自主招生试题及答案(北约数学)

2014年综合性大学自主选拔录取联合考试

自然科学基础——理科试卷

数学部分（北约）

一、选择题（每小题8分，合计48分）

1．圆心角为3

π

的扇形的面积为6π，则它围成的圆锥的表面积为（ B ）．

A ．

B ．7π

C ．

D ．

解：由2166S R ππ==扇形得6R =，由263

r π

π=⨯得1r =，故它围成的圆锥的表面积为

267r πππ+=．

2．将10个人分为3组，一组4人，另两组各3人，共有（ C ）种分法．

A ．1070

B ．2014

C ．2100

D ．4200

解：4331063

21002

C C C N =

=． 3．已知2()2()

(

)33

a b f a f b f ++=

，(1)1f =，(4)7f =，则(2014)f =（ A ）． A ．4027 B ．4028 C ．4029 D ．4030 解：421(4)2(1)(2)(

)333f f f f +⨯+===，124(1)2(4)

(3)()533

f f f f +⨯+===，猜想*()21()f n n n N =-∈，

假设()21f n n =-对3(1)n k k ≤≥都成立，则(31)3(1)2(1)2(31)1f k f k f k +=+-=+-，

(32)3(2)2(2)2(32)1f k f k f k +=+-=+-，(33)3(3)2(3)2(33)1f k f k f k +=+-=+-，

所以*

()21()f n n n N =-∈．

4．若2

()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ，则a 的取值范围是（ D ）．

A ．01a ≤≤

B ．

C ．

D ．0a ≤或1a ≥

解：由题知，{}

2(0,)2y y x ax a +∞⊆=-+，故2

(2)40a a ∆=--≥，解得：0a ≤或1a ≥． 5．已知1x y +=-，且x 、y 均为负实数，则1

xy xy

+

有（ B ）． A ．最大值

174 B ．最小值174 C ．最大值174- D ．最小值174

-

解：1()()x y =-+-≥104xy <≤，而函数1

()f t t t

=+在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞单

调递增，故1

()()4f xy f ≥，即1174xy xy +

≥，当且仅当1

2

x y ==-时取等号．

6．已知22()arctan

14x f x C x +=+-在(,)44

ππ

-上为奇函数，则C =（ B ）

． A ．0 B ．arctan 2- C ．arctan 2 D ．不存在

解：由()0f x =得arctan(2)arctan 2C =-=-，此时

()()f x f x +-22arctan

14x x +=-22arctan 214x C x -+++4

arctan()2arctan 203

=--=，故

arctan 2C =-符合题意．

二、解答题（每题18分，共72分）

7．证明：0tan3R ∉．

证明：设0tan 3Q ∈，则0

00

00

t a

n 6t a n 12

t a n 24

t a n 30t a n (624)Q Q Q Q

∈⇔∈⇔∈⇔=+∈

，

这与0

tan 30Q =

矛盾． 8．已知实系数二次函数()f x 和()g x ，若方程()()f x g x =和3()()0f x g x +=都只有一个偶重根，方

程()0f x =有两个不等的实根，求证：方程()0g x =没有实根． 解：设2

()f x ax bx c =++，2

()g x dx ex f =++，0ad ≠，

所以2

()4()()b e a d c f -=--，2

(3)4(3)(3)b e a d c f +=++，所以2

2

3124b e ac df +=+，又

240b ac ->，所以22()44(4)0g x e df b ac ∆=-=--<，所以方程()0g x =没有实根．

9．已知1a ，2a ，…，13a 成等差数列，{}

113i j k M a a a i j k =++≤<<≤，问：0，

72，163

是否可以同时在M 中？并证明你的结论．

解：设该数列的公差为d ，∴p ∃，q ，*r N ∈，130a pd +=，17

3()2

a p q d ++=

，1163()3a p q r d +++=

，∴2111

q r =，∴21q ≥，11p ≥，又0123p ≥++=，∴35p q r ++≥， 又12111033p q r ++≤++=，与上式矛盾，故0，72，16

3不可以同时在M 中．

10．i x （1i =，2，…，n ）为正实数，且

1

1n

i

i x

==∏

，求证：1

)1)n

n i i x =≥∏．

解：由AM GM -

不等式得：11(n i n =≥

，11(n

i n =≥

两式相加得：1≥

，故

1

)1)n

n i i x =≥∏．