最新大跨度桥梁中几何非线性综述1

大跨度桥梁中几何非线性综述1大跨度桥梁中几何非线性综述摘要：随着桥梁跨度的不断增加，非线性因素对结构的影响也越来越大。

本文首先对三种非线性因素进行了较为详细的介绍，并且对斜拉桥、悬索桥和拱桥等受非线性影响较为明显的三种桥梁进行了非线性分析。

文章的最后介绍了目前通用的七种有限元程序对于非线性问题的考虑程度。

关键词：大跨度桥梁、非线性、有限元分析引言桥梁(指悬索桥和斜拉桥)的几何非线性源于四个方面：1、恒载初始内力；2、斜缆垂度效应；3、梁一柱效应；4、大变形效应。

普通的结构计算位移和内力时并不需要考虑自重的影响，但是对于这两种桥梁，恒载作用下，在索中产生巨大的拉力，对结构的整体刚度影响较大，从而对结构的位移、内力有影响，解决方法是：在刚度矩阵中考虑几何刚度项。

单元初内力对单元刚度矩阵的影响。

一般情况下是指单元轴力对弯曲刚度的影响，有时也考虑弯矩对轴向刚度的影响，常通过引入稳定函数或单元几何刚度矩阵的方法来考虑。

在大跨径桥梁结构分析中遇到的初应力（或初应变）问题，就是结构现有内力引起的结构刚度变化对本期荷载响应的影响问题。

[1]关于缆索的垂度效应，它也是一种大变形效应，目前，一般都采用厄恩斯特(Ernst)公式来修正单元的弹性模量，用一等效的杆单元来模拟斜缆索；也有采用多根直连杆或曲线单元来模拟，曲线单元精度较高，但较复杂。

关于粱一柱效应，较精确的方法是用稳定函数法，它能考虑弯矩对轴力、轴力对弯矩、弯矩对扭转、剪力对轴力等影响。

通常计人几何刚度的方法是稳定函数法的一阶近似。

关于大变形效应，采用T．L．法或U．L．法。

对桥梁的材料非线性动力问题研究得较多，但是对几何非线性的动力问题研究得较少且不成熟。

[2][3]目前，对于悬索桥、斜拉桥的几何非线性动力问题的处理。

只限于恒载初始内力和缆索垂度效应，即考虑恒载产生的初始内力对刚度项的修正后，其它仍按线性分析计算。

这样处理的原因在于：1、计算简单，动力问题的时程分析可以看作有限多个静力问题的集合，如果每个静力问题都按非线性处理，计算量将非常大；2、精度较好，恒载在结构外荷载中所占比例较大，桥梁在恒载作用下，缆索已被拉紧，再产生大的变形可能性较小。

但是，随着跨度的增加，结构柔性的增大，这种近似的处理方法有可能出现问题。

如在进行悬索桥和斜拉桥的动力特性分析时，悬索桥考虑其恒载初始内力的影响，而斜拉桥则不考虑，但是当斜拉桥跨度超过500m 时，若其主梁采用混凝土材料，结构自重将在桥塔内产生非常大的轴压力，忽略其影响，将可能造成对结构抗震验算很重要的前几阶频率产生较大的误差。

目前对于缆索非线性采用等效弹性模量法，随着缆索长度的增大，误差也会越来越大。

另外，在时程分析中，忽略大变形的影响，将造成误差累计，最终计算结果可能偏离很大。

这些问题都需要进一步研究。

[4]1. 桥梁结构几何非线性分析桥梁结构几何非线性分析一般采用有限位移理论，在建立以杆系结构有限位移理论为基础的大跨径桥梁结构几何非线性分析平衡方程时，一般考虑以下三方面的几何非线性效应：（1）杆端初内力对单元刚度矩阵的影响。

一般情况下是指单元轴力对弯曲刚度的影响，有时也考虑弯矩对轴向刚度的影响，常通过引入稳定函数或单元几何刚度矩阵的方法来考虑。

结构分析中的初应力（或初应变）问题，就是结构现有内力引起的刚度变化对本期荷载响应的影响问题。

（2）大位移对建立结构平衡方程的影响。

此问题有两种考虑办法，一是将参考坐标选在未变形的结构上，通过引入大位移单元刚度矩阵来考虑大位移问题，称为T.L 列式法；另一种是以将参考坐标选在变形后的位置上，让节点坐标跟随结构一起变化，从而使平衡方程直接建立在变形后的位置上，称为U.L 列式法。

（3）索垂度效应对单元刚度的影响。

此问题亦有两种处理方法，一是引入Ernst 公式，通过等效模量法来近似修正垂度效应，而用杆单元近似模拟索类构件；另一种是直接导出索单元切线刚度矩阵。

[2]2. 杆端初内力对单元刚度矩阵的影响。

[1]2.1 轴力对弯曲刚度的影响如图所示压杆的内力和位移为正，其挠曲平衡微分方程为：i i i x y N lx M l x M y El )(1α-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=''- （2-1）方程的解为：x lx N M l x N M l x k A l x k A y j i α++⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=1cos sin 21 （2-2） 引入边界条件：l y y l x x α====,00NM A k N kM M A i i j =+=21,sin cos x l x k l x k N M l x k l x k N M y i i α+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=sin sin 1sin 1sin （2-3） 于是 l x j j x i i y y =='=+='=+=αϕθαϕθ,0 EI sM cM l j i i )(-=ϕ EI cM sM l j i j )(-=ϕ （2-5）EI N l k =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1sin 1tg 1122k k k s k k k c （2-6） 如果轴力为拉力，则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k k k s k k k c sh 111th 122（2-7） c 和s 为轴力影响下，杆端单位力矩引起的杆端角形变形，c 为力矩作用端的角变形，s 为另一端的角变形。

