机械振动学习题解答(一)

能量法 1）设系统相对于平衡位置发生了广义位移x（或θ）； 2）写出系统势能U（包括重力势能mgh和弹簧弹性势 1 2 1 2 dP 1 2 2 mx J cx kx 能 ），动能V= 2 （或 2 ），耗散能P： dt 2 d 3）由能量守恒原理 dt (U V P) 0 列方程。
1－4 一简谐振动频率为10 Hz，最大速度为4.57 m/s， 求其振幅、周期和最大加速度。 解：简谐振动的位移 x(t ) Asin(nt ) 速度
x(t ) n A cos(nt )
速度幅值 xmax n A
2 A 加速度幅值 xmax n
2 Asin(nt ) 加速度 x(t ) n
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m mg k 0 3 2L 2
列系统微分方程的一般步骤 力法 1）设系统相对于平衡位置发生了广义位移x（或θ）； 2）分析系统受到的所有力 Fi（或力矩 Ti）； 3）由牛顿第二定律 Fi mx（或动量矩定理 Ti J ） i i 列方程。
x1 x2 2 X cos( t ) cos( 2

当ε<< ω时， x1 x2 2 X cos( 2 t ) cos t
可变振幅

2 t) 2
f 拍振的振幅为2X，拍频为 （不是 ）课本p.6 2 4 例：当=80， =4，X 5时，x1 x2 10cos(2 t )cos(80 t )
拍频为1Hz
-13 0
2－2 如图所示，长度为 L、质量为 m 的均质刚性杆 由两根刚度为 k 的弹簧系住，求杆绕O点微幅振动的 微分方程。 解：（力法）假设杆顺时针偏转了θ角， 则杆受到重力 mg 和弹簧弹力 F 产生的 力矩（均为逆时针方向）,其中F为两边 弹簧弹力之和 L
F 2k sin 2
i
θ
F
由动量矩定理 J Ti
mL L L F cos mg sin 得 3 2 2 又由于 sin , cos 1
2
mg
上式可化简为
m mg k 0 3 2L 2
（能量法）设系统处于静平衡位置时势能为0。当 杆顺时针偏转θ角时 势能 动能
mg N mx
N 物体 台面
要使物体保持与台面接触，必须 N ≥ 0 ，即
mg mx
mg
x
所以 又由于
xmax g
2 xmax n A 2 A g / n
所以
1－7 计算两简谐运动 x1 X cos t 和 x2 X cos t 之和。其中 ε << ω。如发生拍的现象，求其振幅和拍 频。 解：
10
振幅为10 拍频为2Hz
10cos(2 t )
0.5 1 1.5 2
0
拍的周期为 0.5s（不是1s）
-10 0
补充 若两简谐运动振幅和频率都不同：
X 1 cos t X 2 cos t X 2 cos t X 2 cos( )t x x1 x2 X 1 cos t X 2 cos( )t
2 t
Amax Amin 2 X 2（假设X2较小），拍频为 f
例：当 =80， =4，X1 8，X 2 5时，
13
4
x1 x2 3 10cos(2 t ) cos(80 t )
0
振幅为13
3 10cos(2 t )
0.5 1 1.5 2
由题意，fn 10 Hz, xmax 4.57 m/s
所以，圆频率 n 2 fn 20
A xmax 0.072734 m
振幅
n
周期 T 1/ fn 0.1 s
最大加速度
2 xmax n A n xmax 287.14 m/s2
1－6 一台面以一定频率作垂直正弦运动，如要求台 面上的物体保持与台面接触，则台面的最大振幅可 有多大？ 解：对物体受力分析
M kx 0 x 联立得 2 m 考虑 若假设弹簧相对于平衡位置缩短x，会如何？
（能量法）设系统处于静平衡位置时势能为0， 当弹簧相对于平衡位置伸长x时 势能
U 1 1 k x 2 k2 mgx 2 2 1 1 kx 2 kx mgx kx 2 2 2
可变振幅 A(t ) X 1 X 2 2 X 2 cos 拍振的振幅为
X 1 X 2 cos t 2 X 2 cos t cos t X 1 X 2 2 X 2 cos t cos t 2 2 可变振幅
2 1 L L U 2 k sin mg 1 cos 2 2 2 1 2 1 mL2 2 V J 2 2 3
由能量守恒原理
d (U V ) 0 dt
θ
2 kL2 L mL mg sin 0 2 2 3
2－5 求图示弹簧－质量－滑轮系统的振动微分方程。 解：（力法）静平衡时有： mg k （Δ为弹簧的伸长量）
M, r F F k x mg
假设弹簧相对于平衡位置伸长x，则圆 盘沿逆时针方向转过x/r角
质量m 圆盘M
mx mg F
F’
Mr 2 x Fr k ( x )r 2 r
M, r
注意：重物和弹簧满足 静平衡关系mg k
可见，计算势能时，若系统静平衡时已有弹簧 x 发生静变形，则参与静平衡的质量的重力势能 恰好与弹簧静变形的弹性势能抵消，可以不写。
2 2 x 1 Mr 2 1 mx V 动能 2 2 r 2 d 由能量守恒原理 dt (U V ) 0 M kx 0 m x 化简得 2