泰勒公式的余项

泰勒公式的余项

()[]()()(1)()0,0,()0,0,n n x f x f f t x x - 我们在这里提出一个平均估计定理，即一般化的泰勒公式，当我们在学习余数方面的公式的时候就会很自然地想到运用这个结论.作为此结论的一个运用，我们获得了一些数字化的理论去近似解决一些初始值问题，特别是微分方程问题.

首先，让我们回忆一下拉格朗日泰勒公式，为简单起见，我们在上进行研究。如果在上是连续的，并且(0)和在上存在，那么在上存在一()()()()()

()()[]()

121(1)

1(1)(()()(1)

!

00002!1!

00,n

n n n n n n x f x f n x x x f f f f n f t x f ξξξ----++'''=⋅⋅⋅-→个数使得

=p (x)+, 其中p +x+++是f 关于0点的n-1次泰勒多项式，我们首先要关注的是上述定理中当x 时 的取值.

根据先前定理的解释，如果在存在，在t=0上是右连续的，并且定理1 +1)(0)1

lim x 1

0n x n ξξ+→≠=

+0，那么

注意：这个定理中的假设表明数字是由足够小的x 所独立决定的.

()()()()()()

10

()

(1)

1(1)

1

()

()()(1)()0,()()()

!

()(0)()!

()()!

()()(),

1!

0,()1

n n

n n n

n n n n

n n n n n n n f x f x p x f n x p x f f

n x p x f

n x f x p x f

n x

x f f n ξξτξτξτξ

σστξσ-+-++=+⎡⎤=++⎣⎦=+=++=+ 在中，我们对运用平均估值定理，则在中存在一个数使得

另一方面，依据拉格朗日泰勒公式是中某个值，所以， 证明(1)(1)()

1()

01(1)(0)()()()!

()()()()11!

()()(0)n n n

n n n n n n f f x f P x f x n x x x A x P x f f x n n n f x f x f ξξ++--+≠++≠由于是t=0是右连续的且0，则结论得证.

根据以上解释，可以看作逼近的一个误差，根据定理的观点，

我们可以用代替从而用=+来逼近，我们就得到一个

逼近的n 次多项式，事实上，我们亦可得到一个逼近的n+1次多项式，不必要

求.

[][]()()()(2)2(2)

02()

(2)

1()0,0,()

21(2)!

()()()1!2n 1(2)!

n n n n n n n n f t x x n x f x A f n n x x n x P x f

f n n n ξξξ+++++-=+++=+++++ 如果存在且在上是连续的，那么在上存在一个使得

运用带积分余项的泰勒公式，我们有

定理2 证明 ()()

()(1)(2)10(2)1010(2)110(2)1(2)

1000()(0)(0)()[]111

()()()[]!1

1

()())()()1!1()()()()1!x

n n n n n x n n n n x n n n x n x n n n n x x x f

f f f t t dt n n n x x

A x p x f t t dt

n n f x p x f t x t dt n x f x A x f t x t dt f n n +++++++++++++=++-+++=+-+=+-+-=--+⎰⎰⎰⎰所以

又

从而

()()1(2)(2)11

011()[]1

()1()[]()1!!11!()()()

11

x n n

x n n n n x n n n x t t dt n x t x x f t t dt f x t dt n n n n x t x

t x t n n +++++++-=

+⎡⎤---+-⎢⎥+++⎣⎦

-=--++⎰⎰⎰令

g ](](](()

()()

1222110120

1

(0)0,()0,()0,1

1()()()()()()!

1!

0x x

n n n n x n x t x t x f x A x g t dt x t dt

n n f

f

ξξξξξ++++++'>≥-=

+

-+→⎰

⎰

则g =0且在上g 0，故在上g 0，所以我们运用带有积分余项的平均估值定理去论证在内存在两个数和，使得

最后，我们运用平均估值定理去论证以上结论！

根据定理2的陈述，很明显我们需要确定x 时的数，然后建立一个类似于刚才提出的()f x 一个结论引导我们去思考一个逼近的一种形式.

()()()()()22(2)(2)

10220222200(2)222()()!2!

(2)!1.

1()()n n n k n

n n k k n k k K i n i k j

i i x x x A x p x M f x M f x M f x n n n k M C M n A x f x f x M c c c c ++++-+=+++⋅⋅⋅+++=+对于给定的n ，系数和仅依赖于i ，很明显，我们有和C 根据定理2的思想，我们想要变成的一个n+2k+2阶近似。通过将在

0点展开成泰勒多项式，我们可通过以下两式获得和C ()()()()()()()()()()()()

()()()()()

()()()22200222212100222222222222

1

2!2!2!22!2!2!1

3!21!2!21!2!1!21!lim

022!

k k k k k k k n k n k k k n k x k M C M M C n k n k n k n k M C M C M C n k n k n k n k f f x A x M f x n k A x f x -+++++++++→++⋅⋅⋅+=

+-++++⋅⋅⋅+=

++-+++-=++的结果：

于是，我们很容易的证明如果存在并且在0点是连续的.

所以是的n+2k ()

()[]()()()()

()

()()

()()()

2221222220,0,42!

11,01,0.

11,01,0,n k n k

n k k k

j j j j t x x x f x A x M n k M j C j M j k j f

f

c ξξ+++-+<≥<<≥<<=⋅⋅⋅<<=+2阶近似，下列的平均估值定理将会证明这一点。 如果存在且于上连续；那么在中存在一个数使得

=+ 且0< 运用数学归纳法 当k=1时此即定理2.不妨设k>1时结论成立,并且设0 定理3证明()()()()()()()121

212200,1,()(1)21!!21!+2k !1!

k k n k k k

k k g M C M C g n k n k n λλλλλλ-+++⋅⋅⋅----=--⋅⋅⋅-+++那么作为归纳假设的一部分，设当0<<1时，>0，其中