最后，可导出有初轴力的杆单元刚度方程为：[][][]⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-+-++=+-+=+-+=i j j i i i j j j i i Q Q k s c s c l EI Q s c s c l EI M s c s c l EI M αθθαθθαθθ)22())(()()(22 （2-8） ()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+++-++-+=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧j j i i j j i i u u C l S C l k S C S l S C C l S C l k S C l S C l k S C l EI M Q M Q θθ - 22 - )22(- 22222222对称 （2-9） 其中：2222,sc s S s c c C -=-=是轴力N 的函数，称为稳定函数，其值随k 的变化而变化。

以稳定函数表达的刚度系数k 包含了轴力对弯曲刚度的影响，相当于切线刚度阵中弹性刚度系数与几何刚度系数之和。

2.2 弯矩对轴向刚度的影响杆单元的弯曲将引起杆件计算长度（杆件两端节点的距离）的改变，从而影响杆件的轴向刚度。

在杆件微段上，弯曲引起的杆件轴线计算长度的改变量δd 为：Nx x y x s d d d d d d 22-+=-=δ （2-10）22)(211)(1d /d y y x '≈-'+=δ x y d )(2121 0'=⎰δ 在外力作用下，杆件总的缩短量为：⎰'+=∆l x y EA Nl 02d )(21)/( （2-11）∆=βlEA N （2-12） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=k l kx l x NM l x k l x k N M y j i sin /sin 1sin )/1(sin （2-13） NlM M l kx n l k N M l kx l k k N M k M y j i i j i ++-+='si cos sin cos （2-14） 将上面两式代入积分公式中得到：（))(4/(1123M l N EA ϕβ-=） 当0>N （压杆）时：)coth 1(h csc 2)(2)h csc )(coth ()(2222k k M kM k M M k k k M M k M j i j i j i +++-++=ϕ（2-15）当0<N （拉杆）时：)cot 1(csc 2)(2)csc )(cot ()(222k k M kM k M M k k k M M k M j i j i j i +++-++=ϕ（2-16）3. 大位移对建立结构平衡方程的影响[2]~[5]几何非线性理论将平衡方程建立在结构变形后的位置上。

事实上，任何结构的平衡只有再起变形后的位置上满足，材质真实意义上平衡的。

线性理论之所以能得以广泛应用，是因为一般结构受力状态不因变形而发生明显改变，而有些问题则不然，以桥梁结构为例，由于桥跨的长大化和柔性结构的应用，桥梁在荷载作用下上部结构的几何位置变化显著，从有限元的角度来说，结点坐标随荷载的增量变化较大，各单元的长度、倾角等几何特性也相应产生较大的改变，结构的刚度矩阵成为几何变形的函数，因此平衡方程{F}=[K]{δ}不再是线性关系，小变形假设中的叠加原理不再适用。

解决方法是在计算应力及反力时计入结构位移的影响，即位移理论。

平衡条件是根据变形后的几何位置给出的，荷载与位移不再成线性关系，内力与外荷载之间的正比关系也不再存在，由于结构大变位的存在产生了与荷载增量不成正比的附加应力。

大位移对建立平衡方程的影响。

在这个问题上。

目前流行的T.L列式法和U.L列式法各有不同的处理方法。

前者将参考坐标选在未变形的结构上，通过引入大位移单元刚度矩阵来考虑大位移问题；后者将参考坐标选在变形后的位置上，让节点坐标跟随结构一起变化，从而使平衡方程直接建立在变形后的位置上。

任何变形体在空间都占据一定的区域，构成一定的形状，这种几何形状简称为构形。

物体在问题求解开始的构形称为初始构形，在任一瞬时的构形称为现时构形，物体位移的改变叫运动。

3.1 总体拉格朗日列式法在整个分析过程中，以t=0时的构形作为参考，且参考位形保持不变，这种列式称为总体拉格朗日列式法。

对于任意应力—应变关系与几何运动方程，杆系单元的平衡方程可由虚功原理推导得到：(3-1)式中：——单元的应力向量；——单元杆端力向量；——单元体积分域，对T.L列式，是变形前的单元体积域；——应变矩阵，是单元应变与节点位移的关系矩阵，即：(3-2)——杆端位移向量。

在有限位移情况下是位移的函数。

后面将看到，矩阵可分解为与杆端位移无关的部分和与杆端位移有关的部分两部分，即：(3-3)直接按式(3-1)建立单元刚度方程并建立结构有限元列式，称为全量列式法。

在几何非线性分析中，按全量列式法得到的单元刚度阵和结构刚度阵往往是非对称的，对求解不利，因此多采用增量列式法。

将(3-1)写成微分形式：(3-4)或(3-5)根据式(11-3)和(11-5)等式左边第一项可写成：(3-6)另一方面，单元的应力、应变增量关系可表示成：(3-7)式中：——弹性矩阵。