初中数学二次函数的应用基础练习题(附答案详解)
初中数学二次函数综合基础训练题3(附答案详解)
初中数学二次函数综合基础训练题3（附答案详解）1．在同一坐标系中，函数y ＝ax 2+bx 与y ＝b x的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 2．已知 23M x x =-， 5N x =-(x 为任意实数)，则M 、N 的大小关系为( ) A ．M N < B ．M N > C ．M N D ．不能确定 3．课堂上，老师给出一道题：如图，将抛物线C ：y ＝x 2﹣6x +5在x 轴下方的图象沿x 轴翻折，翻折后得到的图象与抛物线C 在x 轴上方的图象记为G ，已知直线l ：y ＝x +m 与图象G 有两个公共点，求m 的取值范围甲同学的结果是﹣5＜m ＜﹣1，乙同学的结果是m ＞54．下列说法正确的是（ ）A ．甲的结果正确B ．乙的结果正确C ．甲、乙的结果合在一起才正确D ．甲、乙的结果合在一起也不正确4．如图，抛物线y=-x 2+2x+m+1交x 轴于点A （a ，0）和B （B ，0），交y 轴于点C ，抛物线的顶点为D ．下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a=-1，则b=4；③抛物线上有两点P （x 1,y 1）和Q （x 2,y 2），若x 1<1< x 2，且x 1+ x 2>2，则y 1> y 2；④点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在x 轴和y 轴上，当m=2时，四边形EDFG 周长的最小值为，其中正确判断的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④5．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +2经过A （﹣1，0），B （2，0）两点，与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）M 在抛物线上，线段MA 绕点M 顺时针旋转90°得MD ，当点D 在抛物线的对称轴上时，求点M 的坐标；（3）P 在对称轴上，Q 在抛物线上，以P ，Q ，B ，C 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P 的坐标．6．如图，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点D ，抛物线的顶点为C ．（1）求A ，B ，C ，D 的坐标；（2）求四边形ABCD 的面积．7．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，B ，与y 轴交下点C ，请仅用无刻度直尺按要求作图：（1）在图1中，直线l 为对称轴，请画出点C 关于直线l 的对称点；（2）在图2中，若CD x 轴，请画出抛物线的对称轴.8．抛物线y ＝ax 2与直线y ＝2x －3交于点A (1，b )．(1)求a ，b 的值；(2)求抛物线y ＝ax 2与直线y ＝－2的两个交点B ，C 的坐标(B 点在C 点右侧)；(3)求△OBC 的面积．9．抛物线y ＝﹣x 2+mx +n 与x 轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴是直线x ＝1， （1）抛物线与x 轴的另一个交点坐标为 ；m ＝ ，n ＝ ．（2）画出此二次函数的图象；（3）利用图象回答：当x 取何值时，y ≤0？10．二次函数2642y x x =--(1)写出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴.(2)判断点()3, 4-是否在该函数图象上，并说明理由.(3)求出以该抛物线与两坐标轴的交点为顶点的三角形的面积.11．若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数.(2)已知关于x 的二次函数y 1=2x 2﹣4mx+2m 2+1，和y 2=x 2+bx+c ，其中y 1的图象经过点A(1，1)，若y 1+y 2与y 1为“同簇二次函数”，求函数y 2的表达式，并求当0≤x≤3时，y 2的取值范围.12．定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2＝ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y＝2x2﹣2x+2是黄金抛物线．（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；（2）若抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；（3）将黄金抛物线y＝2x2﹣2x+2沿对称轴向下平移3个单位．①直接写出平移后的新抛物线的解析式；②设①中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明．13．已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）图象的对称轴是直线x＝2，且经过点P（3，0）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若y≤0，请直接写出x的取值范围；（3）若抛物线y＝ax2+bx+3﹣t（a≠0，t为实数）在0＜x＜3.5的范围内与x轴有公共点，求出t的取值范围．14．如图，抛物线y=﹣12x2﹣x+4与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，点B的坐标；（2）P为第二象限抛物线上的一个动点，求△ACP面积的最大值．15．一个抛物线形状与二次函数y ＝x 2的图象形状和顶点相同，但开口方向不同． （1）求抛物线解析式．（2）如果该抛物线与一次函数y ＝kx ﹣2相交于A 、B 两点，已知A 点的纵坐标为﹣1，求△OAB 的面积．16．如图，已知抛物线2142y x x =--+与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）若点E 与点C 关于抛物线的对称轴对称，求梯形AOCE 的面积.17．已知抛物线y ＝ax 2+bx+3过A(﹣3，0)，B(1，0)两点，交y 轴于点C ,(1)求该抛物线的表达式．(2)设P 是该抛物线上的动点，当△PAB 的面积等于△ABC 的面积时，求P 点的坐标． 18．已知函数y 1＝－13x 2 和反比例函数y 2的图象有一个交点是 A a 1）． （1）求函数y 2的解析式；（2）在同一直角坐标系中，画出函数y 1和y 2的图象草图；（3）借助图象回答：当自变量x 在什么范围内取值时，对于x 的同一个值，都有y 1＜y 2？ 19．已知：抛物线2y x bx c =-++，经过点A(-1,-2)，B(0,1).（1）求抛物线的关系式及顶点P 的坐标.（2）若点B′与点B 关于x 轴对称，把（1）中的抛物线向左平移m 个单位，平移后的抛物线经过点B′，设此时抛物线顶点为点P′.①求∠P′B B′的大小.②把线段P′B′以点B′为旋转中心顺时针旋转120°，点P′落在点M 处，设点N 在（1）中的抛物线上，当△MN B′的面积等于63时，求点N 的坐标.20．如图，抛物线223y x mx m =-+与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点()0,3C -.（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E 为线段OC 上一动点，试求22AE EC +的最小值； （3）点D 是y 轴左侧的抛物线上一动点，连接AC ，当DAB ACO =∠∠时，求点D 的坐标.21．如图，在正方形ABCD 中，点E 在对角线BD 上，EF ∥AB 交AD 于点F ，连接BF ．（1）如图1，若AB ＝4，DE 2，求BF 的长；（2）如图2．连接AE ，交BF 于点H ，若DF ＝HF ＝2，求线段AB 的长；（3）如图3，连接BF ，AB ＝2，设EF ＝x ，△BEF 的面积为S ，请用x 的表达式表示S ，并求出S 的最大值；当S 取得最大值时，连接CE ，线段DB 绕点D 顺时针旋转30°得到线段DJ，DJ与CE交于点K，连接CJ，求证：CJ⊥CE．22．已知抛物线y=kx2-4kx+3k(k>0)与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y 轴交于点C，顶点为D.（1）如图1，请求出A、B两点的坐标；（2）点E为x轴下方抛物线y=kx2-4kx+3k(k>0)上一动点.①如图2，若k=1时，抛物线的对称轴DH交x轴于点H，直线AE交y轴于点M，直线BE交对称轴DH于点N，求MO+NH的值；②如图3，若k=2时，点F在x轴上方的抛物线上运动，连接EF交x轴于点G，且满足∠FBA=∠EBA，当线段EF运动时，∠FGO的度数大小发生变化吗？若不变，请求出tan∠FGO的值；若变化，请说明理由.23．在Rr△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，点O为AB的中点，点D、E分别为AC、AB边上的动点，且保持DO⊥EO，连接CO、DE交于点P．（1）求证：OD＝OE；（2）在运动的过程中，DP•EP是否存在最大值？若存在，请求出DP•EP的最大值；若不存在，请说明理由．（3）若CD＝2CE，求DP的长度．24．如图，A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）三点在抛物线y＝ax2+bx+c上，D为直线BC上方抛物线上一动点，E在CB上，∠DEC＝90°（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE 长度的最大值；（3）如图2，F 为AB 的中点，连接CF ，CD ，当△CDE 中有一个角与∠CFO 相等时，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．25．在平面直角坐标系中，抛物线21y x 6x 42=-+的顶点M 在直线L ：y kx 2=-上． ()1求直线L 的函数表达式；()2现将抛物线沿该直线L 方向进行平移，平移后的抛物线的顶点为N ，与x 轴的右交点为C ，连接NC ，当tan NCO 2∠=时，求平移后的抛物线的解析式．26．二次函数 223y x x =++ 图像的对称轴是直线____.27．已知抛物线y ＝x 2﹣4x +h 的顶点A 在直线y ＝﹣4x ﹣1上，则抛物线的顶点坐标为_____．28．二次函数223y x =的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，A 1，A 2，A 3，…，A 2009在y 轴的正半轴上，B 1，B 2，B 3，…，B 2009在二次函数223y x =第一象限的图象上，若△A 0B 1A 1，△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…，△A 2008B 2009A 2009都为等边三角形，计算出△A 2008B 2009A 2009的边长为_____．29．（在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a＜0）交x轴于A，B两点，若此抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）有且只有8个整点（横、纵坐标都是整数的点），则a的取值范围是__．30．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3…如此进行下去，则C2019的顶点坐标是_____．参考答案1．D【解析】试题解析：A、根据反比例函数得出b＞0，根据二次函数得出a＞0，b＜0，所以b的范围不同，故本选项错误；B、根据反比例函数得出b＞0，根据二次函数得出a＜0，b＜0，所以b的范围不同，故本选项错误；C、根据反比例函数得出b＜0，根据二次函数得出a＞0，b＞0，所以b的范围不同，故本选项错误；D、根据反比例函数得出b＞0，根据二次函数得出a＜0，b＞0，所以b的范围相同，故本选项正确；故选D．2．B【解析】【分析】首先根据题意分别画出两个函数图像，然后根据图像即可比较大小.【详解】根据题意，分别画出函数图像，如图所示根据图像即可判定M N故答案为B.【点睛】此题主要考查利用函数图像进行比较大小，熟练掌握，即可解题. 3．C【解析】【分析】当直线过抛物线与x轴右侧的交点时，恰有一个交点；直线y＝x+m向上移，经过g左侧交点之前均为两个交点；继续向上平移，直到经过G中间的顶点（3，4）之前均为三个交点；最终向上平移，均有两个交点.【详解】解：令y＝x2﹣6x+5＝0，解得（1，0），（5，0）将点（1，0），（5，0）分别代入直线y＝x+m，得m＝﹣1，﹣5；∴﹣5＜m＜﹣1由题可知，图象C关于x轴对称的抛物线的顶点为（3，4），a=-1则解析式为y=-x2+6x-5联立265y x m y x x =+⎧⎨=-+-⎩25(5)0x x m -++=254200m ∆=--≤∴m ＞54综上所述，m ＞54或﹣5＜m ＜﹣1 故选C ．【点睛】本题主要考查抛物线与直线的交点问题，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.4．C【解析】【分析】【详解】试题解析：①当x ＞0时，函数图象过一四象限，当0＜x ＜b 时，y ＞0；当x ＞b 时，y ＜0，故本选项错误；②二次函数对称轴为x=-22(1)⨯-=1，当a=-1时有12b -+=1，解得b=3，故本选项错误； ③∵x 1+x 2＞2， ∴122x x +＞1， 又∵x 1-1＜1＜x 2-1，∴Q 点距离对称轴较远，∴y 1＞y 2，故本选项正确；④如图，作D 关于y 轴的对称点D′，E 关于x 轴的对称点E′，连接D′E′，D′E′与DE 的和即为四边形EDFG 周长的最小值．当m=2时，二次函数为y=-x2+2x+3，顶点纵坐标为y=-1+2+3=4，D为（1，4），则D′为（-1，4）；C点坐标为C（0，3）；则E为（2，3），E′为（2，-3）；则22(21)(34)2-+-=22(12)(34)58--+--=；∴四边形EDFG258故选C．考点：抛物线与x轴的交点．5．（1）y＝﹣x2+x+2；（2）点M（1021012-）或（102-，1102--）或（1+102，13310+1﹣10213310-）；（3）点P（12，14）或（12，﹣154）或（12，34）．【解析】【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2），即可求解；（2）设点M（m，﹣m2+m+2）顺时针旋转90°此时点M即为点D（﹣m2+m+2，﹣m﹣1），即可求解；（3）分BC是平行四边形的边、BC是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2），﹣2a＝2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）设点M（m，﹣m2+m+2），过点M作y轴的平行线HN，交过点A与x轴的平行线于点H，交x轴于点N，∵∠DMH+∠HDM＝90°，∠DMH+∠AMN＝90°，∴∠DHM＝∠AMN，又∵∠MHD＝∠ANM＝90°，AM＝MD，∴△MDH≌△AMN（ASA），∴DH＝MN，即：﹣m2+m+2＝|12﹣m|，解得：m＝10±或110，故点M 10101-）或（10110--）或（1013310+11013310-）；（3）设点Q（m，n），n＝﹣m2+m+2，点P（12，s），点B、C的坐标分别为：（2，0）、（0，2），①当BC是平行四边形的边时，点C向右平移2个单位向上平移2个单位得到B，同样点Q（P）向右平移2个单位向上平移2个单位得到点P（Q），则m+2＝12，n﹣2＝s或m﹣2＝12，n+2＝s，解得：s＝14或﹣154，故点P（12，14）或（12，﹣34）；②当BC是平行四边形的对角线时，m+12＝2，n+s＝2，解得：s＝34，故点P（12，34），综上，故点P的坐标为：（12，14）或（12，﹣154）或（12，34）．【点睛】本题考查了二次函数的综合性问题，能够正确求出函数解析式以及读懂题干意思，画出具体图形，求出点的坐标是解题的关键6．（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣4），D（0，﹣3）；（2）9．【解析】【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以求得A，B，C，D的坐标；（2）根据（1）中求得的点A，B，C，D的坐标，可以求得四边形ABCD的面积．【详解】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）＝（x﹣1）2﹣4，∴当y＝0时，x1＝3，x2＝﹣1，当x＝0时，y＝﹣3，该函数的顶点坐标为（1，﹣4），∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（0，﹣3）；（2）连接OC，如图所示，∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（0，﹣3），∴四边形ABCD的面积是：S△AOD+S△ODC+S△OCB＝313134++=9 222⨯⨯⨯．【点睛】本题考查了二次函数中点的特征以及四边形的面积，掌握二次函数的性质是解题的关键7．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）运用画对称轴的作图技巧，连接CB交于对称轴一点，再连接A点与此点，与函数图像的交点即对称点，（2）用无刻度直尺连接CB,AD交于一点，连接AC,BD并延长交于一点，再连接这两点，此线即直线m.【详解】解：（1）如图1，点E即为所求（画法不唯一）；（2）如图2，直线m即为所求.【点睛】本题考查轴对称图形的画法，抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质以及画对称轴的作图技巧是解题的关键.8．（1）a= -1 b= -1 (2) B(2,-2) 2,-2) （3）面积是2,【解析】试题分析：()1将点A 代入23y x =-求出b ，再把点A 代入抛物线2y ax =求出a 即可． ()2解方程组2{2,y x y =-=-即可求出交点坐标． ()3利用三角形面积公式即可计算．试题解析：()1∵点()1,A b 在直线23y x =-上，1b ∴=-，∴点A 坐标()1,1-，把点()1,1A -代入2y ax =得到1a =-， ()1 1.a b ∴==-()2由2{2,y x y =-=-解得2{2x y ==-2{ 2.x y =-=-∴点C 坐标()2,2,--点B 坐标)2,2.- ()3 12222 2.2BOC S =⨯=9．（1）（3，0），m ＝2，n ＝3；（2）图象见解析；（3）当x ≤﹣1或x ≥3时y ≤0．【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称性求得另一个交点，然后根据待定系数法即可求得m 、n 的值；（2）求得顶点，画出图象即可；（3）观察图形可直接得出y ≤0时，x 的取值范围；【详解】解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+mx +n 与x 轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴是直线x ＝1， ∴抛物线与x 轴另一个交点坐标为（3，0），把（﹣1，0），（3，0）代入y ＝﹣x 2+mx +n 得-1-0930m n m n +=⎧⎨-++=⎩， 解得23m n =⎧⎨=⎩， 故答案为（3，0），m ＝2，n ＝3；（2）∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴顶点为（1，4）；画出此图象如图：（3）由图象可知：当x ≤﹣1或x ≥3时y ≤0．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.10．（1）开口向下，对称轴为直线1x =-,顶点为(1,8)-；（2）不在函数图象上，理由详见解析；（3） 12.【解析】【分析】（1）先把抛物线解析式配成顶点式得到22(1)8y x =-++，然后根据二次函数的性质写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标；（2）将3x =代入函数解析式求出对应的y 即可判断；（3）确定抛物线与y 轴的交点坐标为(0,6)，然后根据三角形面积公式求解．【详解】解：（1）解：（1）226422(1)8y x x x =--=-++20a =-<，∴抛物线开口向下；22(1)8y x =+-，∴抛物线对称轴方程为1x =-，顶点坐标(1,8)--；开口向下，对称轴为直线1x =-,顶点为1,8-（）（2）不在函数图象上.理由：当3x =时，29436244y =-⨯-⨯+=-≠-所以点4-（3，）不在函数图象上. （3）令0y =，得26420x x --=，解得13x =-，21x =，所以抛物线与x 轴的交点坐标为(3,0)-，(1,0)，当x=0时，y=6.抛物线与y 轴交于点0,6A （），()1136122ABC S ∆=⨯+⨯= 【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象为抛物线；对称轴为直线2b x a=-；抛物线与y 轴的交点坐标为(0,)c . 11．(1) y=（x －1）2+3和y=2（x －1）2+3（答案不唯一）；(2)y 2 =x 2 -2x+1，02y 4≤≤.【解析】【分析】（1）根据“同簇二次函数”的定义写出两个即可；（2）将A 代入y 1=2x 2−4mx+2m 2+1中，可求出y 1与x 的函数关系式，并求出此抛物线的顶点坐标，从而求出y 1+y 2与x 的函数关系式，再根据“同簇二次函数”的定义即可求出b 、c ，从而求出函数y 2的表达式，最后根据二次函数的性质自变量的取值范围和对称轴的位置关系求最值即可.【详解】(1)根据“同簇二次函数”的定义：两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，故这两个二次函数可以为：y=（x －1）2+3和y=2（x －1）2+3；(2)把A(1,1)代入y 1=2x 2−4mx+2m 2+1得2−4m+2m 2+1=1，解得m=1，则y 1=2x 2−4x+3=2（x －1）2+1,∴y 1=2x 2−4x+3顶点坐标为（1,1），且y 1+y 2=3x 2+（b−4）x+c+3∵y 1+y 2与y 1为“同簇二次函数” ∴()()241234334143b c b -⎧-=⎪⨯⎪⎨⨯+--⎪=⎪⨯⎩解得：b=-2，c=1y 2 =x 2 -2x+1 此抛物线的开口向上，对称轴为：21221b x a -=-=-=⨯ ∴0≤x≤3包含对称轴∴当1x =时，y 2取最小值，此时y 2=0，当x=3时，y 2取最大值，此时y 2=4∴02y 4≤≤【点睛】此题考查的是新定义问题，掌握二次函数的图像及性质和“同簇二次函数”的定义是解决此题的关键.12．（1）如y ＝x 2，y ＝x 2﹣x +1，y ＝x 2+2x +4等（答案不唯一）；（2）详见解析；（3）①y ＝2x2﹣2x﹣1；②符合条件的点P的坐标：（0，﹣1），（1，﹣1），（﹣12，12），（32，12）．【解析】【分析】（1）按照黄金抛物线的定义给a、b、c赋值即可；（2）将ac＝b2代入判别式当中，消去ac，然后对b分等于0和不等于0两种情讨论即可；（3）①根据“上加下减”写出平移后的抛物线解析式即可；②根据所给的限制条件，只能画出四种图形，分别写出相应的P点坐标即可；【详解】（1）答：如y＝x2，y＝x2﹣x+1，y＝x2+2x+4等；（2）依题意得b2＝ac，∴△＝b2﹣4ac＝b2﹣4b2＝﹣3b2，∴当b＝0时，△＝0，此时抛物线与x轴有一个公共点，当b≠0时，△＜0，此时抛物线与x轴没有公共点；（3）①抛物线y＝2x2﹣2x+2向下平移3个单位得到的新抛物线的解析式为y＝2x2﹣2x﹣1，②存在．如图：若BQ＝AO，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点P，P点的坐标为：（0，﹣1），（1，﹣1），此时，△AOB≌△BQP；若BQ＝BO，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点P，令2x2﹣2x﹣1＝12，解得：x＝﹣12或x＝32，∴P点的坐标为：（﹣12，12），（32，12）．此时，△AOB≌△PQB；综上所述，有四个符合条件的点P的坐标：（0，﹣1），（1，﹣1），（﹣12，12），（32，12）．【点睛】此题主要考查新定义下抛物线的性质，熟练掌握，即可解题.13．（1）y＝x2﹣4x+3；（2）1≤x≤3；（3）﹣1≤t＜3．【解析】【分析】（1）利用对称性得到抛物线经过点（1，0）．然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可；（3）对于抛物线y＝x2﹣4x+3﹣t，当△＝（﹣4）2﹣4（3﹣t）＝0时，满足条件，此时t＝﹣1，当△＝（﹣4）2﹣4（3﹣t）＞0时，若x＝0，y＝x2﹣4x+3﹣t＞0，满足条件，此时﹣1＜t＜3，然后综合两种情况即可．【详解】（1）∵对称轴为x＝2，点B（3，0），∴抛物线经过点（1，0）．将（1，0）、（3，0）代入得：9a+3b+3＝0且a+b+3＝0解得a＝1，b＝﹣4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）由（1）得知抛物线过点（1，0）和（3，0），且a＝1，可判定开口向上，故当1≤x≤3时，y≤0；（3）由（1）可知y＝ax2+bx+3﹣t的解析式为y＝x2﹣4x+3﹣t，当△＝（﹣4）2﹣4（3﹣t）＝0时，解得t＝﹣1，抛物线与x轴的交点为（2，0）；当△＝（﹣4）2﹣4（3﹣t）＞0时，解得t＞﹣1，若x＝0，y＝x2﹣4x+3﹣t＞0，抛物线y＝ax2+bx+3﹣t（a≠0，t为实数）在0＜x＜3.5的范围内与x轴有公共点，即t＜3，∴t的范围为﹣1≤t＜3．【点睛】此题主要考查抛物线的对称性、待定系数法求解析式以及根的判别式的运用，熟练掌握，即可解题.14．(1) A（﹣4，0），B（2，0）；(2)△ACP最大面积是4.【解析】【分析】（1）令y=0，得到关于x 的一元二次方程﹣12x2﹣x+4=0，解此方程即可求得结果；（2）先求出直线AC解析式，再作PD⊥AO交AC于D，设P（t，﹣12t2﹣t+4），可表示出D点坐标，于是线段PD可用含t的代数式表示，所以S△ACP=12PD×OA=12PD×4=2PD，可得S△ACP关于t 的函数关系式，继而可求出△ACP面积的最大值．【详解】(1)解：设y=0，则0=﹣12x2﹣x+4∴x1=﹣4，x2=2∴A（﹣4，0），B（2，0）(2)作PD⊥AO交AC于D设AC解析式y=kx+b∴404bk b=⎧⎨=-+⎩解得：14 kb=⎧⎨=⎩∴AC解析式为y=x+4.设P（t，﹣12t2﹣t+4）则D（t，t+4）∴PD=（﹣12t2﹣t+4）﹣（t+4）=﹣12t2﹣2t=﹣12（t+2）2+2∴S△ACP=12PD×4=﹣（t+2）2+4∴当t=﹣2时，△ACP最大面积4.【点睛】本题考查二次函数综合，解题的关键是掌握待定系数法进行求解.15．（1）y＝﹣x2；（2）3．【解析】【分析】（1）由图象形状和顶点相同，但开口方向不同可知二次项系数a互为相反数即可得出函数解析式.（2）利用抛物线解析式和点A的纵坐标求出A的坐标，把A的坐标代入y=kx-2，根据待定系数法求得解析式，然后解析式联立求得B的坐标，利用S△OAB=S△AOG+S△BOG求解即可．【详解】解：（1）形状与二次函数y＝x2的图象形状和顶点相同，但开口方向不同，此抛物线解析式为y＝﹣x2．（2）∵A点的纵坐标为﹣1，把y＝﹣1代入y＝﹣x2，解得x＝±1，∴A（1，﹣1）或（﹣1，﹣1）把A（1，﹣1）代入y＝kx﹣2得，﹣1＝k﹣2，解得k＝1，把A（﹣1，﹣1）代入y＝kx﹣2得﹣1＝﹣k﹣2，解得k＝﹣1，∴一次函数表达式为y＝x﹣2或y＝-x﹣2，∴令x ＝0，得y ＝﹣2，∴G （0，﹣2），I .当一次函数表达式为y ＝﹣x ﹣2时，由一次函数与二次函数联立可得22y x y x =--⎧⎨=-⎩， 解得11x y =-⎧⎨=-⎩或24x y =⎧⎨=-⎩， ∴B （2，﹣4）， ∴S △OAB ＝S △AOG +S △BOG ＝()122+12⨯⨯＝3， II .同理证得当一次函数表达式为y ＝x ﹣2时，S △OAB ＝3，故△OAB 的面积为3．【点睛】本题主要考查了待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是分两种情况正确的求出点B 的坐标．16．（1）A （-4,0），B （2,0），C,0,4）；（2）12【解析】【分析】（1）在抛物线的解析式中，令x=0可以求出点C 的坐标，令y=0可以求出A 、B 点的坐标；（2）先求出E 点坐标，然后求出OA ，OC ，CE 的长计算面积即可.【详解】解：（1）当y=0时，212x --x+4=0，解得x 1=－4，x 2=2， ∴A （－4，0），B （2，0），当x=0时，y=4，∴C （0，4）；（2）y=212x -﹣x+4=12-（x+1）2+92，∴抛物线y=212x -﹣x+4的对称轴是直线x=－1， ∴E 的坐标为（－2，4），则OA=4，OC=4，CE=2，S 梯形AOCE =(24)4122+⨯= 【点睛】本题是对二次函数的基础考查，熟练掌握二次函数与x 轴，y 轴交点坐标的求解及梯形面积知识是解决本题的关键.17．(1)y ＝﹣x 2﹣2x+3；(2)P 点坐标为(﹣，﹣3)或(﹣1，﹣3)．【解析】【分析】（1）把A 与B 坐标代入求出a 与b 的值，即可确定出表达式；（2）先求出点C 的坐标，从而确定△ABC 的面积，再根据△PAB 的面积等于△ABC 的面积求出P 的坐标即可．【详解】解：(1)把A 与B 坐标代入得：933030a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得：12a b =-⎧⎨=-⎩， 则该抛物线的表达式为y ＝﹣x 2﹣2x+3；(2)由抛物线解析式得：C(0，3)，∴△ABC 面积为12×3×4＝6， ∴△PAB 面积为6，即12×|y P 纵坐标|×4＝6，即y P 纵坐标＝3或﹣3， 当y P 纵坐标＝3时，可得3＝﹣x 2﹣2x+3，解得：x ＝﹣2或x ＝0(舍去)，此时P 坐标为(﹣2，3)；当y P 纵坐标＝﹣3时，可得﹣3＝﹣x 2﹣2x+3，解得：x ＝﹣，此时P 坐标为(﹣，﹣3)或(﹣1，﹣3)．此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 18．（1）23y x =-；（2）作图见解析；（3）x ＜0，或x ＞3. 【解析】分析：（1）利用A 点在二次函数的图象上，进而利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）根据二次函数的性质以及反比例函数的性质画出草图即可；（3）利用函数图象以及交点坐标即可得出x 的取值范围．详解：（1）把点A （a ，-1）代入y 1=−13x 2， 得-1=−13a ， ∴a=3．设y 2=k x，把点A （3，-1）代入， 得 k=−3，∴y 2=−3． （2）画图；（3）由图象知：当x ＜0，或x 3时，y 1＜y 2．点睛：此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及二次函数的性质和比较函数的大小关系，利用数形结合得出是解题关键．19．（1）221y x x =-++，顶点坐标()12P ，；（2）①120P BB ''∠=，②当63MNB S '∆=时，点N 的坐标为()47N -，或()27N --，.【分析】（1）把点A （-1，-2）B （0,1）代入2y x bx c =-++即可求出解析式；（2）①设抛物线平移后为()2112y x m =--++，代入点B’(0,-1)即可求出m ，得出顶点坐标 ()P '，连结P B '，P’B’，作P’H ⊥y 轴，垂足为H ，得P H '=，P’B=2求出tan P H P BH BH∠='='得60P BH ∠=',故可得P BB ∠''的度数②根据题意作出图形，根据旋转的性质与MNB S '∆=，解得三角形的高6h =；故设()7N a -，或()5N a ，分别代入221y x x =-++即可求出N 的坐标.【详解】（1）把点A （-1，-2）B （0,1）代入2y x bx c =-++得2=11b c c ---+⎧⎨=⎩解得=21b c ⎧⎨=⎩∴抛物线的关系式为：221y x x =-++，得y=-(x-1)2+2； ∴顶点坐标为()12P ，. （2）①设抛物线平移后为()2112y x m =--++，代入点B’(0,-1)得，-1=-(m-1)2+2解得11m =，21m =（舍去）；∴(212y x =-++，得顶点()P ' 连结P B '，P’B’，作P’H ⊥y 轴，垂足为H ，得P H '=，=2∵tan P H P BH BH∠='=' ∴60P BH ∠=',∴18060120P BB ∠=-=''.②∵2BB '=,2P B '=即BB P B '=',∴30BP B P B B ''''∠=∠=;∵线段P B ''以点B '为旋转中心顺时针旋转120，点P '落在点M 处; ∴90OB M ∠=',B M B P '=''∴//MB x '轴，23B M B P ''='=;设MNB ∆'在B M '边上的高为h ，得：632MNB B M h S '∆⋅'==，解得6h =； ∴设()7N a -，或()5N a ，分别代入221y x x =-++得 2721a a -=-++解得：4a =或2a =-∴()47N -，或()27N --，， 2521a a =-++方程无实数根舍去，∴综上所述：当63MNB S '∆=时，点N 的坐标为()47N -，或()27N --，.【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质，并根据题意作出图形进行求解.20．（1）223y x x =+-；（2）22AE EC +=（3）D 的坐标为1013,39⎛⎫- ⎪⎝⎭ 或811,39⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）把点()0,3C 代入抛物线表达式即可求出m ，即可得到抛物线的解析式；（2）连接BC ,过点A 作AF BC ⊥于点F ，交y 轴于点E ，当A E F 、、 三点共线时，22AE EC +最小值为AF ，再根据由三角形面积公式得：11•·22BC AF AB OC =，即可求出22AF = ；（3） 过D 点作x 轴的垂线，交x 轴于点H ，设点D 的坐标为()2,23m m m +- ，利用tan tan DAB ACO ∠=∠即BH AOAH CO=，代入即可求出m 的值，再求出D 点坐标 【详解】解：（1）把点()0,3C 代入抛物线表达式得：9630m m ++= ， 解得：1m =-故该抛物线的解析式为：223y x x =+-（2）连接BC ,过点A 作AF BC ⊥于点F ，交y 轴于点E由223y x x =+-，得：()3,0B - ，()0,3C -OB OC ∴= ,即45ABC ∠=，4,32AB BC ∴==由三角形面积公式得：11•·22BC AF AB OC = 即：11324322AF ⨯=⨯⨯ ，解得：22AF =在Rt CEF ∆中，2EF =，2AE AE EF AF ∴=+=∴当A E F 、、 三点共线时，2AE EC +最小值为22AF =2222AE EC ∴+= （3）过D 点作x 轴的垂线，交x 轴于点H ，设点D 的坐标为()2,23m m m +-DAB ACO ∠=∠ tan tan DAB ACO ∴∠=∠，即BH AOAH CO=223113m m m +-∴=-或223113m m m --+=-解得：103m =-或1（舍去1m =），或1m =或83- （舍去1m =） 过点D 的坐标为1013,39⎛⎫- ⎪⎝⎭ 或811,39⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知三角函数的定义与性质及最值的求法. 21．（1）5；（2）8；（3）21329S (x 224=--+，92，见解析. 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得AB ＝AD ＝4，∠A ＝90°，∠BDA ＝45°＝∠DBA ，由平行线性质可得∠DFE ＝∠A ＝90°，∠DEF ＝∠DBA ＝∠EDF ＝45°，可得DF ＝1，AF ＝3，由勾股定理可求BF 的长；（2）由题意可得DF ＝EF ＝FH ＝2，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠BAE ＝∠FHE ＝∠BHA ，可得AB ＝BH ，由勾股定理可求AB 的长；（3）由三角形面积公式可求S △BEF ＝12EF×AF ＝12x （﹣x ）＝219224x ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭由二次函数性质可得x ＝2时，S 取得最大值，即点E 是BD 中点，由旋转的性质和直角三角形的性质可证四边形JCEN 是矩形，可证CJ ⊥CE ． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝4，∠A ＝90°，∠BDA ＝45°＝∠DBA ， ∵EF ∥AB∴∠DFE ＝∠A ＝90°，∠DEF ＝∠DBA ＝∠EDF ＝45° ∴DF ＝EF∴DE DF ∴DF ＝1∴AF ＝AD ﹣DF ＝3∴BF 5（2）∵DF ＝EF ，DF ＝HF ＝2， ∴EF ＝2＝FH ∴∠FEH ＝∠FHE ∵EF ∥AB∴∠FEH ＝∠BAE ， ∴∠BAE ＝∠FHE ＝∠BHA ∴AB ＝BH∵在Rt △ABE 中，BF 2＝AF 2+AB 2， ∴（AB+2）2＝（AB ﹣2）2+AB 2， ∴AB ＝8，AB ＝0（不合题意舍去） ∴AB ＝8（3）如图，过点J 作JN ⊥BD 于，∵S△BEF＝12EF×AF＝12x（2x）＝2132924x⎛-+⎝⎭∴当x＝322时，S△BEF最大值为94，∵x＝322，∴EF＝32 2∵EF∥AB∴12 EF DE DFAB BD AD===∴BD＝2DE，AD＝2DF∵CB＝CD，BD＝2DE，∴CE⊥BD，BD＝2CE，∵旋转∴JD＝BD，∠JDB＝30°，又∵JN⊥BD∴JD＝2JN，∴BD＝2JN，∴JN＝CE，∵JN⊥BD，CE⊥BD∴JN∥CE，且CE＝JN∴四边形JCEN是平行四边形，∵JN⊥BD∴四边形JCEN是矩形∴CJ⊥CE【点睛】本题是四边形综合题，正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，旋转的性质，二次函数的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．22．（1）A (1,0)、B (3,0)；（2）①2MO NH +=，②不会变化，tan FGO ∠=4. 【解析】 【分析】（1）令y =kx 2-4kx +3k=0，求得x 1=1,x 2=3,故A （1,0）B （3,0）（2）①过点 E 作 EK ⊥ x 轴于点k ，设 E (m , m 2-4m +3)，易证∆BKE ∽ ∆BHN , ∆AKE∽ ∆AOM ，则K KB KE KE A HB HN MO AO ，==，故23431m m m HN --+-=,24311m m m MO -+--=，求出NH = m -1, MO = -m + 3得()132MO NH m m +=-+-+=；②过点 E 作 EN ⊥ x 轴于点N ，作FH ⊥ x 轴于点H 过点 E作 EM ⊥ FH , 交 FH 的延长线于点 M ，设 F (n ,2n 2 - 8n + 6), E (a ,2a 2 - 8a + 6)当n > 3 时，不能满足∠FBA = ∠EBA ,当 n < 1，由∆FHB ∽ ∆ENB ，则N FH HBE NB=， 故2228632863n n w n a a a-+-=-+--，得：n + a = 2()22286286tan tan n n a a FM FGO FEM EM a n-+--+∠=∠==- ， = 8 - 2(n + a) = 4为定值，即tan ∠FGO 的值不变. 【详解】解：（1）令y =kx 2-4kx +3k=0，求得x 1=1,x 2=3,故A （1,0）B （3,0） （2）① y = x 2-4x +3 ，如图 1 过点 E 作 EK ⊥ x 轴于点k ，∵KE ∥HN ∥x 轴，∴∆BKE ∽ ∆BHN , ∆AKE ∽ ∆AOM ，设 E (m , m 2-4m +3)K KB KE KE A HB HN MO AO ，==，即：23431m m m HN --+-=,24311m m m MO -+--= 得： NH = m -1, MO = -m + 3()132MO NH m m ∴+=-+-+=②不会变化。
