离散时间系统分析..

频率响应
h(n) ck
k 1 N
N
p
n k
h( n) c p
n 0 n 0 k 1 N k


N
n k n k
ck
k 1
p
n 0

2. 幅频特性：
e
0
j
| e j zr |
zr
| e pk |
j
pk
观察：
1. 当 时，
0

-1 -2 -3 -4
求： 频率响应
单位抽样响应
极－零图
1 0.8 0.6 0.4
Imaginary Part
0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.5 -1 -0.5 Real Part 0 0.5 1
极－零图
1.5
1
0.5
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 -2 -4 -6 -8 -10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
{
X ( z) a z
n 1 n n
其他
1 (a z )
1 n 0

n
1 z 1 1 1 a z z a 1 ROC : a z 1, z a
ROC:
za
注意：
z X ( z) za
z a
z X ( z) za
za
1 2
1
2
M N
上述表达式贯穿全书！
使分子多项式 = 0 的
的 Zeros (零点) 使分母多项式 = 0 的
的Poles(极点)
为了保证系统分子、分母多项式的系数始终为 实数，所以，如果系统有复数的极、零点，那 么这些复数的极、零点一定共轭出现。即：
系统分析的任务：
给定一个系 统，可能是
为因果序列, 则
因果序列的双边Z变换 和其单边 Z 变换相同
3.
2.4
逆Z变换
{
Z逆变换的基本公式
1. 长除法
2. 部分分式法
3. 留数法
2.5 离散系统的转移函数
1.
2.
3.
4.
以上 几个关系是离散时间系统中的基 本关系，它们从不同的角度描述了系统 的性质，它们彼此之间可以互相转换。
B( z ) b0 b1z b2 z bM z A( z ) 1 a1z a2 z a N z
所以，傅里叶变换是 值的拉普拉斯变换。
s
仅在虚轴上取
对离散信号，可否做拉普拉斯变换
L
令：
则：
拉普拉斯变换
离散信号 的 z 变换
对应连续信号
对应离散信号
z
变换
得到：

s与z
离散时间序列的 傅里叶变换， DTFT
Im[ z]
z 平面
z 平面
Re[ z ]
Im[ z]
r 1
0
Re[ z ]
0
4 f s 2 f s
r
的取值
Note:
r
是
z
的模，所以 ROC 具有
“圆”，或“环”的形状
例1：
X ( z) a z
n 0

n n
( az )
n 0

1 n
if thenБайду номын сангаас
az
1
1, that is 1 X ( z) 1 1 az
z a
ROC
z X ( z) za
a
1
例2：
思考：什么信号的z变换的收敛域是整个z平面？
2.3 Z变换的性质
1. 线性:
如何求
x(n) r cos n X ( z)
n
r j n j n x ( n) e e 2
n
2. 移位: （1） 双边Z变换
表示
单位延迟
（2） 单边Z变换
仍为双边序列
（ 3）
第2章 Z变换及离散系统分析
2.1 Z变换的定义；
2.2 Z变换的收敛域；
2.3 Z变换的性质；
2.4 逆Z变换；
2.5 离散系统的转移函数；
2.6 离散系统的结构
2.1 Z变换的定义
时域： 复频域：
Laplace 变换
j
0
s 平面

因为
所以 频域：

j
s j
s 平面
0


Fourier 变换
处, 在接近单位圆有一极点,
低通滤波器在 z 1 处一定没有零点，在
其附近应有一个极点；
同理，高通滤波器在 z 1 处一定没有
零点，在其附近应有一个极点；
（注：只要观察0～PI）
带通、带阻滤波器的极－零位置有何特点
在
z0
处的极、 零点不影响幅频,
只影响相频。
例： 给定系统
1 .1836+.7344z +1.1016z +.7374z +.1836z H ( z) -1 -2 -3 -4 100 1-3.0544z +3.8291z -2.2925z +.55075z
1.
右边有限长序列
X ( z)
n N1
x(n) z
N2
n
1 1 x( N1 ) N1 x( N2 ) N2 z z
ROC： 2. ROC:
z0
双边有限长序列
z 0, z
3.
ROC: 4. ROC： 5. ROC:
右边无限长序列
左边无限长序列
双边无限长序列
j
s 平面
0
z 平面
Im[ z]
r
0
2 f s 4 f s


Re[ z ]
fs s
2
1
fs 2 s 2
0 0
fs 2 s 2
fs s
2
1
f


0.5
0 0

0.5

f
k
2 k N
0
N 1
2.2 Z变换的收敛域
幂 级 数
条件：除 x ( n ) 外，还取决于
e
j
| e pk | 最小； 2. 极点 pk 越接近于单位圆， | e pk |
j
j
越小；
j
如何影 响幅频
3. 注意，向量 | e
pk | 在分母上。
H (e j )
低通滤波器
2

c
0 c
2

高通滤波器 带通滤波器
2

c
0 c
2
判断（或 分析）
线性？移不变？稳定？因果？
幅频：低通？高通？带通？… 相频：线性相位？最小相位？
极零分析的应用
1. 稳定性: 判别条件1：
h( n)
n 0

h(n) l1
稳定性: 判别条件2 ：
所有极点都 必需在单位 圆内！
证明：
ck z H ( z) k 1 z pk
2

c 2 c1
0c 2 c1
2
带阻滤波器
2
c2 c1 0c 2
c1

2
为什么只看0～PI？
3. 相频：
例：
解卷绕
相位的卷绕
(wrapping)
4. 极--零点对系统幅频的影响：
若在某一个
则 若在某一个 则
处, 在单位圆上有一零点,
j
| H (e ) | 0