《导数的运算》PPT课件
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《导数的运算》PPT课件
[名师点评] 记住基本初等函数的求导公式, 是计算导数的关键,特别注意各求导公式的 结构特征,弄清<lnx>′与<logax>′和<ex>′与 <ax>′的差异,防止混淆,对于不具备基本初等 函数特征的函数,应先变形,然后求导．
考点二 利用导数求切线的方程
求切线的方程往往需要两个条件：一个点和 一个斜率．求切线的方程时,首先要判断这 个点的位置,即在不在曲线上,因为斜率要受 此影响．
3x－y－2＝0， (2)由y＝x3，
得 3x－x3－2＝0，
即(x3－x)－(2x－2)＝0.
可分解为(x－1)(x2＋x－2)＝0，解得 x1＝1，
x2＝－2.
∴切线3x－y－2＝0与曲线C的公共点为 <1,1>,<－2,－8>,这说明切线与曲线C的公 共点除了切点外,还有另外的点．
[名师点评] 曲线的切线与曲线的交点不 一定惟一,可从本例题得证．
【规范解答】 由y1＝1x， 解得交点 y2＝x2，
为(1,1)． y′1＝(1x)′＝－x12， ∴它在(1,1)处的切线方程为 y－1＝－x ＋1，4 分 即 y＝－x＋2.
y′2＝(x2)′＝2x， ∴它在(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x －1)， 即 y＝2x－1.8 分 y＝－x＋2 与 y＝2x－1 和 x 轴的交点分 别为(2,0)，(12，0)．
自我挑战1 抛物线y＝x2在哪一点处的切线 平行于直线y＝4x－5? 解：设切点为(x0，x20)， ∵y′＝2x，y′|x＝x0＝2x0＝4，∴x0＝2.
∴切点为(2,4)．
例3 (本题满分 14 分)求曲线 y1＝1x和 y2＝x2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三 角形的面积．
3.2导数的计算(27张PPT)
;
(7) y 3 x; 2
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯
净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化
到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：
c(x)= 5284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;
(1)90%;
(2)98%.
x
x
f (x) (x2) ' lim y lim 2x x x2 lim (2x x) 2x.
x x0
x0
x
x0
公式三：（x2）' 2x
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
解: y f (x) 1 , x
y f (x x) f (x) 1 1 x x x x (x x)x
y
'
1 x2
探究：
表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
这又说明什么?
画出函数y=1/x的图像。根据图像， 描述它的变化情况。并求出曲线在 点（1,1）处的切线方程。
x+y-2=0
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
y f (x x) f (x) C C 0,
y 0, x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：C 0 (C为常数)
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数. 解: y f (x) x,
y f (x x) f (x) (x x) x x,
(1) c '(90) 5284 52.84 (100 90)2
导数的计算(共42张PPT)
为 y'=n·xn-1.
2.函数 y=ax 与 y=ex 及 y=logax 与 ln x 的求导公式有何特点?
提示:(ax)'=axln a,(ex)'=exln e=ex,故函数 y=ex 可看作函数 y=ax 的特殊
1
1
1
情况;(logax)'=xlna,(ln x)'=xln = x ,故函数 y=ln x 也可看作函数 y=logax
=
2
4
x
4
x,∴y'=
3
4
2 x-n2 x
=cos
nx+x
1
2
1
1
2
x
2
1
1
1
+ 4 x '=-4sin x.
(6)∵y=xln x = xln x,
1
x
4
-2sin2 cos2 =1- sin2
∴y'=(cos x-sin x)'=-sin x-cos x.
1
课前预习导学
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
1.2
导数的计算
问题导学
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
(4)∵y= n
1
2
4
+
2
1-x 3 1
=4 + 4cos
2
=1-2·
2x
(5)∵y=nx+x
的特殊情况.
1.2
问题导学
导数的计算
课前预习导学
2.函数 y=ax 与 y=ex 及 y=logax 与 ln x 的求导公式有何特点?
提示:(ax)'=axln a,(ex)'=exln e=ex,故函数 y=ex 可看作函数 y=ax 的特殊
1
1
1
情况;(logax)'=xlna,(ln x)'=xln = x ,故函数 y=ln x 也可看作函数 y=logax
=
2
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x
4
x,∴y'=
3
4
2 x-n2 x
=cos
nx+x
1
2
1
1
2
x
2
1
1
1
+ 4 x '=-4sin x.
(6)∵y=xln x = xln x,
1
x
4
-2sin2 cos2 =1- sin2
∴y'=(cos x-sin x)'=-sin x-cos x.
1
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1.2
导数的计算
问题导学
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当堂检测
(4)∵y= n
1
2
4
+
2
1-x 3 1
=4 + 4cos
2
=1-2·
2x
(5)∵y=nx+x
的特殊情况.
1.2
问题导学
导数的计算
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导数运算ppt课件
fa＋Δx－fa＋fa－fa－Δx Δx
＝ lim Δx→0
fa＋ΔΔxx－fa＋－lΔimx→0
fa－Δx－fa －Δx
＝A＋A＝2A.