初中数学二次函数的图象与性质基础练习题A1(附答案详解)
初中数学二次函数的图象与性质基础练习题1（附答案详解）1．将二次函数2y x 的图像向上平移1个单位，则所得的二次函数表达式为（ ） A ．2(1)y x =- B ．21y x =+ C ．2(1)y x =+ D ．21y x =-2．如图，二次函数243y x x =-+的图象交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，则ABC的面积为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．13．在平面直角坐标系中，二次函数y=2（x ﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）A ．（1，3）B ．（1，﹣3）C ．（﹣1，3）D ．（﹣1，﹣3） 4．将二次函数y=x 2-4x+2化为顶点式，正确的是（ ）A ．2y (x 2)2=--B ．2y (x 2)3=-+C ．2y (x 2)2=+-D ．2y (x 2)2=-+5．二次函数2y 3x 4=-的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ） A ．抛物线开口向下B ．抛物线经过点()3,4C ．抛物线的对称轴是直线x 1=D ．抛物线与x 轴有两个交点6．抛物线y ＝－2x 2经过平移后得到抛物线y ＝－2x 2－4x －5，平移方法是（ ）A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位7．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝c x的大致图象是( ) A ． B ． C ． D ．8．若点()111,P y -，()222,P y -，()331,P y ，都在函数223y x x =-+的图象上，则（ ）A ．213y y y << B ．123y y y << C ．213y y y >>D ．123y y y >>9．已知二次函数y=x 2﹣bx+2（﹣2≤b≤2），当b 从﹣2逐渐增加到2的过程中，它所对应的抛物线的位置也随之变动，下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（ ） A ．先往左上方移动，再往左下方移动B ．先往左下方移动，再往左上方移动C ．先往右上方移动，再往右下方移动D ．先往右下方移动，再往右上方移动10．如图，抛物线与x 轴交于点()1,0-和()3,0，与y 轴交于点()0,3-则此抛物线对此函数的表达式为（ ）A ．223y x x =++B ．223y x x =--C ．223y x x =-+D ．223y x x =+- 11．在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x 2-4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是__________。
人教版九年级数学上册《第22章二次函数实际应用》测试题(附答案)
人教版九年级数学上册《第22章二次函数实际应用》测试题(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________主题分类：主题一：拱桥问题主题二：折叠立体图形问题主题三：围墙问题主题四:投球问题主题五：销售利润问题主题一：拱桥问题1. 三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时单个小孔的水面宽度为4米若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）3米 2米 13 D．7米主题二：折叠立体图形问题2. 在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()()3,0,1,0A B -两点，与y 轴交于点()0,3C ，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P 在直线AC 上方的抛物线上时连接BP 交AC 于点D ．如图1．当PD DB的值最大时求点P 的坐标及PD DB 的最大值； (3)过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点M ，连接PC ，将PCM △沿直线PC 翻折，当点M 的对应点'M 恰好落在y 轴上时请直接写出此时点M 的坐标．主题三：围墙问题3. 如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD ，为美化环境，用总长为100m 的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE ＝3BE ；（2）在（1）的条件下，设BC 的长度为xm ，矩形区域ABCD 的面积为ym 2，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．4. 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD 和抛物线AED 构成，其中3m AB =，4m BC =取BC 中点O ，过点O 作线段BC 的垂直平分线OE 交抛物线AED 于点E 若以O 点为原点，BC 所在直线为x 轴，OE 为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：(1)如图，抛物线AED 的顶点()0,4E ，求抛物线的解析式；(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT ，SMNR 若0.75m FL NR ==，求两个正方形装置的间距GM 的长；(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A 点恰好照射到C 点，此时大棚截面的阴影为BK ，求BK 的长．主题四:投球问题5. 一次足球训练中，小明从球门正前方8m 的A 处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m 时球达到最高点，此时球离地面3m ．已知球门高OB 为2.44m ，现以O 为原点建立如图所示直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．(2)对本次训练进行分析若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O 正上方2.25m 处？ 6. 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m 长．嘉嘉在点(6,1)A 处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线21:(3)2C y a x =-+的一部分，淇淇恰在点(0)B c ，处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线221:188n C y x x c =-+++的一部分．(1)写出1C 的最高点坐标，并求a ，c 的值；(2)若嘉嘉在x 轴上方1m 的高度上，且到点A 水平距离不超过1m 的范围内可以接到沙包，求符合条件的n 的整数值．7. 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A ，C 在x 轴上，球网AB 与y 轴的水平距离3m OA =，2m CA =击球点P 在y 轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度()m y 与水平距离()m x 近似满足一次函数关系0.4 2.8y x =-+；若选择吊球，羽毛球的飞行高度()m y 与水平距离()m x 近似满足二次函数关系()21 3.2y a x =-+．(1)求点P 的坐标和a 的值．(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C 点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．8. 乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA 为28.75cm 的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）．测得如下数据：水平距离x/cm0105090130170230竖直高度y/cm28.7533454945330(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点(),x y，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；(2)①当乒乓球到达最高点时与球台之间的距离是__________cm，当乒乓球落在对面球台上时到起始点的水平距离是__________cm；①求满足条件的抛物线解析式；(3)技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图①．乒乓球台长OB 为274cm，球网高CD为15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度OA的值约为1.27cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时击球高度OA的值（乒乓球大小忽略不计）．专题五：销售利润问题9.某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．10. 在“乡村振兴”行动中，某村办企业以，两种农作物为原料开发了一种有机产品，原料的单价是原料单价的1.5倍若用900元收购原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；（2）设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过元（是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润． 11. 某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y （元/kg ）与时间x （天）之间的函数关系式为：0.2530(120)35(2040)x x y x +≤≤⎧=⎨<≤⎩且x 为整数，且日销量()kg m 与时间x （天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表： 时间x （天） 1 3 6 10 …日销量()kg m 142 138 132 124 …填空：（1）m 与x 的函数关系为___________；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg 商品就捐赠n 元利润（4n <）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大，求n 的取值范围．12. 渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润W 元与降价x 元之间的函数关系．当降价2元时工厂每天的利润为多少元？（2）当降价多少元时工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？ 13. 某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：进货批次 A 型水杯（个） B 型水杯（个） 总费用（元）一100 200 8000 二 200 300 13000（1）求A 、B 两种型号的水杯进价各是多少元？A B A B A B 100kg A 2kg B 4kg x x w w x a a（2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？14.红星公司销售一种成本为40元/件的产品若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）．（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当月销售单价是多少元/件时月销售利润最大，最大利润是多少万元？（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值．参考答案1.【答案】B【分析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式，将x=﹣10代入可求解．【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=3 2设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+3 2∵BC=10，∴点B（﹣5，0），∴0=a×（﹣5）2+32，∴a=-350∴大孔所在抛物线解析式为y=-350x 2+32，设点A（b，0），则设顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式为y=m（x﹣b）2 ∵EF=14，∴点E 的横坐标为-7，∴点E 坐标为（-7，-3625）， ∴-3625=m（x﹣b）2 ∴x 1615m 2615m -615m -615m-925 ∴顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式为y=-925（x﹣b）2 ∵大孔水面宽度为20米，∴当x=-10时y=-92，∴-92=-925（x﹣b）2，∴x 15222=-522+b 5225222（米），故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 2.【答案】(1)223y x x =--+；(2)点P 的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭；PD DB 的最大值为916；(3)点M 的坐标为：()32,2--- ()32,2-+ 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；（2）过点P 作PQ x ∥轴，交AC 于点Q ，求出直线AC 的解析式为3y x ，设点P 的坐标为()2,23t t t --+，则点()222,23Q t t t t ----+得出2223PQ t t t t t =---=--根据PQ x ∥轴得出PD PQ BD AB =根据21394216PD t BD ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，求出点P 的坐标和最大值即可； （3）证明MPC PCM ∠=∠得出PM CM =，设(),3M m m +，()2,23P m m m --+得出()2222332CM m m m =++-=，()()()222222223333PM m m m m m m m =--+--=--=+根据22PM CM =得出()22223m m m =+，求出0m =或32m =--或32m =-+根据当0m =时点P 、M 、C 、M '四点重合，不存在PCM △舍去，求出点M 的坐标为()32,2--- ()32,2-+．【详解】（1）解：把()()3,0,1,0A B -，()0,3C 代入2y ax bx c =++得：93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩①抛物线的解析式为223y x x =--+．（2）解：过点P 作PQ x ∥轴，交AC 于点Q ，如图所示：设直线AC 的解析式为y kx b =+，把()30A -,，()0,3C 代入得： 303k b b -+=⎧⎨=⎩解得：13k b =⎧⎨=⎩①直线AC 的解析式为3y x设点P 的坐标为()2,23t t t --+，则点()222,23Q t t t t ----+ ①点P 在直线AC 上方的抛物线上①2223PQ t t t t t =---=--①PQ x ∥轴①~PQD BAD①PD PQ BD AB= ①()134AB =--=①234PD t t BD --=()2134t t =-+ 21394216t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ ①当32t =-时PD BD有最大值916 此时点P 的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． （3）解：根据折叠可知PM PM '= CM CM '= PCM PCM '∠=∠ ①PM x ⊥轴①PM CM '∥①MPC PCM '∠=∠①MPC PCM ∠=∠①PM CM =设(),3M m m + ()2,23P m m m --+ ()2222332CM m m m =++-=()()()222222223333PM m m m m m m m =--+--=--=+ ①PM CM =①22PM CM =①()22223m m m =+整理得：()22320m m ⎡⎤+-=⎣⎦ ①20m =或()2320m +-=解得：0m =或32m =--或32m =-+①当0m =时点P 、M 、C 、M '四点重合，不存在PCM △ ①0m ≠①点M 的坐标为()32,2--- ()32,2-+．【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，二次函数的综合应用，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，平行线的性质，两点间距离公式，解题的关键是数形结合，作出辅助线或画出图形． 3.【答案】（1）见解析；（2），见解析． 【分析】（1）由题意易得AM ＝2ME，故可直接得证；（2）由（1）及题意得2AB +GH +3BC ＝100，设BC 的长度为xm ，矩形区域ABCD 的面积为ym 2即可得出函数关系式．【详解】解：（1）证明：∵矩形MEFN 与矩形EBCF 面积相等，∴ME ＝BE ，AM ＝GH ． ∵四块矩形花圃的面积相等，即S 矩形AMDND ＝2S 矩形MEFN ，∴AM ＝2ME ，∴AE ＝3BE ； （2）∵篱笆总长为100m ，∴2AB +GH +3BC ＝100，即，∴ 设BC 的长度为xm ，矩形区域ABCD 的面积为ym 2，则 ∵，∴解得 ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，关键是根据题意得到线段的等量关系，然后列出函数关系式即可．4.【答案】(1)2144y x =-+；(2)0.5m ；(3)97m 12【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为24y ax =+，求出A 点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；（2）求出 3.75y =时对应的自变量的值，得到FN 的长，再减去两个正方形的边长即可得解；（3）求出直线AC 的解析式，进而设出过点K 的光线解析式为34y x m =-+，利用光线与抛物线相切，求出2610040053⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭y x x x 1231002AB AB BC ++=6405AB BC =-266404055y BC AB x x x x ⎛⎫=⋅=-=-+ ⎪⎝⎭6405AB BC =-402035EB x =-＞1003x ＜2610040053⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭y x x xm 的值，进而求出K 点坐标，即可得出BK 的长．【详解】（1）解：①抛物线AED 的顶点()0,4E 设抛物线的解析式为24y ax =+①四边形ABCD 为矩形，OE 为BC 的中垂线 ①4m AD BC == 2m OB = ①3m AB =①点()2,3A -，代入24y ax =+，得：344a =+①14a =-①抛物线的解析式为2144y x =-+；（2）①四边形LFGT ，四边形SMNR 均为正方形0.75m FL NR == ①0.75m MG FN FL NR ====延长LF 交BC 于点H ，延长RN 交BC 于点J ，则四边形FHJN ，四边形ABFH 均为矩形①3m,FH AB FN HJ === ① 3.75m HL HF FL =+=①2144y x =-+，当 3.75y =时213.7544x =-+解得：1x =±①()1,0H - ()1,0J ①2m FN HJ ==①0.5m GM FN FG MN =--=； （3）①4m BC =，OE 垂直平分BC ①2m OB OC == ①()()2,0,2,0B C -设直线AC 的解析式为y kx b =+ 则：2023k b k b +=⎧⎨-+=⎩解得：3432k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①3342y x =-+①太阳光为平行光设过点K 平行于AC 的光线的解析式为34y x m =-+ 由题意，得：34y x m =-+与抛物线相切联立214434y x y x m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，整理得：234160x x m -+-=则：()()2344160m ∆=---=解得：7316m =； ①373416y x =-+，当0y =时7312x =①73,012K ⎛⎫ ⎪⎝⎭①()2,0B - ①73972m 1212BK =+=． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． 5.【答案】(1)()212312y x =--+，球不能射进球门；(2)当时他应该带球向正后方移动1米射门 【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A 点坐标求出a 的值即可得到函数表达式，再把0x =代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点()0,2.25代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为()2,3 设抛物线解析式为()223y a x =-+ 把点()8,0A 代入，得3630a +=12①抛物线的函数表达式为()212312y x =--+ 当0x =时82.443y => ①球不能射进球门；（2）设小明带球向正后方移动m 米，则移动后的抛物线为()212312y x m =---+ 把点()0,2.25代入得()212.252312m =---+ 解得15m =-（舍去），21m =①当时他应该带球向正后方移动1米射门．【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键．6.【答案】(1)1C 的最高点坐标为()32，，19a =-和1c =；(2)符合条件的n 的整数值为4和5 【分析】（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点(6,1)A 在抛物线上，利用待定系数法即可求得a 的值；令0x =即可求得c 的值；（2）求得点A 的坐标范围为()()5171，，，求得n 的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：①抛物线21:(3)2C y a x =-+①1C 的最高点坐标为()32，①点(6,1)A 在抛物线21:(3)2C y a x =-+上①21(63)2a =-+解得：19a =-①抛物线1C 的解析式为21(3)29y x =--+，令0x =，则21(03)219c =--+=；（2）解：①到点A 水平距离不超过1m 的范围内可以接到沙包①点A 的坐标范围为()()5171，，当经过()51，时211551188n=-⨯+⨯++ 解得175n =； 当经过()71，时211771188n=-⨯+⨯++7①174157n ≤≤ ①符合条件的n 的整数值为4和5．【点睛】本题考查了二次函数的应用，联系实际，读懂题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．7.【答案】(1)()0,2.8P 0.4a =-；(2)选择吊球，使球的落地点到C 点的距离更近【分析】（1）在一次函数上0.4 2.8y x =-+，令0x =，可求得()0,2.8P ，再代入()21 3.2y a x =-+即可求得a 的值；（2）由题意可知5m OC =，令0y =，分别求得0.4 2.80x -+=，()20.41 3.20x --+=即可求得落地点到O 点的距离，即可判断谁更近．【详解】（1）解：在一次函数0.4 2.8y x =-+ 令0x =时 2.8y = ①()0,2.8P将()0,2.8P 代入()21 3.2y a x =-+中，可得： 3.2 2.8a +=解得：0.4a =-； （2）①3m OA = 2m CA = ①5m OC =选择扣球，则令0y =，即：0.4 2.80x -+=解得：7x = 即：落地点距离点O 距离为7m ①落地点到C 点的距离为752m -=选择吊球，则令0y =，即：()20.41 3.20x --+=解得：221x =±+（负值舍去） 即：落地点距离点O 距离为()221m +①落地点到C 点的距离为()()5221422m --=- ①4222-<①选择吊球，使球的落地点到C 点的距离更近．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键．8.【答案】(1)见解析；(2)①49 230；①()20.00259049y x =--+；(3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B 处时击球高度OA 的值为64.39cm【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解；（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点根据表格数据，可得当0y =时230=x ； ①待定系数法求解析式即可求解；（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为()20.0025904928.75y x h =--++-根据题意当274x =时0y =，代入进行计算即可求解．【详解】（1）解：如图所示（2）①观察表格数据，可知当50x =和130x =时函数值相等，则对称轴为直线90x =，顶点坐标为()90,49又抛物线开口向下，可得最高点时与球台之间的距离是49cm 当0y =时230=x①乒乓球落在对面球台上时到起始点的水平距离是230cm ； 故答案为：49；230．①设抛物线解析式为()29049y a x =-+，将()230,0代入得()202309049a =-+解得：0.0025a =-①抛物线解析式为()20.00259049y x =--+；（3）①当28.75OA =时抛物线的解析式为()20.00259049y x =--+设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B 处时击球高度OA 的值为h ，则平移距离为28.75h -()cm ①平移后的抛物线的解析式为()20.0025904928.75y x h =--++-依题意，当274x =时0y =即()20.0025274904928.750h --++-= 解得：64.39h =．答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B 处时击球高度OA 的值为64.39cm ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 9.【答案】1264【分析】根据题意，总利润=A 快餐的总利润＋B 快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润×对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可．【详解】解：设A 种快餐的总利润为1W ，B 种快餐的总利润为2W ，两种快餐的总利润为W ，设A 快餐的份数为x 份，则B 种快餐的份数为()120x -份． 据题意：2140112122032222x x W x x x x -⎛⎫⎛⎫=-⨯=-+⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22801201=812072240022x W x x x --⎡⎤+-=-+-⎢⎥⎣⎦∴()22121042400=521264W W W x x x =+=-+---+∵10-< ∴当52x =的时候，W 取到最大值1264，故最大利润为1264元故答案为：1264【点睛】本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点．10.【答案】（1）每盒产品的成本为30元．（2）；（3）当时每天的最大利润为16000元；当时每天的最大利润为元．【分析】（1）设原料单价为元，则原料单价为元．然后再根据“用900元收购原料会比用900元收购原料少”列分式方程求解即可；（2）直接根据“总利润=单件利润×销售数量”列出解析式即可；（3）先确定的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：（1）设原料单价为元，则原料单价为元． 依题意，得．解得，，．经检验，是原方程的根． 210140033000=-+-w x x 70a ≥6070a <<()210140033000a a -+-B m A 1.5m A B 100kg 210140033000=-+-w x x B m A 1.5m 9009001001.5m m-=3m = 1.5 4.5m =3m =∴每盒产品的成本为：（元）．答：每盒产品的成本为30元．（2）；（3）∵抛物线的对称轴为=70，开口向下∴当时a =70时有最大利润，此时w=16000，即每天的最大利润为16000元； 当时每天的最大利润为元．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键．11.