (x )] * 0 , 2 dx
根据上面的证明有 再对两边取共轭
*
c 成立.
2
1 1 2 2
De ik (2a b ) D e ik (2a b ) Ee ik (2a b ),
2 2 1
k 2 De ik (2a b ) k 2 D e ik (2a b ) k1Ee ik (2a b ).
2 2 1
解得：
D D
K 1 K 2 i( K e 2K 2
c n E n n( r )e
n

iE nt /
n( r ) 又 Hˆ

E n n( r )



n
c n Hˆ n ( r )e iE nt /
/
iE nt Hˆ c n n( r ) e
n
Hˆ ( r ,t )
二、 考虑一维粒子的运动，粒子的质量为 m, 处在一个无限深势阱中：
0 U ( x)
x a x a
它的能量是分立的
En n 2 2 2 8ma 2
根据德布罗意假设，给出粒子的波长和势阱的宽度 2a 之间的关系。 解：在势阱中 U(x)为零，则 E n 又p
n 2 2 2 p2 ， 2m 8ma 2
h ， ，即势阱宽度是半个波长的整数倍。 2
令 k1
2mE , k2 2
2m(E U 0 ) 2
,则上述方程可改写为：
d 2 k 12 0 (x<0,a<x<a+b,2a+b<x) 2 dx
和
d 2 k 22 0 (0<x<a,a+b<x<2a+b). 2 dx
此处 k1,k2 都是大于零的实数. 可解出波函数：
2 2 1 1
Ce ik (a b ) C e ik (a b ) De ik (a b ) D e ik (a b ),
1 1 2 2
k1Ce ik (a b ) k1C e ik (a b ) k 2 De ik (a b ) k 2 D e ik (a b ),
0
a
D
2 4k12 k 2 2 2 2 ( k12 k 2 ) sin 2 ( k 2 a ) 4k12 k 2
其中， k1
2 mE ， k2 2
2m ( E U 0 ) 2
a)分析当入射粒子的能量 E ,势垒的宽度和高度 a,U0 满足什么条件，透射系数
D 1（这意味着，粒子能够无视势垒的存在，完全透射过去。 ） 。
5 Ee ik x (x>2a+b).
1
由波函数和波函数一阶微商连续可得：
A A B B , k1 A k1 A k 2 B K 2 B , Be ik a B e ik a Ce ik a C e ik a ,
2 2 1 1
k 2 Be ik a k 2 B e ik a k1Ce ik a k1C e ik a ,
2
64K 1K 2 /{[( K 12 K 22 )2 sin 2K 1b(1 cos 2K 2a) 4K 1K 2(K 12 K 22 )sin 2K 2a]2 [(K 12 K 22 )2 cos 2K 1b(1 cos 2K 2a) - (K 12 K 22 )2 (K 12 K 22 6K 12K 22 )cos 2K 2a]2 }
反射系数 R=______ b) 分析粒子的透射是否出现完全透射，如果出现，给出参数满足的条件。 （期末 考试题）
解：根据透射系数可知，当

cos 2 K 2a 1, sin 2 K 2a 0,
即 K 2a
n(n 0, 1, 2...) 时，透射系数 D=1，此时出现完全透射，且与
1 2
2
1 2
2

1 ,处于状态 2 的概率为 2

1 . 2
1 即粒子的能量可能为 E1、E2，其概率各为 . 2
二、在量子力学中，一个基本的对易关系为[x ˆ, p ˆ （1） 求对易关系
2
x
] i
2 n [x ˆ, p ˆ ， ]. ˆ, p ˆx x ] [x
2
2 2 2 2 2 p x ˆ ˆx ) ˆ 2 ,(p 2 x ˆx x ˆ) ˆ 2 解：(x x x x
证明: 定态波函数的任意线性叠加
(r ,t )

满足含时薛定谔方程。其中 cn 是任意常数。
c n n(r ) e n

i
En t
i
证明：
iEnt / (r , t) i [ cnn(r ) e ] t t n
iE t / i cnn(r ) e n t n
1
K 2 )( 2a b )
E, E,
K 2 K 1 i( K e 2K 2
1
1
K 2 )( 2a b )
e iK a - iK a iK a C [(K 1 K 2 )2 e (K 1 K 2 )2 e ] E , 4K 1 K 2
2 2
e iK (3a 2b ) 2 - iK a iK a C (K 1 K 22 )[e e ] E, 4K 1 K 2
U0 0
是单方势垒模型的一个简单推广。
a a b 2a b
a) 给出当入射的能量 E U 0 ,粒子的反射和透射系数。 解：粒子的波函数 满足的定态薛定谔方程是：
d 2 2m E 0 (x<0,a<x<a+b,2a+b<x) dx 2
和
d 2 2m (E U 0 ) 0 (0<x<a,a+b<x<2a+b). 2 dx
双方势垒的间距 b 无关。
量子力学作业（四）
一、在量子力学中，求解薛定谔方程是一个基本问题。一维含时薛定谔方程描述 一维微观粒子的运动，
i
ˆ 不显含时间， 如果哈密顿算符 H 在初始时刻 t 0 ,粒子的波函数处在两个能量 本征态的叠加态上
ˆ ( x, t ) ， ( x, t ) H t
量子力学作业（一）
一、在量子力学中, 微观粒子的波函数满足含时薛定谔方程。因此，求解薛定谔 方程是一个非常重要的基本问题。假设一个质量为 m 的微观粒子在势场 U ( r ) 中 运动，其含时薛定谔方程为
2 2 i (r ,t ) U (r ) (r ,t ) Hˆ (r ,t ) t 2m
1 、 2 对应同一能量 E，并且 U 无奇性，则有 (x)
1 / 1
2m / 2 ,即 1 2 . [E U (x )] 2 1 2
2 进一步改写成(1
则
1 ) 0 . 2
1 const.在束缚态中对所有位置都成立，那么常数只能为零. 12 2
Leabharlann Baidu
iE nt /
cn
是任意常数。
0) (1 又 (x ,
2 ) / 2 ,得 c 1 c 2
(1e
iE 1 t/
1 2
.
t) 可得 (x ,

