中考数学判别式与韦达定理说课讲解
九年级数学中考第二轮复习专题：判别式与韦达定理
〖知识点〗一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理 〖大纲要求〗1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。
对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；2.掌握韦达定理及其简单的应用；3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题。
内容分析1.一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根．2.一元二次方程的根与系数的关系(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么a b x x -=+21，ac x x =21 (2)如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-P ，x 1x 2=q(3)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．3.二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式ax 2+bx+c 的因式时，如果可用公式求出方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1,x 2，那么ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)．〖考查重点与常见题型〗1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么梗的情况是（ ）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根 （D ）不能确定2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值是（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。
韦达定理及其应用课件-2022年初高衔接数学
方法总结
当 = −1时，
方程为 2 − 16 + 5 = 0，∆> 0满足题意；
当 = 17时，
方程为 2 + 30 + 293 = 0，
∆= 302 −4 × 1 × 293 < 0 ，不满足题意，
所以舍去；
综上所述： 的值为−1.
点拨精讲
变式探究2：
已知1 和2 一元二次方程4 2 − 4 + + 1 = 0的
则有
−± 2 −4
，
2
−+ 2 −4
−− 2 −4
−2
1 + 2 =
+
=
=− ；
2
2
2
−+ 2 −4 −− 2 −4
2 −( 2 −4)
1 ∙ 2 =
∙
=
2
2
42
4
= 2= ；
4
知识梳理
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
因此这两个数是−2和6.
总结提炼
本节课重点研究了一元二次方程韦达定理的
综合应用，能够利用韦达定理求一些与实数根有
关代数式的值，并能够利用根的情况逆向构造所
需要的一元二次方程，这种思想的渗透与领悟希
望大家细细品味，学会用数学的眼光思考世界！
项系数为1）是 2 −(1 + 2 ) + 1 ∙ 2 = 0.
点拨精讲
探究一：已知方程求代数式的值
例1、 若1 和2 分别是一元二次方程2 2
＋5－3＝0的两根，试求下列各式的值：
（1）(1 − 5)(2 − 5)
（2）|1 − 2 |
(人教版初中数学)韦达定理
判别式与韦达定理〖知识点〗一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理 〖大纲要求〗1.掌握一元二次方程根的判别式,会判断常数系数一元二次方程根的情况.对含有字母系数的由一元二次方程,会根据字母的取值范围判断根的情况,也会根据根的情况确定字母的取值范围；2.掌握韦达定理及其简单的应用；3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题. 内容分析1.一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac当△＞0时,方程有两个不相等的实数根；当△＝0时,方程有两个相等的实数根,当△＜0时,方程没有实数根．2.一元二次方程的根与系数的关系(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1,x 2,那么a b x x -=+21,ac x x =21(2)如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1,x 2,那么x 1+x 2=-P,x 1x 2=q(3)以x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．3.二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式ax 2+bx+c 的因式时,如果可用公式求出方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1,x 2,那么ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)．〖考查重点与常见题型〗1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况,有关试题出现在选择题或填空题中,如：关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中,如果a<0,那么梗的情况是（ ）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根 （D ）不能确定2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值,有关问题在中考试题中出现的频率非常高,多为选择题或填空题,如：设x 1,x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根,则x 12＋x 22的值是（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题.在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题,考查了考生分析问题、解决问题的能力.考查题型1．关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中,如果a<0,那么根的情况是（ ）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根 （D ）不能确定2．设x 1,x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根,则x 12＋x 22的值是（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33．下列方程中,有两个相等的实数根的是（ ）（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=04．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=05．如果x 1,x 2是两个不相等实数,且满足x 12－2x 1＝1,x 22－2x 2＝1,那么x 1·x 2等于（ ）（A ）2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－16．如果一元二次方程x 2＋4x ＋k 2＝0有两个相等的实数根,那么k ＝7．如果关于x 的方程2x 2－(4k+1)x ＋2 k 2－1＝0有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是8．已知x 1,x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根,则x 1＋x 2＝ ,x 1·x 2＝ ,（x 1－x 2）2＝9．若关于x 的方程(m 2－2)x 2－(m －2)x ＋1＝0的两个根互为倒数,则m ＝二、考点训练：1、 不解方程,判别下列方程根的情况：（1）x 2－x=5 (2)9x 2－6 2 +2=0 (3)x 2－x+2=02、 当m= 时,方程x 2+mx+4=0有两个相等的实数根；当m= 时,方程mx 2+4x+1=0有两个不相等的实数根；3、 已知关于x 的方程10x 2－(m+3)x+m －7=0,若有一个根为0,则m= ,这时方程的另一个根是 ；若两根之和为－35,则m= ,这时方程的两个根为 . 4、 已知3－ 2 是方程x 2+mx+7=0的一个根,求另一个根及m 的值.5、 求证：方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2+4)=0没有实数根.6、 求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－ 5 和1+ 5 .7、 设x 1,x 2是方程2x 2+4x －3=0的两根,利用根与系数关系求下列各式的值：(1) (x 1+1)(x 2+1) (2)x 2x 1 + x 1x 2（3）x 12+ x 1x 2+2 x 1 解题指导1、 如果x 2－2(m+1)x+m 2+5是一个完全平方式,则m= ;2、 方程2x(mx －4)=x 2－6没有实数根,则最小的整数m= ;3、 已知方程2(x －1)(x －3m)=x(m －4)两根的和与两根的积相等,则m= ;4、 设关于x 的方程x 2－6x+k=0的两根是m 和n,且3m+2n=20,则k 值为 ;5、 设方程4x 2－7x+3=0的两根为x 1,x 2,不解方程,求下列各式的值:(1) x 12+x 22 (2)x 1－x 2 （3）ｘ1 ＋ｘ2 ＊（4）x 1x 22＋12x 1 ＊6.实数ｓ、ｔ分别满足方程19ｓ2＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ2＝0求代数式ｓｔ＋4ｓ＋1ｔ的值. 7.已知a 是实数,且方程x 2+2ax+1=0有两个不相等的实根,试判别方程x 2+2ax+1－12(a 2x 2－a 2－1)=0有无实根？8.求证：不论k 为何实数,关于x 的式子(x －1)(x －2)－k 2都可以分解成两个一次因式的积.9．实数K 在什么范围取值时,方程ｋｘ2＋2（ｋ－1）ｘ－（K －1）＝0有实数正根？独立训练（一）1、 不解方程,请判别下列方程根的情况；(1)2t 2+3t －4=0, ; (2)16x 2+9=24x, ;(3)5(u 2+1)－7u=0, ;2、 若方程x 2－(2m －1)x+m 2+1=0有实数根,则m 的取值范围是 ;3、 一元二次方程x 2+px+q=0两个根分别是2+ 3 和2－ 3 ,则p= ,q= ;4、 已知方程3x 2－19x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是 ,m= ;5、 若方程x 2+mx －1=0的两个实数根互为相反数,那么m 的值是 ;6、 m,n 是关于x 的方程x 2-(2m-1)x+m 2+1=0的两个实数根,则代数式m n = .7、 已知关于x 的方程x 2－(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6,求k 的值;8、 如果α和β是方程2x 2+3x －1=0的两个根,利用根与系数关系,求作一个一元二次方程,使它的两个根分别等于α+1 β 和β+1 α; 9、 已知a,b,c 是三角形的三边长,且方程(a 2+b 2+c 2)x 2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根,求证：这个三角形是正三角形10.取什么实数时,二次三项式2x 2－(4k+1)x+2k 2－1可因式分解.11.