信号与系统期末复习资料

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一、周期信号f(t)的傅里叶级数 周期信号f(t)的傅里叶级数 f(t)
∞ a0 ∞ 三角形式 f (t ) = + ∑an cos(nΩt ) + ∑bn sin(nΩt ) 2 n=1 n=1 ∞ A0 = + ∑ An cos(nΩt +ϕn ) 2 n=1
指数形式
f (t ) =
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1 。 π f ( t ) = 3cos t + cos 5t − π + 2cos 8t + 3 3
单边幅度谱和相位谱
ϕn
1 π 3 O 1 − π 3
6 7 8 ω
Fn
1 2 3 45
双边幅度谱和相位谱
1 Fn = F−n = An 2
φn
−5
的奇函数。 是n的奇函数。 的奇函数
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− 0.15π
X
化为指数形式
π 已知f (t ) = 1 + sinω1t + 2cosω1t + cos 2ω1t + ， 4
1 jω1t −jω1t f (t ) = 1 + e −e 2j
(
)
π π 2 jω1t 1 2 jω1t + 4 − 2 jnω1t + 4 + e + e−jω1t + e +e 2 整理 2 1 jω1t 1 −jω1t 1 jπ j2ω1t 1 −jπ −j2ω1t f (t ) = 1 + 1 + e + 1 − e + e 4e + e 4e 2j 2j 2 2
∞
−∞
∞
= ∑δ (t − nTs ) ↔ P(ω)
−∞
信号的频宽
ωm = 2πfm fm 的单位为赫兹（Hz）
1 f , 抽样频率 s ≥ 2 fm是必要条件或抽样间隔Ts ≤ 2 fm
奈奎斯特
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冲激抽样信号的频谱结构 冲激抽样信号的频谱结构
f(t) 1
F(ω)
o p(t)
(1)
t
o −ωm ωm
只含有余弦谐波分量， 只含有余弦谐波分量，有直流
∞ a0 ∞ f (t ) = + ∑an cos(nΩt ) + ∑bn sin(nΩt ) 2 n=1 n=1
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（2）f (t )为奇函数 ） 则有
f ( − t ) = − f ( t ) ，波形对称于原点。 波形对称于原点。
只含有正弦谐波分量， 只含有正弦谐波分量，无直流
主要内容
信号分析： 1)信号的表示方法 信号分析： (1)信号的表示方法
(2)信号的运算 (2)信号的运算 (3)信号的频谱 (3)信号的频谱
系统分析：信号通过系统求响应的方法。 系统分析：信号通过系统求响应的方法。
(1)连续系统：时域： (1)连续系统：时域：卷积积分法 连续系统 频域： 频域：付氏变换积分法 复频域： 复频域：拉氏变换积分法 ------------------------------------------(2)离散系统 时域：差分方程、 离散系统： (2)离散系统：时域：差分方程、离散卷积和 z域：z变换分析法
∞ a0 ∞ f (t ) = + ∑an cos(nΩt ) + ∑bn sin(nΩt ) 2 n=1 n=1
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（3） f (t )为奇谐函数 ） 如果 f (t ) 的前半周期波形移动
T f 对称于横轴即： 对称于横轴即： ( t ) = − f ( t ± ) f (t) 2
1
T 2
后，与后半周期波形
B
H ( jω )
cos ω C t
1 1 F(ω) = [F(ω − 2ωC ) + F(ω + 2ωC )] + F(ω)H(ω) 2 4
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抽样（周期单位冲激抽样） 抽样（周期单位冲激抽样）
连续信号
f (t )
抽样脉冲δ T (t )
⊗
抽样信号
f S (t )
fs (t ) = f (t )δT (t ) = ∑ f (nTs )δ (t − nTs )
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信号的表示例
f (t )
1
f 0 (t )
∑ δ (t − nT )
n=0
∞
0
τ
L
T
(a)
=
1
2T
t
0τ
(b)
t
*
1 0
L
T
2T
t
(c )
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第四章 傅立叶变换