【答案】（1）2144m x =-+；（2）第16天销售利润最大，最大为1568元；（3）02n <≤ 【分析】（1）设m kx b =+，将()1142,，()3138,代入，利用待定系数法即可求解； （2）分别写出当120x ≤≤时与当2040x <≤时的销售利润表达式，利用二次函数和一次函数的性质即可求解；（3）写出在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润表达式根据二次函数的性质可得对称轴16220n +≤，求解即可．【详解】解：（1）设m kx b =+，将()1142,，()3138,代入可得： 1421383k b k b =+⎧⎨=+⎩解得2144k b =-⎧⎨=⎩，∴2144m x =-+； （2）当120x ≤≤时销售利润()()()212021440.2530201615682W my m x x x =-=-++-=--+ 当16x =时销售利润最大为1568元；当2040x <≤时销售利润20302160W my m x =-=-+当21x =时销售利润最大为1530元；综上所述，第16天销售利润最大，最大为1568元； （3）在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润为：()()()21'200.2510214416214401442W my m nm x n x x n x n =--=+--+=-+++-∵120x ≤≤时'W 随x 的增大而增大，∴对称轴16220n +≤解得02n <≤．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的实际应用，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键． 12.【答案】（1）2504009000W x x =-++，9600；（2）降价4元，最大利润为9800元；（3）43 【分析】（1）若降价x 元，则每天销量可增加50x 千克根据利润公式求解并整理即可得到解析式，然后代入2x =求出对应函数值即可；（2）将（1）中的解析式整理为顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）令9750W =可解出对应的x 的值，然后根据“让利于民”的原则选择合适的x 的值即可．4.5243930⨯+⨯+=()()305001060w x x =---⎡⎤⎣⎦210140033000x x =-+-210140033000=-+-w x x w 70a ≥6070a <<()210140033000a a -+-【详解】（1）若降价x 元，则每天销量可增加50x 千克∴()()500504830W x x =+--，整理得：2504009000W x x =-++ 当2x =时2502400290009600W =-⨯+⨯+=，∴每天的利润为9600元； （2）()225040090005049800W x x x =-++=--+ ∵500-<，∴当4x =时W 取得最大值，最大值为9800 ∴降价4元，利润最大，最大利润为9800元；（3）令9750W =，得：()297505049800x =--+解得：15=x 23x = ∵要让利于民，∴5x =，48543-=（元）∴定价为43元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，弄清数量关系，准确求出函数解析式并熟练掌握二次函数的性质是解题关键．13.【答案】（1）A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元；（2）超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元．【分析】（1）主要运用二元一次方程组，设A 型号水杯为x 元，B 型号水杯为y 元根据表格即可得出方程组，解出二元一次方程组即可得A 、B 型号水杯的单价；（2）主要运用二次函数，由题意可设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w，每个水杯的利润为()4430z --元；每降价1元，多售出5个，可得售出的数量为()205z +个根据：利润=（售价-进价）×数量，可确定函数关系式，依据二次函数的基本性质，开口向下，在对称轴处取得最大值，即可得出答案；（3）根据（1）A 型号水杯为20元，B 型号水杯为30元．设10000元购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，可列出方程组，利用代入消元法化简得到利润W 的函数关系式，由于利润不变，所以令未知项的系数为0，即可求出b ，W ．【详解】（1）解：设A 型号水杯进价为x 元，B 型号水杯进价为y 元 根据题意可得：100200800020030013000x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：2030x y =⎧⎨=⎩∴A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元．（2）设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w 根据题意可得：()()4430205w z z =--+化简得：2550280w z z =-++，当()505225b z a =-=-=⨯-时255505280405max w =-⨯+⨯+= ∴超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元． （3）设购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元根据题意可得：()203010000109m n W b m n +=⎧⎨=-+⎩①②将①代入②可得：()100002010930mW b m -=-+⨯化简得：()()106300043000W b m b m =--+=-+ 使得A ，B 两种杯子全部售出后，捐款后所得利润不变 则40b -=，得4b =，当4b =时3000W =∴A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元．【点睛】题目主要考察二元一次方程、一元二次函数的以及一次函数的应用，难点是对题意的理解及对函数和方程的综合运用． 14.【答案】（1）5(4050)0.110(50100)x y x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩；（2）当月销售单价是70元/件时月销售利润最大，最大利润是90万元；（3）4．【分析】（1）分4050x ≤≤和50x >两种情况根据“月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件”即可得函数关系式，再根据0y >求出x 的取值范围；（2）在（1）的基础上根据“月利润=（月销售单价-成本价）⨯月销售量”建立函数关系式，分别利用一次函数和二次函数的性质求解即可得；（3）设该产品的捐款当月的月销售利润为Q 万元，先根据捐款当月的月销售单价、月销售最大利润可得5070x <≤，再根据“月利润=（月销售单价-成本价a -）⨯月销售量”建立函数关系式，然后利用二次函数的性质即可得．【详解】解：（1）由题意，当4050x ≤≤时5y = 当50x >时50.1(50)0.110y x x =--=-+0y ≥，0.1100x ∴-+≥解得100x ≤，综上，5(4050)0.110(50100)x y x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩；（2）设该产品的月销售利润为w 万元 ①当4050x ≤≤时5(40)5200w x x =-=-第 21 页 共 21页 由一次函数的性质可知，在4050x ≤≤内，w 随x 的增大而增大则当50x =时w 取得最大值，最大值为55020050⨯-=；②当50100x <≤时2(40)(0.110)0.1(70)90w x x x =--+=--+由二次函数的性质可知，当70x =时w 取得最大值，最大值为90因为9050>所以当月销售单价是70元/件时月销售利润最大，最大利润是90万元；（3）捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元（大于50万元） 5070x ∴<≤，设该产品捐款当月的月销售利润为Q 万元由题意得：，整理得： ，在内，随的增大而增大 则当时取得最大值，最大值为因此有解得．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键． (40)(0.110)Q x a x =---+221400.1()390240a a Q x a +=--+-+140702a +>∴5070x <≤Q x 70x =Q (7040)(0.17010)903a a ---⨯+=-90378a -=4a =。
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题6(附答案)
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题6（附答案）1．发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 公尺，且时间与高度关系为y=ax 2+bx ，若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的？( ) A ．第8秒B ．第10秒C ．第12秒D ．第15秒2．定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一，某位同学投出篮球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，篮球飞行的竖直高度y (单位：m )与水平距离x (单位：m )近似满足函数关系2y ax bx c =++(a≠0)．下表记录了该同学将篮球投出后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为（ ） x (单位：m) 024y (单位：m) 2.253.453.05 A ．1.5mB ．2mC ．2.5mD ．3m3．向空中发射一枚炮弹，第x 秒时的高度为y 米，且高度与时间的关系为2(0)y ax bx c a =++≠，若此炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ） A ．第8秒B ．第10秒C ．第12秒D ．第15秒4．在学校运动会上，一位运动员掷铅球，铅球的高()ym 与水平距离()x m 之间的函数关系式为20.2 1.6 1.8y x x =-++，则此运动员的成绩是（ ） A ．10mB ．4mC ．5mD ．9m5．一小球被抛出后，距离地面的高度h (米)和飞行时间t (秒)满足下面函数关系式：h ＝－5(t －1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( ) A ．1米B ．5米C ．6米D ．7米6．如图，铅球的出手点C 距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球运行路线的解析式为（ ）A ．h=﹣316t 2B ．y=﹣316t 2+t C ．h=﹣18t 2+t+1 D ．h=-13t 2+2t+1 7．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现某次铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=-112(x-4)2+3，由此可知小明这次的推铅球成绩是（ ）A ．3mB ．4mC ．8mD ．10m8．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度y(米)与小球运动的时间x(秒)之间的关系式为()2y ax bx c a 0.=++≠若小球在第7秒与第14秒时的高度相同，则在下列时间中小球所在高度最高的是( ) A ．第8秒B ．第10秒C ．第12秒D ．第15秒9．如图所示的是跳水运动员10m 跳台跳水的运动轨迹，运动员从10m 高A 处的跳台上跳出，运动轨迹成抛物线状（抛物线所在平面与跳台墙面垂直）.若运动员的最高点M 离墙1m ，离水面403m ，则运动员落水点B 离墙的距离OB 是（ ）A ．2mB ．3mC ．4mD ．5m10．为了响应“足球进校国”的目标，兴义市某学校开展了多场足球比赛在某场比赛中，一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h （m ）可以用公式h ＝﹣5t 2+v 0t 表示，其中t （s ）表示足球被踢出后经过的时间，v 0（m /s ）是足球被踢出时的速度，如果要求足球的最大高度达到20m ，那么足球被踢出时的速度应该达到（ ） A ．5m /sB ．10m /sC ．20m /sD ．40m /s11．黄冈中学是百年名校，百年校庆上的焰火晚会令很多人记忆犹新．有一种焰火升高高度为h （m ）与飞行时间t （s ）的关系式是252012h t t =-++，若这种焰火在点燃升空后到最高处引爆，则从点火到引爆所需时间为__________s ． 12．小明推铅球，铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为y=﹣21(4)12x -+3，则小明推铅球的成绩是 m ．13．一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++，则铅球推出的距离是______．此时铅球行进高度是______．14．对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，有这样的关系式：h ＝vt ﹣12gt 2，其中h 是上升高度，v 是初速，g 是重力加速度（为方便起见，本题目中g 取10m /s 2），t 是抛出后所经历的时间．如果将物体以v ＝25m /s 的速度向上抛，当t ＝_____s 时，物体上升到距离最高点11.25m 处？15．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （米）与小球的运动时间t （秒）之间的关系式是()230506h t tt =-≤≤，若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球.则第二个小球抛出______秒时，两个小球在空中的高度相同.16．一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线，点(4，3)为该抛物线的顶点，则该抛物线所对应的函数式为_____．17．足球从地面踢出后，在空中飞行时离地面的高度()h m 与运动时间()t s 的关系可近似地表示为29.8h t t =-+，则该足球在空中飞行的时间为__________s ．18．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （米）与小球运动时间t （秒）的关系式是h ＝30t ﹣5t 2，小球运动中的最大高度是_____米． 19．校运会上，一名男生推铅球，出手点A 距地面53m ，出手后的运动路线是抛物线，当铅球运行的水平距离是4m 时，达到最大高度3m ，那么该名男生推铅球的成绩是_____m ．20．烟花厂为国庆70周年庆祝晚会特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高h （m ）与飞行时间t （s ）的关系式是252012h t t =++，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为________.21．在一场足球比赛中，一球员从球门正前方10米处起脚射门，当球飞行的水平距离为6米时达到最高点，此时球高为3米．（1）如图建立直角坐标系，当球飞行的路线为一抛物线时，求此抛物线的解析式． （2）已知球门高为2.44米，问此球能否射中球门（不计其它情况）．22．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA 喷出，OA 长为1.5米.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B 到O 的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y （米）与水平距离x （米）之间近似满足函数关系20)y ax x c a =++≠（（1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）求水流喷出的最大高度．23．在某场足球比赛中，球员甲在球门正前方点O 处起脚射门，在不受阻挡的情况下，足球沿如图所示的抛物线飞向球门中心线，当足球飞行的水平距离为2 m 时，高度为5m 3，落地点A 距O 点12 m ．已知点O 距球门9 m ，球门的横梁高为2.44 m ． （1）飞行的足球能否射入球门？通过计算说明理由；（2）若守门员乙站在球门正前方2 m 处，他跳起时能摸到的最大高度为2.52 m ，他能阻止此次射门吗？并写明理由．24．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：m )与小球的运动时间t (单位：s )之间的关系式是2305h t t =-(06t ≤≤)．求小球运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？25．如图，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4m 处跳起投篮，球运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足解析式2y ax x c =++，当球运行的水平距离为1．5m 时，球离地面高度为3．3m ，球在空中达到最大高度后，准确落入篮圈内．已知篮圈中心离地面距离为3．05m ．（1）当球运行的水平距离为多少时，达到最大高度？最大高度为多少？（2）若该运动员身高1．8m ，这次跳投时，球在他头顶上方0．25m 处出手，问球出手时，他跳离地面多高？26．如图所示，以40/m s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有关系式.2205h t t =-(0)t ≥解答以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m ?如能，需要飞行多少时间？ （2）球飞行到最高点时的高度是多少m ？27．一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，如图．当球离抛出地的水平距离为30m 时，达到最大高度10m ．（1）问：球被抛出多远？并求出该抛物线的解析式． （2）当球的高度为509m 时，球离抛出地的水平距离是多少？28．某次足球比赛，队员甲在前场给队友乙掷界外球．如图所示：已知两人相距8米，足球出手时的高度为2.4米，运行的路线是抛物线，当足球运行的水平距离为2米时，足球达到最大高度4米．请你根据图中所建坐标系，求出抛物线的表达式．29．小明将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度y(m)与它的飞行时间x(s)满足二次函数关系，y 与x 的几组对应值如下表所示：x(s) 0 0.5 1 1.5 2 …y(m) 0 8.75 15 18.75 20 …(Ⅰ)求y关于x的函数解析式(不要求写x的取值范围)；(Ⅱ)问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由.30．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．t（s）0 0.5 1 1.5 2 …h（m）0 8.75 15 18.75 20 …（1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）；（2）求小球飞行3s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．参考答案1．B 【解析】 【分析】根据题意，x=7时与x=14时y 值相等，因此得出关于a 与b 的关系式，最后代入到2bx a=-中求出x 的值进一步判断即可. 【详解】 由题意得：当x=7时，y=49a +7b ， 当x=14时，y=196a +14b ， ∵高度相等， ∴49a +7b=196a +14b ， ∴b=-21a ，∵抛物线对称轴为：2b x a=-， 即：10.5x =，根据抛物线的对称性以及开口方向， ∴当10.5x =时，y 最大， ∵10与10.5相差最小， ∴四个选项中，第10秒最高， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 2．C 【解析】 【分析】用待定系数法可求二次函数的表达式，从而可得出答案. 【详解】将(0,2.25),(2,3.45),(4,3.05)代入2y ax bx c =++中得2.25423.45164 3.05c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得 2.250.21c a b =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴220.2 2.250.25( 2.5) 3.5y xx x =-++=--+∵0.250-< ∴当 2.5x =时，max 3.5y =故选C 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的最大值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键. 3．C 【解析】 【分析】根据二次函数图像的对称性，求出对称轴，即可得到答案. 【详解】解：根据题意，炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴为：61711.52x +==秒， ∵第12秒距离对称轴最近，∴上述时间中，第12秒时炮弹高度最高； 故选：C. 【点睛】本题考查了二次函数的性质和对称性，解题的关键是掌握二次函数的对称性进行解题. 4．D 【解析】 【分析】根据铅球落地时，高度y ＝0，把实际问题可理解为当y ＝0时，即20.2 1.6 1.80y x x =-++=，求x 的值即可．在实际问题中，注意负值舍去．【详解】解：由题意知，当y ＝0时，20.2 1.6 1.80x x -++=， 整理，得：2890x x --=， 解得：1219x x =-=，，由于负值不符合题意，故该运动员的成绩是9m ， 故答案选：D ． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，搞清楚铅球落地时，即y ＝0，测量运动员成绩，也就是求x 的值，借助二次函数解决实际问题． 5．C 【解析】试题解析：∵高度h 和飞行时间t 满足函数关系式：h=-5（t-1）2+6， ∴当t=1时，小球距离地面高度最大， ∴h=-5×（1-1）2+6=6米， 故选C ．考点：二次函数的应用． 6．C 【解析】 【分析】根据题意，抛物线的顶点坐标是(4,3)，把抛物线经过的点(0,1)，代入二次函数的顶点坐标式列出方程，解出系数则可. 【详解】根据题意，设二次函数的表达式为()243h a t =-+，抛物线过(0,1)，即代入二次函数解得18a =-，这个二次函数的表达式为()221143188h t t t =--+=-++，故C 选项是正确答案. 【点睛】本题考查了用待定系数法利用顶点坐标式求函数的方法，掌握方程的解法等知识是解决本题的关键. 7．D【解析】 【分析】求出铅球落地时的水平距离，将y=0代入函数关系式，求出x 的值即可得到成绩. 【详解】由题意得，当y=0时，21(4)3=012--+x ， 解得：110x =，22x =-（舍去） 故选D. 【点睛】本题考查二次函数的应用，理解当铅球高度为0时，x 的值即为铅球飞行的距离，是解决本题的关键. 8．B 【解析】 【分析】根据题意可以求得该函数的对称轴，然后根据二次函数具有对称性，离对称轴越近，对应的y 值越大，即可解答本题． 【详解】由题意可得：当x 7142+==10.5时，y 取得最大值． ∵二次函数具有对称性，离对称轴越近，对应的y 值越大，∴ t =10时，y 取得最大值． 故选B ． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 9．B 【解析】 【分析】由题意可得到抛物线的顶点坐标（1，403），因此可设抛物线顶点式()24013=-+y a x ，抛物线与y 轴的交点为A （0,10），代入顶点式可求出抛物线，再求出抛物线与x 轴的交点，即可求出OB.解：由题意，设抛物线解析式为()24013=-+y a x ，代入A （0,10）得， 10=()240013-+a ，解得10=3-a ， 所以抛物线解析式为()21040133=--+y x ， 当y=0时，()210401=033--+x ， 解得1=1-x ，2=3x .因为B 点在x 轴正半轴，故B 点坐标为（3,0）所以OB=3，选B.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，并运用抛物线的性质解决实际问题，根据题意设出合适的解析式是解题的关键.10．C【解析】【分析】因为-5＜0，抛物线开口向下，有最大值，根据顶点坐标公式表示函数的最大值，根据题目对最大值的要求，求待定系数v 0．【详解】解：h=-5t 2+v 0•t ，其对称轴为t=010V ， 当t=010V 时，h 最大=-5×（010V ）2+v 0•010V =20， 解得：v 0=20，v 0=-20（不合题意舍去），故选C ．【点睛】本题考查的是二次函数的应用，关键是利用当对称轴为t=-010V 时h 将取到最大值． 11．4根据关系式可知焰火的运行轨迹是一个开口向下的抛物线，已知焰火在升到最高时引爆，即到达抛物线的顶点时引爆，顶点横坐标就是从点火到引爆所需时间．则t=1205-⨯-=4s ， 故答案为4．12．10【解析】【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可．【详解】解：令函数式y=﹣21(4)12x -+3中，y=0， 0=﹣21(4)12x -+3， 解得x 1=10，x 2=﹣2（舍去）．即铅球推出的距离是10m ．故答案为10．考点：二次函数的应用．13．10m 0m【解析】【分析】铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值．【详解】 解：令函数式21251233y x x =-++中，y=0， 即212501233x x -++=， 解得x 1=10，x 2=−2(舍去)，即铅球推出的距离是10m,此时铅球行进高度是0m.故答案为10m;0m.．【点睛】本题考查了二次函数的应用以及函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意取函数值为0，进而得出自变量的值是解题关键．14．0.5或4.5 【解析】【分析】根据关系式：h＝vt﹣12gt2，列出一元二次方程求解．【详解】解：根据题意，可得出的方程为：11.25＝25t﹣5t2，∴t2﹣5t+2.25＝0．解得：t1＝0.5，t2＝4.5．故答案为：0.5或4.5．【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的实际应用，根据所给关系式直接代入数据，解方程即可，此题属于基础题目，易于掌握．15．2.5【解析】【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到第二个小球抛出多少秒时，两个小球在空中的高度相同．【详解】解：∵h=30t-5t2=-5（t-3）2+45，∴该函数的对称轴是直线t=3，∵抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球，两个小球在空中的高度相同，∴第二个小球抛出3-0.5=2.5秒时，两个小球在空中的高度相同，故答案为：2.5．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．16．y＝-132（x﹣4）2+3【解析】【分析】根据二次函数的顶点式即可求出抛物线的解析式．解：根据题意，得设抛物线对应的函数式为y ＝a （x ﹣4）2+3把点（0，52）代入得： 16a+3＝52解得a ＝﹣132， ∴抛物线对应的函数式为y ＝﹣132（x ﹣4）2+3 故答案为：y ＝﹣132（x ﹣4）2+3． 【点睛】 本题考查了用待定系数法利用顶点坐标式求函数的方法，同时还考查了方程的解法等知识，难度不大．17．9.8【解析】【分析】求当t=0时函数值，即与x 轴的两个交点，两个交点之间的距离即足球在空中飞行的时间.【详解】解：当t=0时，29.80t t -+=(9.8)0t t --=解得：120;9.8t t ==∴足球在空中的飞行时间为9.8s故答案为：9.8【点睛】本题考查二次函数的实际应用，利用数形结合思想球解题，求抛物线与x 轴的交点是本题的解题关键18．45【解析】首先理解题意，先把实际问题转化成数学问题后，知道解此题就是求出h ＝30t ﹣5t 2的顶点坐标即可．【详解】解：h ＝﹣5t 2+30t＝﹣5（t 2﹣6t +9）+45＝﹣5（t ﹣3）2+45，∵a ＝﹣5＜0，∴图象的开口向下，有最大值，当t ＝3时，h 最大值＝45．故答案为：45．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果．19．10【解析】【分析】把（0，53）代入y=a （x-4）2+3，求出a 的值即可，再求出抛物线与x 轴的交点即可解决问题；【详解】设二次函数的解析式为y=a （x-4）2+3，把（0，53）代入y=a （x-4）2+3， 解得，a=-112， 则二次函数的解析式为：y=-112（x-4）2+3=-22531312x x ++； 令y=0得到：-22531312x x ++=0， 解得，x 1=-2（舍去），x 2=10，则铅球推出的距离为10m ．故答案为10．【点睛】此题考查二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．20．4s【解析】【分析】把二次函数的一般式写成顶点式，找出顶点坐标，即可知道多长时间后得到最高点．【详解】 解：252012h t t =++ =52-（t-4）2+41， ∵52-＜0， ∴这个二次函数图象开口向下，∴当t=4时，升到最高点，∴从点火升空到引爆需要的时间为4s ．故答案为：4s ．【点睛】本题考查了二次函数解析式的相互转化，以及二次函数的性质，二次函数的表达式有三种形式，一般式，顶点式，交点式．要求最高（低）点，或者最大（小）值，需要先写成顶点式．烟花厂为国庆70周年庆祝晚会特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高h （m ）与飞行时间t （s ）的关系式是h=t2+20t+1252012h t t =++，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为21．（1）y ＝﹣112（x ﹣4）2+3；（2）能射中球门． 【解析】【分析】（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（4，3），利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）求出当x ＝0时，抛物线的函数值，与2.44米进行比较即可判断．【详解】（1）抛物线的顶点坐标是（4，3），设抛物线的解析式是：y ＝a （x ﹣4）2+3，把（10，0）代入得36a+3＝0，解得a ＝-112， 则抛物线是y ＝﹣112（x ﹣4）2+3； （2）当x ＝0时，y ＝-112×16+3＝3﹣43＝53＜2.44米． 故能射中球门．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是关键．22．（1）213.22y x x =-++（2）水流喷出的最大高度为2米 【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系,待定系数法解题,（2）求出顶点坐标即可.【详解】解：（1）由题意可得，抛物线经过（0，1.5）和（3，0）， 1.5930c a c =⎧⎨⨯++=⎩解得：a=-0.5,c=1.5,即函数表达式为y=21322x x -++. （2）解：221311+2.222y x x x =-++=--（） ∴当x=1时，y 取得最大值，此时y=2.答：水流喷出的最大高度为2米．本题考查了二次函数的解析式的求法,顶点坐标的应用,中等难度,建立平面直角坐标系是解题关键.23．（1）能射入球门．理由见解析；（2）不能阻止．理由见解析.【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为()20y ax bx c a =++≠，将()5212,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入求解析式，再将9x =代入即可判断；（2）根据“守门员乙站在球门正前方2m 处”可知此时x=7，将其代入解析式即可判断.【详解】解：（1）能射入球门.设抛物线解析式为()20y ax bx c a =++≠ 将()5212,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入求解可得： 抛物线解析式为2112y x x =-+ 当9x =时，2712y =- ∵27 2.4412<， ∴能射入球门．（2）不能阻止．∵守门员乙站在球门正前方2 m 处，∴7x =当7x =时，3512y =∵35 2.5212>， ∴不能阻止．【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，能够求出抛物线解析式是解题的关键. 24．小球运动3秒时，最大高度是45m ．【分析】首先将二次函数转换成顶点式，然后即可求出自变量和函数值的最大值.【详解】2305h t t =-25(3)45t =--+06t ≤≤∴当3t =时，h 最大45=．答：小球运动3秒时，小球最高，最大高度是45m ．【点睛】此题主要考查二次函数的性质，熟练掌握，即可解题.25．（1）当球运行的水平距离为2.5m 时，达到最大高度为3.5m ；（2）球出手时，他跳离地面0.2m ．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；（2）令0x =时，则 2.25y =，进而即可求出答案．【详解】（1）依题意得：抛物线2y ax x c =++经过点(1.5,3.3)和(4,3.05)，∴221.5 1.5 3.344 3.05a c a c ⎧⨯++=⎨⨯++=⎩，解得：0.22.25a c =-⎧⎨=⎩， ∴220.2 2.250.2( 2.5) 3.5y x x x =-++=--+，∴当球运行的水平距离为2.5m 时，达到最大高度为3.5m ；（2）∵0x =时， 2.25y =，∴2.250.25 1.80.2--=m ，即球出手时，他跳离地面0.2m ．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．26．（1）能，1或3；（2）20m【解析】【分析】（1）当h=15米时，15=20t-5t 2，解方程即可解答；（2）求出当2205h t t =-的最大值即可.【详解】解；（1）解方程：215205t t =-2430t t -+=，解得：121,3t t ==，需要飞行1s 或3s ；（2）222055(t 2)20h t t =-=--+，当2t =时，h 取最大值20，∴球飞行的最大高度是20m .【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题的关键． 27．（1）球被抛出60m ，该抛物线的解析式为y ＝﹣190x 2+23x ；（2）球离抛出地的水平距离是10m 或50m ．【解析】【分析】（1）根据已知条件设抛物线顶点式解析式即可求解；（2）根据（1）中求得的解析式，把球的高度为509m 代入，即可求出球离抛出地的水平距离．【详解】解：（1）根据题意，得设抛物线的解析式为2(30)10y a x =-+，把(0,0)代入得190a =-．所以抛物线解析式为22112(30)1090903y x x x =--+=+． 当0y =时，10x =，260x =．或者：因为抛物线对称轴为30x =，所以抛物线与x 轴的交点为(0,0)，(60,0)答：球被抛出60m ．该抛物线的解析式为212903y x x =-+． （2）当509y =时，2501(30)10990x =--+，解得150x =，210x =． 答：球离抛出地的水平距离是10m 或50m ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，要恰当地把实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决问题．28．y = -0.4x 2+4【解析】【分析】根据题意设抛物线的表达式为y=ax 2+4 (0a ≠)，代入（-2,2.4），即可求出a ．【详解】解：设y=ax 2+4 (0a ≠)∵ 图象经过（-2,2.4）∴ 4a+4=2.4a= -0.4∴ 表达式为y= -0.4x 2+4【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型.29．(Ⅰ) y ＝﹣5x 2+20x ；(Ⅱ)小球的飞行高度不能达到22m ，理由见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝ax 2+bx(a≠0)，然后再根据表格代入x ＝1时，y ＝15；x ＝2时，y ＝20可得关于a 、b 的方程组，再解即可得到a 、b 的值，进而可得函数解析式； (Ⅱ)把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案.【详解】(Ⅰ)∵x＝0时，y＝0，∴设y与x之间的函数关系式为y＝ax2+bx(a≠0)，∵x＝1时，y＝15；x＝2时，y＝20，∴15 4220 a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得520ab=-⎧⎨=⎩，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣5x2+20x；(Ⅱ)由(Ⅰ)得：y＝﹣5x2+20x＝﹣5(x﹣2)2+20，∴小球飞行的最大高度为20m，∵22＞20，∴小球的飞行高度不能达到22m.【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握相关方法是解题关键.30．（1）h＝﹣5t2+20t；（2）小球飞行3s时的高度为15米；（3）小球的飞行高度不能达到22m．【解析】【分析】（1）设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），然后再根据表格代入t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20可得关于a、b的方程组，再解即可得到a、b的值，进而可得函数解析式；（2）根据函数解析式，代入t＝3可得h的值；（3）把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案．【详解】解：（1）∵t＝0时，h＝0，∴设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），∵t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20，∴a15{4220ba b+=+=，解得5 {20ab=-=，∴h与t之间的函数关系式为h＝﹣5t2+20t；（2）小球飞行3秒时，t＝3（s），此时h＝﹣5×32+20×3＝15（m）．答：小球飞行3s时的高度为15米；（3）∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∴小球飞行的最大高度为20m，∵22＞20，∴小球的飞行高度不能达到22m．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法化顶点解析式．。