已知关于X 的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β,若ｓ＝1 α＋1 β,求ｓ的取值范围. 独立训练（二）1、 已知方程x 2－3x+1=0的两个根为α,β,则α+β= , αβ= ;2、 如果关于x 的方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同,则m 的值为 ;3、 已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212,则k= ; 4、 若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3,则a= ;5、 方程4x 2－2(a-b)x －ab=0的根的判别式的值是 ;6、 若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m 的值为 ;7、 已知p<0,q<0,则一元二次方程x 2+px+q=0的根的情况是 ;8、 以方程x 2－3x －1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;9、 设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根,求下列各式的值：(1)x 12x 2+x 1x 22 (2) 1x 1 －1x 210．m 取什么值时,方程2x 2－(4m+1)x+2m 2－1=0（1） 有两个不相等的实数根,（2）有两个相等的实数根,（3）没有实数根；11．设方程x 2+px+q=0两根之比为1:2,根的判别式Δ=1,求p,q 的值.12．是否存在实数ｋ,使关于ｘ的方程9x 2－(4ｋ－7)x －6ｋ2=0的两个实根x 1,x 2,满足｜x 1 x 2｜＝32 ,如果存在,试求出所有满足条件的ｋ的值,如果不存在,请说明理由.。
数学人教版九年级上册根的判别式与韦达定理
• 例1：已知关于x的方程 • x2-（2k-3）x+k2+1=0． （1）当k为何值时，此方程有实数根； （2）若此方程的两个实数根x1、x2满足 |x1|+|x2|=3，求k的值．
ห้องสมุดไป่ตู้
• 例2：已知关于x的一元二次方程 • x2+（m+3）x+m+1=0． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两 个不相等的实数根： （2）若x1，x2是原方程的两根，且 • |x1-x2|=2 ，求m的值，并求出此时方程的 两根．
• 练习1：已知关于x的方程x2-（m-2）x- =0． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个 不相等实数根． （2）设方程的两实数根为x1，x2，且满足 |x1|=|x2|+2，求m的值和相应的x1，x2．
• 练习2:已知关于x的一元二次方程（x-3） （x-2）=|m|． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两 个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程 的另一个根．
根的判别式和韦达定理
• 一、知识平台 • 1、 根的判别式的应用： • △＞0 方程有2个不相等的实数解 • △ =0 方程有2个相等的实数解 • △ ≥0 方程有实数解 • △ ＜0 方程没有实数解
• 2、根与系数的关系 • 定理：如果 一元二次方程的两个根 • 是X1，X2，那么 • X1 +X2= ， X1X2=
苏科版九年级上册数学第1章一元二次方程第3讲根的判别式与韦达定理(含答案)
中考要求知识点基本要求略高要求较高要求一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题例题精讲板块一根的判别式☞定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到2224(24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a -+=也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．☞判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b acx a-±-=．根的判别式与韦达定理②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．☞根的判别式的应用：☞⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况：⑴22340x x +-=；⑵20ax bx +=（0a ≠）【解析】略【答案】⑴22340x x +-=∵2342(4)410∆=-⨯⨯-=>∴方程有两个不相等的实数根．⑵∵0a ≠∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零∵22()40b a b ∆=--⋅⋅=∵无论b 取任何数，2b 均为非负数∴0∆≥，故方程有两个实数根【巩固】不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定【解析】由方程可得3680∆=+>，所以方程有两个不相等的实数根．【答案】A【巩固】不解方程判定下列方程根的情况：⑴22340x x +-=；⑵232x +=21x +=；⑷22(21)220m x mx +-+=；⑸2210x ax a ++-=220+=；⑺4(1)30x x +-=；⑻2(1)(2)x x m --=【解析】略【答案】⑴两个不等的实数根；⑵两个相等的实数根；⑶无实数根；⑷无实数根；⑸两个不等的实数根；⑹无实数根；⑺两个不相等的实数根；⑻两个不相等的实数根【例2】已知a ，b ，c 是不全为0的3个实数，那么关于x 的一元二次方程2222()()0x a b c x a b c ++++++=的根的情况（）．A ．有2个负根B ．有2个正根C ．有2个异号的实根D ．无实根【解析】方程2222()()0x a b c x a b c ++++++=的判别式为：2222()4()a b c a b c ∆=++-++222333222a b c ab bc ca=---+++222222222(2)(2)(2)a ab b b bc c c bc a a b c =-+-+-+-+-+----222222[()()()]a b b c c a a b c =--+-+-+++∵a ，b ，c 不全为0，∴0∆<．∴原方程无实数根．故选D ．【答案】D☞⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；【例3】m 取什么值时，关于x 的方程222(3)6x mx +-=有两个相等的实数根【解析】略【答案】1m =±【巩固】如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（）A ．1k <B ．0k ≠C ．10k k <≠且D ．1k >【解析】由题可得36360k k ∆=->⎧⎨≠⎩所以10k k <≠且【答案】C【巩固】方程2610kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【解析】注意二次项系数不为0【答案】9k <且0k ≠【巩固】若关于x 的二次方程2(1)220m x mx m -++-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是【解析】注意二次项系数不为0【答案】23m >且1m ≠【巩固】若关于x 的一元二次方程2(1)210k x x ++-=有实数根，则k 的最小整数值为【解析】注意题目要求以及二次项系数不为0的条件【答案】2k =-【巩固】已知方程22(21)10m x m x +++=有实数根，求m 的范围．【解析】注意分两种情况讨论：若0m =，则原方程可化为101x x +=⇒=-满足题意；若0m ≠，则由题意可知221(21)404104m m m m ∆=+-≥⇒+≥⇒≥-．综上可知，14m ≥-【答案】14m ≥-【例4】关于x的一元二次方程2(12)10k x ---=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【解析】由题意，得4(1)4(12)010120k k k k ++->⎧⎪+≥⎨⎪-≠⎩解得12k -≤<且12k ≠【答案】12k -≤<且12k ≠【巩固】关于x的方程210x ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为________．【解析】2400k ⎧∆=->⎪⎨>⎪⎩，解得1k >【答案】1k >【巩固】已知关于x 的方程222(1)50x m x m ++++=有两个不相等的实数根，化简：|1|m -【解析】∵0>△，∴2m >∴|1||1||2|23m m m m --+-=-【答案】23m -【巩固】已知关于x 的一元二次方程20x m -=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．【解析】由题意可知，原方程的判别式21(41303m m m ∆=+=+>⇒>-．又101m m -≥⇒≤，故113m -<≤．【答案】113m -<≤【巩固】k 为何值时，方程2(1)(23)(3)0k x k x k --+++=有实数根．【解析】需要分两种情况来讨论：⑴当10k -=时，原方程是一元一次方程，有一个实数根45x =；⑵当10k -≠时，方程是一元二次方程，故0∆≥，解得214k ≥-且1k ≠，所以当214k ≥-且1k ≠时方程有两个实数根．综上所述，当214k ≥-时，方程有实数根．【答案】214k ≥-【例5】关于x 的方程()26860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是．【解析】由一元二次方程根的情况可知240b ac -≥，即()()284660a --⨯⨯-≥，解得263a ≤，故max 8a =．【答案】8【巩固】若方程222(1)450x a x a a ++++-=有实数根，求：正整数a ．【解析】0∆≥，即()()22414450a a a +-+-≥，解不等式得3a ≤，即123a =，，．【答案】1，2，3【例6】已知关于x 的方程()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根，且a 、b 为实数，则32a b +=________．【解析】∵()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根．∴0∆=，即()()222210a b b b ++-+=∴()()22210a b b ++-=，∴0a b +=，10b -=∴1b =，1a =-，因此321a b +=-．【答案】1-【巩固】当a b 、为何值时，方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根？【解析】要使关于x 的一元二次方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根，则必有0∆≥，即()()22241434420a a ab b +-+++≥，得()()22210a b a ++-≤．又因为()()22210a b a ++-≥，所以()()22210a b a ++-=，得1a =，12b =-．【答案】1a =，12b =-【例7】已知a ，b ，c 为正数，若二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么方程22220a x b x c ++=的根的情况是（）A ．有两个不相等的正实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根【解析】22220a x b x c ++=的422224(2)(2)b a c b ac b ac ∆=-=+-，∵二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，∴240b ac ->，∴220b ac ->，∴422224(2)(2)0b ac b ac b ac ∆=-=+->∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正．