答案：2A
设 f(x)为可导函数，且满足lim x→0
f1－f2x1－2x＝－1，则过曲
线 y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2
B．－1
C．1
f(x0)，则当Δx≠0时，商
fx0＋Δx－fx0 Δx
Δy ＝__Δ_x___.称为函数y
＝f(x)从x0到x1的平均变化率．
2．(1)平均速度 设物体运动路程与时间的关系是 s＝f(t)，在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内，物体运动的平均速度是 v0＝ft0＋ΔΔtt－ft0＝_ΔΔ_st_. (2)瞬时速度 设物体运动路程与时间的关系是 s＝f(t)，当 Δt 趋近于 0 时，函数 f(t)在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内的平均变化率ΔΔst ＝ ft0＋ΔΔtt－ft0趋近于常数，我们把这个常数称为 t0 时刻的瞬时 速度．
2．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导 数”的区别与联系
(1)函数在一点处的导数 f ′(x0)是一个常数，不是变量． (2)函数的导数，是针对某一区间内任意点 x 而言的．函 数 f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的 每一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f ′(x0)．根据 函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是 函数 f(x)的导函数 f ′(x)．
解析：f ′(x)＝3ax2＋2bx－3， 由题意±1 是方程 f ′(x)＝0 的根， ∴－23ba＝0，－1a＝－1，故 a＝1，b＝0. 曲线方程为 y＝x3－3x，点 A(0,16)不在曲线上． 设切点为 M(x0，y0)，则 y0＝x03－3x0. ∵f ′(x0)＝3(x20－1)， ∴切线方程为 y－y0＝3(x20－1)(x－x0)．
高等数学导数的计算教学ppt课件
25
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
三.隐函数与参数式函数的导数
（一）隐函数的导数
显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数．例如：
y 1 sin3 x , z x2 y2 .
隐函数：由含x，y的方程F(x, y)=0给出的函数称 为隐函数.例如：
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 .
32
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
(二)参数式函数的导数
由参数方程给出的函数：
x y
x(t) y(t )
t
确定了y与x的函数关系．其中函数x(t),y(t)可导，且
x (t)0, ，则函数y=f (x)可导且
f ( x) 1
( y)
或
dy dx
1 dx
.
dy
7
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0． 所以
(arcsin x)' 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 x2
f
( x)
3
1
x2
1
x2
1
3
x2
2
2
例10 设y arcsin x 2 x x
解：
y
arcsin
x
3
2x4
，求 y ．
1
3
x
1 4
1 x2 2
导数的运算法则PPT教学课件
• 能利用给出的基本初等函数的导数公式表 和导数的四则运算法则求简单函数的导数
• 本节重点：导数的四则运算及其运用．
• 本节难点：导数的四则运算法则的推导．
• 1．可导函数的四则运算法则是解决函数 四则运算形式的求导法则，也是进一步学 习导数的基础，因此，必须透彻理解函数 求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内 在联系及规律，通过对知识的重新组合， 以达到巩固知识、提升能力的目的．
• 6 ． 函 数 y ＝ xsinx － cosx 的 导 数 为 __________________．
• [答案] 2sinx＋xcosx
• [解析] y′＝(xsinx)′－(cosx)′＝2sinx＋xcosx.
• 三、解答题
• 7．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图象上有两点 A得(0[函解,1析数)和] f(Bx直)(线的1,0图A)B，象的在斜在区率x＝间kABa(＝0处,－1的)1内，切f′求线(x实)＝平数3行x2a－，于2x使直
(f(x)±g(x))′＝
；
• (f(x2．)·设g函(x数))′＝f(x)、g(x)是可导函数，且 g(x)≠0．，gf((xx))′
＝
f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x) g2(x)
.
• [例1] 求下列函数的导数：
• •
((12))(yy3)＝ ＝y＝(x1xx2＋＋sinx212x＋)；2x3(3x；－1)；
• 2．利用导数的定义推导出函数的和、差、 积的求导法则，以及常见函数的导数公式 之后，对一些简单函数的求导问题，便可 直接应用法则和公式很快地求出导数，而
• 3．应用导数的四则运算法则和常见函数 的导数公式求导数时，在可能的情况下， 应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应 在求导之前，先利用代数、三角恒等变形 对函数进行化简，然后再求导，这样可以 减少运算量，提高运算速度，避免差错．
• 本节重点：导数的四则运算及其运用．
• 本节难点：导数的四则运算法则的推导．
• 1．可导函数的四则运算法则是解决函数 四则运算形式的求导法则，也是进一步学 习导数的基础，因此，必须透彻理解函数 求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内 在联系及规律，通过对知识的重新组合， 以达到巩固知识、提升能力的目的．
• 6 ． 函 数 y ＝ xsinx － cosx 的 导 数 为 __________________．
• [答案] 2sinx＋xcosx
• [解析] y′＝(xsinx)′－(cosx)′＝2sinx＋xcosx.
• 三、解答题
• 7．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图象上有两点 A得(0[函解,1析数)和] f(Bx直)(线的1,0图A)B，象的在斜在区率x＝间kABa(＝0处,－1的)1内，切f′求线(x实)＝平数3行x2a－，于2x使直
(f(x)±g(x))′＝
；
• (f(x2．)·设g函(x数))′＝f(x)、g(x)是可导函数，且 g(x)≠0．，gf((xx))′
＝
f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x) g2(x)
.
