求第一类Fredholm积分方程的离散正则化方法

求第一类Fredholm积分方程的离散正则化方法

【摘要】基于矩阵奇异值分解的离散正则化算法，本文给出了第一类Fredholm积分方程的求解方法。并通过算例验证了此算法的可行性。

【关键词】第一类Fredholm积分方程；矩阵奇异值；正则化方法

0 引言

在实际问题中，有很多数学物理方程反问题的求解最后总要归结为一个第一类算子方程：

Kx=y（1）

的求解问题，其中K是从Hilbert空间X到Hilbert空间Y一个有界线性算子，x∈X，y∈Y。通常右端项y是观测数据，因而不可避免的带有一定的误差δ。文中假设方程（1）的右端的扰动数据yδ∈Y满足条件：yδ-y≤δ（C1）。我们需要求解扰动方程Kx=yδ∈Y。（2）

通常境况下，当K为紧算子时，方程（1）的求解时不适定的[1]。即右端数据的小扰动可导致解的巨大变化。消除不稳定性的一个自然的方式是用一族接近适定问题的模型去逼近原问题，比如最著名的Tikhonov正则化方法，用如下适定的算子方程：

去逼近原问题Kx=yδ，其中α>0为一正的“正则参数”，K*表示K的伴随算子。正则化[2-3]是近似求解方程（1）的一种有效方法。Krish应用奇异系统理论提出的正则化子的概念，这给正则化方法的建立提供了新的理论依据。本文利用基于矩阵奇异值分解的离散正则化算法，通过适当选取正则化参数进行不适定问题的求解。

1 基于矩阵奇异值分解的离散正则化算法

矩阵的奇异值分解（SVD）是现代数值线性代数中最重要的基本计算分析工具之一，它具有优良的数值稳定性。其重要应用领域包括矩阵理论以及自动控制理论，力学和物理学等，还有更多的应用方面尚在继续探索中。

对于一般算子方程Kx=y，利用高斯-勒让德求积公式、复化梯形公式或者复化辛普森求积公式等的数值方法将它离散得到一个矩阵方程Ax=y，这样，算子方程Kx=y的求解就转化为矩阵方程：

的求解。

定义设A是m×n实矩阵（m≥n），称n阶方阵ATA的非零特征值的算术平

方根为A的奇异值。

定理假设矩阵A具有奇异值分解：A=USVT，其中U=（uj）和V=（vj）均为单位正交矩阵，S=diag{sj}是对角阵，且sj是A的按降幂排列的奇异值：

s1≥s2≥s3≥…>sN>0而且，对于奇异系统{vj}，还成立：

Avj=sjuj，ATuj=sjvj

依据SVD方法，对于方程（3），

当y没有扰动时：

当y有扰动时：

采用正则化求解上式得：

2 正则参数的选取

定义正则化参数的取法α=α（δ）称为是允许的，如果在δ→0时，

都成立。对矩阵方程Ax=yδ，yδ∈Y满足式（C1）.由扰动数据yδ∈Y求方程解的稳定近似值的正则化方法化为求式：

的极小元xα。当误差水平δ>0已知时，存在α=α（δ）的一种选取策略使得δ→0时α（δ）→0且xα（δ）→x。

正则化参数的取法有先验和后验两种方式，下面将分别介绍一种先验取法和Morozov偏差原理的后验选取方法。

（1）先验取法

（2）利用Morozov偏差原理的后验选取方法

Morozov偏差原理是由Morozov在1966年引进的确定Tikhonov正则化参数的一种后验选取方法。理论上，算子方程离散为矩阵方程后，Morozov相容性原理用：

来确定正则化参数，定义：

用A作用式（4）得：

由于yδ∈{uj}，且矩阵U是单位正交阵，故有：

从而有：

F（α）有唯一的零点，要求的最优正则化参数α*是F（α）的零点[1]。

3 数值算例

已知f（θ）的离散值的情况下，求解积分方程：

先将区间[-7，7]，变为[-1，1]，则上式变为：

用高斯-勒让德求积公式离散积分，得：

从而得到一个关于g=（g（7sj））的线性系统Ag=f，其中f就是给定的离散数据f（θ）。对于此线性代数方程组，直接求解是数值不稳定的，而且随着离散节点数目的增加，得到的数值结果越来越坏[4]，因而应用正则化是必要的。以下计算中取右端扰动数据为，线性系统两边都乘以AT将系数矩阵化为方阵，即ATAg=ATf，则ATA是n×n方阵。对此方阵进行奇异值分解，再利用先验选取正则参数、Morozov偏差原理或吸收Morozov相容性原理后验选取正则参数，将求得的α*代入（4）得到g的Tikhonov正则解.最后，再利用多项式拟合求出g的拟合解，并作出图象观察拟合解和正则解的逼近情况。

【参考文献】

[1]A Kirsch. An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems[M]. Springer，New York，1996.

[2]Engl H W，Hanke M，Neubauer A. Regularization of Inverse Problems[M].Dordrecht：Kluwer，1996.

[3]李功胜，马逸尘.应用正则化子建立求解不适定问题的正则化方法的探讨[J].数学进展，2000，29（6）：53-541.

[4]李世雄，刘家琦.小波变换和反演数学基础[M].北京：地质出版社，1994.