故有两个负根．故选C ．【答案】C【巩固】若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，那么方程2(1)220m x mx m +-+-=（）．A ．没有实数根B ．有2个不同的实数根C ．有2个相等的实数根D ．实数根的个数不能确定【解析】∵方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，∴20m +=，得2m =-．∴方程2(1)220m x mx m +-+-=，即为方程2440x x -+-=，∴244(1)(4)0∆=-⨯-⨯-=．∴方程2(1)220m x mx m +-+-=有2个相等的实数根．故选C ．特别注意方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根．若20m +≠，则方程要么有2个根（相等或不相等），要么没有实数根．条件指明，该方程只有1个实数根，所以20m +=，且10m +≠．【答案】C☞⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；【例8】对任意实数m ，求证：关于x 的方程222(1)240m x mx m +-++=无实数根．【解析】略【答案】∵210m +≠，故方程为一元二次方程．()()()2222422414442016m m m m m m ∆=--++=---()424241616444m m m m =---=-++()222m =-+∵220m +≠，∴0∆<，故方程无实根．【巩固】求证：关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m -+++=有两个实数根．【解析】略【答案】∵2(2)10x m x m -+++=是关于x 的一元二次方程∴[]22(2)4(1)m m m ∆=-+-+=∵20m ≥∴原方程有两个实数根．【巩固】已知实数a 、b 、c 、r 、p 满足2pr >，20pc b ra -+=，求证：一元二次方程220ax bx c ++=必有实根．【解析】略【答案】2(2)4b ac ∆=-，因2b pc ra =+，则222()4()()2(2)pc m ac pc ra ac pr ∆=+-=++-．又2pr >，所以当0ac ≥时，0∆≥；当0ac <时，40ac ->，2()40pc ra ac ∆=+->．因此，一元二次方程220ax bx c ++=必有实根．【巩固】证明：无论实数m 、n 取何值时，方程2()0mx m n x n +++=都有实数根【解析】注意分类讨论.【答案】⑴若0m =，则方程为nx n =-，当0n ≠时，有实数根1x =-；当0n =时，方程的根为任意实数⑵当0m ≠时，原方程为一元二次方程22()4()0m n mn m n ∆=+-=-≥∴方程必有实数根综合⑴⑵可知，原结论成立【巩固】已知：方程()22250mx m x m -+++=没有实数根，且5m ≠，求证：()()25220m x m x m --++=有两个实数根．【解析】略【答案】当0m =时，()22250mx m x m -+++=可化为450x -+=，此时方程有根，故0m ≠故214(2)4(5)0404m m m m m ∆=+-+<⇒-<⇒>．方程()()25220(5)m x m x m m --++=≠的判别式为：224(2)4(5)4(94)0m m m m ∆=+--=+>故方程()()25220(5)m x m x m m --++=≠有两个实数根．板块二韦达定理☞如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-，12x x q ⋅=．☞利用韦达定理求代数式的值【例9】不解方程224)0x x +-，求两根之和与两根之积【解析】韦达定理成立的前提条件是0∆≥【答案】令此方程的两个实数根为1x 、2x由韦达定理得124422x x --+=-=，122x x ⋅=-=【巩固】设方程24730x x --=的两个根为1x 、2x ，不解方程求下列各式的值⑴12(3)(3)x x --；⑵211211x xx x +++；⑶12x x -【解析】不解方程，即利用韦达定理将12x x +、12x x 的整体构造出来【答案】由韦达定理得1274x x +=，1234x x ⋅=-⑴12121237(3)(3)3()939344x x x x x x --=-++=--⨯+=；⑵221221112121212121212(1)(1)()2()10111(1)(1)132x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++-+++===+++++++⑶2221212127397()()4()4()4416x x x x x x -=+-=-⨯-=，∴12x x -=【巩固】已知方程22430x x +-=的两个根为1x 、2x ⑴12x x +=；⑵12_______x x ⋅=；⑶1211_______x x +=；⑷2212_______x x +=【解析】略【答案】⑴2-；⑵32-；⑶43；⑷7【巩固】已知α、β是方程2520x x ++=+的值．【解析】注意α，β均为负数，很多学生求出的结果均为负值【答案】由韦达定理可得，5αβ+=-，2αβ=∴22222()2522a a ββαβαβαβαβαβ++++=++===+=☞利用韦达定理求参数的值【例10】若3-、2是方程20x px q -+=的两个根，则________p q +=【解析】略【答案】7-【巩固】若方程210x px ++=的一个根为1-，则它的另一根等于，p 等于【解析】部分学生喜欢将1x =-代入原方程，求p 的数值，然后再求方程另外一个根，此方法较慢。
二次函数与根的判别式韦达定理
二次函数与根的判别式、韦达定理讲点1：公共点问题【例1】如图，抛物线y＝－x2＋4x－3的顶点为M，直线y＝－2x－9与y轴交于点C，与直线MO交于点D，现将抛物线的顶点在直线OD上平移，平移后的抛物线与射线CD（含顶点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．【练】如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋8与x轴交于点A,B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度向下最多可平移多少个单位长度讲点2：距离问题【例2】如图，抛物线y＝a(x－1)2＋4与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，已知CD，在抛物线上共有三个点到直线BC的距离为m，求m的值．【练】如图，抛物线y＝ax2－6ax＋5a与x轴交于A,B两点（A左，B右），若抛物线与直线y＝2x的最近，求a的值．讲点3：隐藏判别式【例3】如图，点P是直线l：y＝－2x－2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y＝x2与A,B两点，试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PA＝AB成立．【练】如图，已知二次函数y＝a(x2－6x＋8)（a＞0）的图象与x轴分别交于点A,B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA,PB,PC,PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）请说明理由．讲点4：交点间的距离【例4】已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋m的图象与函数y＝kx＋1的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．（1）如图1，当k＝1，m取不同值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想；（2）如图2，当m＝0，k取不同值时，猜想△AOB的形状，并证明你的猜想．【例5】如图，抛物线y＝x2－4x＋5与y轴交于点C，过点N（1，2）作直线l，交抛物线于点P，交y轴于点E，连接PC，若PE＝PC，求直线l的解析式．【练】如图，抛物线C1：y＝x2＋4x＋3交x轴于A,B两点，交y轴于点C，将抛物线C1沿y轴翻折得新抛物线C2，过点C作直线l交抛物线C1于点M，交抛物线C2于点N，若MN＝，求直线l的解析式．三、对称问题【例6】如图，已知抛物线y＝x2－2x－3，直线y＝kx－1与抛物线交于P,Q两点，且y轴平分线段PQ，求k的值．【练】如图，已知抛物线y＝x2－4x＋3，过点D（0，－52）的直线与抛物线交于点M,N，与x轴交于点E，且点M,N关于点E对称，求直线MN的解析式．四、与面积结合【例7】如图，抛物线y＝x2－4x＋5顶点为M，平移直线y＝x交抛物线于点H,K，若S△MHK＝3，求平移后直线的解析式．【课后反馈】1．如图，已知抛物线y ＝x 2－2x －3与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于点C ，将抛物线沿对称轴向上平移k 个单位长度后与线段BC 交于D,E 两个不同的点，求k 的取值范围．2．如图，抛物线y ＝ax 2－6ax ＋5a 与x 轴交于A,B 两点（A 左，B 右），若抛物线不通过直线y ＝2x 上方的点，求抛物线顶点纵坐标的取值范围． 3．如图，抛物线y ＝14x 2＋32x ＋2与x 轴交于A,B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，将抛物线沿直线BC 平移，与射线AC （含点A ）仅有一个公共点，求抛物线顶点横坐标的值或取值范围．4．如图，已知抛物线C ：y ＝x 2－2x ＋4和直线l ：y ＝－2x ＋8，直线y ＝kx （k ＞0）与抛物线C 交于A,B 两点，与直线l 交于点P ，分别过A,B,P 作x 轴的垂线，垂足依次为A 1、B 1、P 1，若11OA ＋11OB ＝1u OP ，求u 的值．5．如图1，抛物线C 1：y ＝x 2＋4x ＋3顶点为M ，抛物线C 2与抛物线C 1开口方向相反，形状相同，顶点为N ，且M,N 关于点P （0，2）对称．（1）求抛物线C 2的解析式；（2）直线y ＝m 交抛物线C 1于点A,B ，交抛物线C 2于点C,D ，若AB ＝2CD ，求m 的值；。
根的判别式与韦达定理
第3讲 一元二次方程根的判别式和韦达定理一、根的判别式21.4022.02043.,22ac b b ac b x x a a ⎧⎪≠-∆⎪⎪∆>⎧⎪⎪⎪∆=⎨⎨⎪⎪∆<⎩⎪⎪-±--±∆⎪==⎪⎩22概念：对于一个一元二次方程ax +bx+c=0(a 0)来说，b 称为根的判别式，记为。
时，方程有个不相等的根根的判别式意义：时，方程有个相等的根时，方程没有实数根公式法：解为即为 【典型例题】1.当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。
（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根； （3）没有实根。
2.当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。
3．已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。
【课堂练习】一、填空题：1、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中，无实根的方程是 。
2、已知关于x 的方程022=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是 。