• [例1] 求下列函数的导数：
• •
((12))(yy3)＝ ＝y＝(x1xx2＋＋sinx212x＋)；2x3(3x；－1)；
• 2．利用导数的定义推导出函数的和、差、 积的求导法则，以及常见函数的导数公式 之后，对一些简单函数的求导问题，便可 直接应用法则和公式很快地求出导数，而
• 3．应用导数的四则运算法则和常见函数 的导数公式求导数时，在可能的情况下， 应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应 在求导之前，先利用代数、三角恒等变形 对函数进行化简，然后再求导，这样可以 减少运算量，提高运算速度，避免差错．
22_第1讲导数的概念及运算理ppt课件
Δt＜0，则 9.8 m/s 是(1＋Δt) s～1 s 时段的速率
12
考点 2 曲线的几何意义
例 2：如图 4－1－1，函数 y＝f(x)的图像在点 P 处的切线方
程是 y＝－x＋8，则 f(5)＋f′(5)＝
.
图 4－1－1 解题思路：区分过曲线 P 处的切线与过 P 点的切线的不同， 后者的 P 点不一定在曲线上．
(1)求曲线在 x＝2 处的切线方程； (2)求曲线过点(2,4)的切线方程． 误解分析：没有注意点(2,4)为切点以及(2,4)不为切点的情 形． 正解：(1)∵y′＝x2， ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k＝y′|x=2＝4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
1 ；(exx)′＝ ； ex
7
4．运算法则 (1)求导数的四则运算法则：
(u±v)′＝ u′±v ′ ；(uv)′＝
u′v＋；uv ′
y′x＝y′u·u′x
.
中，坐标为整数的点的个数是( D )
A．3
B．2
C．1
D．0
8
A
3．曲线 y＝x3＋x＋1 在点(1,3)处的切线方程是y＝4x－1.
9
另外定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的 面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型．
4
5
第 1 讲 导数的概念及运算
1．用定义求函数的导数的步骤 (1)求函数的改变量Δy. (2)求平均变化率Δy
Δx.
2．导数的几何意义和物理意义 几何意义：曲线 f(x)在某一点(x0，y0)处的导数是过点(x0， y0)的切线的 斜率 .
6
物理意义：若物体运动方程是 s＝s(t)，在点 P(t0，s(t0))处导 数的意义是 t＝t0处的 瞬时速度 .
12
考点 2 曲线的几何意义
例 2：如图 4－1－1，函数 y＝f(x)的图像在点 P 处的切线方
程是 y＝－x＋8，则 f(5)＋f′(5)＝
.
图 4－1－1 解题思路：区分过曲线 P 处的切线与过 P 点的切线的不同， 后者的 P 点不一定在曲线上．
(1)求曲线在 x＝2 处的切线方程； (2)求曲线过点(2,4)的切线方程． 误解分析：没有注意点(2,4)为切点以及(2,4)不为切点的情 形． 正解：(1)∵y′＝x2， ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k＝y′|x=2＝4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
1 ；(exx)′＝ ； ex
7
4．运算法则 (1)求导数的四则运算法则：
(u±v)′＝ u′±v ′ ；(uv)′＝
u′v＋；uv ′
y′x＝y′u·u′x
.
中，坐标为整数的点的个数是( D )
A．3
B．2
C．1
D．0
8
A
3．曲线 y＝x3＋x＋1 在点(1,3)处的切线方程是y＝4x－1.
9
另外定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的 面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型．
4
5
第 1 讲 导数的概念及运算
1．用定义求函数的导数的步骤 (1)求函数的改变量Δy. (2)求平均变化率Δy
Δx.
2．导数的几何意义和物理意义 几何意义：曲线 f(x)在某一点(x0，y0)处的导数是过点(x0， y0)的切线的 斜率 .
6
物理意义：若物体运动方程是 s＝s(t)，在点 P(t0，s(t0))处导 数的意义是 t＝t0处的 瞬时速度 .
导数的运算_课件
解： (1)405
(2) (3)1 (4)1
练习3 解： y'=-sinx
练习4 解：
和(或差)的导数
设
，g(x)=x，计算[f(x)+g(x)]'与[f(x)-g(x)]，它
们与f(x)和g'(x)有什么关系？再取几组函数试试，上述关
系仍然成立吗？由此你能想到什么?