周期信号的频谱分析——傅里叶级数 傅里叶级数 周期信号的频谱分析 非周期信号的频谱分析─ 非周期信号的频谱分析─傅里叶变换 傅里叶变换的性质 连续系统的频域分析─ H( jω) 无失真传输条件 连续系统的频域分析 抽样定理、 抽样定理、调制与解调 频分与时分复用
，称为奇谐函数。 称为奇谐函数。
-T
-T/ 2
0
-1
T/ 2
T
t
图 4.2-6 奇谐函数
奇谐函数只含有奇 次谐波分量， 次谐波分量，而不 含有偶次谐波分量， 含有偶次谐波分量， 无直流。 无直流。即
a0 = a2 = a4 = L b2 = b4 = L = 0
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（4） f (Baidu Nhomakorabea )为偶谐函数 ） 如果 f (t ) 的前半周期波形移动 重叠即： 重叠即：
π f (t ) = 1 + 5 cos(ω1t − 0.15π ) + cos 2ω1t + 4 三角函数形式的傅里叶级数的谱系数
三角函数形式的频谱图
ϕn
0.25π
A0 = 1
ϕ0 = 0
A = 5 = 2.236 ϕ1 = −0.15π 1
A2 =1
ϕ2 = 0.25π
ω1
O
2ω1 ω
指数形式的频谱图
F(nω1 )
0.5
1.12
1
1.12
0.5
2ω1 ω
0.15π
− 2ω1
− ω1
0.25π
− 2ω1 − ω1
O
ω1
ω1
O
− 0.15π
2ω1 ω
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− 0.25π
三角形式与指数形式的频谱图对比
三角函数形式的频谱图
ϕn
0.25π
ω1
O
2ω1 ω
指数形式的频谱图
F(nω1 )
− 0.15π
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无失真传输条件（滤波） 无失真传输条件（滤波）
f (t )
LTI
y(t ) = kf (t − t d )
应满足什么条件， 问：LTI系统的 H ( jω ) 及 h ( t ) 应满足什么条件， 系统的 才能够实现无失真传输信号？ 才能够实现无失真传输信号？
Y ( jω ) = ke
频域
− jωtd
n=−∞
Fne jnΩt ∑
∞

Ω是基波角频率
画频谱图
谐波性： 离散性） 谐波性：（离散性）谱线只出现在 nω1处 唯一性： 唯一性： f (t )的谱线唯一 三个性质
收敛性: 收敛性
(n ↑, Fn ↓)
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频谱图
周期信号
A0 ∞ f ( t ) = + ∑ An cos(nΩt +ϕn ) 2 n=1
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基本信号拉氏变换
δ (t ) ↔ 1
δ (t ) ↔ S
'
Re[S] > −∞
Re[S] > −∞
**.收敛域简单记忆法 ： 收敛域简单记忆法
所有极点的实部的最大值
1 L[ε (t )] = s 1 αt L e ε (t ) = s −α
[
]
Re[s] > 0
Re[s] > α
Re[s] > −α
F ( jω )
即H( jω ) = K,φ(ω ) = −ωt0
H ( jω ) = ke
− jω t d
时域
h(t ) 应满足：h( t ) = kδ ( t − t d ) k和td均为实常数 应满足：
不失真的线性系统其冲激响应也是冲激函数 冲激函数。 ●不失真的线性系统其冲激响应也是冲激函数。
(
)
= ∑F(nω1 ) ejnω1t
n=−2
2
指数形式的傅里叶级数的系数
1 F(0) = 1 F(ω1 ) = 1 + = 1.12e−j0.15π 2j 1 F(− ω1 ) = 1 − = 1.12e j0.15π 2j
1 jπ F(2ω1 ) = e 4 2 1 − jπ F(− 2ω1 ) = e 4 2
π ϕn
5
1 2 3 4
6 7 8
1 Fn = An 2
−8
3
O 1 − π 3
ω
的偶函数。 是n的偶函数。 的偶函数
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例4-1
π f 已知 (t ) = 1 + sinω1t + 2cosω1t + cos 2ω1t + ， 4
请画出其幅度谱和相位谱。 请画出其幅度谱和相位谱。 化为余弦形式（同频率项合并） 化为余弦形式（同频率项合并）
T f (t ) = f (t ± ) 2
T 2
后，与后半周期波形
，称为偶谐函数。 称为偶谐函数。
偶谐函数只含有偶次谐波分量， 偶谐函数只含有偶次谐波分量，而不含有奇 次谐波分量。 次谐波分量。有直流