二、选择题：1、下列方程中，无实数根的是（ ）A 、011=-+-x xB 、 762=+yy C 、021=++x D 、0232=+-x x2、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是（ ） A 、43<m B 、m ≤43 C 、43>m 且m ≠2 D 、m ≥43且m ≠2 3、在方程02=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程（ ）A 、有两个不等实根B 、有两个相等实根C 、没有实根D 、无法确定 一、试证：关于x 的方程1)2(2-=+-x m mx 必有实根。
韦达定理的应用-说课稿——郭萍
《韦达定理的应用》说课稿郭萍《韦达定理的应用》说课稿地位分析：“韦达定理以及根的判别式的应用”在中考中占6—9分的分值，多以填空，选择，解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点。
教材的处理：一.教学目标：知识目标：1.能够灵活地运用韦达定理解决相关问题；2.了解中考的出题方向，掌握解决相关问题的方法与技巧。
过程与方法：通过“探究—交流—运用—反思”等数学活动培养学生的类比、分析、归纳、综合分析与运用能力；渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。
情感态度与价值观：体验数学学习活动中的成功与快乐，增强学生的求知欲及学好数学的信心，激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神；同时培养学生的综合实践能力。
二.教学重点、难点及难点的突破重点：掌握韦达定理的应用类型与范围。
难点：掌握运用韦达定理解决相关问题的方法与技巧。
难点的突破方法：由知识链接入手，让学生完整、系统地掌握韦达定理的内容以及韦达定理的应用的条件，并让学生自主完成韦达定理的基本类型题的应用（填选题），再合作探究“直击中考”的3个类型题（解答题）然后在教师的点拨、强调学生遗漏的条件中掌握解题方法与技巧，突破难点。
三.教学构想：本节课通过导学案通过自主学习、合作学习使学生更完整、系统地掌握韦达定理的基本内容，以及应用韦达定理的条件，设置了中考中常常考察的填空题、选择题，解答题的类型题，在教师的点拨、强调下，使学生掌握这种问题的解题方法与技巧，掌握韦达定理应用的范围及类型。
四.教法、学法：为了体现课改中“以学生为主体”的教育理念，通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与、观察、分析、归纳、解决问题等整个数学思维过程。
教学流程：一.创设情境，导入新课：通过两次月考题中出现的有关“韦达定理”的应用中学生的答题情况以及“韦达定理”在中考中所占的分值，引出课题。
二.出示学习目标：三.自主学习：（一）知识链接（复习）： 1.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）内容：(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么 .(2)如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么。
初中数学培优：韦达定理与根的判别式
初中数学培优：韦达定理与根的判别式一、利用根的判别式求字母的取值范围【典例】已知方程x2﹣2|x|﹣15＝0，则此方程的所有实数根的和为（）A．0B．﹣2C．2D．8【解答】解：①当x＞0时，方程化为：x2﹣2x﹣15＝0，即（x+3）（x﹣5）＝0，∴x+3＝0，x﹣5＝0，解得x1＝﹣3（舍去），x2＝5，②当x＜0时，方程化为：x2+2x﹣15＝0，即（x﹣3）（x+5）＝0，∴x﹣3＝0，x+5＝0，解得x3＝3（舍去），x4＝﹣5，③当x＝0时，方程不成立．∴此方程的所有实数根的和为：5+（﹣5）＝0．或原方程可化为：（|x|﹣5）（|x|+3）＝0，即|x|﹣5＝0，|x|+3＝0，∴|x|＝5，|x|＝﹣3（舍去），解得x＝5或﹣5，∴此方程的所有实数根的和为：5+（﹣5）＝0．故选：A．【巩固】关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为不大于1的整数，且方程的根为整数，求满足条件的m的值及对应的方程的根．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＝4m+5＞0，解得：m＞−54，即m的取值范围是m＞−54；（2）由（1）知：当m＞−54时，方程有两个不相等的实数根，∵m为不大于1的整数，∴m＝0，﹣1，1，又m＝0时，方程x2+x﹣1＝0的根不是整数，当m＝﹣1时，则方程为x2﹣x＝0，解得：x1＝1，x2＝0，即当m＝﹣1时，方程的解是x1＝1，x2＝0．当m＝1时，则方程为x2+3x＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝0，即当m＝1时，方程的解是x1＝﹣3，x2＝0．二、利用根的判别式求最值【典例】满足（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6的所有实数对（x，y）中，的最大值是多少？【解答】解：设y＝kx，则直线y＝kx与圆（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6相切时k有最大值和最小值，把y＝kx代入（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6，得（1+k2）x2﹣6（k+1）x+12＝0，∴Δ＝36（k+1）2﹣4×12×（1+k2）＝0，即k2﹣6k+1＝0，解此方程得，k＝3+22或3﹣22．所以=k的最大值是3+22．【巩固】阅读下面的材料，并解答问题：分式2r8r2(≥0)的最大值是多少？解：2r8r2=2r4+4r2=2(r2)+4r2=2+4r2，因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以4r2的最大值是2，所以2+4r2的最大值是4，即2r8r2(≥0)的最大值是4．根据上述方法，试求分式22+102+2的最大值是．【解答】解：22+102+2=22+4+62+2=2(2+2)+62+2=2+62+2，∵x2≥0，∴x2+2的最小值为2，∴62+2的最大值为3，∴2+62+2的最大值为5，∴分式22+102+2的最大值是5，故答案为：5．三、韦达定理与根的判别式综合【典例】若关于x的一元二次方程（m﹣4）x2+（2m﹣1）x+1＝0的两个实数根的倒数和为s，则s的取值范围是．【解答】解：根据题意得m﹣4≠0且Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m﹣4）≥0，解得m≠4，x1+x2=−2K1K4，x1x2=1K4，s=11+12=1+212=−2m+1，由于m≠4，所以s≠﹣7．故答案为s≠﹣7．【巩固】已知关于x的一元二次方程2x2﹣4mx+2m2+3m﹣2＝0有两个实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）设x1，x2是原方程的两个实数根，当m为何值时，x12+x22有最小值？并求这个最小值．【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣4mx+2m2+3m﹣2＝0有两个实数根，∴b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×2（2m2+3m﹣2）≥0，∴﹣24m+16≥0，∴m≤23，∴实数m的取值范围为≤23；（2）∵x1+x2＝2m，x1•x2=12（2m2+3m﹣2），∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2m）2﹣2×12（2m2+3m﹣2）＝2m2﹣3m+2＝2（m−34）2+78，∵m≤23，23＜34，∴当m=23时，x12+x22＝2（23−34）2+78=89，∴当m=23时，x12+x22有最小值，最小值是89．巩固练习1．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（）A．0≤m≤1B．34≤m C．34≤m≤1D．34＜m≤1【解答】解：∵方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0有三根，∴x1＝1，x2﹣2x+m＝0有根，方程x2﹣2x+m＝0的Δ＝4﹣4m≥0，得m≤1．又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．∴有x2+x3＞x1＝1，|x2﹣x3|＜x1＝1，而x2+x3＝2＞1已成立；当|x2﹣x3|＜1时，两边平方得：（x2+x3）2﹣4x2x3＜1．即：4﹣4m＜1．解得m＞34．∴34＜m≤1．故选：D．2．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞14且k≠1B．k≥14且k≠1C．k＞14D．k≥14【解答】解：当k﹣1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程．∵关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，∴Δ＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0，解得k≥14；当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为3x+1＝0，显然有解；综上，k的取值范围是k≥14，故选：D．3．已知m，n是方程x2−5x+1＝0的两个根．记S1=11++11+，S2=11+2+11+2，…，S t=11++ 11+（t为正整数）．若S1+S2+…S t＝t2﹣56，则t的值为（）A．7B．8C．9D．10【解答】解：∵m，n是方程x2−5x+1＝0的两个根，∴m+n=5，mn＝1，∴S1=11++11+=1+r1+(1+p(1+p=2+(rp=＝1，S2=11+2+11+2=1+2+1+2(1+2)(1+2)=2+(rp2−2B1+(rp2−2B+(B)2=2+5−21+5−2+1＝1，…，∴S t=11++11+=1，∴S1+S2+…S t＝t2﹣56，1+1+…+1＝t2﹣56，t＝t2﹣56，t 2﹣t ﹣56＝0，（t ﹣8）（t +7）＝0，解得：t ＝8或t ＝﹣7（舍去）．故选：B ．4．若关于x 的一元二次方程12x 2﹣2mx ﹣4m +1＝0有两个相等的实数根，则（m ﹣2）2﹣2m （m ﹣1）的值为．【解答】解：由题意可知：Δ＝4m 2﹣2（1﹣4m ）＝4m 2+8m ﹣2＝0，∴m 2+2m =12，∴（m ﹣2）2﹣2m （m ﹣1）＝﹣m 2﹣2m +4=−12+4=72，故答案为：725．设下列三个一元二次方程：x 2+4ax ﹣4a +3＝0；x 2+（a ﹣1）x +1+a 2＝0；x 2+2ax ﹣2a +3＝0，至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是．【解答】解：不妨假设三个方程都没有实数根，则有162+16−12＜0(−1)2−4(2+1)＜042−4(3−2p ＜0，解得−32＜a ＜12．故答案为：a ≤−32或a ≥12．6．已知关于x 的一元二次方程（1﹣2k ）x 2﹣2+3x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（1﹣2k ）x 2﹣2+3x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴1−2≠0+3≥0△=(−2+3)2−4(1−2p ×(−1)＞0，解得：﹣3≤k ＜4且k ≠12．故答案为：﹣3≤k ＜4且k ≠12．7．关于x 的一元二次方程x 2+ax ﹣1＝0的两个根分别为m 、n ，则（x +1）2+a （x +1）﹣1＝0的根为．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+ax ﹣1＝0的两个根分别为m 、n ，∴m 2+am ﹣1＝0，n 2+an ﹣1＝0，设x+1＝m或n，则（x+1）2+a（x+1）﹣1＝0，∴（x+1）2+a（x+1）﹣1＝0的根为x＝m﹣1或n﹣1，故答案为：x＝m﹣1或n﹣1．