若f(x)，g(x)在x处可导，则 [f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)
例题
某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）关于时间t（单
若
表示路程关于时间的函数，则
可以解释为某物体做变速速度，它在时刻
x的瞬时速度为2x。
常见函数的导数 函数y=f(x)=x3的导数
因为
所以
常见函数的导数
函数y=f(x)= 的导
数 观察导函数，你能否把它和原函数进行对应
？
表示函数
的图象（图
5.24）上点（x,y）处切线的斜率
为
，这说明随着x的变化，切线
公式1：
常见函数的导数 函数y=f(x)=x的导数：
因为
所以
常见函数的导数Biblioteka 函数y=f(x)=x的导数：
若 y=x（如图）表示路程关于 时间的函数，则y′=1可以解释 为某物体做瞬时速度为1的匀 速直线运动。
常见函数的导数 函数y=f(x)=x2的导数：
因为
所以
常见函数的导数 函数y=f(x)=x2的导数
否相等？f(x)与g(x)商的导数是否等于它们导数的商呢？
通过计算可知 ，因此[f(x)g(x)]'≠f'(x)g'(x) .同，样f的'(x)g'(x)=2x·1=2x， ，
【课件】人教版2-2 1.2《导数的计算》 课件
巩固练习
求函数y f ( x) x3的导数。
解：y ' f '( x) lim f ( x x) f ( x)
x0
x
lim ( x x)3 x3 lim 3x2 x 3x(x)2 3(x)3
x0
x
x0
x
lim (3x2 3x x 3(x)2 ) 3x2 x0
1； x2
且随x的变化，斜率在变化； 当x 0时，x ，y 1 减小得越来越快；
x 当x 0时，x ，y x2减小得越来越慢。
② y ' |x1
1 x2
|x1
1, 斜率k
1所求方程为：x
y
2
0
例5：求函数y f ( x) x的导数。
解：y' lim f ( x x) f ( x)
c'(x)
( 5284 )' 100 x
5 2 8 4 '(1 0 0
x) 5284 (1 0 0 x ) 2
(1 0 0
x)'
0 (100 x ) 5284 (1) (100 x ) 2
5284 (100 x)2
(1)因 为 c ' (90)
O
x
从几何的角度理解：
y ' 2x表示y x2图象上各点处的切线的斜率都为2x；
且随x的变化，斜率在变化；
当x 0时，x ，y x2减小得越来越慢；
当x 0时，x ，y x2增加得越来越快。
从物理的角度理解：
《导数的运算》PPT课件
(x ) x 1
(ln x) 1 x
(ex ) ex
(sin x) cos x
(cos x) sin x
(tan x) sec2 x
(cot x) csc2 x
(sec x) sec x tan x
(csc x) csc x cot x
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7
四、几类函数的求导法
1.隐函数求导法 例14 求由方程 x2 y2 4 所确定的隐函数的导数。
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8
四、几类函数的求导法
2.对数求导法 两边取对数，然后用隐函数法求导
对数能把积商化为对数之和差、幂化为指数与底的对数之积 （适合幂指函数或多项乘积函数求导）
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9
四、几类函数的求导法
例18 设
，求 y
复合函数的求导链式法则
设函数 u (x) 在 x 处有导数 ux (x)，函数 y f (u)
在点 x 的对应点 u 处也有导数yu f (u)，则复合函数
y f [(x)] 在点 x 处有导数，且
yx
yu
ux或
dy dx
dy du
du dx
复合函数的导数等于外函数的导数和内层函数的导数的乘积
回顾6.1知识点
1 导数的定义
2 导数的几何意义
3 可导和连续的关系
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1
§6.2 导数的运算
一、导数的四则运算法则 二、复合函数的导数 三、初等函数的导数 四、几类函数的求导法 五、高阶导数的概念
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2
一、导数的四则运算法则
设 u, v 都是 x 的可导函数，则有：
（1）和差法则：(u v) u v
导数的运算法则 课件
解得 x0＝1 或 x0＝－12. 故所求的切线方程为 y＋1＝x－1 或 y＋1＝－54(x－1)，即 x－y－2＝0 或 5x＋4y－1＝0.
1．求曲线的切线方程一定要分清是求曲线在点 P 处的切 线方程，还是求过点 P 与曲线相切的直线方程．
2．本题中点(1，－1)虽然在曲线上，但经过该点的切线 不一定只有一条，即该点可能是切点，也可能是切线与曲线 的交点．
(3)函数 y＝log2(1－x)可看作函数 y＝log2u 和 u＝1－x 的 复合函数，
∴
y′x
＝
5y′u·u′x
＝
5(log2u)′·(1
－
x)′＝ຫໍສະໝຸດ －5 uln 2＝
5 x－1ln 2.
(4)函数 y＝sin3x 可看作函数 y＝u3 和 u＝sin x 的复合函
数，函数 y＝sin 3x 可看作函数 y＝sin v 和 v＝3x 的复合函数．
【自主解答】 (1)函数 y＝e2x＋1 可看作函数 y＝eu 和 u＝ 2x＋1 的复合函数，
∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1. (2)函数 y＝2x－1 13可看作函数 y＝u－3 和 u＝2x－1 的复 合函数， ∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x －1)－4＝－2x－6 14.
1．解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失 分．
2．如果所求导的式子较为复杂，可考虑先化简再求导， 从而减少运算量，提高效率．
复合函数的导数
求下列函数的导数． (1)y＝e2x＋1；(2)y＝2x－1 13； (3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x. 【思路探究】 先分析函数是怎样复合而成的，找出中 间变量，分层求导．
导数的运算法则PPT教学课件
间“造成一团乱麻般的权利和义务”， 使封建主之间不断发生争夺和混战
第三章 导数及其应用
查理曼帝国的分裂
公元843 年
人
教
A
三分帝国
版
数 学
第三章 导数及其应用
欧
洲 主
法兰西
要
国
家 形
德意志
成
意大利
人 教 A 版 数 学
英吉利
第三章 导数及其应用
本课总结
在古希腊罗马文明衰落后，欧洲进入了封建社
会。这一时期，欧洲的政治、思想发生了巨大变化。
第三章 导数及其应用
人 教 A 版 数 学
第三章 导数及其应用
人 教 A 版 数 学
第三章 导数及其应用
人 教 A 版 数 学
第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
人 教 A 版 数 学
第三章 导数及其应用
第三单元 第二课 欧洲中世纪与基督教文明
人 教 A 版 数 学
人 教 A
版
政治上：
欧洲的封建土地制度和等级制度逐步形成；
数 学
思想上：基督教成为中世纪欧洲占统治地位的思想；
第三章 导数及其应用
课后探究
人
教
第三章 导数及其应用
查理曼帝国的分裂
公元843 年
人
教
A
三分帝国
版
数 学
第三章 导数及其应用
欧
洲 主
法兰西
要
国
家 形
德意志
成
意大利
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英吉利
第三章 导数及其应用
本课总结
在古希腊罗马文明衰落后，欧洲进入了封建社
会。这一时期，欧洲的政治、思想发生了巨大变化。
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第三单元 第二课 欧洲中世纪与基督教文明
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政治上：
欧洲的封建土地制度和等级制度逐步形成；
数 学
思想上：基督教成为中世纪欧洲占统治地位的思想；
第三章 导数及其应用
课后探究
人
教
导数计算ppt课件
(3)y＝1x＋x22＋x33；
解： (1)方法一：y′＝(x+1) ′(x-1)+(x+1)(x-1) ′=(x-1)+(x+1)=2x 方法二：y＝x2-1 y′＝(x2-1) ′=(x2) ′-1′=2x (2)y′＝(x2sinx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx ＋x2cosx.