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偶函数、 偶函数、奇谐函数
奇函数、 奇函数、奇谐函数
奇函数 奇谐函数
偶函数、 偶函数、偶谐函数 偶谐函数
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调制、 调制、解调
f (t ) : 调制信号
f (t )
ωC：载波角频率
fC (t ) = f (t ) cosωC t
相乘
cosωC t：载波信号
1 FC (ω) = [F(ω −ωC ) + F(ω + ωC )] 2
cosωC t
f C (t )
A
fC (t )：已调信号
f (t ) C
对称性 正弦信号
sinωct π Sa(ωct ) = ↔ [u(ω + ωc ) − u(ω −ωc )] ωc ωct
cosω0t ↔π [δ (ω + ω0 ) + δ (ω −ω0 )] sinω0t ↔ jπ [δ (ω + ω0 ) − δ (ω −ω0 )]
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傅里叶变换的性质
线性性质 对称性质 尺度变换性质 时移特性 频移特性 卷积定理 微分性质
P(ω)
ω
E
L L L
(ωS )
L
o
TS fS(t)
t 相 乘
L
−ωS
o
ωS
ω
卷 积
L
L
F S (ω) 1 TS L
o T S
t
−ωS
o ωm ωS
ω
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第五章 拉普拉斯变换
见书上P208 基本信号拉氏变换 见书上P208 见书上P209 （1-7，9初值定理） 初值定理） 拉普拉斯性质 见书上 ， 初值定理 拉普拉斯逆变换（部分分式法） 拉普拉斯逆变换（部分分式法） 逆变换 用拉氏变换法分析系统（解微分方程） 用拉氏变换法分析系统（解微分方程） 分析系统 系统函数(网络函数)H(S) 系统函数(网络函数)H(S)
2
∞
∫−∞ F(ω)
∞
2
dω
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典型非周期信号的频谱
单边指数信号 e
−αt
E ↔ α + jω
冲激函数 δ (t ) ↔1
1 直流信号 1↔ 2πEδ (ω) 单位阶跃函数 ε (t) ↔πδ(ω) + ↔ jω τ τ ωτ 矩形脉冲 Eε t + − ε t − ↔ Eτ Sa 2 2 2
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傅里叶变换对
F(ω) = ∫ f (t )e
−∞ ∞ − jω t
dt = F[ f (t )]
1 ∞ (ω)e jω t dω = F −1[ f (t )] f (t ) = ∫−∞ F 2π
简写
信号能量守恒： 信号能量守恒：
f (t ) ↔ F(ω)
1 E = ∫ f (t )dt = −∞ 2π
ϕn
0.5
2ω1 ω
0.5
1.12
1
1.12
0.15π
− 2ω1
− ω1
0.25π
− 2ω1 − ω1
O
ω1
ω1
O
− 0.15π
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2ω1 ω
− 0.25π
二、奇偶函数傅里级数展开式的特点
（1） f (t ) 为偶函数 ） 波形对称于纵坐标。 则有 f ( − t ) = f ( t ) ，波形对称于纵坐标。
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谱线
F0 = F(0) = 1 F1 = F(ω1 ) = 1.12 F−1 = F(−ω1 ) = 1.12 F2 = F(2ω1 ) = 0.5 F−2 = F(−2ω1 ) = 0.5
ϕ0 = 0
ϕ1 = −0.15π
ϕ−1 = 0.15π
ϕ2 = 0.25π
ϕ−2 = −0.25π
ϕn
β
s cos βtε (t ) ↔ 2 Re[s] > 0 2 s +β
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1 L e ε (t ) = s +α
π 2π f (t ) = 3cos t + sin 5t + − 2cos 8t − 3 6
1.画出单边幅度谱和相位谱； 1.画出单边幅度谱和相位谱； 画出单边幅度谱和相位谱 2.画出双边幅度谱和相位谱 画出双边幅度谱和相位谱。 2.画出双边幅度谱和相位谱。
π π 2π f (t ) = 3cos t + cos5t + − + 2cos8t − + π 6 2 3 1 π = 3cos t + cos 5t − π + 2cos 8t + 3 3