专题勾股定理培优版综合

专题 勾股定理在动态几何中的应用
.勾股定理与对称变换
(一)动点证明题
2.如图，E 为正方形ABCD 勺边AB 上一点，AE=3，BE=1, P 为AC 上的动点，则 PB F PE 的最小值是
3.如图，四边形ABCD 是正方形，△ ABE 是等边三角形，M 为对角线
将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN 连接EN AM CM.
B
C
(2)参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△
ABC 中, D 是BC 边上的一点，若/ BAD=
/ C=2Z DAC=30 , DC=2 求 BD 和 AB 的长.
图①
二.勾股定理与旋转
5•阅读下面材料：
1.如图，在△ ABC 中, AB=AC
若P 为边BC 上的中点，连结 AP,求证：BPX CP=A W-AP ;
(1) (2) 若P 是BC 边上任意一点，上面的结论还成立吗若成立请证明，若不成立请说明
(3) 若P 是BC 边延长线上一点，线段 AB AP 、BP CP 之间有什么样的关系请
证明你的结论. (二)最值问题
(1) 求证：△ AMBs ^ ENB
(2) ①当M 点在何处时，AW CM 的值最小;
②当 M 点在何处时，AW BWCM 的值最小，并说明理由;
(3) 当AW BW CM 的最小值为.3 1时，求正方形的边长.
4.问题：如图①，在△ ABC 中，D 是BC 边上的一点，若/ BA[=Z C=2Z DA(=450，DC=2•求BD 的长•小明同学的解题
思路是：禾U 用轴对称，把△ ADC 进行翻折，再经过推理、计 算使问题得到解决.
(1)请你回答：图中BD 的长为_； 图②
A
B
B
任意一
P
I k
B
A
N
D
E
M
C
E C
E
B C M
B
M
小伟遇到这样一个问题：如图1,在厶ABC （其中/ BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2 AC=4以
如图3, P 是等边三角形ABC 内一点，已知/ APB=15°,Z BPC=25°.
（1） 在图3中画出并指明以PA PB PC 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； （2）
求出以PAPBPC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于 ___________________
图1
图2
图3
7.已知Rt △ ABC 中, / AC 住90°, CA=CB 有一个圆心角为45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点 C 旋转，且直线CE CF 分别与直线AB 交于点M N.
（1）当扇形CEF 绕点C 在/ACE 的内部旋转时，如图①，求证： MN 2 AM 2 BN 2；
（2）当扇形CEF 绕点C 旋转至图②的位置时，关系式 MN 证明；若不成立，请说明理由.
变 式 1 : 女口 图， 在 Rt ABC 中
BAC 90 , AC AB, DAE 45
且 BD 3, CE 4,贝U DE = ___________ 变式2:如图，在
Rt △ ABC 中，AB AC , D 、E 是斜边BC
BC 为边在BC 的下方作等边△ PBC 求AP 的最大值。

小伟是这样思考A :利用变换和等边三角形将边的位置重新组合. 到^ A BC,连接A 'A,当点
C B ：
心将△ ABP 逆时针旋转60
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题: 边 AB=4,PABC 内部一点,
落在识"C 上时，此题可解（如图
2）.
则AP+BP+C 的最小值是
（结
6.如图，P 是等边三角形A B C 内一点，AP=3 BP=4 CP=5求/ 图1 变式 1: ?ABC 中, / ACB=9Oo AC=BC 点 P 是？ABC 内一点，且
变式2:问题：如图1，P 为正方形ABCD 内一点，且PA ： PB ： PC=1\：P 2 : 3，
小娜同学的想法是：不妨设 PA=1，PB=2, PC=3,设法把PA PB7F
△ BCP 绕点B 顺时针旋转90°得到△ BAE （如图2）,然后连结戸3问题得 请你回答：图2中/APB 的度数为
请你参考小娜同学的思路，解决下列问题:
AM 2
BN 2
是否仍然成立若成立，请
F
图②
请你回答:B
弋值
果可以不化
如图3，等腰Rt △ AB A
他的方法是以点B 为旋转中
B 的度
C
A
的度数
曰他
C
上两点，且/ DAE=45°，将△ ADC绕
点A顺时针旋转90后，得到△ AFB，连接EF，下列结论:
①厶 AED ◎△ AEF ;
②厶 ABE =△ ACD ;
③BE DC DE ;
④BE2 DC2 DE2其中正确的是（）
A.②④；B •①④； C •②③；D.①③
（三）其它应用
7.在厶ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为
小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的「边长为1），再在网格中画出格点△ ABC （即△ ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示•这样不需求△ ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.
（1）请你将△ ABC的面积直接填写在横线上__________________ ;
思维拓展：
（2）我们把上述求△ ABC面积的方法叫做构图法.•若△ ABC三边的长分别为 Qa、Ti3a、（a 0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为 a ）画出相应的△ ABC，并求出它的面积填写在横线上____________________ ;
探索创新：
（3）若厶ABC中有两边的长分别为返a、M0a （a 0 ），且厶ABC的面积为2 a2，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）中画出所有符合题意的△ ABC（全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长填写在横线上_________________________ . 8.已知/ AB（=90°,点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB AP为边在 / ABC的内部作等边△ ABE^H^ APQ连结QE并延长交BP于点F.
（1）如图1,若AB=2 3，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；
（2）如图2,当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；
（3）若AB=2.3，设BP=x，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于x的关系式.。