[例 2] 求函数 y＝sin4x4＋cos44x的导数．
[解析] ∵y＝sin44x＋cos44x ＝(sin24x＋cos24x)2－2sin24xcos24x ＝1－12sin22x＝1－12·1－2cosx＝34＋14cosx， ∴y′＝34＋14cosx′＝－14sinx.
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励志名言
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第 一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第 一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:
Love ,not time,heals all wounds. 治愈一切创伤的并非时间,而是爱.
Life is tough,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
一、合作探究——几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1) 函数y=f(x)=c的导数. 解 : y f (x) C, y f (x x) f (x) C C, y 0, x f (x) C lim y 0. x0 x
学习目标：
• 1.了解常见函数的导数公式的推导过程。 • 2．掌握常见函数的导数公式及导数运算法
解： (1)方法一：y′＝(x+1) ′(x-1)+(x+1)(x-1) ′=(x-1)+(x+1)=2x 方法二：y＝x2-1 y′＝(x2-1) ′=(x2) ′-1′=2x (2)y′＝(x2sinx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx ＋x2cosx.
[例 2] 求函数 y＝sin4x4＋cos44x的导数．
[解析] ∵y＝sin44x＋cos44x ＝(sin24x＋cos24x)2－2sin24xcos24x ＝1－12sin22x＝1－12·1－2cosx＝34＋14cosx， ∴y′＝34＋14cosx′＝－14sinx.
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励志名言
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第 一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第 一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:
Love ,not time,heals all wounds. 治愈一切创伤的并非时间,而是爱.
Life is tough,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
一、合作探究——几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1) 函数y=f(x)=c的导数. 解 : y f (x) C, y f (x x) f (x) C C, y 0, x f (x) C lim y 0. x0 x
学习目标：
• 1.了解常见函数的导数公式的推导过程。 • 2．掌握常见函数的导数公式及导数运算法
导数运算法则PPT精品课件
B．长．长度不变，但顺序改变
精典例题
5.诱发突变与自然突变相比，正确的是 D
A．都是有利的 B．都是定向的 C．都是隐性突变 D．诱发突变率高
精典例题
4、人类能遗传给后代的基因突变常
发生在
C
A.减数第一次分裂
B.四分体时期
C.减数第一次分裂的间期
D.有丝分裂间期
f (x) g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个
函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函
数的平方.即:
f (x)
g
(
x)
f
(
x)
g
(x) f (
g(x)2
x)
g
(
x)
(
g
(
x)
0)
例2.求函数y=x3-2x+3的导数.
y
1 x2 (1 x2 )2
;
(4) y 6x3 x ; 1 x2
例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= 1 t 4
-4t3+16t2.
4
(1)此物体什么时刻在始点?
(2)什么时刻它的速度为零?
解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点.
DNA分子中的碱基对发生变化 这种变化可否遗传? 如何遗传？
mRNA分子中的碱基发生变化 可以遗传
相应氨基酸的改变 相应蛋白质的改变
突变后的DNA分 子复制,通过减数 分裂形成带有突 变基因的生殖细 胞,并将突变基因 传给下一代.
导数的运算法则课件
则y′u=3uln 3，u′v=
1， vln 2
v′x=2x-2，
所以y′x=
(2x 2) 3log2 (x2 2x3) ln 3 (x2 2x 3)ln 2
2log2 3 (x 1)3log2 (x2 2x3) . x2 2x 3
【延伸探究】在本例(2)①中，将cos x换为sin x，当x=0时其
则对 求导.
1 2x
【自主解答】(1)y=f(x)= 1 =(1-3x)-4．
(1 3x)4
设y=u-4，u=1-3x，则
f′(x)=y′x=y′u·u′x=(u-4)′u·(1-3x)′x
=-4u-5·(-3)=12u-5=12(1-3x)-5=12 ．
(1 3x)5
f′(1)=
12 3. (1 3)5 8
答案：1.6x2-12x+2 2. x2 2x
(x 1)2
知识点2 复合函数的导数 复合函数求导的一般方法 (1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成， 适当选定中间变量. (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中 特别要注意的是中间变量. (3)根据基本函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数 的导数，并把中间变量转换成自变量的函数.
2.复合函数的求导公式 (1)复合函数的定义：①一般形式是_y_=_f_(_g_(_x_)_)_. ②可分解为_y_=_f_(_u_)_与_u_=_g_(_x_)_，其中u称为_中__间__变__量__. (2)求导法则：复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)， u=g(x)的导数间的关系为：y′x=_y_′__u_·_u_′__x_.
