微专题七 巧作平行线构造相似
初中七年级数学复习专题，平行线的四大模型
初中七年级数学复习专题，平行线的四大模型
平行线的四大模型，专题复习，原理都是围绕平行线的性质展开。
性质1：
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
简称：两直线平行，同位角相等
性质2：
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简称：两直线平行，内错角相等
性质3：
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
简称：两直线平行，同旁内角互补
平行线的四大模型
模型一铅笔模型
模型二猪蹄模型
模型三臭脚模型
模型四骨折模型
掌握辅助线的构造方法也是必须的。
．。
2022年九年级中考复习微专题作平行构全等 作垂直构全等 用中点构全等(原版)
专题二模块研究(一)全构造微专题1方法技巧(一)作平行构全等典例精讲【例】如图，在四边形BDEC中，∠B=∠C，DE⊥EC，DF⊥BC于点F，G为CF上一点，且DG=EG，求FGBC的值.BCDEFG典题精练核心方法1作平行线→构X型1.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，过点M作MP∥AD交AC 于点P.求证：AB+AP=PC.AB CD MP核心方法2 作平行线→构等腰或等线段2.(2020大连)如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB ，BC ，AC 上，BE =CE ，点G 在线段CD 上，CG =CA ，GF =DE ，∠AFG =∠CDE .求证：BD =2AD .ABCD EF G核心方法3 作平行线→构平行四边形3.如图，已知∠ABC =90°，D 是直线AB 上的一点，且AD =BC ，E 是直线BC 上的一点，且CE =BD ，直线 AE 、CD 相交于点P .求AECD的值. FABCDEPFABCD EPFPEDCBA微专题2 方法技巧（二）作垂直构全等典例精讲【例】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在BC 边上，BE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ，且BC ＝2AE .求证：∠DAB ＝∠AB D .ED CBA典例精练核心方法1 遇角平分线→作垂线构直角三角形1.（2020原创题）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，F ，D 分别在边AC ，AB 上，∠BFC ＝∠BFD ，DE ⊥BC ，垂足为E ，若DE ＝BC ，求证：DF ＝BE ＋CF .FC ADE B核心方法2 45°→作垂线→构等腰直角三角形2.（2020襄阳）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 在边BC 上，DE ⊥DA 且DE ＝DA ，连接CE .请探究∠ACE 的度数是否为定值，并说明理由.ABCDE核心方法3 遇等腰→作底边上的高3.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40°，点D 是AB 边上一点，∠ACD ＝20°，探究BC 与AD 之间的数量关系。
17初中数学“利用平行线判定相似”知识点全解析
初中数学“利用平行线判定相似”知识点全解析一、引言在初中数学中，相似图形是一个非常重要的概念，而利用平行线判定相似是相似图形判定的一种重要方法。
掌握这种方法，可以帮助学生更好地理解相似图形的性质，提高解题能力。
本文将详细解析利用平行线判定相似的概念、方法、应用以及解题技巧，帮助学生更好地掌握这一知识点。
二、平行线与相似图形的关系1.平行线的性质：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行线间距离相等，且同位角相等，内错角相等。
2.相似图形的定义：如果两个图形对应角相等，对应边成比例，那么这两个图形叫做相似图形。
3.平行线与相似图形的关系：在几何图形中，如果两条直线平行于第三条直线，那么它们之间的对应角相等。
这个性质为我们利用平行线判定相似提供了依据。
三、利用平行线判定相似的方法1.基本方法：如果两个三角形中，有两组对应角分别相等，那么这两个三角形相似。
在这种情况下，我们可以通过证明两条直线平行来判定两个三角形相似。
