三角形中位线性质的应用

三角形中位线性质的应用

三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．三角形中位线性质，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度．

例1如图1，已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ，P 是BC 的中点．求证：PM ＝PN

证明：作ME ⊥AB ，NF ⊥AC ，垂足E ，F

因为△ABM 、△CAN 是等腰直角三角形 所以AE ＝EB ＝ME ，AF ＝FC ＝NF ， 根据三角形中位线性质，可知， PE ＝

2

1AC ＝NF ，PF ＝2

1AB ＝ME

PE ∥AC ，PF ∥AB

所以∠PEB ＝∠BAC ＝∠PFC

所以∠PEB+ ∠MEB ＝∠PFC+ ∠NFC 即∠PEM ＝∠PFN 所以△PEM ≌△PFN 所以PM ＝PN ．

例2如图2，已知：△ABC 中，AD 是角平分线，BE ＝CF ，M 、N 分别是BC 和EF 的中点．求证：MN ∥AD ．

证明：连结EC ，取EC 的中点P ，连结PM 、PN

根据三角形中位线性质，可知， MP ∥AB ，MP ＝

2

1BE ，NP ∥AC ，NP ＝2

1CF

因为BE ＝CF ，所以MP ＝NP ，

所以∠3=∠4=

1802

M PN

-∠

，

∠MPN ＋∠BAC ＝180

（两边分平行的两个角相等或互补）

所以∠1=∠2=1802

M PN

-∠

， 所以∠2=∠3．

因为NP ∥AC ， 所以MN ∥AD ．

练一练：

1．如图3，已知E 、F 、G 、H 是四边形ABCD 各边的中点． 则①四边形EFGH 是 形；

②当AC ＝BD 时，四边形EFGH 是 形； ③当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是 形； ④当AC 和BD 时，四边形EFGH 是正方形形．

2．如图4，已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，AD 是角平分线，CM ⊥AD 于M ，且N 是BC

N

P

图1

C

M

图

2

图3

的中点．求MN的长．（提示：延长CM交AB于E）

1．平行四边形；菱形；矩形；垂直且相等．

2．5.1

D

N

图4