所以
(f (x) g(x)
)
导数的运算ppt课件
解：(1) y x2 sin x sin x x2
2x sin x x2 cosx
(2) y x ln x xln x 3 cos x 3cos x
ln x 1 3sin x
新课讲授
法则2：
uv uv vu
同理：
c 0
cu cu
【例4】求函数的导数 y 2x3 4x2 3x 5
法则1：u v u v
新课讲授
法则1：
u v u v
【例1】求函数的导数
y x3 sin x
解：y x3 sin x
3x2 cosx
新课讲授
法则1：
u v u v
同理：
u v w u v w
【例2】求函数的导数
y 1 sin ln x
x4解：yFra bibliotek1复习回顾
1、常用的基本求导公式
（1）xa axa1
（2）ex e x
（3）ln x
1 x
（4）sin x cosx
（5）cos x sin x
复习回顾
2、求下列函数的导数
（1）y x3
（2）设
f x cosx，求 f 和
6
f
3
新课讲授
u v 假设 和 分别为两个可导函数
sin
ln
x
x 4
x2 0 1 x
1 x2
1 x
课堂练习
P 课本 45,练习题
新课讲授
u v 假设 和 分别为两个可导函数
法则1：u v u v 法则2：uv uv vu
新课讲授
法则2：
uv uv vu
【例3】求下列函数导数
(1) y x2 sin x
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3．2
第一课时
导数的运算
常见函数的导数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
学习目标 1.能根据定义求函数 y＝kx＋b，y＝c，y 1 ＝x，y＝x ，y＝ 的导数． x
2
2． 掌握常见的基本初等函数的导数公式， 并能求简单函数的导数．
课前自主学案
3．2.1
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
4 1．函数y＝(x＋1)2在x＝1处的导数等于___.
【规范解答】 为(1,1)．
1 y1＝ ， x 由 2 y ＝ x ， 2
解得交点
1 1 y′1＝(x)′＝－ 2， x ∴它在(1,1)处的切线方程为 y－1＝－x ＋1，4 分 即 y＝－x＋2.
y′2＝(x2)′＝2x， ∴它在 (1,1)处的切线方程为 y － 1＝ 2(x －1)， 即 y＝2x－1.8 分 y＝－x＋2 与 y＝2x－1 和 x 轴的交点分 1 别为(2,0)，( ，0)． 2 1 1 3 ∴所求面积 S＝ ×1×(2－ )＝ .14 分 2 2 4
【名师点评】 用求导公式求函数的导数更 加简捷，做题时，注意结合图形求面积．
自我挑战2 点P是曲线y＝ex上任意一点， 求点P到直线y＝x的最小距离．
解：根据题意设平行于直线 y＝x 的直线与 曲线 y＝ex 相切于点(x0，y0)，该切点即为与 y＝x 距离最近的点，如图．则在点(x0，y0) 处的切线斜率为 1，即 y′|x＝x0＝1. ∵y′＝(ex)′＝ex， ∴ex0＝1，得 x0＝0，代入 y＝ex，y0＝1，即 P(0,1)． 2 利用点到直线的距离公式得距离为 . 2
知能优化训练
本部分内容讲解结束
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谢谢使用
【名师点评】 记住基本初等函数的求导公 式，是计算导数的关键，特别注意各求导公 式的结构特征，弄清(lnx)′与(logax)′和 (ex)′与(ax)′的差异，防止混淆，对于不具 备基本初等函数特征的函数，应先变形，然 后求导．
利用导数求切线的方程 求切线的方程往往需要两个条件：一个点和 一个斜率．求切线的方程时，首先要判断这 个点的位置，即在不在曲线上，因为斜率要 受此影响．
2．导数的几何意义是曲线在某一点处的切线
的斜率．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线方程为
3x－y－2＝0 ____________.
1．常见函数的导数 (1)(kx＋b)′＝__( k k，b 为常数)； (2)C′＝__ 0 (C 为常数)； (3)x′＝__ 1； (4)(x )′＝____ 2x ； 3x2 ； (5)(x3)′＝____ 1 1 － 2 (6) ′＝ ____ ； x x 1 2 x . (7)( x)′＝____
2
2．基本初等函数的导数 α· xα－1 α 为常数)； (1)(xα)′＝_______( (2)(ax)′＝_______ axlna (a>0，且 a≠1)； 1 1 log e (3)(logax)′＝ _______ xlna a>0 ， x a ＝ _______( 且 a≠1)； (4)(ex)′＝___ ex ； 1 (5)(lnx)′＝___ x ； (6)(sinx)′＝_____ cosx ； (7)(cosx)′＝_______. －sinx
例1 求下列函数的导数：
1 5 3 (1)y＝x x；(2)y＝ 4；(3)y＝ x ； x x 2 x (4)y＝log2x －log2x；(5)y＝－2sin (1－2cos )． 2 4
2
【思路点拨】 熟练掌握导数基本公式， 并灵活运用对数性质及三角变换公式，转化 为基本初等函数的导数．
3 3 3 3 【解】 (1)y′＝(x x)′＝(x )′＝ x －1＝ x. 2 2 2 2 1 4 －4 －4－1 －5 (2)y′＝ 4′＝(x )′＝－4x ＝－4x ＝－ 5. x x 3 3 3 3 2 (3)y′ ＝ ( x )′ ＝ (x )′ ＝ x － 1 ＝ x － ＝ 5 5 5 5 5 3 . 5 2 5 x
3
5
(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x， 1 ∴y′＝(log2x)′＝ . x· ln2
x 2x (5)y＝－2sin 1－2cos 4 2 x x x 2x ＝2sin 2cos 4－1＝2sin cos ＝sinx， 2 2 2
∴y′＝cosx.
