全国高中数学联赛分类汇编 专题 解析几何

1、（2000一试3）已知点A 为双曲线x 2

-y 2

=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 （ ） (A)

33 (B) 2

33 (C) 33 (D) 63

3、（2002一试2）若实数x, y 满足(x+5)2

+(y

12)2=142，则x 2+y 2

的最小值为( )

(A ) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 【答案】B

【解析】利用圆的知识结合数形结合分析解答，22

x y +表示圆上的点（x,y ）到原点的距离。

4、（2002一试4）直线13

4=+y

x 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有( )

(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个

【答案】B

5、（2003一试2）设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是（）

A. B. C. D.

【答案】

B

6、（2003一试3）过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于（）

(A)

16

3

(B)

8

3

(C)

16

3

3 (D) 8 3

【答案】A

【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB所在直线方程为y=3x，弦的中点在y=

p

k

=

4

3

上，即AB中点为(

4

3

，

4

3

)，中垂线方程为y=－

3

3

(x－

4

3

)+

4

3

，令y=0，得点P的坐标为

16

3

．∴PF=

16

3

．选A．

7、（2004一试2）已知M={(x ，y )|x 2+2y 2

=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ≠∅，则b 的取值范围是 ( )

A ．[－62，62]

B ．(－62，62)

C ．(－233，233]

D ．[－23

3

，23

3

] 【答案】A

【解析】点(0，b )在椭圆内或椭圆上，⇒2b 2

≤3，⇒b ∈[－62，6

2

]．选A ．

8、（2005一试5）方程

13

cos 2cos 3

sin 2sin 2

2

=-+

-y x 表示的曲线是（ ）

A ．焦点在x 轴上的椭圆

B ．焦点在x 轴上的双曲线

C ．焦点在y 轴上的椭圆

D ．焦点在

y 轴上的双曲线 【答案】C

9、（2007一试5）设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆

P 的圆心轨迹不可能是（ ）

【答案】A

【解析】设圆O 1和圆O 2的半径分别是r 1、r 2，|O 1O 2|=2c ，则一般地，圆P 的圆心轨迹是焦点为O 1、O 2，且离心率分别是

212r r c +和|

|221r r c -的圆锥曲线（当r 1=r 2时，O 1O 2的中垂线是轨

迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。

当r1=r2且r1+r2<2c时，圆P的圆心轨迹如选项B；当0<2c<|r1−r2|时，圆P的圆心轨迹如选项C；当r1≠r2且r1+r2<2c时，圆P的圆心轨迹如选项D。由于选项A中的椭圆和双曲线的焦点不重合，因此圆P的圆心轨迹不可能是选项A。

11、（2001一试7）椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________．

【答案】

33

2

12、（2003一试8）设F1、F2是椭圆x2

9

+

y2

4

=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|∶|PF2|=2∶

1，则△PF1F2的面积等于．

【答案】4

【解析】F1(－5，0)，F2(5，0)；|F1F2|=25．

|PF1|+|PF2|=6，⇒|PF1|=4，|PF2|=2．由于42+22=(25)2．故∆PF1F2是直角三角形55．∴S=4．

13、（2004一试12）在平面直角坐标系xOy 中，给定两点M (－1，2)和N (1，4)，点P 在x 轴上移动，当∠MPN 取最大值时，点P 的横坐标为

【答案】1

【解析】当∠MPN 最大时，⊙MNP 与x 轴相切于点P (否则⊙MNP 与x

轴交于PQ ，则线段PQ 上的点P '使∠MP 'N 更大)．于是，延长NM 交x

轴于K (－3，0)，有KM ·KN=KP 2

，⇒KP=4．P (1，0)，(－7，0)，但(1，0)处⊙MNP 的半径小，从而点P 的横坐标=1．

14、（2005一试11）若正方形ABCD 的一条边在直线172-=x y 上，另外两个顶点在抛物线2

x y =上.则该正方形面积的最小值为

.

15、（2006一试9）已知椭圆

22

1164x y +=的左右焦点分别为1F 与2F ，点P 在直线l

：80x ++=

上. 当12F PF ∠取最大值时，比

1

2

PF PF 的值为 .

1

【解析】由平面几何知，要使12F PF ∠最大，则过12,F F ，P 三点的圆必定和直线l 相切于

P 点。设直线l 交x 轴于

A (8--，则12APF AF P ∠=∠，即12APF AF P ∆∆，即