完整版)初中数学二次函数专题经典练习题(附答案)
完整版)初中数学二次函数专题经典练习题(附答案)1.抛物线$y=-3x^2+2x-1$与坐标轴的交点情况是(A)没有交点。
(C)有且只有两个交点。
(D)有且只有三个交点。
2.已知直线$y=x$与二次函数$y=ax^2-2x-1$的一个交点的横坐标为1，则$a$的值为(C)3.3.二次函数$y=x^2-4x+3$的图象交$x$轴于$A$、$B$两点，交$y$轴于点$C$，则$\triangle ABC$的面积为(B)4.4.函数$y=ax^2+bx+c$中，若$a>0$，$b<0$，$c<0$，则这个函数图象与$x$轴的交点情况是(D)一个在$x$轴的正半轴，另一个在$x$轴的负半轴。
5.已知$(2,5)$、$(4,5)$是抛物线$y=ax^2+bx+c$上的两点，则这个抛物线的对称轴方程是(B)$x=3$。
6.无法正确反映函数$y=ax+b$图象的选项已删除。
7.二次函数$y=2x^2-4x+5$的最小值是$4.5$。
8.某二次函数的图象与$x$轴交于点$(-1,0)$，$(4,0)$，且它的形状与$y=-x$形状相同。
则这个二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{25}(x-1)(x-4)$。
9.若函数$y=-x+4$的函数值$y>0$，则自变量$x$的取值范围是$(-\infty,4)$。
10.某品牌电饭锅成本价为70元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：定价（元） 100 110 120 130 140 150 销量（个） 80 100 110 100 80 60.为获得最大利润，销售商应将该品牌电饭锅定价为120元。
11.函数$y=ax^2-(a-3)x+1$的图象与$x$轴只有一个交点，那么$a$的值和交点坐标分别为$(a,0)$和$(\frac{a-3}{2},0)$。
12.某涵洞是一抛物线形，它的截面如图3所示，现测得水面宽$AB=1.6m$，涵洞顶点$O$到水面的距离为$2.4m$，在图中的直角坐标系内，涵洞所在抛物线的解析式为$y=-\frac{5}{6}(x-2)^2+2.4$。
人教版初中数学二次函数基础测试题附答案
【分析】
设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．
【详解】
解：设原数为m，则新数为 ，
设新数与原数的差为y
则 ，
易得，当m＝0时，y＝0，则A错误
∵
当 时，y有最大值．则B错误，D正确．
当y＝21时， ＝21
解得 ＝30， ＝70，则C错误．
故答案选：D．
【点睛】
本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．
8．定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论，其中不正确的是（）
A．当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（ ， ）
B．当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于
C．当m≠0时，函数图象经过同一个点
D．当m<0时，函数在x> 时，y随x的增大而减小
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分三种情况求出y与t的函数关系式.当0≤t≤2.5时：P点由B到A；当2.5≤t≤4时，即P点在AD上时；当4≤t≤6时，即P点从D到C时.即可得出正确选项．
【详解】
解：作AE⊥BC于E，根据已知可得，
AB2=42+（6-3）2，
解得，AB=5cm．
下面分三种情况讨论:
当0≤t≤2.5时：P点由B到A， ,y是t的二次函数.最大面积= 5 cm2;
当2.5≤t≤4时，即P点在AD上时， , y是t的一次函数且最大值= ;
当4≤t≤6时，即P点从D到C时， y是t的二次函数
故符合y与t的函数图象是B．
人教版初中数学二次函数基础测试题附答案解析
人教版初中数学二次函数基础测试题附答案解析一、选择题1．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②a +b +c ＝2；③a 12>；④b ＞1，其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】C【解析】【分析】 根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．【详解】由图象可得，a ＞0，b ＞0，c ＜0，∴abc ＜0，故①错误，当x ＝1时，y ＝a +b +c ＝2，故②正确，当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＜0，由a +b +c ＝2得，a +c ＝2﹣b ，则a ﹣b +c ＝（a +c ）﹣b ＝2﹣b ﹣b ＜0，得b ＞1，故④正确， ∵12b a ->-，a ＞0，得122b a >>，故③正确， 故选C ．【点睛】 本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．2．如图，二次函数()200y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线2x =，且OA OC =，则下列结论：①0abc >；②930a b c ++<；③1c >-；④关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠有一个根为1a-，其中正确的结论个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】 由二次图像开口方向、对称轴与y 轴的交点可判断出a 、b 、c 的符号，从而可判断①；由图像可知当x ＝3时，y ＜0，可判断②；由OA ＝OC ，且OA ＜1，可判断③；把﹣1a 代入方程整理得ac 2－bc ＋c ＝0，结合③可判断④；从而得出答案.【详解】由图像开口向下，可知a ＜0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c ＜0，又对称轴方程为x ＝2，∴﹣2b a＞0，∴b ＞0，∴abc ＞0，故①正确；由图像可知当x ＝3时，y ＞0，∴9a ＋3b ＋c ＞0，故②错误；由图像可知OA ＜1，∵OA ＝OC ，∴OC ＜1，即﹣c ＜1，故③正确；假设方程的一个根为x ＝﹣1a ，把﹣1a 代入方程，整理得ac 2－bc ＋c ＝0， 即方程有一个根为x ＝﹣c ，由②知﹣c ＝OA ，而当x ＝OA 是方程的根，∴x ＝﹣c 是方程的根，即假设成立，故④正确.故选C.【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的相关知识是解答此题的关键.3．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点坐标为(4,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线一定过原点；②方程()200++=≠ax bx c a 的解为0x =或4；③0a b c -+<；④当04x <<时，20ax bx c ++<；⑤当2x <时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】根据题意，求得,,a b c ，根据二次函数的图像和性质，结合选项进行逐一分析，即可判断.【详解】 由题可知22b a-=，与x 轴的一个交点坐标为(4,0)，则另一个交点坐标为()0,0， 故可得1640a b c ++=，0c =，故可得4,0a b c -==①因为0c =，故①正确；②因为二次函数过点()()0,0,4,0，故②正确；③当1x =-时，函数值为0a b c -+<，故③正确；④由图可知，当04x <<时，0y <，故④正确；⑤由图可知，当2x <时，y 随x 增大而减小，故⑤错误；故选：D.【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，涉及二次函数的增减性，属综合中档题.4．要将抛物线2y x =平移后得到抛物线223y x x =++，下列平移方法正确的是（ ） A ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位【答案】A【解析】【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，2），由此确定平移办法．【详解】y=x 2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线y=x 2的顶点坐标是（0，0），则平移的方法可以是：将抛物线y=x 2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度． 故选：A ．【点睛】此题考查二次函数图象与几何变换．解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．5．如图是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m ），且与x 铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c ＞0；③b 2＝4a （c ﹣m ）；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝m +1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】 根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a ，b ，c 的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在x 轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m 的交点可判定方程的解．【详解】∵函数的图象开口向上，与y 轴交于负半轴∴a>0,c<0∵抛物线的对称轴为直线x=－2b a=1 ∴b<0∴abc ＞0；①正确；∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．∴当x=-1时，y<0，即a-b+c<0，所以②不正确；∵抛物线的顶点坐标为（1，m ）， ∴244ac b a =m ， ∴b 2=4ac-4am=4a （c-m ），所以③正确；∵抛物线与直线y=m 有一个公共点，∴抛物线与直线y=m+1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选:C ．【点睛】考核知识点：抛物线与一元二次方程．理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的关系是关键．6．如图，正方形ABCD 中，AB ＝4cm ，点E 、F 同时从C 点出发，以1cm /s 的速度分别沿CB ﹣BA 、CD ﹣DA 运动，到点A 时停止运动．设运动时间为t （s ），△AEF 的面积为S（cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：分类讨论：当0≤t≤4时，利用S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF可得S=﹣t2+4t，配成顶点式得S=﹣（t﹣4）2+8，此时抛物线的开口向下，顶点坐标为（4，8）；当4＜t≤8时，直接根据三角形面积公式得到S=（8﹣t）2=（t﹣8）2，此时抛物线开口向上，顶点坐标为（8，0），于是根据这些特征可对四个选项进行判断．解：当0≤t≤4时，S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF=4•4﹣•4•（4﹣t）﹣•4•（4﹣t）﹣•t•t=﹣t2+4t=﹣（t﹣4）2+8；当4＜t≤8时，S=•（8﹣t）2=（t﹣8）2．故选D．考点：动点问题的函数图象．7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，给出以下结论：①abc＜0；②3a+c＝0；③ax2+bx≤a+b；④若M（﹣0.5，y1）、N（2.5，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2．其中正确的是（）A ．①③④B ．①②3④C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】【分析】 根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：①由图象可知：a ＜0，c ＞0， 由对称轴可知：2b a -＞0， ∴b ＞0，∴abc ＜0，故①正确；②由对称轴可知：2b a -＝1， ∴b ＝﹣2a ，∵抛物线过点（3，0），∴0＝9a+3b+c ，∴9a ﹣6a+c ＝0，∴3a+c ＝0，故②正确；③当x ＝1时，y 取最大值，y 的最大值为a+b+c ，当x 取全体实数时，ax 2+bx+c≤a+b+c ，即ax 2+bx≤a+b ，故③正确；④（﹣0.5，y 1）关于对称轴x ＝1的对称点为（2.5，y 1）：∴y 1＝y 2，故④错误；故选：C ．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．8．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，有以下结论：①a +b +c ＜0；②a ﹣b +c ＞1；③abc ＞0；④9a ﹣3b +c ＜0；⑤c ﹣a ＞1．其中所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③④C ．①②③④D ．①②③④⑤【答案】D【解析】【分析】 根据抛物线的开口方向可得出a 的符号，再由抛物线与y 轴的交点可得出c 的值，然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当x 1=、 x 1=-、x 3=-时的情况进一步综合判断即可．【详解】由图象可知，a ＜0，c=1，对称轴：x=b12a-=-， ∴b=2a ， ①由图可知：当x=1时，y ＜0，∴a+b+c ＜0，正确；②由图可知：当x=−1时，y ＞1，∴a −b+c ＞1，正确；③abc=2a 2＞0，正确；④由图可知：当x=−3时，y ＜0，∴9a −3b+c ＜0，正确；⑤c−a=1−a ＞1，正确；∴①②③④⑤正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．9．如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 为边AD 上一个动点，连接BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连接CF ，则△CEF 面积的最小值是（ ）A ．16B ．15C ．12D ．11【答案】B【解析】【分析】过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，则△FEH ∽△EBA ，设AE=x ，可得出△CEF 面积与x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．【详解】解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA ，∴△FEH ∽△EBA ， ∴ ,HF HE EF AE AB BE == G Q 为BE 的中点，1,2FE GE BE ∴== ∴ 1,2HF HE EF AE AB BE === 设AE=x ， ∵AB 8,4,AD ==∴HF 1,4,2x EH == ,DH AE x ∴== CEF DHFC CED EHF S S S S ∆∆∆∴=+-11111(8)8(4)422222x x x x =++⨯--⨯• 2141644x x x x =+--- 2116,4x x =-+ ∴当12124x -=-=⨯ 时，△CEF 面积的最小值1421615.4=⨯-+= 故选：B ．【点睛】本题通过构造K 形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF 面积与AE 长度的函数关系式是解题的关键．10．如图，抛物线2y ax bx c =++ 与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标（1，n ），与y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc ＞0；②3a +b ＜0；③﹣43≤a ≤﹣1；④a +b ≥am 2+bm （m 为任意实数）；⑤一元二次方程2ax bx c n ++= 有两个不相等的实数根，其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【解析】 解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵顶点坐标（1，n ），∴对称轴为直线x =1，∴2b a - =1，∴b =﹣2a ＞0，∵与y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），∴3≤c ≤4，∴abc ＜0，故①错误；3a +b =3a +（﹣2a ）=a ＜0，故②正确；∵与x 轴交于点A （﹣1，0），∴a ﹣b +c =0，∴a ﹣（﹣2a ）+c =0，∴c =﹣3a ，∴3≤﹣3a ≤4，∴﹣43≤a ≤﹣1，故③正确； ∵顶点坐标为（1，n ），∴当x =1时，函数有最大值n ，∴a +b +c ≥am 2+bm +c ，∴a +b ≥am 2+bm ，故④正确；一元二次方程2ax bx c n ++=有两个相等的实数根x 1=x 2=1，故⑤错误．综上所述，结论正确的是②③④共3个．故选B ．点睛：本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键在于根据顶点横坐标表示出a 、b 的关系．11．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（ ）A ．13x =-，21x =-B ．11x =，23x =C ．11x =-，23x =D ．13x =-，21x =【答案】C【解析】【分析】【详解】∵二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），∴方程220ax ax c -+=一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数22y ax ax c =-+的图象与x 轴的另一个交点为：（3，0），∴方程220ax ax c -+=的解为：11x =-，23x =． 故选C ．考点：抛物线与x 轴的交点．12．已知抛物线y ＝x 2+2x ﹣m ﹣1与x 轴没有交点，则函数y ＝的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】由题意可求m ＜﹣2，即可求解．【详解】∵抛物线y ＝x 2+2x ﹣m ﹣1与x 轴没有交点，∴△＝4﹣4（﹣m ﹣1）＜0∴m ＜﹣2∴函数y ＝的图象在第二、第四象限，故选B ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m 的取值范围是本题的关键．13．如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y ＝4x －12x 2刻画，斜坡可以用一次函数y ＝12x 刻画，下列结论错误的是( )A ．斜坡的坡度为1: 2B ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势C ．小球落地点距O 点水平距离为7米D ．当小球抛出高度达到7.5m 时，小球距O 点水平距离为3m【答案】D【解析】【分析】求出抛物线与直线的交点，判断A 、C ；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B ；求出当7.5y =时，x 的值，判定D ．【详解】 解：214212y x x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得，1100x y =⎧⎨=⎩，22772x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 72∶7=1∶2，∴A 正确； 小球落地点距O 点水平距离为7米，C 正确；2142y x x =- 21(4)82x =--+， 则抛物线的对称轴为4x =，∴当4x >时，y 随x 的增大而减小，即小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势，B 正确，当7.5y =时，217.542x x =-， 整理得28150x x -+=，解得，13x =，25x =，∴当小球抛出高度达到7.5m 时，小球水平距O 点水平距离为3m 或5m ，D 错误，符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的-坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．14．如图，已知将抛物线21y x =-沿x 轴向上翻折与所得抛物线围成一个封闭区域（包括边界），在这个区域内有5个整点（点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”）.现将抛物线()()2120y a x a =++<沿x 轴向下翻折，所得抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰有11个整点，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤-B ．12a ≤-C ．112a -<≤D ．112a -≤<- 【答案】D【解析】【分析】 画出图象，利用图象可得m 的取值范围【详解】解：∵ ()()2120y a x a =++<∴该抛物线开口向下，顶点(-1，2)，对称轴是直线x=-1.∴点(-1,2)、点(-1，1)、点(-1, 0)、点(-1,-1)、点(-1，-2)符合题意，此时x 轴.上的点(-2, 0)、(0, 0)也符合题意，将(0，1)代入()()2120y a x a =++<得到1=a+2.解得a=-1.将(1, 0)代入()()2120y a x a =++<得到0= 4a+2.解得a=1-2∵有11个整点，∴点(0，-1)、点(-2, -1)、点(-2,1)、点(0，1)也必须符合题意. 综上可知:当1-1a<-2≤ 时，点(-1，2)、点(-1，1)、点(-1, 0)、点(-1，-1)、点(-1，-2)、点(-2, 0)、(0，0)、点(0，-1)、点(-2，-1)、点(-2，1)、点(0, 1)，共有11个整点符合题意, 故选: D.【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点的求法，利用图象解决问题是本题的关键.15．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点P 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC CD →方向运动，当P 运动到B 点时，P Q 、点同时停止运动．设P 点运动的时间为t 秒，APQ ∆的面积为S ，则表示S 与t 之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】本题应分两段进行解答,①点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动；②点P 在AB 上运动，点Q 在CD 上运动，依次得出S 与t 的关系式，即可判断得出答案．【详解】解：当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时，此时，,2AP t BQ t ==2122APQ S t t t =⋅⋅=V ，函数图象为抛物线； 当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时，此时，AP t =，APQ V 底边AP 上的高保持不变1422APQ S t t =⋅⋅=V ，函数图象为一次函数； 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是函数图象，理解题意，分段求出S 与t 之间的函数关系是解此题的关键．16．已知抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点．下列结论：①4c <；②当1x =时，y 有最小值2c -；③方程22420x x c -+-=有两个不等实根；④若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则52c =；其中正确的结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】B【解析】【分析】根据“抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点”即可判断①③；根据抛物线的对称轴为直线x=1即可判断②；根据等腰直角三角形的性质，用c 表达出两个交点，代入抛物线解析式计算即可判断④．【详解】解：∵抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点，∴2242x x c -+=有两个不相等的实数根，即22420x x c -+-=有两个不相等的实数根，故③正确，∴1642(2)0c ∆=-⨯⨯->，解得：4c <，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向上，∴当x=1时，2y c =-为最小值，故②正确；若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则顶点（1，c-2）到直线y=2的距离等于两交点距离的一半，∵顶点（1，c-2）到直线y=2的距离为2-（c-2）=4-c ，∴两交点的横坐标分别为1-（4-c ）=c-3与1+（4-c ）=5-c∴两交点坐标为（c-3,2）与（5-c,2），将（c-3,2）代入224y x x c =-+中得：22(3)4(3)2c c c ---+= 解得：72c =或4c = ∵4c <， ∴72c =，故④错误， ∴正确的有①②③，故选：B ．【点睛】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握函数与方程之间的联系．17．如图1，△ABC 中，∠A ＝30°，点P 从点A 出发以2cm /s 的速度沿折线A →C →B 运动，点Q 从点A 出发以vcm /s 的速度沿AB 运动，P ，Q 两点同时出发，当某一点运动到点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为x （s ），△APQ 的面积为y （cm 2），y 关于x 的函数图象由C 1，C 2两段组成，如图2所示，有下列结论：①v ＝1；②sin B ＝13；③图象C 2段的函数表达式为y ＝﹣13x 2+103x ；④△APQ 面积的最大值为8，其中正确有（ ）A ．①②B ．①②④C ．①③④D ．①②③④ 【答案】A【解析】【分析】①根据题意列出y ＝12AP •AQ •sin A ，即可解答 ②根据图像可知PQ 同时到达B ，则AB ＝5，AC +CB ＝10，再代入即可③把sin B ＝13，代入解析式即可④根据题意可知当x＝﹣522ba=时，y最大＝2512【详解】①当点P在AC上运动时，y＝12AP•AQ•sin A＝12×2x•vx＝vx2，当x＝1，y＝12时，得v＝1，故此选项正确；②由图象可知，PQ同时到达B，则AB＝5，AC+CB＝10，当P在BC上时y＝12•x•（10﹣2x）•sin B，当x＝4，y＝43时，代入解得sin B＝13，故此选项正确；③∵sin B＝13，∴当P在BC上时y＝12•x（10﹣2x）×13＝﹣13x2+53x，∴图象C2段的函数表达式为y＝﹣13x2+53x，故此选项不正确；④∵y＝﹣13x2+53x，∴当x＝﹣522ba=时，y最大＝2512，故此选项不正确；故选A．【点睛】此题考查了二次函数的运用，解题关键在于看图理解18．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】试题解析：①由开口向下，可得0,a <又由抛物线与y 轴交于正半轴，可得0c >，再根据对称轴在y 轴左侧，得到b 与a 同号，则可得0,0b abc ，故①错误；②由抛物线与x 轴有两个交点，可得240b ac ->， 故②正确；③当2x =-时，0,y < 即420a b c -+< (1)当1x =时，0y <,即0a b c ++< (2)（1）+（2）×2得，630a c +<，即20a c +<，又因为0,a <所以()230a a c a c ，++=+< 故③错误；④因为1x =时，0y a b c =++<，1x =-时，0y a b c =-+>所以()()0a b c a b c ++-+<即()()22()0,a c b a c b a c b ⎡⎤⎡⎤+++-=+-<⎣⎦⎣⎦ 所以22().a c b +<故④正确，综上可知，正确的结论有2个.故选B ．19．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结i 论：①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＞0；③2a+b ＝0；④a ﹣b+c ＜0．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】 首先根据开口方向确定a 的取值范围，根据对称轴的位置确定b 的取值范围，根据抛物线与y 轴的交点确定c 的取值范围，根据抛物线与x 轴是否有交点确定b 2﹣4ac 的取值范围，根据x ＝﹣1函数值可以判断．解：Q 抛物线开口向下，0a ∴<，Q 对称轴12b x a=-=， 0b ∴>，Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，0c ∴>，0abc ∴<，故①错误；Q 抛物线与x 轴有两个交点，240b ac ∴->，故②正确；Q 对称轴12b x a=-=， 2a b ∴=-， 20a b ∴+=，故③正确；根据图象可知，当1x =-时，0y a b c =-+<，故④正确；故选：C ．【点睛】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键．20．在同一坐标系中，二次函数2y ax bx =+与一次函数y bx a =-的图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点；根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．【详解】解：由方程组2y ax bxy bx a⎧=+⎨=-⎩得ax2＝−a，∵a≠0∴x2＝−1，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．故选C．【点睛】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上．。