问题探究
下面的计算过程正确吗？ π π 2 (sin )′＝cos ＝ . 4 4 2
π 2 提示：不正确．因为 sin ＝ 是一个常 4 2 π 数，而常数的导数为零，所以(sin )′＝ 4 π 2 0.若函数 f(x)＝sinx，则 f′( )＝ . 4 2
课堂互动讲练
考点突破 求常见函数的导数的方法 求导函数的方法： (1)能直接求导的幂函数、指数函数、对数函 数和三角函数可以直接运用公式求导． (2)不能直接求导函数的，可以先化成幂函数 、指数函数、对数函数或三角函数的运算， 再运用求导运算法则进行求导．
方法感悟
1．求函数的导数
如果已知的函数是常见函数或基本初等函数 ，那么直接利用求导公式计算它们的导数就 行了；如果已知的函数不是常见函数，也不 是基本初等函数，那么只能用导数的定义来 求它们的导数．
2． 利用导数公式求曲线切线方程的步骤为： (1)先根据函数类型求出函数的导数． (2)判断切线所经过的定点(x0，y0)是否在已 知曲线上，当点在曲线上时，k＝f′(x0)． 当点不在曲线上时，应设切点为(x1，y1)，k y1－y0 ＝f′(x1)＝ ，求出切点． x1－x0 (3)写出切线的点斜式方程 y－y0＝f′(x0)(x －x0)或 y－y0＝f′(x1)(x－x0)．
解：设切点为(x0，x2 0)， ∵y′＝2x，y′|x＝x0＝2x0＝4，∴x0＝2. ∴切点为(2,4)．
1 2 例3 (本题满分 14 分)求曲线 y1＝ 和 y2＝x x 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三 角形的面积．
【思路点拨】 解答本题，应先通过解方程 组求得两曲线的交点坐标，对函数求导，写 出切线方程，进而求出两切线与x轴的交点 坐标，即可求得所求三角形的面积．
2
∴切线 3x － y － 2 ＝ 0 与曲线 C 的公共点为 (1,1) ， ( － 2 ，－ 8) ，这说明切线与曲线 C 的 公共点除了切点外，还有另外的点．
【名师点评】 曲线的切线与曲线的交点不 一定惟一，可从本例题得证．
自我挑战1 抛物线y＝x2在哪一点处的切线 平行于直线y＝4x－5?
例2 已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程 ； (2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他 的公共点？ 【思路点拨】 先求出y＝x3在x＝1处的导 数，再用点斜式求解．
【解】 (1)令 x＝1，则 y＝1，切点坐标为 (1,1)． 2 y′＝3x ，∴y′|x＝1＝3， ∴切线方程为 y－1＝3(x－1)，即 3x－y－2 ＝0. 3x－y－2＝0， 3 (2)由 得 3 x － x －2＝0， 3 y＝x ， 即(x3－x)－(2x－2)＝0. 可分解为(x－1)(x ＋x－2)＝0，解得 x1＝1， x2＝－2.
第一课时
导数的运算
常见函数的导数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
学习目标 1.能根据定义求函数 y＝kx＋b，y＝c，y 1 ＝x，y＝x ，y＝ 的导数． x
2
2． 掌握常见的基本初等函数的导数公式， 并能求简单函数的导数．
课前自主学案
3．2.1
课堂互动讲练
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温故夯基
4 1．函数y＝(x＋1)2在x＝1处的导数等于___.
【规范解答】 为(1,1)．
1 y1＝ ， x 由 2 y ＝ x ， 2
解得交点
1 1 y′1＝(x)′＝－ 2， x ∴它在(1,1)处的切线方程为 y－1＝－x ＋1，4 分 即 y＝－x＋2.
y′2＝(x2)′＝2x， ∴它在 (1,1)处的切线方程为 y － 1＝ 2(x －1)， 即 y＝2x－1.8 分 y＝－x＋2 与 y＝2x－1 和 x 轴的交点分 1 别为(2,0)，( ，0)． 2 1 1 3 ∴所求面积 S＝ ×1×(2－ )＝ .14 分 2 2 4
【名师点评】 用求导公式求函数的导数更 加简捷，做题时，注意结合图形求面积．
自我挑战2 点P是曲线y＝ex上任意一点， 求点P到直线y＝x的最小距离．
解：根据题意设平行于直线 y＝x 的直线与 曲线 y＝ex 相切于点(x0，y0)，该切点即为与 y＝x 距离最近的点，如图．则在点(x0，y0) 处的切线斜率为 1，即 y′|x＝x0＝1. ∵y′＝(ex)′＝ex， ∴ex0＝1，得 x0＝0，代入 y＝ex，y0＝1，即 P(0,1)． 2 利用点到直线的距离公式得距离为 . 2
知能优化训练
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【名师点评】 记住基本初等函数的求导公 式，是计算导数的关键，特别注意各求导公 式的结构特征，弄清(lnx)′与(logax)′和 (ex)′与(ax)′的差异，防止混淆，对于不具 备基本初等函数特征的函数，应先变形，然 后求导．
利用导数求切线的方程 求切线的方程往往需要两个条件：一个点和 一个斜率．求切线的方程时，首先要判断这 个点的位置，即在不在曲线上，因为斜率要 受此影响．
2．导数的几何意义是曲线在某一点处的切线
的斜率．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线方程为
3x－y－2＝0 ____________.
