同济大学《高等数学》第四版24节初等函数的导数

x2 x
7 、 y 1 1 2 t 2 2 t , 2 t , 2 t 2 1 1 .
结束 谢谢观赏！
在定义域内处处可导， (2)
一、填空题：
练习题
1、设y lnx，则y =__________. xn
2、设y lncos1 ，则y =__________. x
3、设y x x ，则y =__________.
4、设y

et et
et et
，则y
=_________.
（1）(u v) u v, （2）(cu) cu ( C是常数)
（3）(uv) uv uv,
（4）(
u) v

uv uv v2
(v

0).
3.复合函数的求导法则
设 yf(u),而 u(x)则复y 合 f[ 函 (x)的 ]数 导数 d yd 为 ydu或y(x)f(u)(x).
关键: 正确分解初等函数的复合结构.
思考题
幂函数在其定义域内（
）.
（ 1 ） 必 可 导 ；（ 2 ） 必 不 可 导 ； （ 3 ） 不 一 定 可 导 ；
思考题解答
正确地选择是（3）
2
例 f (x) x3 x(, ) 在 x0处不可导，(1) f(x)x2 x(, )
dxdu dx
利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解 决.
注意:初等函数的导数仍为初等函数.
例1 求函 y数 x x x的导 . 数 解 y 1 (xxx)
2xxx 1 (1 1 (x x ))
2x x x 2x x 1 (1 1 (1 1))
2x x x 2x x 2x 4x2x x2x1 .
5、设f (x) x(x 1)(x 2)(x 999)则
f (0)=__________.
二 、 求 下 列 函 数 的 导 数 ： 1 、 y ta 1 x 2 ) n ； h(
2 、 y a s( r x i 2 n 1 ) ； h
3、 yacro(es2xh )；
n3xn1co xns fn1[ n(sx in)n] n1(sx in)n f[ n(sx in)n] (sx in)n.
二、双曲函数与反双曲函数的导数
(six n ) hcoxsh(cox)sh sin xh tanxhsinxh
cosxh (tax)n h co2x s h sin 2xh
(e x ) e x
(log a
x)

1 x ln a
(ln x ) 1 x
(arcsin x ) 1 1 x2
(arctan
x )

1 1 x2
(arccosx) 1 1 x2
(
arccot
x)

ຫໍສະໝຸດ Baidu
1
1 x
2
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设u u( x),v v( x)可导，则
4、 ysin xch eoxs； h
5、 y(arx c)2； tan 2
si2n 1
6、 ye x；
7、 yarc2st i.n 1t2
练习题答案
一 、 1 、 1 n ln x ； x n1
2 、 1 tan 1 ； x2 x
3、 4
2 x
x 1 x
； x
4、 1 ； cosh 2 t
8x x x x2x x
例2 求函 yf数 n[ n(sx inn )的 ] 导 . 数
解 y n n 1 [ f n (s x n ) if ] n [ n (s x n ) i] n n n 1(sx in )n (sx in )n co xns nn x 1
co2x sh 即 (tanx)h 1
cos2xh
arsix n ln h x ( 1 x 2 )
(arsinx)h(x 1x2) x 1x2
1 (1 x )
x1x2
1x2
1 1 x2
同理 (acr osx)h 1 x2 1
(artanx)h 1
5、 -999!.
二 、 1、
2x
；
cosh 2 (1 x 2 )
2、
2x
；
x4 2x2 2
3、 2e 2x ； e4x 1
4 、 e cosh x (cosh x sinh 2 x ) ；
4
x
5 、 4 x 2 arctan 2 ；
6、
1
sin
2
sin 2 1
e x
；
1 x
2
例3 求函 ya数 rcth a x)的 n(t导 .an数
解 y1t1 an 2xh(tax n)h
1t1 an2xhco12 sxh1csio1nshh22 xx

1 cosh2 x
cos2h x1sin2hx12s1inh2 x.
三、小结
任何初等函数的导数都可以按常数和基本初 等函数的求导公式和上述求导法则求出.
一、初等函数的求导问题
1.常数和基本初等函数的导数公式
(C ) 0 (sin x ) cos x (tan x ) sec 2 x (sec x ) sec x tan x (a x ) a x ln a
( x ) x 1 (cos x ) sin x (cot x ) csc 2 x (csc x ) csc x cot x