[9549528]1.4 二次函数的应用 同步练习(含解析)
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初中数学浙教版九年级上册1.4 二次函数的应用同步练习一、单选题1.二次函数的图象与x轴交点的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 1个或2个2.如图，矩形中，，，抛物线的顶点在矩形内部或其边上，则的取值范围是（）A. B. C. D.3.如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC、BC．已知△ABC的面积为3．将抛物线向左平移h（h＞0）个单位，记平移后抛物线中y随着x的增大而增大的部分为H．当直线BC与H没有公共点时，h的取值范围是（）A. h＞B. 0＜h≤C. h＞2D. 0＜h＜24.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为（）人A. 56B. 55C. 54D. 535.已知一次函数，二次函数，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值分别为和，则下列表述正确的是（）A. B. C. D. ，的大小关系不确定6.便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=-2（x-20）2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（）A. 20B. 1508C. 1550D. 15587.在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（）A. 米B. 8米C. 10米D. 2米8.实数a，b，c满足4a﹣2b+c＝0，则（）A. b2﹣4ac＞0B. b2﹣4ac≥0C. b2﹣4ac＜0D. b2﹣4ac≤09.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示.下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s.④小球抛出2秒后的高度是35m.其中正确的有（）A. ①②B. ②③C. ①③④D. ①②③10.二次函数y＝x2+2kx+k2﹣1（k为常数）与x轴的交点个数为（）A. 1B. 2C. 0D. 无法确定11.小明在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小明此次成绩为（）A. 8米B. 10米C. 12米D. 14米12.如图所示，将一根长m的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数关系是（）A. 正比例函数关系B. 一次函数关系C. 二次函数关系D. 反比例函数关系13.已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为（）A. 2018B. 2019C. 2020D. 202114.已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的负半轴相交.则下列关于、的大小关系正确的是（）15.当时，二次函数的图象与x轴所截得的线段长度之和为（）A. B. C. D.二、填空题16.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度与水平距离之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是________m．17.以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2.现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）.若h1＝2h2，则t1：t2＝________.18.某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是________元.19.已知抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是________．20.如图，直线与抛物线交于点，且点A在y轴上，点B在x 轴上，则不等式的解集为________．下函数关系：，则该球从弹起回到地面需要经过________秒，距离地面的最大高度为________米.22.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为________.23.如图，已知直线分别交轴、轴于点、，点是抛物线上的一个动点，其横坐标为．过点且平行于轴的直线与直线交于点，当时，的值是________．24.如图，小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）近似满足函数关系式，则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是________米．25.二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点(0，-3)，与x轴两个交点的横坐标分别为m，n，则a(m2+n2)+b（m+n）的值为________三、计算题26.已知函数y=2x2-(3-k)x+k2-3k-10的图象经过原点，试确定k的值。
初中数学二次函数的应用能力达标测试题2(附答案详解)
初中数学二次函数的应用能力达标测试题2（附答案详解）1．已知二次函数22y x x m =-+（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为()3,0，则关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=的两个实数根是（ ） A ．11x =-，23x = B ．11x =，23x = C ．11x =-，21x =D ．13x =，25x =-2．服装店将进价为每件100元的服装按每件x （x ＞100）元出售，每天可销售（200﹣x ）件，若想获得最大利润，则x 应定为（ ） A ．150元B ．160元C ．170元D ．180元3．已知函数y =3-(x -m )(x -n )，并且a ，b 是方程3-(x -m )(x -n )=0的两个根，则实数m ，n ，a ，b 的大小关系可能是( ) A ．b < m <a <nB ．m <a <n <bC ．m < a <b <nD ．a <m <n < b4．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x 元后，每星期售出商品的总销售额为y 元，则y 与x 的关系式为（ ） A ．y ＝60（300+20x ） B ．y ＝（60﹣x ）（300+20x ） C ．y ＝300（60﹣20x ）D ．y ＝（60﹣x ）（300﹣20x ）5．地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离要s 与时间t 的函 数关系如图中的部分抛物线所示(其中P 是该抛物线的顶点)则下列说法正确的是( )A ．小球滑行6秒停止B ．小球滑行12秒停止C ．小球滑行6秒回到起点D ．小球滑行12秒回到起点6．用60m 长的篱笆围成矩形场地，矩形的面积S 随着矩形的一边长L 的变化而变化，要使矩形的面积最大，L 的长度应为（ ）. A ．63mB ．15mC ．20mD ．103m7．如图所示的是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，若水面下降2m ，则水面宽度增加（ ）A ．()424m +B ．42mC ．()424m -D ．4m8．已知二次函数y=x 2 + bx +c 的图象与x 轴相交于A 、B 两点，其顶点为P ，若S △APB =1，则b 与c 满足的关系是（ ） A ．b 2 -4c +1=0B ．b 2 -4c -1=0C ．b 2 -4c +4 =0D ．b 2 -4c -4=09．如图，二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA =OC ；则下列结论：①abc ＜0；②244b ac a-＞0；③ac -b +1=0；④OA •OB =-c a ．其中正确的结论（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④10．如图，已知二次函数2y x bx c =-+-，它与x 轴交于A 、B ，且A 、B 位于原点两侧，与y 的正半轴交于C ，顶点D 在y 轴右侧的直线l ：4y =上，则下列说法：①0bc < ②04b << ③4AB = ④8ABD S ∆=其中正确的结论有（ ）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②③④11．已知二次函数y ＝ax 2+2x +c 的图象与x 轴交于不同的两点，且都在原点右侧，则点（a ，c ）在第____象限．12．如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=12mm ，BC=24mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm/s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm/s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过 秒，四边形APQC 的面积最小．13．把抛物线y=﹣2x 2+4x ﹣5向左平移3个单位后，它与y 轴的交点是________． 14．在函2x y -=数中自变量X 的取值范围是_____________. 15．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看做是一条抛物线(如图)．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间满足关系y ＝－29x 2＋89x ＋109，则羽毛球飞出的水平距离为__m.16．汽车刹车后行驶的距离s （单位：m ）关于行驶时间t （单位：s ）的函数解析式是s ＝﹣6t 2+15t ，则汽车刹车后到停下来需要_____秒．17．如图，二次函数y ＝﹣x 2+x +2交x 轴于点A .B （A 在B 的右侧），与y 轴交于点C ，D 为第一象限抛物线上的动点，则△ACD 面积的最大值是_____18．已知二次函数 22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m --=的解为______.19．在二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）中，函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y…﹣2﹣24…则关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根为_____．20．若抛物线y=x 2﹣kx+k ﹣1的顶点在坐标轴上，则k=_____．21．一种进价为每件80元的T 恤，若销售单价为100元，则每月可卖出200件，为提高利润，欲对该T 恤进行涨价销售，经过调查发现：若每涨价5元，则每月少卖出10件，求该T 恤涨价后每月的销售利润y （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式，并求销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？22．如图，已知抛物线y=﹣（x ﹣m ）2+4m 2（m ＞0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，3）．[图（2）为解答备用图]（1）m= ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）设抛物线y=﹣（x ﹣m ）2+4m 2（m ＞0）的对称轴上有一动点P ，若△APC 周长最小，求此时点P 的坐标；（3）在第一象限的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．23．已知二次函数y=mx 2-2mx （m 为常数，且m≠0）．（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴有两个公共点． （2）将该函数的图象向左平移2个单位． ①平移后函数图象所对应的函数关系式为______；②若原函数图象顶点为A ，平移后的函数图象顶点为B ，△OAB 为直角三角形（O 为原点），求m 的值．24．如图所示抛物线2y ax bx c =++过点()1,0A -，点()0,3C ，且OB OC = （1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点,D E 在直线1x =上的两个动点，且1DE =，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值；（3）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3∶5两部分，求点P 的坐标.25．如图所示，菱形ABCD位于平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过菱形的三个顶点A、B、C，已知A（﹣3，0）、B（0，﹣4）．（1）求抛物线解析式；（2）线段BD上有一动点E，过点E作y轴的平行线，交BC于点F，若S△BOD＝4S△EBF，求点E的坐标；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BPD是以BD为斜边的直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．26．如图①．抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于A（﹣1，0）、B（3，0）、C三点．（1）求a和b的值；（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD、CD，在对称轴左侧的抛物线上存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC，请求出点P的坐标；（3）如图②，在（2）的条件下将△BOC 沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B 'O 'C '在平移过程中，△B 'O 'C '与△BCD 重叠部分的面积记为S ，设平移的时问为t 秒，请直接写出S 与t 之间的函数关系式（并注明自变量的取值范围）．27．若y 是关于x 的函数，H 是常数（0H >），若对于此函数图象上的任意两点11(,)x y ，22(,)x y ，都有12y y H -≤，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数H 的最小值，称为该函数的界高. 例如：下图所表示的函数的界高为4.（1）求函数2(31)y x x =-≤≤的界高；（2）已知2m >-，若函数2(2)y x x m =-≤≤的界高为4，求实数m 的取值范围；（3）已知0a >，函数223(21)y x ax a x =-+-≤≤的界高为254，求a 的值.28．矩形OABC 的顶点A(－8，0)，C(0，6)，点D 是BC 边上的中点，抛物线y ＝ax 2＋bx 经过A ，D 两点，如图所示.(1)求点D 关于y 轴的对称点D′的坐标及a ，b 的值；(2)将抛物线y ＝ax 2＋bx 向下平移，记平移后点A 的对应点为A 1，点D 的对应点为D 1，当抛物线平移到某个位置时，恰好使得点O 是y 轴上到A 1，D 1两点距离之和OA 1＋OD 1最短的一点，求平移后的抛物线解析式.参考答案1．A 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴，确定抛物线与x 轴的两个交点的坐标，交点的横坐标就是方程的解． 【详解】二次函数22y x x m =-+ (m 为常数)的对称轴是x=1，(3,0)关于x=1的对称点是(-1,0).则一元二次方程x 2−2x+m=0的两个实数根是11x =-，23x =.故选A. 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点，解题的关键是掌握抛物线与坐标轴的交点的相关计算. 2．A 【解析】 【分析】设获得的利润为y 元，由题意得关于x 的二次函数，配方，写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案． 【详解】解：设获得的利润为y 元，由题意得：()()100200y x x =-- 230020000x x +=-- ()21502500x -+=-∵a ＝﹣1＜0∴当x ＝150时，y 取得最大值2500元． 故选：A ． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确地写出函数关系式，并明确二次函数的性质，是解题的关键． 3．D 【解析】令抛物线解析式中y=0，得到方程的解为a ，b ，即为抛物线与x 轴交点的横坐标为a ，b ，再由抛物线开口向下得到a ＜x ＜b 时y 大于0，得到x=m 与n 时函数值大于0，即可确定出m ，n ，a ，b 的大小关系． 【详解】解：函数y=-（x-m ）（x-n ）+3，令y=0，根据题意得到方程（x-m ）（x-n ）=3的两个根为a ，b ， ∵当x=m 或n 时，y=3＞0，∴实数m ，n ，a ，b 的大小关系为a ＜m ＜n ＜b ． 故选：D ． 【点睛】此题考查了抛物线与x 轴的交点，熟练掌握抛物线的性质是解本题的关键． 4．B 【解析】 【分析】根据降价x 元，则售价为()60x -元，销售量为()30020+x 件，由等量关系：总销售额=销量×售价，列出函数解析式即可． 【详解】根据降价x 元，则售价为()60x -元，销售量为()30020+x 件， 根据题意得，()()6030020=-+y x x ， 故选：B ． 【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握等量关系：总销售额=销量×售价，是解决本题的关键. 5．A 【解析】 【分析】首先理解题意，滑行最远时. 小球停止，进行判断即可． 【详解】小球停下时，也就是滑行最远时，s 最大时对应的t=6．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，把实际问题转化成数学问题解题的关键．6．B【解析】【分析】根据矩形的面积＝长×宽列式，然后配方求最值．【详解】解：由题意得：S＝L（30﹣L），S＝﹣L2+30L＝﹣（L2﹣30L+225﹣225）＝﹣（L﹣15）2+225，所以当L＝15时，S有最大值；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的应用，属于图形面积问题，熟练掌握各种几何图形的面积公式是关键，对于二次函数的最值，可以利用配方法求，也可以利用顶点坐标公式代入求解．7．C【解析】【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=-2代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【详解】解：以AB所在的直线为x轴，向右为正方向，线段AB的垂直平分线为y轴，向上为正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y=ax2+2，代入A点坐标（-2，0），得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为y=-0.5x 2+2， 把y=-2代入抛物线解析式得出：-2=-0.5x 2+2，解得：x=±，所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了（）米， 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 8．D 【解析】 【分析】抛物线的顶点坐标为P （−2b ，244c b -），设A 、B 两点的坐标为A （1x ，0）、B （2x ，0）则AB ＝12x x -，根据根与系数的关系把AB 的长度用b 、c 表示，而S △APB ＝1，然后根据三角形的面积公式就可以建立关于b 、c 的等式． 【详解】解：∵1212,x x b x x c +=-=，∴AB ＝12x x -=∵若S △APB ＝1∴S △APB ＝12×AB ×244c b - ＝1， 214124c b -∴-=∴−122414b c -=，∴(248b ac-=，s ，则38s =，故s ＝2，2，∴2440b c --=．故选D ．【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点情况与判别式的关系、抛物线顶点坐标公式、三角形的面积公式等知识，综合性比较强．9．C【解析】【分析】利用抛物线开口方向得到a ＜0，利用抛物线的对称轴位置得到b ＞0，利用抛物线与y 轴的交点位置得到c ＞0，则可对①进行判断；利用抛物线与x 轴有2个交点可对②进行判断；把A 点坐标代入解析式可对③进行判断；设A 、B 两点的横坐标为x 1、x 2，则OA =-x 1，OB =x 2，利用根与系数的关系可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，∴b ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①正确；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△=b 2-4ac ＞0， ∴244b ac a-＜0，所以②错误； ∵OA =OC ，C （0，c ），∴A （-c ，0），∴ac2-bc+c=0，∴ac-b+1=0，所以③正确；设A、B两点的横坐标为x1、x2，则OA=-x1，OB=x2，∵x1•x2=ca，∴OA•OB=-ca，所以④正确．故选：C．【点睛】此题考查抛物线与坐标轴的交点，二次函数图象与系数的关系，解题关键在于掌握抛物线的性质.10．D【解析】【分析】由根与系数的关系，结合顶点位置和坐标轴位置，进行分析即可得到答案.【详解】解：设函数图像与x轴交点的横坐标分别为x1，x2则根据根于系数的关系得到：x1+x2=b, x1x2=c∵A，B两点位于y轴两侧，且对称轴在y轴的右侧，则b＞0函数图像交y轴于C点，则c＜0，∴bc＜0，即①正确;又∵顶点坐标为（24,24b ac ba a），即（24,24b c b-）∴244c b-=4，即2416b c=+又∵()()2222121212121224x x x x x x x x x x -=+-=+- =2416b c =+，即124x x -= ∴AB=4即③正确；又∵A，B 两点位于y 轴两侧，且对称轴在y 轴的右侧 ∴2b ＜2，即b ＜4 ∴0＜b ＜4，故②正确；∵顶点的纵坐标为4，∴△ABD 的高为4∴△ABD 的面积=14482⨯⨯= ，故④正确； 所以答案为D.【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数和一元二次方程的性质是解答本题的关键.11．三．【解析】【分析】与x 轴交点都在原点右侧，可知交点横坐标都为正值，即ax 2+2x+c=0的解为正，所以根据根与系数关系可知，x 1+x 2=b a -，x 1x 2=c a ，即可确定a ，c 的符号，从而可确定点（a ，c ）所在的象限．【详解】解：设x 1，x 2为方程ax 2+2x+c ＝0的根，则根与系数关系可知，x 1+x 2＝b a -，x 1x 2＝c a， ∵函数与x 轴的交点都在原点的右侧，∴x 1+x 2＞0，x 1x 2＞0，∴a ＜0，c ＜0，∴点（a ，c ）在第三象限．故答案是：三．【点睛】考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．12．3【解析】【分析】根据等量关系“四边形APQC的面积=三角形ABC的面积﹣三角形PBQ的面积”列出函数关系，求得最小值．【详解】设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Smm2，则有：S=S△ABC﹣S△PBQ=1112244(122)22t t⨯⨯-⨯⨯-=4t2﹣24t+144=4（t﹣3）2+108．∵4＞0 ∴当t=3s时，S取得最小值．【点睛】考点：二次函数的应用．13．（0，﹣11）【解析】【分析】先把y=﹣2x2+4x﹣5化为顶点式，求出平移后的解析式，然后令x=0即可求出与y轴的交点坐标.【详解】∵y=﹣2x2+4x﹣5=-2(x-1)2﹣3,∴向左平移3个单位后的解析式是y=-2(x+2)2﹣3,当x=0时，y=-2×(0+2)2﹣3=-11，∴它与y轴的交点是（0，﹣11）.故答案为：（0，﹣11）.【点睛】本题考查了二次函数图象的平移及二次函数与坐标轴的交点，正确求出平移后的函数解析式是解答本题的关键．14．2x≥；【解析】【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【详解】根据题意得：22020x x -+≠⎧⎨⎩ ， 解得：x ⩾2，故答案是：x ⩾2【点睛】此题考查函数自变量的取值范围，解题关键在于掌握其性质定义.15．5【解析】【分析】根据羽毛球飞出的水平距离即为抛物线与x 轴正半轴交点到原点的距离，进而求出即可．【详解】当y ＝0时，029=-x 281099x ++，解得：x 1＝﹣1（舍去），x 2＝5，故羽毛球飞出的水平距离为5m ．故答案为5．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据已知得出图象与x 轴交点坐标是解题的关键．16．54． 【解析】【分析】通过配方法求出函数的最大值即可得．【详解】解：∵汽车刹车后行驶的距离s 关于行驶的时间t 的函数解析式是s ＝﹣6t 2+15t ， ∴25756()48s t =--+∴当54t =时，S 取得最大值为158，即：汽车刹车后到停下来需要54秒，汽车刹车后到停下来前进的距离为158m,故答案为54．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．．17．1【解析】【分析】先计算当x＝0时的函数值得到C（0，2），解方程﹣x2+x+2＝0得A（2，0），易得直线AC 的解析式为y＝﹣x+2，作DE∥y轴交AC于E，如图，设D（t，﹣t2+t+2），则E（t，﹣t+2），利用三角形面积公式得到△ACD面积＝12×2×DE＝﹣t2+2t，然后根据二次函数的性质解决问题．【详解】当x＝0时，y＝﹣x2+x+2＝2，则C（0，2），当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，则A（2，0），易得直线AC的解析式为y＝﹣x+2，作DE∥y轴交AC于E，如图，设D（t，﹣t2+t+2），则E（t，﹣t+2），∴DE＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t，∴△ACD面积＝12×2×DE＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1，当t＝1时，△ACD面积有最大值为1．故答案为：1【点睛】此题根据二次函数性质及三角形面积计算方法列出关于△ACD 面积的二次函数关系式是解题关键，从而求得函数最大值.18．123,1x x ==-【解析】【分析】首先把（3，0）代入二次函数y=-x 2+2x+m 可得m 的值，然后再解220x x m --=可得解.【详解】解：根据图象可知，二次函数y=-x 2+2x+m 的部分图象经过点（3，0），所以该点适合方程y=-x 2+2x+m ，代入，得-32+2×3+m=0，解得m=3，把m=-3代入一元二次方程220x x m --=，得2230x x --=，解得x 1=3，x 2=-1；【点睛】本题考查关于二次函数与一元二次方程，利用二次函数图象，根据图象提取有用条件来解答． 19．x 1=﹣2，x 2=1【解析】【分析】根据表中的数得出抛物线y=ax 2+bx+c 和x 轴的交点坐标是（-2，0）和（1，0），即可得出方程的解．【详解】解：从表中可知：抛物线y=ax 2+bx+c 和x 轴的交点坐标是（-2，0）和（1，0），所以关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根是x 1=-2，x 2=1，故答案为：x 1=-2，x 2=1．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，能根据表中的数求出抛物线与x 轴的交点的坐标是解题关键． 20．2或0．【分析】因为顶点在那条坐标轴上不明确，所以分①顶点在x 轴上，利用顶点坐标列式进行计算，②顶点在y 轴上，则对称轴为y 轴，然后列式进行计算，最后综合两种情况即可．【详解】①顶点在x 轴上时，224411441ac b k k a -⨯⨯---==⨯（）（）0，整理得：k 2﹣4k +4=0，解得：k =2；②顶点在y 轴上时，221b k a --=-=⨯0，解得：k =0． 综上所述：k =2或0．故答案为：2或0．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，因为在哪一条坐标轴上没有明确，要分情况讨论求解．21．关系式为：2256032000y x x =-+-，当销售单价定为140元，每月的销售利润最大是7200.【解析】【分析】售价x 元，涨价()100-x 元，则每件利润为()80x -元，每月少卖出100105-⨯x 件，每月销量为100(20010)5--⨯x 件，根据总利润=每件利润×销售量，可得出函数关系式，再利用配方法求出最值即可.【详解】根据题意得()10080(20010)5x y x -=--⨯ 整理得：2256032000y x x =-+-因为()2225603200021407200=-+-=--+y x x x所以当140x =时，max 7200y =.答：当销售单价定为140元，每月的销售利润最大是7200.本题考查二次函数的应用，营销问题关键是找出单件利润和销售量的表达式，建立等式关系.22．（1）1，（−1，0），（3，0）；（2）P（1，2）；（3）点D（32，154），最大面积为758．【解析】【分析】（1）把点C（0，3）代入抛物线y＝−（x−m）2＋4m2（m＞0）即可得到m＝1；解方程即可得到A（−1，0），B（3，0）；（2）连接BC交对称轴于P，此时△APC周长最小，用待定系数法得到直线BC解析式为y ＝−x＋3，即可得到P（1，2）；（3）如图2，过点D作DE⊥AB于E，设点D（m，−m2＋2m＋3），E（m，−m＋3），根据S四边形ABDC＝S△AOC＋S梯形OCDE＋S△BDE，列出函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线y＝−（x−m）2＋4m2（m＞0）与y轴交于点C（0，3），∴3＝−m2＋4m2，解得：m＝±1，∵m＞0，∴m＝1；∴抛物线的解析式为：y＝−（x−1）2＋4＝−x2+2x+3，当y＝0时，即0＝−（x−1）2＋4，解得：x1＝−1，x2＝3，∴A（−1，0），B（3，0）；故答案为：1，（−1，0），（3，0）；（2）如图1，∵A与B关于对称轴对称，∴连接BC交对称轴于P，则PA＋PC最小，即△APC周长最小，∵B（3，0），C（0，3），设直线BC解析式为y＝kx＋b，∴303k bb+=⎧⎨=⎩，解得：13kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC解析式为y＝−x＋3，∵抛物线对称轴为x=1，∴P横坐标为1，将x＝1代入y＝−x＋3得y＝2，∴P（1，2）；（3）如图2，过点D作DE⊥AB于E，则S四边形ABDC＝S△AOC＋S梯形OCDE＋S△BDE，设点D（m，−m2＋2m＋3），E（m，0），则DE＝−m2＋2m＋3，∴12×1×3＋12（3−m2＋2m＋3）×m＋12（3−m）×（−m2＋2m＋3）＝−32（m−32）2＋758，∴当m＝32时，S四边形ABDC有最大值758，−m2＋2m＋3＝154，∴点D（32，154），最大面积为758．【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数的最值，函数图象与坐标轴交点坐标的求法、图形面积的求法、二次函数的应用等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生数形结合的数学思想方法．23．(1)见解析;(2)①y=m（x+1）2-m；②m=±1．【解析】【分析】（1）由b2-4ac=（-2m）2-4×m×0=4m2，且m≠0可得答案；（2）①根据函数平移的规律解答即可；②根据平移前后抛物线解析式求得点A，B坐标，据此得出OA=OB，从而知∠AOB=90°，再根据勾股定理知2（1+m2）=4，解之可得．【详解】解：（1）由题意知，b2-4ac=（-2m）2-4×m×0=4m2，∵m≠0，∴b 2-4ac=4m 2＞0，∴不论m 为何值，该函数的图象与x 轴有两个公共点；（2）①将该函数的图象向左平移2个单位，平移后函数图象所对应的函数关系式为y=m （x+2）2-2m （x+2），整理，得：y=m （x+1）2-m ；②∵y=mx 2-2mx=m （x-1）2-m ，∴原函数图象的顶点A 的坐标为（1，-m ），又平移后函数图象的顶点B 的坐标为（-1，-m ），点O 的坐标为（0，0），∴OA=OB ，∴∠AOB=90°，∵OA 2=OB 2=1+m 2，AB 2=4，∴2（1+m 2）=4，解得m=±1． 故答案为y=m （x+1）2-m ．【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握抛物线与x 轴的交点问题、函数图象平移规律、直角三角形的判定与勾股定理等知识点．24．（1）2y x 2x 3=-++，对称轴为直线1x =；（2）四边形ACDE 的周长最小值为1；（3）12(4,5),(8,45)P P --【解析】【分析】（1）OB=OC ，则点B （3，0），则抛物线的表达式为：y=a （x+1）（x-3）=a （x 2-2x-3）=ax 2-2ax-3a ，即可求解；（2）CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D 、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，即可求解；（3）S △PCB ：S △PCA =12EB×（y C -y P ）：12AE×（y C -y P ）=BE ：AE ，即可求解． 