1．常见函数的导数 (1)(kx＋b)′＝__( k k，b 为常数)； (2)C′＝__ 0 (C 为常数)； (3)x′＝__ 1； (4)(x )′＝____ 2x ； 3x2 ； (5)(x3)′＝____ 1 1 － 2 (6) ′＝ ____ ； x x 1 2 x . (7)( x)′＝____
2
2．基本初等函数的导数 α· xα－1 α 为常数)； (1)(xα)′＝_______( (2)(ax)′＝_______ axlna (a>0，且 a≠1)； 1 1 log e (3)(logax)′＝ _______ xlna a>0 ， x a ＝ _______( 且 a≠1)； (4)(ex)′＝___ ex ； 1 (5)(lnx)′＝___ x ； (6)(sinx)′＝_____ cosx ； (7)(cosx)′＝_______. －sinx
例1 求下列函数的导数：
1 5 3 (1)y＝x x；(2)y＝ 4；(3)y＝ x ； x x 2 x (4)y＝log2x －log2x；(5)y＝－2sin (1－2cos )． 2 4
2
【思路点拨】 熟练掌握导数基本公式， 并灵活运用对数性质及三角变换公式，转化 为基本初等函数的导数．
3 3 3 3 【解】 (1)y′＝(x x)′＝(x )′＝ x －1＝ x. 2 2 2 2 1 4 －4 －4－1 －5 (2)y′＝ 4′＝(x )′＝－4x ＝－4x ＝－ 5. x x 3 3 3 3 2 (3)y′ ＝ ( x )′ ＝ (x )′ ＝ x － 1 ＝ x － ＝ 5 5 5 5 5 3 . 5 2 5 x
3
5
(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x， 1 ∴y′＝(log2x)′＝ . x· ln2
x 2x (5)y＝－2sin 1－2cos 4 2 x x x 2x ＝2sin 2cos 4－1＝2sin cos ＝sinx， 2 2 2
∴y′＝cosx.
问题探究
下面的计算过程正确吗？ π π 2 (sin )′＝cos ＝ . 4 4 2
π 2 提示：不正确．因为 sin ＝ 是一个常 4 2 π 数，而常数的导数为零，所以(sin )′＝ 4 π 2 0.若函数 f(x)＝sinx，则 f′( )＝ . 4 2
课堂互动讲练
考点突破 求常见函数的导数的方法 求导函数的方法： (1)能直接求导的幂函数、指数函数、对数函 数和三角函数可以直接运用公式求导． (2)不能直接求导函数的，可以先化成幂函数 、指数函数、对数函数或三角函数的运算， 再运用求导运算法则进行求导．
方法感悟
1．求函数的导数
如果已知的函数是常见函数或基本初等函数 ，那么直接利用求导公式计算它们的导数就 行了；如果已知的函数不是常见函数，也不 是基本初等函数，那么只能用导数的定义来 求它们的导数．
2． 利用导数公式求曲线切线方程的步骤为： (1)先根据函数类型求出函数的导数． (2)判断切线所经过的定点(x0，y0)是否在已 知曲线上，当点在曲线上时，k＝f′(x0)． 当点不在曲线上时，应设切点为(x1，y1)，k y1－y0 ＝f′(x1)＝ ，求出切点． x1－x0 (3)写出切线的点斜式方程 y－y0＝f′(x0)(x －x0)或 y－y0＝f′(x1)(x－x0)．
解：设切点为(x0，x2 0)， ∵y′＝2x，y′|x＝x0＝2x0＝4，∴x0＝2. ∴切点为(2,4)．
1 2 例3 (本题满分 14 分)求曲线 y1＝ 和 y2＝x x 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三 角形的面积．
【思路点拨】 解答本题，应先通过解方程 组求得两曲线的交点坐标，对函数求导，写 出切线方程，进而求出两切线与x轴的交点 坐标，即可求得所求三角形的面积．
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∴切线 3x － y － 2 ＝ 0 与曲线 C 的公共点为 (1,1) ， ( － 2 ，－ 8) ，这说明切线与曲线 C 的 公共点除了切点外，还有另外的点．
【名师点评】 曲线的切线与曲线的交点不 一定惟一，可从本例题得证．
自我挑战1 抛物线y＝x2在哪一点处的切线 平行于直线y＝4x－5?
例2 已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程 ； (2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他 的公共点？ 【思路点拨】 先求出y＝x3在x＝1处的导 数，再用点斜式求解．
【解】 (1)令 x＝1，则 y＝1，切点坐标为 (1,1)． 2 y′＝3x ，∴y′|x＝1＝3， ∴切线方程为 y－1＝3(x－1)，即 3x－y－2 ＝0. 3x－y－2＝0， 3 (2)由 得 3 x － x －2＝0， 3 y＝x ， 即(x3－x)－(2x－2)＝0. 可分解为(x－1)(x ＋x－2)＝0，解得 x1＝1， x2＝－2.