2.具体步骤：1.首先，确定需要证明的两条直线是否平行。
这可以通过观察图形或根据题目条件来判断。
2.其次，利用平行线的性质来证明对应角相等。
例如，如果两条直线平行于第三条直线，那么它们之间的同位角或内错角相等。
3.最后，根据相似图形的定义，如果两个三角形中有两组对应角相等，则这两个三角形相似。
四、利用平行线判定相似的应用1.几何证明：在几何证明题中，利用平行线判定相似是解决问题的一种常用方法。
通过证明两条直线平行，我们可以得出对应角相等，从而证明两个三角形相似。
2.实际问题解决：在实际生活中，很多问题可以通过建立数学模型并运用利用平行线判定相似的知识进行解决。
例如，在建筑设计中，可以利用这种方法计算建筑物的高度或距离；在地理学中，可以利用这种方法计算地球表面两点之间的距离等。
3.数学竞赛：在数学竞赛中，利用平行线判定相似也是一个常见的考点。
掌握这一方法可以帮助学生在竞赛中取得更好的成绩。
巧作平行线构造相似形解一道几何计算题
巧作平行线构造相似形解一道几何计算题作者：马先龙来源：《理科考试研究·初中》2019年第05期摘要：一道求三角形边长的几何计算题，经过三角形一边的中点或三角形的顶点作平行线构造相似三角形求解，能达到化未知为已知，化难为易的目的.本文给出该题的八种解法.关键词：中点;顶点;平行线;相似三角形近日，教学中遇到一道已知三角形的中线、角平分线长，求三角形边长的几何计算题.因直接求解非常困难，故想到了添加辅助线.经过仔细观察图形，排除图形干扰[l]，发现此题可以通过巧作平行线，构造相似三角形，进而运用相似三角形的性质等相关知识求解.现摘录其中的八种解法，供读者参考.题目如图1，已知AD、BE分别是AABC的中线和角平分线，ADIBE，垂足为点F，AD =BE =4，求AC的长.1 过AABC边BC的中点D作平行线构造相似三角形求解评注此解法首先通过△ABF≌△DBF，得到AF= DF =2.然后，过△ABC边BC的中点D 作BE的平行线，巧妙地构造了两对相似三角形：△CDG∽△CBE.△AFE∽△ADG.运用相似三角形的性质，不但顺利得到AC与AE间的数量关系，还求出了EF的长，这就为运用勾股定理求AE的长创造了重要条件.求出AE的长，旋即得到AC的長.解法2 如图2，过点D作DH//CA交BE于点H.由DH//CA，得△BDH∽△BCE.评注此解法过△ABC边BC的中点D作AC的平行线后，巧妙地构造了一对相似三角形和一对全等三角形（相似三角形的特例）：△BDH∽△BCE，△AEF：△DHF.运用相似三角形、全等三角形的性质，顺利得到AC与AE间的数量关系以及EF的长.运用勾股定理求出AE 的长，旋即得到AC的长.2 经过AABC的各个顶点作平行线构造相似三角形求解解法3 如图3，过点C作CM//BE交AD的延长线于点M.评注对于解法3-解法7，就构图而言，解法3是过AABC的顶点G作BE的平行线，巧妙地构造了一对全等三角形（相似三角形的特例）和一对相似三角形：△BFD∽△CMD，△AEF∽△ACM;解法4是过AABC的顶点C作AD的平行线，巧妙地构造了两对相似三角形：△BDF∽△BCN，△AEF∽△CEN;解法5是过AABC的顶点A作BE的平行线，巧妙地构造了两对相似三角形：△DBF∽△DPA，△CEB∽△ACAP：解法6是过AABC的顶点A作BC的平行线，巧妙地构造了一对全等三角形和一对相似三角形：△AFQ≌△DFB，△AQE∽△CBE;解法7是过AABC的顶点B作AC的平行线，巧妙地构造了一对全等三角形和一对相似三角形：△ACD≌△RBD.△AEF∽△RBF.以上各种解法，运用相似三角形、全等三角形的性质后，都比较顺利地得到了AC与AE 间的数量关系以及EF的长.再运用勾股定理求出AE的长，旋即得到AE的长.解法8 如图8，过点B作BS//AD交CA的延长线于点S，则∠SBE= ∠AFE =90°.评注解法8是过AABC的顶点B作AD的平行线，巧妙地构造了两对相似三角形：△CAD∽△CSB，△EAF∽△ESB.先由前一对相似三角形，运用性质得到AC =AS以及SB的长;再运用勾股定理求出ES的长;之后，由后一对相似三角形，运用性质得到EA的长，这样，AS的长便唾手可得，旋即得到AE的长.实践表明，作平行线构造相似三角形是解决此类问题的常用方法.运用这种方法，建立了未知量和已知量之间的关系，达到了化未知为已知，化难为易的目的.一题多种解法，不但能体会作辅助线的好处，还能培养思维的发散性、广阔性和深刻性[2]，从而提升灵活解题和创新解题的能力.参考文献：[1]马先龙.构造“K型图”速解题[J].中学生数学，2014（10）：43 - 44.[2]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2008.。