【详解】（1）∵OB=OC ，∴点B （3，0），则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，故-3a=3，解得：a=-1，故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3…①；对称轴为：直线1x（2）ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC=10、DE=1是常数，故CD+AE最小时，周长最小，取点C关于函数对称点C（2，3），则CD=C′D，取点A′（-1，1），则A′D=AE，故：CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=10+1+A′D+DC′=10+1+A′C′=10+1+13；（3）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，又∵S△PCB：S△PCA=12EB×（y C-y P）：12AE×（y C-y P）=BE：AE，则BE：AE，=3：5或5：3，则AE=52或32，即：点E的坐标为（32，0）或（12，0），将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，解得：k=-6或-2，故直线CP 的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3…②联立①②并解得：x=4或8（不合题意值已舍去），故点P 的坐标为（4，-5）或（8，-45）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中（1），通过确定点A′点来求最小值，是本题的难点．25．（1）215466y x x =--；（2）点E 的坐标为（1，﹣2）；（3）存在，P 的坐标为54,22⎛- ⎝⎭或52⎛ ⎝⎭. 【解析】【分析】（1）由点A ，B 的坐标可得出AB 的长度，利用菱形的性质结合点B 的坐标可得出点C 的坐标，再由点A ，B ，C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线解析式；（2）由EF ∥OB ，AD ∥BC 可得出∠OBD ＝∠FEB ，∠ODB ＝∠FBE ，进而可得出△BOD ∽△EFB ，利用相似三角形的性质及S △BOD ＝4S △EBF ，可得出BF ＝1，由点B ，D 的坐标，利用待定相似法可求出直线BD 的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E 的坐标；（3）利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线x ＝52，设点P 的坐标为（52，m ），结合点B ，D 的坐标可得出BD 2，BP 2，DP 2的值，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：（1）∵点A 的坐标为（﹣3，0），点B 的坐标为（0，﹣4），∴OA ＝3，OB ＝4，∴AB 5．∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ∥BC ，BC ＝AB ＝5，∴点C 的坐标为（5，﹣4）．将A （﹣3，0），B （0，﹣4），C （5，﹣4）代入y ＝ax 2+bx+c ，得：93042554a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩，解得：16564a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩， ∴抛物线解析式为215466y x x =--． （2）∵EF ∥OB ，AD ∥BC ，∴∠OBD ＝∠FEB ，∠ODB ＝∠FBE ，∴△BOD ∽△EFB ， ∴2BOD EFB S OD S BF ∆⎛⎫= ⎪⎝⎭． ∵S △BOD ＝4S △EBF ，∴OD ＝2BF ．∵AD ＝AB ＝5，OA ＝3，∴OD ＝2，∴点D 的坐标为（2，0），BF ＝1．设直线BD 的解析式为y ＝kx+d （k≠0），将B （0，﹣4），D （2，0）代入y ＝kx+d ，得： 420d k d =-⎧⎨+=⎩，解得：k 2d 4=⎧⎨=-⎩， ∴直线BD 的解析式为y ＝2x ﹣4．当x ＝1时，y ＝2x ﹣4＝﹣2，∴点E 的坐标为（1，﹣2）．（3）∵抛物线解析式为215466y x x =--， ∴抛物线的对称轴为直线5561226x -=-=⨯． 设点P 的坐标为（52，m ），∵点B的坐标为（0，﹣4），点D的坐标为（2，0），∴BP2＝（52﹣0）2+[m﹣（﹣4）]2＝m2+8m+894，DP2＝（52﹣2）2+（m﹣0）2＝m2+14，BD2＝（2﹣0）2+[0﹣（﹣4）]2＝20．∵△BPD是以BD为斜边的直角三角形，∴BP2+DP2＝BD2，即m2+8m+894+m2+14＝20，整理，得：4m2+16m+5＝0，解得：1411m--=，2411m-+=，∴抛物线的对称轴上存在点P，使△BPD是以BD为斜边的直角三角形，点P的坐标为（52，411--）或（52，411-+）．【点睛】本题考查了勾股定理、菱形的性质、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用相似三角形的性质，求出点E的横坐标；（3）利用勾股定理，找出关于m的一元二次方程．26．（1）a＝﹣1，b＝2；（2）存在，P（﹣，）；（3）．【解析】【分析】（1）将点A、B代入解析式即可求出a、b的值．（2）根据已知条件求出点D的坐标，并且由线段OC、OB相等、CD∥x轴及等腰三角形性质证明△CDB≌△CGB，利用全等三角形求出点G的坐标，求出直线BP的解析式，联立二次函数解析式，求出点P的坐标．（3）分两种情况，第一种情况重叠面积为四边形，利用大三角形减去两个小三角形求得解析式，第二种情况重叠部分为三角形，可利用三角形的面积公式求得．【详解】（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线，，解得a＝﹣1，b＝2．（2）存在，将点D代入抛物线的解析式得：m＝3，∴D（2，3），令x＝0，y＝3，∴C（0，3），∴OC＝OB，∴∠OCB＝∠CBO＝45°，如图1所示，∵CD∥x轴，∴∠DCB＝∠BCO＝45°，在△CDB和△CGB中，∴△CDB≌△CGB（ASA），∴CG＝GD＝2，∴OG＝1，∴G（0，1），设直线BP：y＝kx+1，代入点B，∴k＝﹣，∴直线BP：y＝﹣x+1，联立直线BP和二次函数解析式，解得或（舍），∴P．（3）直线BC：y＝﹣x+3，直线BD：y＝﹣3x+9，当0≤t≤2时，如图2所示，设直线B′C′：y＝﹣（x﹣t）+3，联立直线BD求得F（），S＝．当2＜t≤3时，如图3所示，H （t ，﹣3t +9），I （t ，﹣t +3）， S ＝×（3﹣t ）＝t 2﹣6t +9， 综上所述：．【点睛】考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质及其判定，动态问题和二次函数的结合，第二问找到全等三角形为解题关键．27．(1) 界高为9;(2) 02m ≤<;(3) 12a =【解析】【分析】（1）根据函数2y x （31x -≤≤）的性质，在0x =取最小值0，在3x =-取最大值9，由此可求函数的界高；（2）把4y =代入抛物线的解析式得：24x =，解得122,2x x =-=，从而2m =，进一步即得m 的取值范围是02m ≤<；（3）因为抛物线的对称轴是直线x=a ，而0a >，函数223y x ax a =-+中的x 的取值范围是21x -≤≤，所以要对a 分情况求解；当1a ≥时，由二次函数的性质可知，函数在x =－2时，取得最大值，在x =1时取得最小值，将122,1x x =-=代入函数解析式求得12,y y ，然后根据12254y y -=，可求a 的值； 当01a ≤≤时，同样的思路将122,x x a =-=代入函数解析式得12,y y ，再根据12254y y -=，亦可求得a 的值；最后综合得出结果. 【详解】解（1）函数2y x （31x -≤≤）在0x =取最小值min 0y =，在3x =-取最大值max 9y = ∵909H =-=∴界高为9.（2）将4y =代入抛物线的解析式得：24x =，解得：122,2x x =-=∴2m =∴m 的取值范围是02m ≤<（3）当1a ≥时，由二次函数的性质可知，函数在x =－2时，取得最大值，在x =1时取得最小值，于是将122,1x x =-=代入函数解析式求得1247,1y a y a =+=+， ∵12254y y -=∴25364a += 解得：1324a = 又∵1a ≥故此种情况不成立；当01a ≤≤时，同理将122,x x a =-=代入函数解析式得：21247,3y a y a a =+=-， ∵12254y y -=∴29404a a +-= 解得：1219,22a a ==-（舍去） 故12a = 【点睛】本题综合考查了二次函数的性质和对于新定义概念的理解领悟，对于此题，要认真审题，弄懂题意，加强分析与理解，根据二次函数的增减性以及界高的定义得出相应的方程是解题的关键.28．(1)D′(4,6)，a=38-，b=-3；(2)23y x 3x 48=---. 【解析】【分析】(1)首先根据矩形的性质得到点B 的坐标，然后得到点D 的坐标，从而得到点D ′的坐标，然后利用待定系数法求得a 、b 的值即可；(2)首先利用待定系数法求得直线A 1D 1′的解析式，根据点O 为使OA 1+OD 1最短的点求得m 的值，从而确定抛物线的解析式．【详解】解：（1）由矩形的性质可得：B(-8,6)∴D(-4,6)，D 点关于y 轴对称点D′(4,6)，将A(-8,0)、D(-4,6)代入2y ax bx =+得: 64801646a b a b -=⎧⎨-=⎩， 解得383a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩；（2）设抛物线向下平移了m 个单位，则()()11A 8,m ,D 4,6m ----，∴()1D 4,6m -，， 令A 1D 1′直线为y hx k =+，∴846h k m h k m -+=-⎧⎨+=-⎩， 解得124h k m⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∵点O 为使O 1A +O 1D 最短的点，∴k 4m 0=-=，∴m 4=， ∴23y x 3x 48=---. 故答案为：(1)D′(4,6)，a=38-，b=-3；(2)23y x 3x 48=---. 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数，四边形的综合知识，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．此题属于中考中的压轴题，难度较大，知识点考查的较多而且联系密切，需要认真审题．。
初中数学二次函数的应用题型分类——商品销售利润问题(精选50题 附答案)
初中数学二次函数的应用题型分类——商品销售利润问题（精选50题附答案）1．某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品，已知每件产品的进价为40元，每年销售该产品的总开支（不含进价）总计120万元，在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在如图所示的一次函数关系.（1）求y关于x的函数关系；（2）试写出该公司销售该种产品的年获利W（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利=年销售额-年销售产品总进价-年总开支），当销售单价为何值时年获利最大?并求这个最大值.2．某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件.市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件.(1)求出每天所得的销售利润w(单位：元)与每件涨价x(单位：元)之间的函数关系式；(2)求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大；(3)商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案.方案A：每件商品涨价不超过5元；方案B：每件商品的利润至少为16元.请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由.3．某商场销售一批名牌衬衫：平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出2件.若商场想平均每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？你若是商场经理，为获得最大利润，每件衬衫应降价多少元，此时最大利润是多少？4．银隆百货大楼服装柜在销售中发现：某品牌童装每件成本60元，现以每件100元销售，平均每天可售出20件．为了迎接“五•一”劳动节，商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多销售2件．（1）要想平均每天销售这种童装盈利1200元，请你帮商场算一算，每件童装应定价多少元？（2）这次降价活动中，1200元是最高日利润吗？若是，请说明理由；若不是，请试求最高利润值．5．某商店销售一种商品，通过记录，发现该商品从开始销售至销售的第x天结束时（x 为整数）的总销量y（件）满足二次函数关系，销量情况记录如下表：（1）求y与x之间的函数关系式（不需要写自变量的取值范围）；（2）求：销售到第几天结束时，该商品全部售完？（3）若第m天的销量为22件，求m的值．6．河西王府井销售一种T 恤衫，每件进价为40 元，经过市场调查，一周的销售量y 件与销售单价x 元/件满足某种函数关系：（1）请根据所学的知识，选择合适的函数模型，求出y 与x 的之间的函数关系式；（2）设一周的销售利润为w 元，请求出w 与x 的函数关系式，并确定当销售单价为多少时一周的销售利润最大，并求出最大利润；（3）商场决定将一周销售T 恤衫的利润全部捐给某村用于精准扶贫的水网改造项目，在商场购进该T 恤衫的资金不超过6000 元情况下，请求出该商场最大捐款数额是多少元？7．某产品成本为400元/件，由经验得知销售量y与售价x是成一次函数关系，当售价为800元/件时能卖1000件，当售价1000元/件时能卖600件，问售价多少时利润W最大？最大利润是多少？8．某大型超市将进价为40 元的某种服装按50 元售出时，每天可以售出300 套，据市场调查发现，这种服装每提高1 元，销售量就减少5 套，如果超市将售价定为x 元，请你求出每天销售利润y 元与售价x 元的函数表达式．9．某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之问存在着如图所示的一次函数关系.（1）求y关于x的函数关系式；（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利＝年销售额一年销售产品总进价一年总开支）．当销售单价x为何值时，年获利最大？并求这个最大值；（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助⑵中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？10．我市红领服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实验商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量y1（百件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如表所示：时间t（天）0 5 10 15 20 25 30 日销售量y t0 25 40 45 40 25 0 （百件）（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映y1与t的变化规律，并求出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围；（2）网上商店的日销售量y2（百件）与时间t（t为整数，单位：天）的关系如图所示．求y2与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y（百件），求y 与t的函数关系式；当t为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值．11．某旅游度假区内某个宾馆有120间标准房，当标准房价格为每间200元时，每天都客满，经市场调查，标准房价格与平均入住房数之间的关系如下：（1）若日平均入住房数y（间）与日平均每间房价x（元）之间成一次函数关系，求出y关于x的函数关系式：（2）如果不考虑其他因素，宾馆的标准房日平均每间房价为多少元时，客房的日营业收入最大，最大日营业额为多少元？12．某商品现在的售价为每件25元，每天可售出30件．市场调查发现，售价每上涨1元，每天就少卖出2件．已知该商品的进价为每件20元，设该商品每天的销售量为y 件，售价为每件x元（x为正整数）(1) 求y与x之间的函数关系式；(2) 该商品的售价定为每件多少元时，每天的销售利润P（元）最大，最大利润是多少元？(3) 如果物价部门规定该商品每件的售价不得高于32元，若要每天获得的利润不低168元，请直接写出该商品的售价x（元）的取值范围.13．某宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数y(间)与房价x(元)(180≤x≤300)满足一次函数关系，部分对应值如下表：(1)求y与x之间的函数表达式；(2)已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元；每间空置的客房，宾馆每日需支出各种费用60元．当房价为多少元时，宾馆当日利润最大？求出最大利润．(宾馆当日利润=当日房费收入-当日支出)14．某商场将进货价30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个。
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题8(附答案)
4．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）间的关系为 ，由此可知铅球推出的距离是（）
A．2mB．8mC．10mD．12
5．如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝﹣0.2x2+3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（）
13．体育测试时，初三一名学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线 的一部分，该同学的成绩是________．
14．铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y＝﹣ x2+ x+ ，铅球推出后最大高度是_____m，铅球落地时的水平距离是______m.
15．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是 ，则小球从抛出到落地所用的时间是______ s．
（2）网球在斜坡的落点 的垂直高度.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
礼炮到最高点爆炸，那么所需时间为t= ,代入相应数据才能正确解答.
【详解】
解：当礼炮到达最高点时，即为抛物线的顶点，此时t= ，故选：B.
【点睛】
考查二次函数的应用；判断出所求时间为二次函数的顶点坐标的横坐标的值是解决本题的关键.
2．A
（1）小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？
（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？
26．以40m/s的速度将小球沿与地面成约45°角的方向击出，小球的飞行路线是一条抛物线，我们不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：米）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h=20t－5t2.
3．D
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题5(附答案)
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题5（附答案）1．一同学推铅球，铅球高度y(m)关于时间x(s)的函数表达式为y=ax 2+bx(a≠0)．若铅球在第7秒与第14秒时的高度相等，则在第m 秒时铅球最高，则m 的值为（ ） A ．7B ．8C ．10．5D ．212．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m ，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）A ．篮圈中心的坐标是()4,3.05B ．此抛物线的解析式是21 3.55y x =-+ C ．此抛物线的顶点坐标是()3.5,0 D ．篮球出手时离地面的高度是2m3．如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系h ＝20t ﹣5t 2．下列叙述正确的是（ ）A ．小球的飞行高度不能达到15mB ．小球的飞行高度可以达到25mC ．小球从飞出到落地要用时4sD ．小球飞出1s 时的飞行高度为10m4．一学生推铅球，铅球行进的高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系为21251233y x x =-++，则学生推铅球的距离为（ ） A ．35m B ．3mC ．10mD ．12m飞行的高度()h m 与发球后球飞行的时间()t s 满足关系式22 1.5h t t =-++，则该运动员发球后1s 时，羽毛球飞行的高度为（ ） A ．1.5mB ．2mC ．2.5mD ．3m6．铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y ＝－112x 2＋23x ＋53.则该运动员此次掷铅球的成绩是( ) A ．6 mB ．12 mC ．8 mD ．10 m7．从地面竖直向上先后抛出两个小球，小球的高度h (单位：)m 与小球运动时间t (单位：)s 之间的函数关系式为240(3)409h t =--+，若后抛出的小球经过2.5s 比先抛出的小球高103m ，则抛出两个小球的间隔时间是（ ）s A ．1 B ．1.5 C ．2 D ．2.58．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y (m )与水平距离x (m )之间的函数表达式为：y 150=-(x ﹣25)2+12，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为( )m ． A ．12B ．25C ．13D ．149．如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y ＝a （x ﹣k ）2+h ．已知球与D 点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m ，球网与D 点的水平距离为9m ．高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ，则下列判断正确的是（ ）A ．球不会过网B ．球会过球网但不会出界C ．球会过球网并会出界D ．无法确定10．如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y ＝﹣22531312x x ++，则此运动员把铅球推出多远( )11．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为21(4)312y x =--+，由此可知铅球推出的距离是______m ．12．如图，是一学生掷铅球时，铅球行进高度()y cm 的函数图象，点B 为抛物线的最高点，则该同学的投掷成绩为________米．13．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++，则他将铅球推出的距离是__________m ．14．校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度()y m 与水平距离(m)x 之间的函数关系式为21251233y x x =-++，小明这次试掷的成绩是__________．15．从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度h （米）与小球运动时间t （秒）之间关系是h=30t ﹣5t 2（0≤t≤6），则小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是______米． 16．如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心3m ，水管的长为_____．17．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y （米）关于水珠与喷头的水平距离x （米）的函数解析式是()2510042y x x x =-+≤≤．水珠可以达到的最大高度是________（米）．18．某运动员对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y (米)与水平距离x (米)之间的关系为21251233y x x =-++，由此可知该运动员此次实心球训练的成绩为____米．19．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y (单位：m )与飞行时间x (单位：s )之间具有函数关系y ＝﹣5x 2+20x ，在飞行过程中，当小球的行高度为15m 时，则飞行时间是_____．20．如图，铅球运动员掷铅球的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式是y=﹣112x 2+23x+53，则该运动员此次掷铅球的成绩是_____ m ．21．一个斜抛物体的水平运动距离为x （m ），对应的高度记为h （m ），且满足h ＝ax 2+bx ﹣2a （其中a≠0）．已知当x ＝0时，h ＝2；当x ＝10时，h ＝2． （1）求h 关于x 的函数表达式；（2）求斜抛物体的最大高度和达到最大高度时的水平距离．22．如图是甲、乙两人进行羽毛球练习赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y （m ）与水平距离x （m ）的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O 点正上方1m 的P 处发出一球，已知点O 与球网的水平距离为5m ，球网的高度为1.55m ．羽毛球沿水平方向运动4m 时，达到羽毛球距离地面最大高度是53m ． （1）求羽毛球经过的路线对应的函数关系式； （2）通过计算判断此球能否过网；（3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为3124m 的Q 处时，乙扣球成功求此时乙与球网的水平距离．23．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线23315y x x =-++的一部分，如图所示． ()1求演员弹跳离地面的最大高度；()2已知人梯高 3.4BC =米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．24．小明跳起投篮，球出手时离地面m ，球出手后在空中沿抛物线路径运动，并在距出手点水平距离4m 处达到最高度4m .已知篮筐中心距地面3m ，与球出手时的水平距离为8m ，建立如图所示的平面直角坐标系. （1）求此抛物线对应的函数关系式；（2）此次投篮，球能否直接命中篮筐中心？若能，请说明理由；若不能，在出手的角度和力度都不变的情况下，球出手时距离地面多少米可使球直接命中篮筐中心？25．在一次篮球比赛中，如图队员甲正在投篮.已知球出手时离地面209m ，与篮圈中心的水平距离为7 m ，球出手后水平距离为4 m 时达到最大高度4 m ，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3 m.(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，对方队员乙在甲面前1 m 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1 m ，那么他能否获得成功？26．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，如果每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球从发射出到第一次落在桌面的运行过程中，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），距桌面的高度为y （米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：t（秒）0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 …x（米）0 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2 …y（米）0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 …（1）如果y是t的函数，①如图，在平面直角坐标系tOy中，描出了上表中y与t各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；②当t为何值时，乒乓球达到最大高度？（2）如果y是关于x的二次函数，那么乒乓球第一次落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？27．在一场篮球比赛中，一名球员在关键时刻投出一球，已知球出手时离地面高2米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，已知篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3.19米．（1）以地面为x轴，篮球出手时垂直地面所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求篮球运行的抛物线轨迹的解析式；（2）通过计算，判断这个球员能否投中？28．如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m．已知球门的横梁高OA为2.44m．()1在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况）()2守门员乙站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？29．初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？30．如图，某足球运动员站在点O处练习射门．将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y＝at2+5t+c，己知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．（1）a＝，c＝；（2）当足球飞行的时间为多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（3）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？参考答案1．C 【解析】 【分析】由由第7秒和第14秒的高度相同，知道这两个点是关于抛物线的对称轴对称的，从而求出抛物线的对称轴，知道顶点的横坐标，得到答案． 【详解】解：由第7秒和第14秒的高度相同，知道抛物线的对称轴为7142122x +==， 所以顶点的横坐标为212，即函数取得最大值，铅球最高时的时间，所以10.5m =． 故选C ． 【点睛】本题考查的是抛物线的性质，掌握抛物线上纵坐标相等的两个点是关于抛物线对称轴对称的是关键． 2．A 【解析】 【分析】设抛物线的表达式为y=ax 2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a 的值，可判断A ；根据函数图象可判断B 、C ；设这次跳投时，球出手处离地面hm ，因为求得21 3.55y x =-+，当x=-2，5时，即可判断D ． 【详解】解：A 、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5）， ∴可设抛物线的函数关系式为y=ax 2+3.5．∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5， ∴a=15-， ∴21 3.55y x =-+，故本选项正确； B 、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），故本选项错误； C 、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），故本选项错误； D 、设这次跳投时，球出手处离地面hm ，因为（1）中求得y=-0.2x2+3.5，∴当x=-2.5时，h=-0.2×（-2.5）2+3.5=2.25m．∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m，故本选项错误．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．3．C【解析】【分析】直接利用h＝15以及结合配方法求出二次函数最值分别分析得出答案．【详解】A、当h＝15时，15＝20t﹣5t2，解得：t1＝1，t2＝3，故小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误；B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，故t＝2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误；C、∵h＝0时，0＝20t﹣5t2，解得：t1＝0，t2＝4，∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项正确；D、当t＝1时，h＝15，故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项错误；故选C．此题主要考查了二次函数的应用，灵活运用所学知识是解题关键．4．C【解析】【分析】铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值．【详解】 令函数式21251233y x x =-++中，y =0， 即21251233x x -++=0， 解得1210,2x x ==- (舍去)，即铅球推出的距离是10m.故选C.【点睛】考查二次函数的应用以及函数式中自变量与函数表达式的实际意义，需要结合题意. 5．C【解析】【分析】根据函数关系式，求出t=1时的h 的值即可．【详解】22 1.5h t t =-++∴t=1s 时，h=-1+2+1.5=2.5故选C.【点睛】本题考查了二次函数的应用，知道t=1时满足函数关系式是解题的关键.6．D【解析】【分析】依题意，该二次函数与x 轴的交点的x 值为所求．即在抛物线解析式中．