8．已知实数x，y满足（2x+1）2+y2+（y﹣2x）2=13，求x+y的值．【解答】解：由（2x+1）2+y2+（y﹣2x）2=13，得（3x+1）2+3（x﹣y）2＝0，则3+1=0−=0，解得=−13=−13，故x+y=−13−13=−23．9．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由：当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，∴b＝c，∴△ABC是等腰三角形，（2）△ABC是直角三角形，理由：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形；（3）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0，即：x2+x＝0，∴x（x+1）＝0，∴x1＝0，x2＝﹣1，即：这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1．10．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为2t，因此ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，所以有b2−92ac＝0；我们记“K＝b2−92ac”即K＝0时，方程ax2+bx+c＝0为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：（1）方程①x2﹣x﹣2＝0；方程②x2﹣6x+8＝0这两个方程中，是倍根方程的是（填序号即可）；（2）若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；（3）关于x的一元二次方程x2−B+23n＝0（m≥0）是倍根方程，且点A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，求此倍根方程的表达式．【解答】解：（1）在方程①x2﹣x﹣2＝0中，K＝（﹣1）2−92×1×（﹣2）＝10≠0；在方程②x2﹣6x+8＝0中，K＝（﹣6）2−92×1×8＝0．∴是倍根方程的是②x2﹣6x+8＝0．故答案为：②．（2）整理（x﹣2）（mx+n）＝0得：mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0，∵（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，∴K＝（n﹣2m）2−92m•（﹣2n）＝0，∴4m2+5mn+n2＝0．（3）∵2−B+23=0是倍根方程，∴=(−p2−92×23=0，整理得：m＝3n．∵A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，∴n＝3m﹣8，∴n＝1，m＝3，∴此方程的表达式为2−3+23=0．11．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22＝6，求m值；（2）求B121−1+B221−2的最大值．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）＝﹣4m+4＞0，∴m＜1，结合题意知：﹣1≤m ＜1．（1）∵x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝4（m ﹣2）2﹣2（m 2﹣3m +3）＝2m 2﹣10m +10＝6∴=∵﹣1≤m ＜1，∴=（2）B 121−1+B 221−2=n 12+22−12(1+2)](1−1)(1−2)=o23−82+8K2)2−=2oK1)(2−3r1)oK1)=2(2−3+1)=2(−32)2−52（﹣1≤m ＜1）．∵对称轴m =32，2＞0，∴当m ＝﹣1时，式子取最大值为10．12．如果方程x 2+px +q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2＝﹣p ，x 1•x 2＝q ，请根据以上结论，解决下列问题：（1）若p ＝﹣4，q ＝3，求方程x 2+px +q ＝0的两根．（2）已知实数a 、b 满足a 2﹣15a ﹣5＝0，b 2﹣15b ﹣5＝0，求+的值；（3）已知关于x 的方程x 2+mx +n ＝0，（n ≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．【解答】解：（1）当p ＝﹣4，q ＝3，则方程为x 2﹣4x +3＝0，解得：x 1＝3，x 2＝1．（2）∵a 、b 满足a 2﹣15a ﹣5＝0，b 2﹣15b ﹣5＝0，∴a 、b 是x 2﹣15x ﹣5＝0的解，当a ≠b 时，a +b ＝15，ab ＝﹣5，+=2+2B=(rp 2−2BB=152−2×(−5)−5=−47；当a ＝b 时，原式＝2．（3）设方程x 2+mx +n ＝0，（n ≠0），的两个根分别是x 1，x 2，则11+12=1+212=−，11•12=112=1，则方程x 2+x +1=0的两个根分别是已知方程两根的倒数．。
第14讲根的判别式与韦达定理(word版)
第14讲根的判别式与韦达定理模块一一元二次方程根的判别式知识导航式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母“△”来表示，即△＝b2－4ac．当△＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根；当△＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；当△＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根．计算判别式的值，可以判断一元二次方程根的情况；反之，若一元二次方程有两个不等实数根，则△＞0；若一元二次方程有两个相等实数根，则△＝0；若一元二次方程无实数根，则△＜0.注意：①当△＝0时，方程有两个相等的实根，不能说方程只有一个根②当△≥0时，方程有两个实根（一元二次方程有实根）．例1(1)已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有解，求m的范围．-1x－m＝0有两个不相等实数根，求m的取值范围．(2)己知关于x的一元二次方程x2－m(3)求证：关于x的一元二次方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0（a≠0）总有实数根(4)已知关于x的方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围(5) （2016武汉元月调考第9题）关于x的方程（m－2）x2＋2x＋1＝0有实数根，求m的取值范围．拓展己知关于x的方程(n－1)x2＋mx＋1＝0有两个相等的实数根，试说明关于y的方程m2y2—2my－m2—2n2＋3＝0的根的情况【总结】1、在处理【例1】和【练1】这类问题时，一定要注意先判断方程类型，若方程类型不确定，则需要分类讨论2、关于方程类型，题目在设问方面会有下列说法：(1)“关于x的一元二次方程有解”则方程一定为一元二次方程．(2)“关于x的方程有两实根”则方程一定为一元二次方程．(3)“关于x的方程有解”则方程类型不确定，需要分类讨论例2(1) 己知a、b、c是三角形三边，求证：关于x的方程(a＋b)x2＋2cx＋（a＋b）＝0无实根．(2) 己知：a、b、c分别是△ABC的三边长，求证：关于x的方程b2x2＋(b2＋c2一a2)x＋c2＝0没有实数根．练习己知△ABC三边a，b，c，关于x的方程(a＋c)x2 ＋2bx－a＋c＝0，x2＋2ax＋b2＝0均有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．模块二 一元二次方程根与系数关系知识导航：由因式分解法可知，方程（x －x 1）(x －x 2)＝0（x 1，x 2为已知数）的两根为x 1和x 2，将方程化为x 2＋px ＋q ＝0的形式，即x 2一(x 1＋x 2)x ＋ x 1x 2＝0，则二次项系数为1，一次项系数为p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝ x 1x 2． 于是，上述方程两个根的和、积与系数的关系分别有如下关系：x 1＋x 2＝－p ， x 1x 2＝q对于一般地一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，二次项系数a 未必是1．根据求根公式，x 1＝a ac b b 24-2-+， x 2＝aac b b 24-2-- 由此可知，x 1＋x 2＝－a b ， x 1x 2＝ac 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比．例3(1)若x 1，x 2是一元二次方程x 2—5x ＋6＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是____(2)一元二次方程x 2—4x －c ＝0的一个根是3，则另一个根是____，c ＝___________(3)若方程x 2－3x 一1＝0的两根为x 1、x 2，则11x ＋21x 的值为____ (4)关于x 的一元二次方程x 2一mx ＋2m －1＝0的两个实数根分别是x 1、x 2，且x 12＋x 22＝7， 则(x 1－x 2)2的值是_____________练习(1)方程x 2—2x －1＝0的两个实数根分别为x 1、x 2，(x 1－l )( x 2－1)＝______________cz ，设x 1、x 2是方程2x 2—6x +l ＝o 的两个实数根，则(x 1－21x )( x 2－11x )的值为__________ 【总结】1、用韦达定理，常见的恒等变形有：11x ＋21x ＝2121x x x x +,x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2,(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 21x x -＝212214)(x x x x -+x 13 ＋x 23＝(x 1 ＋x 2)(x 12＋x 22－x 1x 2)＝(x 1＋x 2)3－3x 1x 2(x 1＋x 2)2、韦达定理只有在两根存在的情况下才成立，故使用韦达定理的前提条件是b 2—4ac ≥0例4已知x 1，x 2是方程x 2—3x ＋l ＝0的两个实数根，则x 12＋x 22＝________________(x 1－2)(x 2－2)＝______________；x 12＋x 1·x 2＋x 22＝_____________,12x x ＋21x x ＝_________ x 1－x 2＝__________, x 12－x 22＝________;11x －21x ＝__________;12x x －21x x ＝___________练习已知x 1，x 2是方程2x 2—3x －5 ＝0的两个根，求下列代数式的值：x 12＋x 22＝__________,12x x ＋21x x ＝_________; 21x x -＝___________ x 12－x 22＝________;12x x －21x x ＝___________,x 12＋3x 22－3x 2＝_________________例5已知关于x 的方程x 2—2(k －l )x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)求k 的取值范围．(2) 若x l ＋x 2 ＝1－x 1x 2，求k 的值．练习关于x 的方程x 2＋2(a －l )x ＋a 2 －7a －4＝0的两根为x 1. x 2，且x 1x 2 －3x l －3x 2 ＋2＝0，求a 的值例6关于一元二次方程x 2 ＋2x ＋k ＋l ＝0的实数解是x l 和x 2．(1)求k 的取值范围；(2)如果x 1＋x 2－x 1x 2＜－1且k 为整数，求k 的值．