作平行线构造相似学生版
相似构造技巧——作平行线题型一 过中点、等分点作平行线构造双A 模型1．（2020•崇明县期中）如图，直线DE 交AC 、AB 于D 、F ，交CB 的延长线于E ，且BE ：BC ＝2：3，AD ＝CD ，求AF ：BF 的值．题型二 过中点、等分点作平行线构造双A+X 模型3．（2020•雨城区校级月考）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上一点．射线CF 交AB 于点E ，且AE EB=16，则AFFD等于 ．4．（2020•汝州市校级月考）如图已知：△ABC 中，F 分AC 为1：2两部分，D 为BF 中点，AD 的延长线交BC 于E ，求：BE ：EC ．题型三 过等分点作平行线构造双X 模型5．（2020•浦东新区期中）如图，已知在△ABC 中，AE ：EB ＝CD ：CB ＝1：3，AD 与CE 相交于点H ，求EH HC的值．6．（2020•卢湾区一模）如图，已知点F 在AB 上，且AF ：BF ＝1：2，点D 是BC 延长线上一点，BC ：CD ＝2：1，连接FD 与AC 交于点N ，求FN ：ND 的值．巩固练习1．（2020•双清区期末）一个4米高的电线杆的影长是6米，它临近的一个建筑物的影长是36米．则这个2．（2020•孝义市期末）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD BD=12，则AE AC= ．3．（2020•长安区校级月考）如图所示，已知AB ∥EF ∥CD ，若AB ＝6厘米，CD ＝9厘米．求EF ．4．（2020•相山区二模）如图，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、B 、C 和D 、E 、F ．若DE EF=25，AC ＝14， （1）求AB 的长．（2）如果AD ＝7，CF ＝14，求BE 的长．5．（2020•房山区校级月考）如图，在△ABC 中，EF ∥CD ，DE ∥BC ．（1）求证：AF ：FD ＝AD ：DB ；（2）若AB ＝15，AD ：BD ＝2：1，求DF 的长．6．（2020•嘉定区一模）已知：如图，点D 、F 是△ABC 的AB 边上的两点，满足AD 2＝AF •AB ，连接CD ，过点F 作FE ∥DC ，交边AC 于E ，连接DE ．求证：DE ∥BC ．。
2024中考数学总复习冲刺专题：《作平行线构造相似三角形》通用版
《作平行线构造相似三角形》一、知识技能梳理相似三角形是初中数学中重要的内容，应用广泛：可以证明线段的比例式；也可证明线段相等、平行、垂直等；还可计算线段的长、比值，图形面积及比值。
作平行线构造成比例线段及相似三角形是常见的添加辅助线的规律，其本质是构造“A ”型或“X ”型图形。
二、学习过程模块一：作平行线构造双A 型例1.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在BC 、AC 上，且BD=DC ，31=AC AE ，求FDAF的值。
解法1：过点D 作DG ∥BE ，交AC 于点G易证1==BD CDEG CG ，设CD=EG=m ，则EC=2m 又AC AE 31=∴mEG AE ==∴1==EGAEFD AF 解法2：过点E 作EG ∥AD ，交BC 于点G易证32==AC EC AD EG ，设EG=4m ，则AD=6m 又BD DG DC DG ==31∴43==BG BD EG FD ∴m EG FD 343==∴mFD AF 3==∴1=FDAF例2．如图，E 是AC 的中点，直线EH 交AD 于点H ，交CD 的延长线于点B ，且BC=3BD 。
求DHAH的值。
解法1：过点E 作AD 的平行线过点E 作EN ∥AD 交CD 于点N 易得△CEN ∽△CAD ，△BDH ∽△BNE ∴21===CD CN AD EN CA CE ∵BC=3BD，∴DN CD BD ==21∴21==BN BD EN DN ∴41221EN EN AD DH =∴3=DHAH解法2：过点A 作BE 的平行线过点A 作AQ ∥BE 交CB 的延长线于点Q ∴1,===BQBCAE CE BD BQ AD AH ∵BC=3BD ,∴BDBC BQ 3==∴3=DHAH练习11．如图，点O 是四边形ABCD 对角线AC 、BD 的交点，∠BAD 与∠ACB 互补，＝，AD ＝6，AB ＝7，AC ＝5，则BC 的长为．