专题勾股定理培优版综合

专题 勾股定理在动态几何中的应用

.勾股定理与对称变换

(一)动点证明题

2.如图，E 为正方形ABCD 勺边AB 上一点，AE=3，BE=1, P 为AC 上的动点，则 PB F PE 的最小值是

3.如图，四边形ABCD 是正方形，△ ABE 是等边三角形，M 为对角线

将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN 连接EN AM CM.

B

C

(2)参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△

ABC 中, D 是BC 边上的一点，若/ BAD=

/ C=2Z DAC=30 , DC=2 求 BD 和 AB 的长.

图①

二.勾股定理与旋转

5•阅读下面材料：

1.如图，在△ ABC 中, AB=AC

若P 为边BC 上的中点，连结 AP,求证：BPX CP=A W-AP ;

(1) (2) 若P 是BC 边上任意一点，上面的结论还成立吗若成立请证明，若不成立请说明

(3) 若P 是BC 边延长线上一点，线段 AB AP 、BP CP 之间有什么样的关系请

证明你的结论. (二)最值问题

(1) 求证：△ AMBs ^ ENB

(2) ①当M 点在何处时，AW CM 的值最小;

②当 M 点在何处时，AW BWCM 的值最小，并说明理由;

(3) 当AW BW CM 的最小值为.3 1时，求正方形的边长.

4.问题：如图①，在△ ABC 中，D 是BC 边上的一点，若/ BA[=Z C=2Z DA(=450，DC=2•求BD 的长•小明同学的解题

思路是：禾U 用轴对称，把△ ADC 进行翻折，再经过推理、计 算使问题得到解决.

(1)请你回答：图中BD 的长为_； 图②

A

B

B

任意一

P

I k

B

A

N

D

E

M

C

E C

E

B C M

B

M

小伟遇到这样一个问题：如图1,在厶ABC （其中/ BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2 AC=4以

如图3, P 是等边三角形ABC 内一点，已知/ APB=15°,Z BPC=25°.

（1） 在图3中画出并指明以PA PB PC 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； （2）

求出以PAPBPC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于 ___________________

图1

图2

图3

7.已知Rt △ ABC 中, / AC 住90°, CA=CB 有一个圆心角为45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点 C 旋转，且直线CE CF 分别与直线AB 交于点M N.

（1）当扇形CEF 绕点C 在/ACE 的内部旋转时，如图①，求证： MN 2 AM 2 BN 2；

（2）当扇形CEF 绕点C 旋转至图②的位置时，关系式 MN 证明；若不成立，请说明理由.

变 式 1 : 女口 图， 在 Rt ABC 中

BAC 90 , AC AB, DAE 45

且 BD 3, CE 4,贝U DE = ___________ 变式2:如图，在

Rt △ ABC 中，AB AC , D 、E 是斜边BC

BC 为边在BC 的下方作等边△ PBC 求AP 的最大值。

小伟是这样思考A :利用变换和等边三角形将边的位置重新组合. 到^ A BC,连接A 'A,当点

C B ：

心将△ ABP 逆时针旋转60

参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题: 边 AB=4,PABC 内部一点,

落在识"C 上时，此题可解（如图

2）.

则AP+BP+C 的最小值是

（结

6.如图，P 是等边三角形A B C 内一点，AP=3 BP=4 CP=5求/ 图1 变式 1: ?ABC 中, / ACB=9Oo AC=BC 点 P 是？ABC 内一点，且

变式2:问题：如图1，P 为正方形ABCD 内一点，且PA ： PB ： PC=1\：P 2 : 3，

小娜同学的想法是：不妨设 PA=1，PB=2, PC=3,设法把PA PB7F

△ BCP 绕点B 顺时针旋转90°得到△ BAE （如图2）,然后连结戸3问题得 请你回答：图2中/APB 的度数为

请你参考小娜同学的思路，解决下列问题:

AM 2

BN 2

是否仍然成立若成立，请

F

图②

请你回答:B

弋值

果可以不化

如图3，等腰Rt △ AB A

他的方法是以点B 为旋转中

B 的度

C

A

的度数

曰他

C

上两点，且/ DAE=45°，将△ ADC绕

点A顺时针旋转90后，得到△ AFB，连接EF，下列结论:

①厶 AED ◎△ AEF ;

②厶 ABE =△ ACD ;

③BE DC DE ;

④BE2 DC2 DE2其中正确的是（）

A.②④；B •①④； C •②③；D.①③

（三）其它应用

7.在厶ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为

小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的「边长为1），再在网格中画出格点△ ABC （即△ ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示•这样不需求△ ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.

（1）请你将△ ABC的面积直接填写在横线上__________________ ;

思维拓展：

（2）我们把上述求△ ABC面积的方法叫做构图法.•若△ ABC三边的长分别为 Qa、Ti3a、（a 0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为 a ）画出相应的△ ABC，并求出它的面积填写在横线上____________________ ;

探索创新：

（3）若厶ABC中有两边的长分别为返a、M0a （a 0 ），且厶ABC的面积为2 a2，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）中画出所有符合题意的△ ABC（全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长填写在横线上_________________________ . 8.已知/ AB（=90°,点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB AP为边在 / ABC的内部作等边△ ABE^H^ APQ连结QE并延长交BP于点F.

（1）如图1,若AB=2 3，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；

（2）如图2,当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；

（3）若AB=2.3，设BP=x，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于x的关系式.