练习己知关于x 的方程x 2 ＋2(m ＋2)x ＋m 2 －5＝0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．例7己知△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程x 2 －(2k ＋3)x ＋k 2 ＋3k ＋2＝0的两个实数根，第三边BC 的长是5．(1)k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形；(2)k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，并求△ABC 的周长．练习在等腰△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＝3，b 和c 是关于x 的方程x 2＋mx ＋2－21m ＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 课后作业A 基础巩固1．已知x ＝l 是方程x 2＋bx －2＝0的一个根，则方程的另一个根是( )A .1B ．2C ．－2D ．－12． 已知一元二次方程x 2—4x ＋3＝0两根为x 1,x 2，则x 1·x 2＝( )A .4B ．3C ．－4D .－3 3． 己知关于x 的一元二次方程(1－2k )x 2—21+k x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是____．4． 关于x 的方程kx 2 ＋(l －k )x －l ＝0有两个不等实根，则k 的取值范围是____________．5． 关于x 的方程kx 2＋(l －k )x －l ＝0有实根，则k 的取值范围是_______________6． 求证：不论m 为何值时，关于x 的方程x 2一2mx －2m －4＝0总有两个不相等的实根．7． 如果一直角三角形的三边长分别为a ，b ，c ，b 为斜边，求证：关于x 的方程a (x 2 －1)一2cx ＋b (x 2 ＋1)＝0有两个相等的实数根8． 己知x 1，x 2是方程x 2－5x ＋2＝0的两个实数根，则x 12＋x 22＝________________(x 1－2)(x 2－2)＝______________；x 12＋x 1·x 2＋x 22＝_____________,12x x ＋21x x ＝_________ x 1－x 2＝__________, x 12－x 22＝________;11x －21x ＝__________;12x x －21x x ＝___________B 综合训练 9． （2015年汉阳区九上期中）己知关于x 的方程x 2—2(k －l )x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)求k 的取值范围；(2) 若x 1＋x 2＝1－ x 1x 2，求k 的值．10.已知关于x 的一元二次方程mx 2—2x ＋l ＝0．(1)若方程有两个实数根，求m 的范围；(2)若方程的两个实数根为x 1,x 2，且x 1x 2一x 1一x 2＝21，求m 的值 111.己知，关于x 的方程x 2一kx ＋k －1＝0(1)求证：无论k 取何值，方程总有两实数根(2)若等腰△ABC 的一边长为2，另两边为这个方程的两个根，求△ABC 的周长数学故事“石头剪刀布”或能揭示演化策略“石头剪刀布”是游戏中解决争端的常用方式，每人各出剪刀、石头、布中的一种，通过石头砸剪刀、剪刀剪布、布包住石头的规则，可以在两人甚至多人中决出胜负．不过，科学家发现，大自然也用自己的方式玩着类似“石头剪刀布”这样的游戏，数学家和生物学家利用这种方式研究了从人类社会到培养皿中的细菌的各种现象．如今，研究者又发现，当玩家不断改变策略时，三种武器的使用频率会轮流上升与下降，呈现出一种固定的模式．这一发现或许可以帮助我们理解生物在生存之争中是如何维持竞争策略的．一旦应用到生物中来，石头剪刀布就不仅仅是两个小孩子的游戏，而变成多玩家之间的复杂关系了．比方说，某些蜥蜴用来赢得伴侣的策略就有三种：侵略、合作与欺骗，这三种策略就和石头剪刀布一样，有着环状的胜负关系（侵略战胜合作，欺骗战胜侵略，合作战胜欺骗），而对于蜥蜴来说，成功繁衍后代就意味着赢得游戏，在生物的“石头剪刀布”游戏中，通常是大的种群中随机产生一对玩家开始比拼，每个玩家通常都保持一种固定的策略一一即对每一个对手都出同样的姿势（石头、剪刀或者布）．每次对决之后，赢家就增加一个（对应着繁衍后代），使用同样的策略，而输家则消失．对这种模型进行仔细的数学研究以后发现，出石头、剪刀和布的玩家会随着时间波动．随着初始情况中每种策略所占比例不同，整个群体的情况会分别演变成不同的长期行为，比如用石头、剪刀、布的个体各占三分之一，或者一种策略大幅减少另两种上升，过一段时间又反过来，呈现剧烈的周期波动．受到计算机模拟的启发，康奈尔大学的两位数学家Steven Strogatz 和Danielle Toupo 决定研究一下如果玩家中途改变策略会发生什么．“我觉得这个想法很吸引人，就想找到一种最简洁的数学模型来描述它，”Strogatz 说．他们试图回到最基础的原理，寻找纯粹的公式，而非复杂的计算机模拟．Strogatz 和Toupo 修正了“石头剪刀布”方程，允许一些“突变子女”存在，它们所采用的策略和亲代不同．此前的研究者也研究了突变，但一直假设突变是对称的，即每种策略变成其他策略的几率相同，但Strogatz 和To upo 考虑到了其他的模式，比如出石头的玩家可能会生下出布的子女，但反过来则不尽然．每种突变最终都会导致一种循环，即出石头、剪刀和布的玩家数都各自不停地上下波动，循环不息．而更令人惊讶的是，他们还证明哪怕突变率极低甚至接近于0，整个游戏还是会进入这种循环模式，论文发表于本月的《物理评论E 》（Physical ReviewE ）中，只是增加了一点点突变的因素，游戏结果就不再是三种各占三分之一的稳定态或是剧烈波动态了， “我认为该研究最吸引入的一点是，这种‘游戏’在自然界中真的存在，”加州大学圣克鲁兹分校的生态学家BarrySinervo 说，他没有参与这项工作，“哪怕你不是数学家，也会欣赏这一研究．”Sinervo-直在研究加州一种侧斑鬣蜥，该蜥蜴的种群行为也会进入像“石头剪刀布”一样的振荡状态．Sinervo和同事通过野外的长期观察发现，采取侵略、合作和欺骗三种策略的蜥蜴数目有一个6年的变化周期，每一代新的蜥蜴诞生时，主导策略都会变化．Strogatz和Toupo的新研究为Sinervo的工作提供了数学模型，来解释了这种变化周期，“对我来说，这篇论文的有趣之处就在这里．”Sinervo说，由于数学方面的限制，康奈尔大学的研究者还不能证明他们的发现适用于所有的突变模式，但Strogatz说他们预测会如此．研究更广泛的突变模式也可以更进一步地提供数学基础，帮助我们解释自然界这个大剧场里物种策略的兴衰变迁．。
中考数学考点分析：判别式法与韦达定理_名师指点
中考数学考点分析：判别式法与韦达定理_名师指点
中考数学考点分析介绍的内容是判别式法与韦达定理。
韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。
中考数学考点分析：判别式法与韦达定理
一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R，a≠0)根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
初三判别式与韦达定理初步认识(鲁教版)
板块一、根的判别式1.定义运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a-+=也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2.判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则 ①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,24b b acx -±-．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a ==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．板块二、韦达定理如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a =．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-，12x x q ⋅=．一．根的判别式的应用1.运用判别式，判定方程实数根的个数【例1】 不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）22340x x +-=；（2）20ax bx +=（0a ≠）一元二次方程根的判别式 新知学习基础演练【练一练】不解方程判定下列方程根的情况：（1）22340x x +-=；（2）23226x x +=； （32321x +；（4）22(21)220m x mx +-+=； （5）2210x ax a ++-=；（623220x x +=；（7）4(1)30x x +-=；（8）2(1)(2)x x m --=【例2】 已知a ，b ，c 是不全为0的3个实数，那么关于x 的一元二次方程2222()()0x a b c x a b c ++++++= 的根的情况（ ）． A ．有2个负根 B ．有2个正根 C ．有2个异号的实根D ．无实根【例3】 不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定2.利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围【例4】 m 取什么值时，关于x 的方程222(3)6x mx +-=有两个相等的实数根【练一练】关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ． 1k <B ． 0k ≠C ．10k k <≠且D ． 1k >【练一练】方程2610kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_______________【练一练】若关于x 的二次方程2(1)220m x mx m -++-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是____________【练一练】若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，那么方程2(1)220m x mx m +-+-=（ ）．A ．没有实数根B ．有2个不同的实数根C ．有2个相等的实数根D ．实数根的个数不能确定【例5】 若关于x 的一元二次方程2(1)210k x x ++-=有实数根，则k 的最小整数值为_________【例6】 关于x 的一元二次方程2(12)2110k x k x --+-=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【练一练】关于x 的方程2210x k x ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为________．【练一练】已知关于x 的方程222(1)50x m x m ++++=有两个不相等的实数根，化简：2|1|44m m m --+【练一练】已知关于x 的一元二次方程210x mx m --=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．【练一练】k 为何值时，方程2(1)(23)(3)0k x k x k --+++=有实数根．【例7】 关于x 的方程()26860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是 ．【练一练】若方程222(1)450x a x a a ++++-=有实数根，求：正整数a ．【例8】 已知关于x 的方程()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根，且a 、b 为实数，则32a b +=________．