令y=0，求x 的正【详解】把y=0代入y=-112x 2+23x+53得： -112x 2+23x+=0， 解之得：x 1=10，x 2=-2．又x ＞0，解得x=10．故选D ．7．B【解析】【分析】把t=2.5代入240(3)409h t =--+，求得3509h =，当35010320939h =-=时，解方程即可得出结论.【详解】解：把t=2.5代入240(3)409h t =--+，得3509h =， 当35010320939h =-=时，即240320(3)4099t --+=， 解得 t=4或t=-2（不合题意，舍去）∴抛出两个小球间隔的时间是4-2.5=1.5.故选B.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键.8．A【解析】【分析】直接根据二次函数的图象及性质即可得出答案．【详解】解：∵y 150=-(x ﹣25)2+12， 顶点坐标为(25，12)， ∵150-＜0， ∴当x ＝25时，y 有最大值，最大值为12．故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数的最大值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．9．C【解析】分析：（1）将点A (0,2)代入2(6) 2.6y a x =-+求出a 的值；分别求出x =9和x =18时的函数值，再分别与2.43、0比较大小可得．详解：根据题意,将点A (0,2)代入2(6) 2.6y a x =-+，得：36a +2.6=2， 解得：160a ，=- ∴y 与x 的关系式为21(6) 2.660y x =--+； 当x =9时,()2196 2.6 2.45 2.4360y =--+=>， ∴球能过球网， 当x =18时,()21186 2.60.2060y =--+=>， ∴球会出界.故选C.点睛：考查二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，根据题意确定范围.10．B【解析】【分析】令y ＝﹣22531312x x ++＝0，解得符合题意的x 值，则该值为此运动员把铅球推出的距离，据此可解.【详解】解：令y ＝﹣22531312x x ++＝0 则：x 2﹣8x ﹣20＝0∴(x+2)(x ﹣10)＝0∴x 1＝﹣2(舍)，x 2＝10由题意可知当x ＝10时，符合题意故选：B.【点睛】本题考查二次函数的实际应用，利用数形结合思想解题是本题的关键.11．10【解析】【分析】要求铅球推出的距离，实际上是求铅球的落脚点与坐标原点的距离，故可直接令0y =，求出x 的值，x 的正值即为所求．【详解】 在函数式21(4)312y x =--+中，令0y =，得 21(4)3012x --+=，解得110x =，22x =-（舍去）， ∴铅球推出的距离是10m.【点睛】 本题是二次函数的实际应用题，需要注意的是21(4)312y x =--+中3代表的含义是铅球在起始位置距离地面的高度；当0y =时，x 的正值代表的是铅球最终离原点的距离．12．(4+【解析】【分析】根据函数的顶点B 的坐标设解析式为y =a (x −4)2+3，把（0，2）代入得出2=a (0−4)2+3，求出a ，得出函数的解析式是21(4)316y x =--+，把y =0代入解析式，求出方程的解即可． 【详解】∵函数的图象的最高点是B ,B 的坐标是(4,3)，∴设函数的解析式是y =a (x −4)2+3，∵图象过(0,2)点，∴代入得：2=a (0−4)2+3， 解得：116a =-， ∴函数的解析式是21(4)316y x =--+， 把y =0代入解析式得：210(4)316x =--+，解得：1244x x =+=-∴(4A +，故答案为(4+【点睛】考查二次函数在实际问题中的应用，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.. 13．10【解析】【分析】令y=0时求出x 的值，保留正值，即为该男生将铅球推出的距离．【详解】解：当y=0时，2125=01233x x -++， 解方程得，x 1=10，x 2=-2（负值舍去），∴该男生把铅球推出的水平距离是10 m ．故答案为：10.【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，可以用配方法写成顶点式求得；同时本题还考查了二次函数与一元二次方程的关系及解一元二次方程，本题属于中档题．14．10米【解析】【分析】根据题意，将y=0代入解析式中，求出x 的值即可．【详解】解：将y=0代入21251233y x x =-++中，得 212501233x x -++= 解得：1210,2x x ==-（不符合实际，舍去）∴小明这次试掷的成绩是10米故答案为：10米．【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握x 和y 的实际意义和一元二次方程的解法是解决此题的关键．15．50【解析】【分析】根据题目中的函数解析式可以求得h 的最大值，从而可以求得小球从抛出后运动4秒共运动的路径长．【详解】解：∵h ＝30t−5t 2＝−5（t−3）2＋45（0≤t≤6），∴当t ＝3时，h 取得最大值，此时h ＝45，∴小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是：45＋[45−（30×4−5×42）]＝50（米）， 故答案为：50．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的路径的长．16．2.25m ．【解析】【分析】设抛物线的解析式为：y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x ≤3），将（3，0）代入求得a 值，则x=0时得y 值即为水管的长.【详解】解：由于在距池中心的水平距离为1m 时达到最高，高度为3m ，则设抛物线的解析式为：y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x ≤3），代入（3，0）求得：a ＝34-， 将a 值代入得到抛物线的解析式为：y ＝34-（x ﹣1）2+3（0≤x ≤3）， 令x ＝0，则y ＝94＝2.25． 则水管长为2.25m ．故答案为：2.25m ．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的应用是解题的关键.17．10【解析】【分析】将一般式转化为顶点式，依据自变量的变化范围求解即可.【详解】 解：()()222555104210222y x x x x x =-+=--=--+，当x=2时，y 有最大值10， 故答案为：10.【点睛】利用配方法将一般式转化为顶点式，再利用顶点式去求解函数的最大值.18．10【解析】【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可．【详解】当y=0时，212501233x x -++= 解得，x=-2（舍去），x=10．故答案为：10．【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．19．1s 或3s【解析】【分析】根据题意可以得到15=﹣5x 2+20x ，然后求出x 的值，即可解答本题．【详解】∵y=﹣5x 2+20x ，∴当y=15时，15=﹣5x 2+20x ，得x 1=1，x 2=3，故答案为1s 或3s ．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和一元二次方程的知识解答．20．10【解析】【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可．【详解】 解：在21251233y x x =-++中，当y=0时， 212501233x x -++= 整理得：x 2-8x-20=0，（x-10）（x+2）=0，解得x 1=10，x 2=-2（舍去），即该运动员此次掷铅球的成绩是10m ．故答案为：10．【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．21．（1）h ＝﹣x 2+10x+2；（2）斜抛物体的最大高度为27，达到最大高度时的水平距离为5．【解析】【分析】（1）将当x ＝0时，h ＝2；当x ＝10时，h ＝2，代入解析式，可求解；（2）由h ＝−x 2＋10x ＋2＝−（x−5）2＋27，即可求解．【详解】（1）∵当x ＝0时，h ＝2；当x ＝10时，h ＝2．∴222100102a a b a =-⎧⎨=+-⎩解得：110a b =-⎧⎨=⎩ ∴h 关于x 的函数表达式为：h ＝﹣x 2+10x+2；（2）∵h ＝﹣x 2+10x+2＝﹣（x ﹣5）2+27，∴斜抛物体的最大高度为27，达到最大高度时的水平距离为5．【点睛】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数的解析式是本题的关键．22．（1）215(4)243y x =--+；（2）此球能过网，见解析；（3）2m 【解析】【分析】（1）依题意，函数图象的顶点坐标为（4，53），则可设函数的解析式为：25(4)3y a x =-+，再由点（0，1）在抛物线上，代入求得a 即可（2）将x ＝5代入所求的函数解析式，求得y 即可判断；（3）将y ＝3124代入函数解析式求得x ，即可求出乙与球网的水平距离． 【详解】解（1）依题意，函数图象的顶点坐标为54,3⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故设函数的解析式为：25(4)3y a x =-+，∵点(0,1)在抛物线上，∴代入得251(04)3a =-+， 解得124a =-， 则羽毛球经过的路线对应的函数关系式为：215(4)243y x =--+； （2）由（1）知羽毛球经过的路线对应的函数关系式为215(4)243y x =--+， 则当5x =时，21513(54) 1.6252438y =-⨯-+==， ∵1.625 1.55>，∴此球能过网；（3）由（1）知羽毛球经过的路线对应的函数关系式为215(4)243y x =--+， 当3124y =时，有23115(4)24243x =--+， 解得11x =（舍去），27x =，∴此时乙与球网的水平距离为：752m -=.【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，利用待定系数法求出羽毛球经过的路线对应的函数关系式是解题的关键．23．(1) 194；（2）能成功；理由见解析. 【解析】【分析】（1）将抛物线解析式整理成顶点式，可得最大值，即为最大高度；（2）将x=4代入抛物线解析式，计算函数值是否等于3.4进行判断.【详解】 (1)y=-35x 2+3x+1=-35252x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+194 ∵-35＜0，∴函数的最大值是194．答：演员弹跳的最大高度是194米．(2)当x=4时，y=-35×42+3×4+1=3.4=BC，所以这次表演成功．【点睛】此题将用待定系数法求二次函数解析式、动点问题和最小值问题相结合，有较大的维跳跃，考查了同学们的应变能力和综合思维能力，是一道好题．24．（1）y=；(2）不能正中篮筐中心；3米.【解析】试题分析：（1）根据顶点坐标（4，4），设抛物线的解析式为：y=，由球出手时离地面m，可知抛物线与y轴交点为（0，），代入可求出a的值，写出解析式；（2）先计算当x=8时，y的值是否等于3，把x=8代入得：y=，所以要想球经过（8，3），则抛物线得向上平移3﹣=个单位，即球出手时距离地面3米可使球直接命中篮筐中心．试题解析：（1）设抛物线为y=，将（0，）代入，得=，解得a=，∴所求的解析式为y=；（2）令x=8，得y==≠3，∴抛物线不过点（8，3），故不能正中篮筐中心；∵抛物线过点（8，），∴要使抛物线过点（8，3），可将其向上平移个单位长度，故小明需向上多跳m再投篮（即球出手时距离地面3米）方可使球正中篮筐中心．考点：二次函数的应用．25．（1）能准确投中（2）能获得成功【解析】【分析】（1）根据条件先确定抛物线的解析式，然后令x=7，求出y的值，与3m比较即可作出判断；（2）将x=1代入抛物线的解析式，求出y的值与3．1比较大小即可．【详解】解：（1）由题意可得抛物线的顶点为（4,4），出手点为（0，209），设2()y a x h k=-+，则h=4，k=4，然后把点（0，209）代入解析式得19a=-，所以()21449y x=--+，当x＝7时，y＝3，所以此球能准确投中．（2）当x＝1时，y＝3＜3．1，他能获得成功．考点：二次函数的应用26．（1）①见解析；②t=0.4（秒），乒乓球达到最大高度；（2）52 m．【解析】【分析】（1）①根据描出了上表中y与t各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象即可；②利用网格中数据直接得出乒乓球达到最大高度时的时间；（2）首先求出函数解析式，进而求出乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离．【详解】解：（1）①如图所示，②由表格中数据可得，t=0.4（秒），乒乓球达到最大高度；（2）由表格中数据，可设y=a（x﹣1）2+0.45，将（0，0.25）代入，可得：a=﹣15，则y=﹣15（x﹣1）2+0.45，当y=0时，0=﹣15（x﹣1）2+0.45，解得：x1=52，x2=﹣12（舍去），即乒乓球与端点A 的水平距离是52m ．【点睛】考点：二次函数的应用．27．（1）21(4)48y x =-+；（2）不能投中 【解析】【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点，设函数的顶点式，再将（0，2）代入，求得二次项系数，从而可得抛物线的解析式；（2）判断当x ＝7时，函数值是否等于3.19即可．【详解】（1）依题意得抛物线顶点为（4，4），则设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣4）2+4依题意得抛物线经过点（0，2）∴a （0﹣4）2+4＝2解得18a =- ∴抛物线的解析式为21(4)48y x =-+ （2）当x ＝7时，21(4)48y x =-+=23 3.198≠ ∴这个球员不能投中．【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法以及实际应用，关键是求得函数的解析式，借助二次函数解决实际问题.28．（1）能射中球门；（2）他至少后退0.4m，才能阻止球员甲的射门．【解析】【分析】(1)、根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（4，3），利用待定系数法即可求得函数的解析式；(2)、求出当x=2时，抛物线的函数值，与2.52米进行比较即可判断，再利用y=2.52求出x的值即可得出答案．【详解】(1)、抛物线的顶点坐标是（4，3），设抛物线的解析式是：y=a（x-4）2+3，把（10，0）代入得36a+3=0，解得a=-112，则抛物线是y=-112（x-4）2+3，当x=0时，y=-112×16+3=3-43=53＜2.44米，故能射中球门；（2）当x=2时，y=-112（2-4）2+3=83＞2.52，∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门，当y=2.52时，y=-112（x-4）2+3=2.52，解得：x1=1.6，x2=6.4（舍去），∴2-1.6=0.4（m），答：他至少后退0.4m，才能阻止球员甲的射门．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，属于中等难度的题型．根据题意得出函数的顶点坐标，求得函数解析式是解题的关键．29．（1）y=−19(x−4)2+4；能够投中；（2）能够盖帽拦截成功．【解析】【分析】（1）根据题意可知：抛物线经过（0，209），顶点坐标是（4，4），然后设出抛物线的顶点式，将（0，209）代入，即可求出抛物线的解析式，然后判断篮圈的坐标是否满足解析式即可；（2）当1x 时，求出此时的函数值，再与3.1m比较大小即可判断. 【详解】解：由题意可知，抛物线经过（0，209），顶点坐标是（4，4）．设抛物线的解析式是()244y a x =-+， 将（0，209）代入，得()2200449a =-+ 解得19a =-， 所以抛物线的解析式是()21449y x =--+； 篮圈的坐标是（7，3），代入解析式得()2174439y =--+=， ∴这个点在抛物线上，∴能够投中 答：能够投中．（2）当1x =时，()2114439y =--+=<3.1， 所以能够盖帽拦截成功.答：能够盖帽拦截成功.【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的顶点式和利用二次函数解析式解决实际问题是解决此题的关键.30．（1）2516-，12；（2）当足球飞行的时间85s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5m ；（3）能．【解析】【分析】（1）由题意得：函数y ＝at 2+5t +c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），代入函数的表达式即可求出a ，c 的值；（2）利用配方法即可求出足球飞行的时间以及足球离地面的最大高度；（3）把x ＝28代入x ＝10t 得t ＝2.8，把t ＝2.8代入解析式求出y 的值和2.44m 比较大小即可得到结论．【详解】（1）由题意得：函数y ＝at 2+5t +c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴20.53.50.850.8c a c =⎧⎨=+⨯+⎩， 解得：251612a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣2516t 2+5t +12， 故答案为：﹣2516，12； （2）∵y ＝﹣2516t 2+5t +12， ∴y ＝﹣2516（t ﹣85）2+92， ∴当t ＝85时，y 最大＝4.5， ∴当足球飞行的时间85s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5m ； （3）把x ＝28代入x ＝10t 得t ＝2.8，∴当t ＝2.8时，y ＝﹣2516×2.82+5×2.8+12＝2.25＜2.44， ∴他能将球直接射入球门．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是解题的关键．。
初中数学二次函数的图象与性质基础过关测试题3(附答案详解)
初中数学二次函数的图象与性质基础过关测试题3（附答案详解）1．将抛物线24y x =+先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（ ） A ．2(2)3y x =-- B ．2(2)3y x =+- C ．2(2)3y x =-+D ．2(2)3y x =++2．如图，已知抛物线y ＝x 2+bx +c 与直线y ＝x 交于（1，1）和（3，3）两点，现有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②3b +c +6＝0；③当x 2+bx +c ＞2x时，x ＞2；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x +c ＜0，其中正确的序号是（ ）A ．①②④B ．②③④C ．②④D ．③④3．二次函数y ＝2x 2－8x ＋9的图象可由y ＝2x 2的图象怎样平移得到（ ） A ．先向右平移2个单位再向上平移1个单位 B ．先向右平移2个单位再向下平移1个单位 C ．先向左平移2个单位再向上平移1个单位 D ．先向左平移2个单位再向下平移1个单位4．若点（﹣2，y 1），（﹣1，y 2），（3，y 3）在二次函数y ＝﹣x 2+x ﹣3的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．y 3＝y 1＜y 2B ．y 3≤y 2≤y 1C ．y 2＜y 1＝y 3D ．y 1＜y 2＜y 35．对于每个自然数n ，抛物线()()221111n y x x n n n n +=-+++与x 轴交于n A 、n B ，两点，以n n A B 表示该两点间的距离，则1122A B A B ++⋅⋅⋅20152015A B +值为（ ）. A ．20142015B ．20162015C ．20152014D ．201520166．已知点A(-3,y 1),B(-1,y 2),C(2,y 3)在函数y=-x 2的图象上,则y 1,y 2,y 3的大小关系为( ) A ．y 1<y 2<y 3B ．y 1<y 3<y 2C ．y 3<y 2<y 1D ．y 2<y 1<y 37．抛物线y=﹣x 2经过平移得到抛物线y=﹣（x+2）2﹣3，平移的方法是（ ） A ．向左平移2个，再向下平移3个单位 B ．向右平移2个，再向下平移3个单位 C ．向左平移2个，再向上平移3个单位D ．向右平移2个，再向上平移3个单位9．把抛物线y ＝ax 2+bx+c 图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是y ＝x 2+5x+6，则a ﹣b+c 的值为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．1210．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c +2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＝0；③a ＞2；④ax 2+bx +c ＝﹣2的根为x 1＝x 2＝﹣1；⑤若点B （﹣14，y 1）、C （﹣12，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＞y 2．其中正确的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．511．将抛物线y ＝x 2﹣6x +5化成y ＝a （x ﹣h ）2﹣k 的形式，则hk ＝_____． 12．如图，ABC ∆的顶点坐标分别为()()()0,4,2,0,4,2A B C ，若二次函数22y x bx =++的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b 的取值范围是__________．13．若抛物线y=x 2+bx(b>2)上存在关于直线y=x 成轴对称的两个点，则b 的取值范围是______.14．已知抛物线的顶点坐标为(1,8)--，且过点(0,6)-，则该抛物线的表达式为________．15．二次函数22(1)4y x =-+-图象的顶点坐标是______.16．抛物线2(0)y ax a =≠沿某条直线平移一段距离，我们把平移后得到的新抛物线叫做原抛物线的“同簇抛物线”．如果把抛物线2yx 沿直线y x =向上平移，平移距离2时，那么它的“同簇抛物线”的表达式是_____．17．在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y = x 2 的图象经过点M (x 1 , y 1 ) ，N (x 2 , y 2 ) 两点，若- 4< x 1< -2， 0< x 2 <2 ，则 y 1 ____ y 2 . （用“ < ”，“=”或“>”号连接） 18．对于二次函数y=5x 2+bx+c ，甲、乙、丙、丁四位同学给出四个说法，甲：图象对称轴是x=1；乙：函数最小值为3；丙：当x=﹣1时，y=0；丁：点（2，8）在函数图象上．其中有且仅有一个说法是错误的，则哪位同学的说法是错误的_____． 19．已知抛物线y=2x 2-bx+3的对称轴经过点（2，—1），则b 的值为______.20．某同学利用描点法画二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象时，列出的部分数据如下表：经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你根据上述信息写出该二次函数的解析式：_____ x 0 1 2 3 4 y3﹣2321．已知二次函数y ＝﹣x 2﹣2x+3．（1）把函数关系式配成顶点式并求出图象的顶点坐标和对称轴．（2）若图象与x 轴交点为A ．B ，与y 轴交点为C ，求A 、B 、C 三点的坐标； （3）在图中画出图象．并求出△ABC 面积．22．已知抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点()C 0,6-与x 轴的一个交点坐标是()A 2,0-．()1求此抛物线的顶点D 的坐标；()2将此图象沿x 轴向左平移2个单位长度，直接写出当y 0<时x 的取值范围．23．已知二次函数y ＝x 2﹣6mx+9m 2+n （m ，n 为常数）（1）若n ＝﹣4，这个函数图象与x 轴交于A ，B 两点（点A ，B 分别在x 轴的正、负半轴），与y 轴交于点C ，试求△ABC 面积的最大值；（2）若n ＝4m+4，当x 轴上的动点Q 到抛物线的顶点P 的距离最小值为4时，求点Q 的坐标．24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:23c y ax ax =-+与直线:l y kx b =+交于A ，B 两点，且点A 在y 轴上，点B 在x 轴的正半轴上.（1）直接写出点A 的坐标； （2）若1a =-，求直线l 的解析式； （3）若31k -≤≤-，求a 的取值范围.25．如图，是一块三角形材料，∠A ＝30°，∠C ＝90°，AB ＝6．用这块材料剪出一个矩形DECF ，点D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 上，要使剪出的矩形DECF 面积最大，点D 应该选在何处？26．如图，已知二次函数21:22(0)L y ax ax a a =++->和二次函数22:(2)2(0)=--+>L y a x a 图象的顶点分别为M 、N ，与x 轴分别相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）和C 、D 两点（点C 在点D 的左边），(1))函数222(0)y ax ax a a =++->的顶点坐标为 ；当二次函数L 1 ，L 2 的y 值同时随着x 的增大而增大时，x 的取值范围是 ；(2)当AD=MN 时，求a 的值，并判断四边形AMDN 的形状（直接写出，不必证明）； (3)当B ，C 是线段AD 的三等分点时，求a 的值.27．在如图的平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2﹣2amx +am 2+1（a ＜0）与x 轴交于点A 和点B ，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，顶点是D ，且∠DAB ＝45°． （1）填空：点C 的纵坐标是 （用含a 、m 的式子表示）； （2）求a 的值；（3）点C 绕O 逆时针旋转90°得到点C ′，当﹣12≤m ≤52时，求BC ′的长度范围．28．如图，直线y =－x +4与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，点A 在x 轴负半轴上，且OA =12OB , 抛物线y =ax 2+bx +4经过A ，B ，C 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作PD⊥BC，垂足为D，用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD的最大值；（3）设点E为抛物线对称轴与直线BC的交点，若A，B，E三点到同一直线的距离分别是d1，d2，d3，问是否存在直线l，使得d1= d2=12d3? 若存在，请直接写出d3的值，若不存在，请说明理由．参考答案1．D 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”进行判断即可. 【详解】解：抛物线24y x =+先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线的函数关系式是：2(2)3y x =++. 故选D. 【点睛】本题考查了抛物线的平移，属于基础题型，熟知抛物线的平移规律是解题的关键. 2．C 【解析】 【分析】由函数y ＝x 2+bx +c 与x 轴无交点，可得b 2﹣4c ＜0；当x ＝3时，y ＝9+3b +c ＝3，3b +c +6＝0；利用抛物线和双曲线交点（2，1）得出x 的范围；当1＜x ＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x 2+bx +c ＜x ，继而可求得答案． 【详解】∵函数y ＝x 2+bx +c 与x 轴无交点， ∴b 2﹣4ac ＜0； ∴b 2﹣4c ＜0 故①不正确；当x ＝3时，y ＝9+3b +c ＝3， 即3b +c +6＝0； 故②正确；把（1，1）（3，3）代入y ＝x 2+bx +c ，得抛物线的解析式为y ＝x 2﹣3x +3， 当x ＝2时，y ＝x 2﹣3x +3＝1，y ＝2x＝1， 抛物线和双曲线的交点坐标为（2，1）第一象限内，当x＞2时，x2+bx+c＞2x；或第三象限内，当x＜0时，x2+bx+c＞2x；故③错误；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确；故选：C．【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．3．A【解析】【分析】先将二次函数y＝2x2－8x＋9变形为顶点式，再利用函数平移规则：上加下减，左加右减，即可解答.【详解】y＝2x2－8x＋9=2（x-2）2+1所以由y＝2x2的图象先向右平移2个单位再向上平移1个单位得到二次函数y＝2x2－8x＋9的图象.故选A【点睛】本题考查二次函数平移，熟练掌握二次函数平移规律“上加下减，左加右减”是解题关键. 4．A【解析】【分析】首先根据二次函数解析式确定抛物线的对称轴为x＝12，再根据抛物线的增减性以及对称性可得y1，y2，y3的大小关系．【详解】解：∵二次函数y ＝﹣x 2+x ﹣3＝﹣（x ﹣12）2﹣114，∴对称轴为x ＝12， ∵a ＜0， ∴x ＜12时，y 随x 增大而增大， ∵（3，y 3）关于对称轴的对称点为（﹣2，y 3） ∴y 3＝y 1＜y 2． 故选：A ． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数的增减性． 5．D 【解析】 【分析】首先求出抛物线与x 轴两个交点坐标，然后由题意得到n n A B 111n n =-+，进而求出1122A B A B ++⋅⋅⋅20152015A B +的值．【详解】 令y =x 2()211n n n +-+x ()11n n +=+0， 即x 2()211n n n +-+x()11n n +=+0， 解得：x 1n =或x 11n =+， 故抛物线y =x 2()211n n n +-+x ()11n n ++与x 轴的交点为（1n ，0），（11n +，0），由题意得：n n A B 111n n =-+，则1122A B A B ++⋅⋅⋅20152015A B +=11111122320152016-+-++-=11201520162016-=． 故选D ． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴交点的知识，解答本题的关键是求出n n A B ． 6．B 【解析】 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入二次函数解析式，计算出y 1、y 2、y 3的值，然后比较它们的大小． 【详解】当x=-3时，y 1=-x 2=-9；当x=-1时，y 2=-x 2=-1；当x=2时，y 3=-x 2=-4， 所以y 1＜y 3＜y 2． 故选B ． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 7．A 【解析】 【分析】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况． 【详解】解：抛物线y=-x 2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标为（-2，-3），而点（0，0）向左平移2个，再向下平移3个单位可得到（-2，-3），所以抛物线y=-x 2向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y=﹣（x+2）2﹣3． 故选A ． 【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 8．C【解析】【分析】 根据图上给出的条件是与x 轴交于（1，0），叫我们加个条件使对称轴是x=2，意思就是抛物线的对称轴是x=2是题目的已知条件，这样可以求出a 、b 的值，然后即可判断题目给出四个人的判断是否正确．【详解】解：∵抛物线过（1，0），对称轴是x=2，3022a b b a++=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩ 解得a=1，b=-4，∴y=x 2-4x+3，当x=3时，y=0，所以小华正确；当x=4时，y=3，小彬也正确，小明也正确；抛物线被x 轴截得的线段长为2，已知过点（1，0），则可得另一点为（-1，0）或（3，0），所以对称轴为y 轴或x=2，此时答案不唯一，所以小颖错误．故选：C ．【点睛】本题是开放性题目，要把题目的结论作为题目的条件，再推理出四个人说的结论的正误．难度较大．9．B【解析】【分析】求得平移后抛物线的顶点坐标，根据平移规律求得原抛物线的顶点坐标，写出原抛物线解析式，即可取得a 、b 、c 的值．【详解】y ＝x 2+5x+6＝（x+）2﹣．则其顶点坐标是（﹣，﹣），将其右左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到（﹣，）．故原抛物线的解析式是：y ＝（x+）2+＝x 2+x+3．所以a ＝b ＝1，c ＝3．所以a ﹣b+c ＝1﹣1+3＝3．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．10．D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】 解：①由抛物线的对称轴可知：02b a -<， ∴0ab >，由抛物线与y 轴的交点可知：22c +>，∴0c >，∴0abc >，故①正确；②抛物线与x 轴只有一个交点，∴0∆=，∴240b ac -=，故②正确；③令1x =-，∴20y a b c =-++=， ∵12b a-=-， ∴2b a =，∴220a a c -++=，∴2a c =+，∵22c +>，∴2a >，故③正确；④由图象可知：令0y =，即202ax bx c =+++的解为121x x ==-,∴22ax bx c ++=-的根为121x x ==-，故④正确； ⑤∵11124-<-<-， ∴12y y >，故⑤正确；故选D ．【点睛】考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用数形结合的思想.11．﹣12．【解析】【分析】将抛物线化成顶点式，可得h ，k 的值，代入计算即可.【详解】解：∵y ＝x 2﹣6x +5＝x 2﹣6x +9﹣4＝（x ﹣3）2﹣4，∴h ＝3，k ＝﹣4，∴hk ＝3×（﹣4）＝﹣12．故答案是：﹣12．【点睛】本题考查了抛物线的顶点式，熟练掌握顶点式的转化是解题关键.12．