【解答】解：过点O 作OM ∥AD 交AB 于M∴＝，∴AM＝×7＝，BM＝×7＝，∵△BOM∽△BDA，∴，∴OM＝，∵∠BAD+∠OMA＝180°，∠BAD+∠ACB＝180°，∴∠OMA＝∠ACB，∴△AMO∽△ACB，∴，∴BC＝2．如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D，若BF＝3EF，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：过点E作EH∥AD交BC于H，则＝，∵BE是△ABC的中线，∴CE＝EA，∴CH＝HD，∵EH∥AD，∴＝＝3，∴＝，故选：B．3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为．【解答】解：如图，过点D作DF∥AE，则＝＝，∵＝，∴DF ＝2EC ，∴DO ＝2OC ，∴DO ＝DC ，∴S △ADO ＝S △ADC ，S △BDO ＝S △BDC ，∴S △ABO ＝S △ABC ，∵∠ACB ＝90°，∴C 在以AB 为直径的圆上，设圆心为G ，当CG ⊥AB 时，△ABC 的面积最大为：4×2＝4，此时△ABO 的面积最大为：×4＝．故答案为：．模块二：作平行线构造双X 型例1.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在BC 、AC 上，且BD=DC ，31=AC AE ，求FDAF的值。
北师大版九年级数学上册课件：小专题11 作平行线或垂线构造相似(共14张PPT)
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
课时7探索相似构造平行线
第七课时 探索三角形相似的条件――――――构造平行线一、基本图形及基本结论：二、例题分析：例1、平行四边形ABCD ，E 、F 是BC 的三等分点，则例2、如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AC 变题1、D 是BC 的中点，AE:EC=3:1,则ADAO＝ 。
变题2、若BD:DC=2:1,AE:EC=3:1,则AD AO＝ 。
变题3、若BD:DC=m:1,AE:EC=n:1,则ADAO＝ 。
例3、△ABC 中，AB:AC=3:5，BD=CE ，DE 的延长线交BC 的延长线于点F 。
若DF=15，求EF 的长。
例4、△ABC 中，AD 平分∠BAC ，说明：ACABDC BD =例5、△ABC 中，点E 、F 分别在AB 、AC 上，且AE=AF ，EF 的延长线交BC 的延长线于点D ， 说明：BECFBD CD =AB CE DEDA BCAFDEAD CAECDFADB C EF PQ例1图例6、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥EF ∥BC （1）31=EB AE ，BC=3，AD=1，求EF ； （2）若nmEB AE =，说明：nAD mBC EF n m +=+).(例7、△ABC 中，E 点在BC 上，D 点在AB 的延长线上，DE 的延长线交AC 于点F ，且DABDEC BE =说明：AF=CF三、课后作业：1、如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF:FD=1:5，连结CF 并延长交AB 于点E ，则AE:EB 等于（ ）A 、1：6B 、1：8C 、1：9 D2、如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ，若BE=5，EF=2，则FG 的长是 .3、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 、F 分别是BC 、AB 、CA 上的点，且四边形CDEF 为正方形，若AC ＝1，BC ＝2，则AF ：FC 等于…………… ( )A 、1：3B 、1：4C 、1：2D 、2：3 4、△ABC 中，AD 平分△ABC 的外角∠CAE ，说明：CDBDAC AB =A E BCFD A BCEF DAC D第1题图B C AD E F第2题图5、如图，在ΔABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且BD ＝CE ，DE 的延长线交BC 的延长线于点F ，若AB ：AC ＝3：5，求EF ：DF 的比值。