【练一练】当a b 、为何值时，方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根？【例9】 当m 为何值时，关于x 的方程22(4)2(1)10m x m x -+++=有实根．【练一练】k 为何值时，方程2(1)(23)(3)0k x k x k --+++=有实数根．【例10】 已知：方程()22250mx m x m -+++=没有实数根，且5m ≠，求证：()()25220m x m x m --++=有两个实数根．【例11】 已知：m 、n 为整数，关于x 的二次方程2(7)30x m x n +-++=有两个不相等的实数解，2(4)60x m x n ++++=有两个相等的实数根，2(4)10x m x n --++=没有实数根，求m 、n 的值．3.通过判别式，证明与方程相关的代数问题 【例12】 对任意实数m ，求证：关于x 的方程222(1)240m x mx m +-++=无实数根．【练一练】求证：关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m -+++=有两个实数根．【练一练】证明：无论实数m 、n 取何值时，方程2()0mx m n x n +++=都有实数根【练一练】已知：方程()22250mx m x m -+++=没有实数根，且5m ≠，求证：()()25220m x m x m --++=有两个实数根．二．韦达定理1.利用韦达定理求代数式的值【例13】 不解方程22(34)230x x +--，求两根之和与两根之积【例14】 已知方程22430x x +-=的两个根为1x 、2x（1）12x x += ；（2）12_______x x ⋅=；（3）1211_______x x +=；（4）2212_______x x +=【例15】 设方程24730x x --=的两个根为1x 、2x ，不解方程求下列各式的值⑴ 12(3)(3)x x --； ⑵211211x xx x +++； ⑶12x x -【练一练】已知α、β是方程2520x x ++=βααβ。
根的判别式和韦达定理(教案)
（2）韦达定理的掌握和运用：韦达定理描述了一元二次方程根与系数之间的关系，即x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。教师应强调韦达定理的记忆和应用，通过实际例题让学生学会运用韦达定理求解一元二次方程的根。
举例：方程x^2-3x-4=0，根据韦达定理，x1+x2=-(-3)/1=3，x1x2=(-4)/1=-4。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了根的判别式和韦达定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对这两个数学工具的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决一元二次方程相关问题时能够灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）根的判别式的理解和应用：本节课的核心内容是根的判别式Δ=b^2-4ac，以及其与一元二次方程根的关系。教师应重点讲解判别式的三种情况，并通过实例让学生掌握如何利用判别式判断一元二次方程的根的性质。
举例：方程x^2-5x+6=0，判别式Δ=(-5)^2-4×1×6=25-24=1>0，因此方程有两个不相等的实数根。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调根的判别式的推导和韦达定理的应用这两个重点。对于难点部分，我会通过实际例题和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与根的判别式和韦达定理相关的实际问题。
中考--部分知识点解读(射影定理、判别式、韦达定理、位似)
中考--知识点解读（射影定理、判别式、韦达定理、位似） 直角三角形的射影定理(1) 图中有几对相似三角形?可写出几组比例式?(2) 直角三角形斜边上的高是 比例中项；两直角边分别是 的比例中项。
请写出四个关系式：（1）（2）（3）（4）练习：1、如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D 。
，，82==DB AD 求的长。
和BC AC CD ,2、如图，ΔABC 中，顶点C 在AB 边上的射影为D ，且BD AD CD ∙=2。
求证：ΔABC 是直角三角形。
证明：AAA B位似图形的画法：位似变换是新课程标准中涉及的一个重要知识点，它是图形变换的一种，实际上它是相似变换的一种特殊情形，存在位似中心———即对应顶点连线的交点．其位似比就是相似比．作为一个新的知识点，越来越受到中考命题者的青睐．图形放大、缩小通常用位似变换的思想作图，位似中心的位置可在图形顶点处、图形边上、图形内部、图形外部．（辽宁省锦州中考题）如图1，己知四边形ABCD ，用尺规将它放大，使放大前后的图形对应线段的比为1:2．画法一：延长AD 到1D ，使1DD AD =，延长AC 到点1C ，使1CC AC =，延长AB 到点1B ，使1BB AB =，连接11D C ，11C B ，则四边形1111A B C D 即为所求（如图2）．说明：延长AD 得到1D 后，也可以过点1D 作11DC DC ∥，交AC 的延长线于1C ，再过点1C 作11B C BC ∥，交AC 的延长线于1B ，得到四边形1111A B C D ．画法二：延长DA 到点1D ，使12A D A D =，延长CA 到点1C ，使12A C A C =，延长BA 到点1B ，使12AB AB =连接11B C ，11C D ，则四边形1111A B C D 即为所求（如图3）．画法三：任取一点O ，连接OA 并延长到点1A ，使1AA OA =，连接OB 并延长到点1B ，使1BB OB =、连接OC 并延长到点1C ，使1CC OC =，连接OD 并延长到点1D ，使1DD OD=，顺次连接11A B ，11B C ，11C D ，11D A ，则四边形1111A B C D 即为所求（如图4）．60º（第4题图）运用这些作图方法可以解决不少数学问题．现举例说明：例 如图5，在给定的锐角ABC △中，求作一个正方形DEFG ，使D E ，落在BC 上，F G ，分别落在AC AB ，边上，要求写出画法．画法：第一步：画一个有三个顶点落在ABC △两边上的正方形D E F G ''''（如图5）；第二步：连接BF '并延长交AC 于点F ；第三步：过F 点作FE BC ⊥，垂足为点E ；第四步：过F 作FG BC ∥交AB 于点G ；第五步：过G 作GD BC ⊥，垂足为点D ．四边形DEFG 即为所求的正方形．（如图5）想一想：为什么四边形DEFG 是正方形？请读者思考．太阳光投影问题1.如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的应高为2米，求旗杆的高度.2.数学课外实验小组想利用树影测树高。
精品 九年级数学上册 一元二次方程判别式和韦达定理
一元二次方程判别式和韦达定理一、知识内容提要1、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其根的判别式为：△＝b2－4ac（1）△= b2－4ac＞0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根21242b b acxa-±-=，。
（2）△= b2－4ac＝0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根122bx xa==-。
（3）△= b2－4ac＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根。
2、一元二次方程根的判别式的主要应用方面：（1）判定方程根情况：根据方程或给定的条件，判定方程根的情况（不解方程）；（2）确定字母取值范围：利用判别式建立等式、不等式,确定含字母的一元二次方程中参数值或取值范围；（3）证明、探求参数条件：证明某种条件下方程根情况，或求参数满足条件等；（4）讨论根的性质：构造一元二次方程，把原问题转化为讨论根的性质。
3、韦达定理：一元二次方程)0(02≠=++acbxax的根与系数的关系设方程的两根为1x、2x，则acxxabxx=-=+2121,。
注：现在应用韦达定理的前提条件是042≥-=∆acb，即方程必须有实数解。
4．韦达定理的逆定理: 以两个实数21xx，为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：()021212=++-xxxxxx注意：（1）根与系数的关系是以一元二次方程有两个实数根（Δ≥0）为前提的，因此，运用韦达定理判定根具体条件必须考虑Δ≥0这一条件。
（2）运用韦达定理可以不解方程，求含有1x、2x的代数式值，常见变形如下：2122122212)(xxxxxx-+=+，21221221214)()(||xxxxxxxx-+=-=-，)(3)(21213213231xxxxxxxx+-+=+，21212111xxxxxx+=+二、考点分析（一）判别式的运用问题一、利用判别式,判定方程根的个数和情况.例1、不解方程，直接判断下列方程的解的情况：⑴2710x x --=⑵294(31)x x =-（3）22320x x --+= （4）2(1)02m x m x -++=(m 为常数)例2.关于x 的一元二次方程01)12(2=-+++k x k x 的根的情况是（ ）.A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.根的情况无法判断练习：⑴若关于x 的方程x 2－2x －m ＝0有两个相等的实数根，则m ＝__________；⑵若关于x 的方程(x ＋1)2＝1－k 无实根，则k 的取值为__________；⑶若关于x 的一元二次方程21(1)04k x x -+-=有实根，则k 的取值范围为__________；例3.已知关于x 的方程02)22=++-k x k x （. (1)求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形ABC 的一边长为a=1,另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长；练习：已知关于x 的方程 x 2－(k ＋1)x ＋2k －2＝0⑴求证：无论k 为何值，方程总有实根；⑵若等腰△ABC ，底边a ＝3，另两边b 、c 恰好是此方程的两根，求△ABC 的周长。
03第2讲 韦达定理
∴所求 m 的值为 m=± 例7
2 . 2
已知 p,q,m,n 是实数， 且 pq=2(m+n), 求证方程 x2+px+m=0 和 x2+qx+n
=0 中至少有一个方程有实数根. 分析 若由条件 pq=2(m+n) 去探讨 p 2 4m 0, q 2 4n 0 , 发现无
c b b 0 两根同号（且 0, 两根为负； 0, 两根为正） ； a a a c 若 0 两根异号. a
若
【例题选讲】 例1 数值是 (A) -1; (B)0; (C) 1; (D) 2. 若方程 2 x(kx 4) x 2 6 0 有两个不相等的实根， 则 k 可取的最大整 ( )
2
≠0, 这点是容易忽视的. 例3 已知方程 2x +kx-2k+1=0 的两实数根的平方和为
29 ，则 k 的值为 4 ( )
(D) 3 或 -11. 1 k 解 设方程的两根为 x1, x2, 则 x1+x2= , x1x2= k . 2 2 1 29 2 2 由 x1 x2 ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 k 2 2k 1 , 4 4 解得 k=3 或 k= -11. 又由 k 2 8(2k 1) 0 ，检验知 k=3 满足此式，k=-11 不满足此式，故只 有 k=3, 选 A. 点评 例4 利用根与系数的关系求字母系数的值或取值范围时， 切记不要忽略方 已知：关于 x 的方程 x2+bx+4b=0 有两个相等的实根，关于 y 的方程 程有实根的条件，即 0 .