1 2
2e
iE 2t /
)
(2) 在(1）中的叠加态下 ( x, t ) ，测量粒子的能量，求所得能量的可能值和相 应的概率。 解：由（1）知，粒子处于状态 1 的概率为
它对应的定态薛定谔方程为
2 2 ˆ 2m U ( r ) ( r ) H ( r ) E ( r )
如果哈密顿算符存在一系列的能量本征值和本征态
ˆ (r H ) E n n ( r ) ( n 0,1,2, ) n
e iK a e iK a iK a iK a iK a iK a 2 2 A (K 1 K 2 )(e e ) C [(K 1 K 2 )2e (K 1 K 2 )2e ] C . 4 K 1K 2 4 K 1K 2
则透射系数
E J D D 2 J A
1 2 2
B B
A
1
K 1 K 2 i( K e 2K 2
1
K 2 )a
C C
K 1 K 2 i( K e 2K 2 K 1 K 2 i( K e 2K 2
2
1
K 2 )a
C , C ,
1
K 2 K 1 i( K e 2K 2
1
K 2 )a
c * * c *c c .
c
2
为 1，则波函数 可为实数或者虚数.
量子力学作业（三）
一、粒子入射被势垒反射是量子力学中的一个基本问题。 (1)单方势垒模型（见图） U ( x) U 0 xa U ( x) 0 U0 0 x a, x 0 是一个简单并且能精确求解的物理模型。 通过计算得到，当入射的能量 E U 0 ,透射系数为
可得 2a n
量子力学作业（二）
在一维情况下， 微观粒子的本征能量和本征波函数可以通过解一维定态薛定谔方 程
2 d 2 2m dx 2 U ( x ) ( x ) H ( x ) E ( x )
来得到。 （1）证明: 本征波函数可以取实数或者虚数
（2）证明：对于有限的规则势 U ( x ) ，本征能量 E 不存在简并的束缚态。 （提示： 假设对于同一个能量 E 存在两个束缚态本征波函数 1 ( x ) 和 2 ( x ) ， 则通过计算可 以发现 1 ( x ) C 2 ( x ) ，其中 C 是一个非零常数。这意味着 1 ( x ) 和 2 ( x ) 是线性 相关的。 证明： （2）假设波函数
h p
h
2m(E U 0 )
,
又从 a)知 D=1 时， E U 0
n 2 2 2 ,则可得 a n . 2 2 2ma
即说明在共振投射的势垒中，势垒宽度为半个波长的整数倍。 (2)双方势垒模型（见图） 。 U ( x)
U 0 x a , a b x 2a b U ( x) 0 0 x 2a b, x 0, a x a b
1 Ae ik x A e ik x (x<0),
1 1
2 Be ik x B e ik x (0<x<a),
2 2
3 Ce ik x C e ik x
1 1
2 2
(a<x<a+b),
4 De ik x D e ik x (a+b<2a+b),
2
K 1 )a
e iK a e iK a iK a iK a iK a iK a [(K 1 K 2 )2e (K 1 K 2 )2e ] C (K 12 K 22 )(e e ) C , 4 K 1K 2 4 K 1K 2
2 2 2 1 1 2 2 2 2
( x , 0 ) ( 1 2 ) / 2
其中，
Hˆ 1 E 11 ， Hˆ 2 E 22
(1) 给出 t 时刻的波函数 ( x, t ) ;
解：由作业（一）知：定态波函数的任意线性叠加
( x ,t )
满足含时薛定谔方程。其中
c n n( r ) e n
解：据题意 D=1，有(k1 解出 k 2a
2
k 22 )2 sin2(k 2a) 0 .
n 2 2 2 U 0 ,(n 0, 1, 2...). ,则 E 2ma 2

2m(E U 0 ) a n 2
b)根据德布罗意假设， 当 D 1 时， 给出在势垒中， 粒子的波长和势垒的宽度 a 之 间的关系，并解释其物理意义。 解：德布罗意波长