x1 b b 2 4ac b b 2 4ac , x2 2a 2a
2023年中考数学专题复习 专题12 韦达定理及其应用(教师版含解析)
专题12 韦达定理及其应用1.一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
2.根与系数的关系的应用，主要有如下方面：(1)验根；(2)已知方程的一根，求另一根；(3)求某些代数式的值；(4)求作一个新方程。
【例题1】(2020•泸州)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣7＝0的两个实数根，则x 12+4x 1x 2+x 22的值是 ．【答案】2【分析】根据根与系数的关系求解．【解析】根据题意得则x 1+x 2＝4，x 1x 2＝﹣7所以，x 12+4x 1x 2+x 22＝(x 1+x 2)2+2x 1x 2＝16﹣14＝2【对点练习】(2019湖北仙桃)若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为( )A ．12B ．10C ．4D ．﹣4【答案】A【解析】∵方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝(α+β)2﹣2αβ＝4+8＝12【例题2】(2020•江西)若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为．【答案】-2【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为﹣2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．【解析】∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2，∴x1•x22．∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，∴另一个根为﹣2÷1＝﹣2．【对点练习】已知方程的一个根是-1/2，求它的另一个根及b的值。
【答案】x1=3 b=-5【解析】设方程的另一根为x1，则由方程的根与系数关系得：解得：【点拨】含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。
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第10课 判别式与韦达定理
〖知识点〗
一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理 〖大纲要求〗
1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。
对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；
2.掌握韦达定理及其简单的应用；
3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；
4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题。
内容分析
1.一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△＝0时，方程有两个相等的实数根，
当△＜0时，方程没有实数根．
2.一元二次方程的根与系数的关系
(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么a b x x -=+21，a
c x x =21
(2)如果方程x 2
+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-P ，x 1x 2=q
(3)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．
3.二次三项式的因式分解(公式法)
在分解二次三项式ax 2+bx+c 的因式时，如果可用公式求出方程ax 2+bx+c=0的两个根
是x 1,x 2，那么ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)．
〖考查重点与常见题型〗
1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：
关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么梗的情况是（ ）
（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根
（C ）没有实数根 （D ）不能确定
2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：
设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值是（ ）
（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3
3．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。
在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力。
考查题型
1．关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（ ）
（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根
（C ）没有实数根 （D ）不能确定
2．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值是（ ）
（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3
3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=0
4．以方程x 2
＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）
（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=0
5．如果x 1，x 2是两个不相等实数，且满足x 12－2x 1＝1，x 22－2x 2＝1，
那么x 1·x 2等于（ ）
（A ）2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－1
6．如果一元二次方程x 2＋4x ＋k 2＝0有两个相等的实数根，那么k ＝
7．如果关于x 的方程2x 2－(4k+1)x ＋2 k 2－1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围
是
8．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝
9．若关于x 的方程(m 2－2)x 2－(m －2)x ＋1＝0的两个根互为倒数，则m ＝
二、考点训练：
1、 不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）x 2－x=5 (2)9x 2－6 2 +2=0 (3)x 2－x+2=0
2、 当m= 时，方程x 2+mx+4=0有两个相等的实数根；
当m= 时，方程mx 2+4x+1=0有两个不相等的实数根；
3、 已知关于x 的方程10x 2－(m+3)x+m －7=0，若有一个根为0，则m= ，这时方程的另
一个根是 ；若两根之和为－35
，则m= ，这时方程的两个根为 . 4、 已知3－ 2 是方程x 2+mx+7=0的一个根，求另一个根及m 的值。
5、 求证：方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2+4)=0没有实数根。
6、 求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－ 5 和1+ 5 。
7、 设x 1,x 2是方程2x 2+4x －3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：
(1) (x 1+1)(x 2+1) (2)x 2x 1 + x 1x 2
（3）x 12+ x 1x 2+2 x 1 解题指导
1、 如果x 2－2(m+1)x+m 2+5是一个完全平方式，则m= ;
2、 方程2x(mx －4)=x 2－6没有实数根，则最小的整数m= ;
3、 已知方程2(x －1)(x －3m)=x(m －4)两根的和与两根的积相等，则m= ;
4、 设关于x 的方程x 2－6x+k=0的两根是m 和n ，且3m+2n=20，则k 值为 ;
5、 设方程4x 2－7x+3=0的两根为x 1,x 2，不解方程，求下列各式的值:
(1) x 12+x 22 (2)x 1－x 2 （3）ｘ1 ＋ｘ2 ＊（4）x 1x 22＋12
x 1 ＊6.实数ｓ、ｔ分别满足方程19ｓ2＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ2＝0求代数式
ｓｔ＋4ｓ＋1ｔ
的值。
7.已知a 是实数，且方程x 2+2ax+1=0有两个不相等的实根，试判别方程x 2+2ax+1－12
(a 2x 2－a 2－1)=0有无实根？
8.求证：不论k 为何实数，关于x 的式子(x －1)(x －2)－k 2都可以分解成两个一次因式的积。
9．实数K 在什么范围取值时，方程ｋｘ2＋2（ｋ－1）ｘ－（K －1）＝0有实数正根？
独立训练（一）
1、 不解方程，请判别下列方程根的情况；
(1)2t 2+3t －4=0, ; (2)16x 2+9=24x, ;
(3)5(u 2+1)－7u=0, ;
2、 若方程x 2－(2m －1)x+m 2+1=0有实数根，则m 的取值范围是 ;
3、 一元二次方程x 2
+px+q=0两个根分别是2+ 3 和2－ 3 ，则p= ,q= ;
4、 已知方程3x 2－19x+m=0的一个根是1，那么它的另一个根是 ，m= ;
5、 若方程x 2+mx －1=0的两个实数根互为相反数，那么m 的值是 ;
6、 m,n 是关于x 的方程x 2-(2m-1)x+m 2+1=0的两个实数根，则代数式m n = 。
7、 已知关于x 的方程x 2－(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6，求k 的值;
8、 如果α和β是方程2x 2+3x －1=0的两个根，利用根与系数关系，求作一个一元二次方程，
使它的两个根分别等于α+1 β 和β+1 α
; 9、 已知a,b,c 是三角形的三边长，且方程(a 2+b 2+c 2)x 2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根，
求证：这个三角形是正三角形
10.取什么实数时，二次三项式2x 2－(4k+1)x+2k 2－1可因式分解.
11.已知关于X 的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β，若ｓ＝1 α
＋1 β
，求ｓ的取值范围。
独立训练（二）
1、 已知方程x 2－3x+1=0的两个根为α,β，则α+β= , αβ= ;
2、 如果关于x 的方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同，则m 的值为 ;
3、 已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212
，则k= ; 4、 若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;
5、 方程4x 2－2(a-b)x －ab=0的根的判别式的值是 ;
6、 若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值
为 ;
7、 已知p<0,q<0，则一元二次方程x 2+px+q=0的根的情况是 ;
8、 以方程x 2－3x －1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;
9、 设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：
(1)x 12x 2+x 1x 22 (2) 1x 1 －1x 2
10．m 取什么值时，方程2x 2－(4m+1)x+2m 2－1=0
（1） 有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根；
11．设方程x 2+px+q=0两根之比为1:2，根的判别式Δ=1，求p,q 的值。
12．是否存在实数ｋ，使关于ｘ的方程9x 2－(4ｋ－7)x －6ｋ2=0的两个实根x 1,x 2，满足｜x 1 x 2
｜＝32 ，如果存在，试求出所有满足条件的ｋ的值，如果不存在，请说明理由。