b≥-4【解析】【分析】因为a=1＞0，根据左同右异可知，对称轴在y 轴的左侧时，b ＞0，对称轴在y 轴右侧时，b ＜0，对称轴x=-2b ≤2时，二次函数y=x 2+bx+2的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点． 【详解】抛物线y=x 2+bx+2与y 轴的交点为（0，2），∵C （4，2），当对称轴在y 轴的右侧时当C 与（0，2）是对称点时，抛物线的对称轴的位置在最右边，∴对称轴0＜-2b ≤2时，二次函数y=x 2+bx+2的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点， ∴-4≤b ＜0．当对称轴在y 轴或y 轴的右侧时，都满足条件则有-02b ≤ 解得：b ≥0， 故有b≥-4故答案为b≥-4．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题时，利用了二次函数对称轴的位置列不等式来求b 的取值范围，并利用数形结合的思想．13．b>3【解析】【分析】可设出对称的两个点P ，Q 的坐标，利用两点关于直线y=x 成轴对称，可以设直线PQ 的方程为y=-x+a ，由于P 、Q 两点存在，所以方程组2y x a y x bx =-+⎧⎨=+⎩有两组不同的实数解，利用中点在直线上消去b ，建立关于a 的函数关系，求出变量a 的范围．【详解】解：设抛物线上关于直线l 对称的两相异点为P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），线段PQ 的中点为M （x 0，y 0），设直线PQ 的方程为y=x+a ，由于P 、Q 两点存在，所以方程组2y x a y x bx=-+⎧⎨=+⎩有两组不同的实数解， 即得方程x 2+（1+b ）x -a=0．①判别式△=21b （）+-41a ⨯⨯-（）＞0．② 由①得x 0=x1x22+=-1b 2+，y 0=-x 0+a=1b 2++a ∵M （x 0，y 0）在y=x 上，x 0=y 0∴-1b 1b 22++=+a ∴a=-b-1代入②解得b ＞3或b <-1 ∵b>2，∴b ＞3故答案为b ＞3【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，以及对称问题，属于难题，有一定的计算量． 14．22(1)8y x =+-【解析】【分析】利用顶点式求解即可，设y=a （x+1）2-8，把(0,6)-代入求解.【详解】设y=a （x+1）2-8，把(0,6)-代入，得-6=a ×（0+1）2-8，∴a=2，∴22(1)8y x =+-.故答案为：22(1)8y x =+-.【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法,关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数．一般式：y=ax 2+bx+c （a≠0）；顶点式y=a （x-h ）2+k ，其中顶点坐标为（h ，k ）；交点式y=a （x-x 1）（x-x 2），抛物线与x 轴两交点为（x 1，0），（x 2，0）．15．(-1,-4)【解析】【分析】根据抛物线的顶点式直接得到答案.【详解】二次函数22(1)4y x =-+-图象的顶点坐标是(1,4)--.【点睛】本题考查二次函数的顶点式，二次函数的顶点式为y=a （x-h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ），解决此题需注意坐标的符号问题.16．()211y x =-+【解析】【分析】沿直线y=x y=ax 2 (a≠0)向右平移1个单位，向上平移1个单位，即可得到平移后抛物线的表达式．【详解】解:∵抛物线2y x =沿直线y x =向上平移，相当于抛物线()2y ax a 0=≠向右平移1个单位，向上平移1个单位，∴根据平移的规律得到:“同簇抛物线”的表达式是()2y x 11=-+．故答案为:()2y x 11=-+．【点睛】本题考查了二次函数的几何变换:由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．17．>【解析】【分析】通过比较点M 和点N 到y 轴的距离的远近判断y 1与y 2的大小．【详解】解：抛物线y=x 2的对称轴为y 轴，而M （x 1，y 1）到y 轴的距离比N （x 2，y 2）点到y 轴的距离要远，所以y 1＞y 2．故答案为：＞．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．利用二次函数的图象比较二次函数值的大小比较简便．18．丙【解析】【分析】设甲乙正确，利用顶点时写出抛物线的解析式为y=5（x-1）2+3，然后计算自变量为-1和2对应的函数值，从而判断丙错误．【详解】若甲乙对，则抛物线的解析式为y=5（x-1）2+3，当x=-1时，y=23，此时丙错误；当x=2时，y=8，此时丁正确．而其中有且仅有一个说法是错误的，所以只有丙错误．故答案为丙．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．19．8【解析】【分析】根据公式法可求对称轴，可得关于b 的一元一次方程，解方程即可．【详解】∵抛物线y=2x 2-bx+3的对称轴经过点（2，-1），∴对称轴x=-22b =2， 解得：b=8．故答案为8．【点睛】此题考查二次函数的性质，掌握利用公式法求对称轴是解决问题的关键．20．y＝x2﹣4x+3．【解析】【分析】由图表的信息知：第一、二、四、五个点的坐标都关于x=2对称，所以错误的一组数据应该是（2，-2）；可选取其他四组数据中的任意三组，用待定系数法求出抛物线的解析式．【详解】解：选取（0，3）、（1，0）、（3，0）；设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），则有：a（0﹣1）（0﹣3）＝3，a＝1；∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3．故答案为y=x2﹣4x+3【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，能够正确的判断出错误的一组数据是解答此题的关键．21．（1）y=﹣（x+1）2+4（2）抛物线与 y 轴的交点 C（0，3）（3）6【解析】【分析】（1）根据配方法步骤将解析式配成顶点式可得；（2）求出y=0时x的轴可得点A、B的坐标，求出x=0时y的值可得点C的坐标；（3）根据抛物线的顶点坐标及其与坐标轴的交点可画出抛物线的图象，再由三角形的面积公式可得答案．【详解】（1）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x2+2x+1﹣1）+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），对称轴为直线 x ＝﹣1； （2）当 y ＝0 时，﹣x 2﹣2x+3＝0，解得：x ＝1 或 x ＝﹣3，∴抛物线与 x 轴的交点 A （﹣3，0）、B （1，0），当 x ＝0 时，y ＝3，∴抛物线与 y 轴的交点 C （0，3）；（3）其函数图象如下图所示：S △ABC ＝ AB•y C ＝ ×4×3＝6．【点睛】本题考查的知识点是抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式，解题的关键是熟练的掌握抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式.22．(1) D 的坐标为125,24⎛⎫-⎪⎝⎭；(2) 4x 1-<<. 【解析】【分析】 ()1根据抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点()C 0,6-与x 轴的一个交点坐标是()A 2,0-，可以求得该抛物线的解析式，然后将解析式化为顶点式，即可求得点D 的坐标；()2根据平移的特点，可以得到平移后抛物线的解析式，从而可以写出当y 0<时x 的取值范围．【详解】解：()1抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点()C 0,6-与x 轴的一个交点坐标是()A 2,0-， {c 642b c 0=-∴-+=，得{b 1c 6=-=-， ∴抛物线的解析式为22125y x x 6(x )24=--=--， ∴此抛物线的顶点D 的坐标为125,24⎛⎫- ⎪⎝⎭； ()2抛物线的解析式为2125y (x )24=--， ∴此图象沿x 轴向左平移2个单位长度后对应的函数解析式为：22125325y (x 2)(x )2424=-+-=+-， ∴平移后抛物线的对称轴为直线3x 2=-，当y 0=时，1x 4=-，2x 1=， ∴当y 0<时x 的取值范围是4x 1-<<．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．23．（1）当m ＝0时，△ABC 的面积最大为8；（2）Q 点的坐标为（﹣6，0）或（0，0）．【解析】【分析】（1）把n ＝﹣4代入得到带有m 的解析式解析式y ＝x 2﹣6mx+9m 2﹣4，再用带有m 的值表示出A 、B 、C 的坐标，然后得出三角形面积判断最大值；（2）把n ＝4m+4代入原解析式得到y ＝（x ﹣3m ）2+4m+4，得出顶点P 的坐标，再根据动点Q 到抛物线的顶点P 的距离最小时为PQ 的横坐标相同，即可得出Q 的坐标.【详解】解：（1）若n ＝﹣4，则y ＝x 2﹣6mx+9m 2﹣4，当x ＝0时，y ＝9m 2﹣4，∴C （0，9m 2﹣4），∵这个函数图象开口向上，与x 轴交于A ，B 两点（点A ，B 分别在x 轴的正、负半轴），与y 轴交于点C ，∴9m 2﹣4＜0，当y ＝0时，x 2﹣6mx+9m 2﹣4＝0，x 1＝3m+2，x 2＝3m ﹣2，∴A （3m+2，0），B （3m ﹣2，0），∵3m+2﹣（3m ﹣2）＝4，∴AB ＝4，∴S △ABC ＝1•2C AB y ＝12×4•（﹣9m 2+4）＝﹣2m 2+8， ∵﹣2＜0，∴当m ＝0时，△ABC 的面积最大为8；（2）若n ＝4m+4，则y ＝x 2﹣6mx+9m 2+4m+4＝（x ﹣3m ）2+4m+4，∴P （3m ，4m+4），当动点Q 到抛物线的顶点P 的距离最小值为4时，则Q 为（3m ，0）且4m+4＝±4， 解得m ＝﹣2或m ＝0，∴Q 点的坐标为（﹣6，0）或（0，0）．【点睛】本题是二次函数的动点题型，此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用.24．（1）()0,3A ；（2）3y x =-+；（3）a<−1或a>3【解析】【分析】（1）抛物线C ：y=ax 2-2ax+3与y 轴交于点A ，令x=0，即可求得A 的坐标；（2）令y=0，解方程即可求得B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l 的解析式； （3）当a=3时，抛物线C 过点B （1，0），此时k=-3．当a=-1时，抛物线C 过点B （3，0），此时k=-1．结合图象即可求得．【详解】(1)∵抛物线C:y=ax 2−2ax+3与y 轴交于点A ，∴点A 的坐标为(0,3).(2)当a=−1时,抛物线C 为y=−x 2+2x+3.∵抛物线C与x轴交于点B，且点B在x轴的正半轴上，∴点B的坐标为(3,0).∵直线l:y=kx+b过A，B两点，∴330bk b=⎧⎨+=⎩.解得13kb=-⎧⎨=⎩.∴直线l的解析式为y=−x+3.(3)如图，当a>0时，当a=3时,抛物线C过点B(1,0)，此时k=−3.结合函数图象可得a>3.当a<0时，当a=−1时,抛物线C过点B(3,0)，此时k=−1.结合函数图象可得a<−1.综上所述，a的取值范围是a<−1或a>3.【点睛】本题考查一次函数和二次函数综合，解题的关键是掌握待定系数法求解析式.25．使剪出的矩形DECF面积最大，点D应该选在AB的中点．【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据勾股定理求出AC，根据矩形的面积公式列出函数解析式，根据二次函数的性质解答即可．【详解】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC ＝12AB ＝3，由勾股定理得，AC ==在Rt △ADF 中，∠A ＝30°，∴AD ＝2DF ，AF DF ，∴CF ＝AC ﹣AF ＝，则矩形DECF 面积＝DF ×（）2=23)24DF -+当DF ＝32时，剪出的矩形DECF 面积最大， 则AD ＝2DF ＝3，∴使剪出的矩形DECF 面积最大，点D 应该选在AB 的中点．【点睛】本题考查的是勾股定理、二次函数的性质、矩形的性质，根据勾股定理、矩形的面积公式列出二次函数解析式是解题的关键．26．（1）顶点坐标为M （-1，-2），12x -<<；（2）四边形AMDN 是矩形，理由见解析；（3）a =329 【解析】【分析】（1）把222(0)y ax ax a a =++->化为顶点式()212y a x =+-，即可求出顶点坐标；根据图像即可求出次函数L 1 ，L 2 的y 值同时随着x 的增大而增大时，x 的取值范围； （2）由两点间的距离公式求出MN 的长，用含a 的代数式表示出AD 的长，根据AD =MN列方程即可求出a 的值；由两点间的距离公式可求AN =MD ，AM =DN ，从而可证四边形AMDN是平行四边形，又AD =MN ，所以可证四边形AMDN 是矩形；（3）当B ，C 是线段AD 的三等分点时，分两种情况，根据两点间的距离公式求解：①点C 在点B 的左边，②点B 在点C 的左边.【详解】（1）∵222(0)y ax ax a a =++->∴()212y a x =+-，∴顶点坐标为M （-1，-2）；∵M （-1，-2），N （2，2），∴当1x >-时， L 1 的y 值随着x 的增大而增大，当2x <时，L 2的y 值随着x 的增大而增大. ∴x 的取值范围是12x -<< .（2）如图1，MN =，当y=0时，即()2120a x +-=，解得1A x =--1B x =-+当y=0时，即()2220a x --+=，2C x =-2D x =+∴AD=（2+-（1--=3+当AD=MN 时，即3+，解得a =2. 当 a =2时，1A x =--2，2D x =3，∵==∴AN=DM,∵==,∴AM=DN,∴四边形AMDN 是平行四边形，∵AD=3-(-2)=5,MN=5,∴AD=MN,∴四边形AMDN 是矩形 ;（3）当B，C是线段AD的三等分点时，存在以下两种情况：①点C在点B的左边，如图2，BC=（21a-+-（22a-=232a-+AC=BD=3 ，即232a-+，解得29a=;②点B在点C的左边，如图3，CB=（22a--（21a-+=23a-AB=CD=22a，即22a23a-329a= .【点睛】本题考查了二次函数一般式与顶点式的互化，二次函数的图像与性质，两点间的距离公式，矩形的判定，数形结合及分类讨论的数学思想.掌握一般式化顶点式的方法是解（1）的关键；灵活运用两点间的距离公式是解（2）的关键；分两种情况求解是解（3）的关键.27．（1）am2+1；（2）a＝﹣1；（3）0≤BC′≤94．【解析】【分析】（1）代入0x =求出y 值，此问得解；（2）设抛物线对称轴与x 轴交于点E ，由二次函数的对称性可得出ABD 为等腰直角三角形，进而可得出2AB DE =，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点B 、D 的坐标，由2AB DE =可得出关于a 的无理方程，解之即可得出a 值；（3）由（1）（2）可得出点B 、C 的坐标，由旋转的性质可得出点'C 的坐标，利用两点间的距离公式可求出2'2BC m m =-++，再利用二次函数的性质即可求出：当1522m -≤≤时，'BC 的长度范围. 【详解】解：（1）当x ＝0时，y ＝ax 2﹣2amx +am 2+1＝am 2+1，∴点C 的纵坐标为am 2+1．故答案为am 2+1．（2）设抛物线对称轴与x 轴交于点E ，如图1所示．∵DA ＝DB ，∠DAB ＝45°，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴AB ＝2DE ．∵y ＝ax 2﹣2amx +am 2+1＝a （x ﹣m ）2+1，∴点D 的坐标为（m ，1）．当y ＝0时，ax 2﹣2amx +am 2+1＝0，即a （x ﹣m ）2＝﹣1，解得：x 1＝m x 2＝m∴AB ＝2， 解得：a ＝﹣1．（3）由（1）（2）可知：点C 的坐标为（0，1﹣m 2），点B 的坐标为（m +1，0）．∵点C 绕O 逆时针旋转90°得到点C ′，∴点C ′的坐标为（m 2﹣1，0），∴BC ′＝|m +1﹣（m 2﹣1）|＝|﹣m 2+m +2|．∵﹣m 2+m +2＝﹣（m ﹣12）2+94，﹣12≤m ≤52，∴当m＝52时，﹣m2+m+2取得最小值，最小值为﹣74；当m＝12时，﹣m2+m+2取得最大值，最大值为94，∴当﹣12≤m≤52时，﹣74≤﹣m2+m+2≤94，∴当﹣12≤m≤52时，0≤BC′≤94．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、解无理方程、两点间的距离公式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）代入0x 求出y值；（2）利用等腰直角三角形的性质找出关于a的无理方程；（3）利用二次函数的性质找出'BC的长度范围.28．（1）y=－12x2+ x+4；（2）当m=2时，PE2；（3）存在，满足题意的d3的值为2或665．【解析】【分析】（1）由直线y=-x+4得出B（4，0），C（0，4），即可得出A（-2，0），将A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值，即可确定出抛物线解析式；（2）已知P点横坐标，根据直线AB、抛物线的解析式，求出C、P的坐标，由此得到线段PC的长；在Rt△OBC中，∠OCB=45°，根据平行线的性质得出∠PFD=45°，解直角三角形即可求出PD的表达式，利用二次函数的性质求出PD的最大值即可．（3）见解析.【详解】解:（1）由y=－x+4得当x=0时，y=4；当y=0时，x=4．∴B (4，0) ，C (0，4)， ∴ OB =4．∴ OA =12OB =2， ∴ 点 A (－2，0)． 把A (－2，0)，B (4，0)分别代入抛物线y =ax 2+bx +4中，得4230,16430.a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得1,21.a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴ 抛物线的解析式为 y =－12x 2+ x +4． （2）∵ 点P 的横坐标为m ，则P (m ，－12m 2+ m +4)． 过点P 作PF ∥y 轴交BC 于点F ，则F (m ，－m +4) ．∴ PF =－12m 2+ m +4－(－m +4)=－12m 2+2m ． 在Rt △OBC 中，OB =4，OC =4．又 PF ∥y 轴， ∴ ∠PFD =∠OCB=45°．∴ PD =PF ·sin ∠PFD = PF ·sin ∠OCB =22(－12m 2+2m )=－24(m －2)22 ∵ 0＜m ＜4，－24＜0，∴ 当m =2时，PE 2 （3）存在，∵y =－12x 2+ x +4=－12（x-1）²+92， ∴C 点坐标为（1,3），如图，d 1= d 2=12d 3 ，满足题意的d3的值为2或6或655．【点睛】本题考查了二次函数的应用以及解析式的确定、解直角三角形等知识，主要考查学生数形结合思想的应用能力，。
中考二次函数应用题(附答案解析)
中考二次函数应用题(附答案解析)二次函数应用题1．某商场销售一种小商品，进货价为8元/件，当售价为10元/件时，每天的销售量为100件．在销售过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．设销售单价为x （元/件）（10x ≥的整数），每天销售利润为y （元）． (1)求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)若每件该小商品的利润率不超过100%，且每天的进货总成本不超过800元，求该小商品每天销售利润y 的取值范围．2．东东在网上销售一种成本为30元/件的T 恤衫．销售过程中的其他各种费用（不再含T 恤衫成本）总计50（百元）．若销售价格为x （元/件）．销售量为y （百件）．当4060x ≤≤时，y 与x 之间满足一次函数关系．且当40x =时，6y =，有关销售量y （百件）与销售价格x （元/件）的相关信息如下： 销售量y （百件） _____________ 240y x =销售价格x （元/件）4060x ≤≤6080x ≤≤(1)求当4060x ≤≤时．y 与x 的函数关系式：(2)①求销售这种T 恤衫的纯利润w （百元）与销售价格x （元/件）的函数关系式； ②销售价格定为每件多少元时．获得的利润最大?最大利润是多少?3．跳台滑雪是北京冬奥会的项目之一．某跳台滑雪训练场的横截面示意图如图并建立平面直角坐标系．抛物线2117:1126C y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出（即A 点坐标为（0，4）），滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．(1)当运动员运动到距A 处的水平距离为4米时，距图中水平线的高度为8米（即经过点（4，8）），求抛物线C 2的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？4．某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y （件）是售价x （元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w （元）的三组对应值如表：售价x（元/件）607080周销售量y（件）1008060周销售利润w（元）200024002400【注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）】(1)①直接写出：此商品进价元，y关于x的函数解析式是．（不要求写出自变量的取值范围）②当售价是多少元/件时，周销售利润最大，并求出最大利润．(2)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m>0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1600元，求m的值．5．为了“创建文明城市，建设美丽家园”，青春科技生态有限公司种植和销售一种有机绿色草皮．已知该草皮的成本是15元/2m，规定销售价格不低于成本，又不高于成本的两y与销售价格x（元/2m）的函数关系如图倍．经市场调查发现，某天该草皮的销售量()2m所示．(1)求y与x间的函数解析式；(2)求这一天销售草皮获得的利润w的最大值；(3)若该公司按每销售21m草皮提取1元用于捐资助学，且保证捐款后每天的销售利润不低于7200元，直接写出该草皮销售价格的范围．6．某数学兴趣小组对函数y＝|x2＋2x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下所示，其中自变量x取全体实数，x与y的几组对应值如表所示．x﹣4﹣3﹣2﹣10123 y8m0n03815(1)根据如表数据填空：m ＝ ，n ＝ ；(2)在如图所示的平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线将函数图象补充完整； (3)观察该函数的图象，解决下列问题． ①该函数图象与直线y ＝12的交点有 个； ②若y 随x 的增大而减小，求此时x 的取值范围；③在同一平面内，若直线y ＝x ＋b 与函数y ＝|x 2＋2x |的图象有a 个交点，且a ≥3，求b 的取值范围．7．某公司分别在A ，B 两城生产同种产品，共100件．A 城生产产品的成本y （万元）与产品数量x （件)之间具有函数关系220100y x x =++，B 城生产产品的每件成本为60万元．(1)当A 城生产多少件产品时，A ，B 两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？ (2)从A 城把该产品运往C ，D 两地的费用分别为1万元/件和3万元/件；从B 城把该产品运往C ，D 两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C 地需要90件，D 地需要10件，在（1）的条件下，怎样调运可使A ，B 两城运费的和最小？8．某商店购进一批进价为40元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出600件；第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y (件)与销售单价x (元)的关系如图所示．(1)请直接写出y 与x 之间的函数表达式： ；自变量x 的取值范围为 ； (2)第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？9．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店销售某种儿童玩具，如果每件利润为30元，每天可售出40件．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每天可多销售2件．设销售单价降价x 元，每天售出y 件． (1)请写出y 与x 之间的函数表达式；(2)当销售单价降低多少元时，该网店每天销售这种玩具可获利润1248元？(3)当销售单价降低多少元时，该网店每天销售这种玩具获得的利润最大，最大利润是多少？10．某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．售价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？【参考答案】二次函数应用题1．(1)2102801600y x x =-+- （10x ≥的整数） (2)200360y ≤≤ 【解析】 【分析】（1）销售单价为x 元/件时，每件的利润为(8)x -元，此时销量为[10010(10)]x --，由此计算每天的利润y 即可；（2）首先求出利润不超过100%时的销售单价的范围，且每天的进货总成本不超过800元，再结合（1）的解析式，利用二次函数的性质求解即可． (1)解：（1）根据题意得： (8)[10010(10)]y x x =--- 整理，得 2102801600y x x =-+-（10x ≥的整数） (2)解：∵每件小商品的利润不超过100%，∴8100%8x -⨯≤， ∴16x ≤，∵每天进货总成本不超过800元， ∴[100(10)10]8800x --⨯⨯≤， ∴10x ≥， ∴1016x ≤≤，∵2210280160010(14)360y x x x =-+-=--+， 当14x =时，有360y =最大值当10x =时，有210(1014)360200y =-⨯-+=最小值，∴小商品每天销售利润y 的取值范围是：200360y ≤≤ 【点睛】本题考查二次函数的实际应用问题，准确表示出题中的数量关系，熟练运用二次函数的性质求解是解题关键． 2．(1)0.110y x =-+(2)①当4060x ≤≤时，20.113350=-+-w x x ；当6080x <≤时，7200190=-+w x； ②销售价格定为80元/件时，获得的利润最大，最大利润是100百元 【解析】 【分析】（1）把把60x =代入240y x=得4y =，设y 与x 的函数关系式为：y =kx +b ，把x =40，y =6；x =60，y =4，代入解方程组即可得到结论；（2）①根据x 的范围分类讨论，由“总利润=单件利润×销售量”可得函数解析式； ②结合①中两个函数解析式，分别依据二次函数的性质和反比例函数的性质求其最值即可． (1)解：把60x =代入240y x=得4y =． 设y 与x 的函数关系式为：y kx b =+， ∵当40x =时，6y =，当60x =时，4y =，∴406604k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：0.110k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 的函数关系式为：0.110y x =-+． (2)①当4060x ≤≤时，()()2300.110500.113350w x x x x =--+-=-+-；当6080x <≤时，()24072003050190w x x x=-⋅-=-+； ②当4060x ≤≤时，()220.1133500.16572.5w x x x =-+-=--+， ∵4060,65,x x ω≤≤≤随x 的增大而增大． ∴当60,70x w ==最大 （百元）． 当6080x ≤≤时，7200190xω=-+ ∵72000-<，∴w 随x 的增大而增大，当80x =时，100w =最大 （百元）．答：销售价格定为80元/件时，获得的利润最大，最大利润是100百元． 【点睛】本题主要考查二次函数和反比例函数的应用，理解题意依据相等关系列出函数解析式，并熟练掌握二次函数和反比例函数的性质是解题的关键．3．(1)213482y x x =-++(2)运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米． 【解析】 【分析】（1）根据题意将点（0，4）和（4，8）代入C 2：y =-18x 2+bx +c 求出b 、c 的值即可写出C 2的函数解析式；（2）设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：﹣18m 2+32m +4﹣（﹣112m 2+76m +1）＝1，解出m 即可．(1)由题意可知抛物线C 2：y ＝﹣18x 2+bx +c 过点（0，4）和（4，8），将其代入得：2414488c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩， 解得：324b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线C 2的函数解析式为：213482y x x =-++；(2)设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：﹣18m 2+32m +4﹣（﹣112m 2+76m +1）＝1，整理得：（m ﹣12）（m +4）＝0， 解得：m 1＝12，m 2＝﹣4（舍去），故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米． 【点睛】本题考查了二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．4．(1)①40，y ＝﹣2x +220；②当售价是75元/件时，周销售利润最大，最大利润是2450元；(2)销售最大利润是1600元时，m 的值为10． 【解析】 【分析】（1）①该商品进价等于周销售利润除以周销售量，再减去进价；设y 关于x 的函数解析式为y =kx +b ，用待定系数法求解即可；②根据周销售利润=周销售量×（售价-进价），列出w 关于x 的二次函数，根据二次函数的性质可得答案；（2）根据周销售利润=周销售量×（售价-进价），列出w 关于x 的二次函数，根据题意及二次函数的性质得出取得最大利润时的售价，再列出关于m 的方程，求解即可． (1)解：（1）①该商品进价是60﹣2000÷100＝40（元/件）；设y 关于x 的函数解析式为y ＝kx +b ，将（60，100），（70，80）分别代入得：100608070k bk b =+⎧⎨=+⎩， 解得：k ＝﹣2，b ＝220．∴y 关于x 的函数解析式为y ＝﹣2x +220； 故答案为：40，y ＝﹣2x +220；②由题意得：w ＝y （x ﹣40）＝（﹣2x +220）（x ﹣40）＝﹣2x 2+300x ﹣8800＝﹣2（x ﹣75）2+2450，∵二次项系数﹣2<0，抛物线开口向下，∴当售价是75元/件时，周销售利润最大，最大利润是2450元； (2)解∶ 由题意得：w ＝（﹣2x +220）（x ﹣40﹣m ） ＝﹣2x 2+（300+2m ）x ﹣8800﹣220m ，∵二次项系数﹣2<0，抛物线开口向下，对称轴为：300217542m x m +=-=+-， 又∵x ≤70，∴当x <7512m +时，w 随x 的增大而增大，∴当x ＝70时，w 有最大值：（﹣2×70+220）（70﹣40﹣m ）＝1600， 解得：m ＝10．∴周销售最大利润是1600元时，m 的值为10． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键． 5．(1)()()200580015258002530x x y x ⎧-+≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩(2)最大值为12000元 (3)2030x ≤≤ 【解析】 【分析】（1）根据图象中的点，待定系数法求解析式即可；（2）根据（1）的解析式，分1525≤≤x ，2530x <≤，两种情况列出w 的解析式，根据二次函数和一次函数的性质分别求得最大值；（3）根据二次函数的性质解不等式求得当1525≤≤x 时的定价范围，解一元一次不等式求得当2530x <≤时的定价范围．(1)解：根据函数图像可知，当2530x <≤时，800y =， 当1525≤≤x 时，设y kx b =+ 将()()15,2800,25,800代入得，28001580025k bk b =+⎧⎨=+⎩ 解得2005800k b =-⎧⎨=⎩2005800y x ∴=-+综上所述，()()200580015258002530x x y x ⎧-+≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩(2)当1525≤≤x 时，()()()215152005800200880087000w x y x x x x =-=--+=-+-对称轴为8800222400b a --==- 22x ∴=时，w 最大，2max 20022880022870009800w =-⨯+⨯-=当2530x <≤时，()1580080012000w x x =-⨯=-当30x =时，取得最大值，最大值为12000元 综上所述，最大值为12000元 (3)①当1525≤≤x 时，()()()2151162005800200900092800w x y x x x x =--=--+=-+-当22009007209002800x x -+-= 解得：1220,25x x == ∴定价为2025x ≤≤②当2530x <≤时，()()151158007200w x y x =--=-⨯≥解得25x ≥∴定价范围为2030x ≤≤【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 6．(1)3；1 (2)见解析(3)①4；②x ≤－2或－1≤x ≤0；③2≤b ≤94【解析】【分析】（1）分别把x=-3和x=-1代入函数解析式求出结果；（2）根据表格，利用描点、连线画出函数图象；的图象，观察交点个数得出结果；（3）①画出y=12②观察函数图象得出结果；③利用一元二次方程根的判别式计算即可．(1)解：当x=-3时，m＝|x2＋2x|=|9-6|=3，当x=-1时，m＝|1-2|=|-1|=1，故答案为3，1；(2)如图；(3)①由图象知图象与直线y=1有4个交点，2故答案为4；②由图象知，当x≤－2或－1≤x≤0时，图象从左到右逐渐下降，故若y随x的增大而减小，此时x的取值范围x≤－2或－1≤x≤0；③由题意可得，3≤a≤4．当直线y＝x＋b过点（－2，0）和点（－1，1）时，该直线与函数y＝|x2＋2x|的图象有三个交点，此时b＝2；由图象可得在－2≤x≤－1段的函数解析式为y＝－x2－2x，令x＋b＝－x2－2x，整理得x2＋3x＋b＝0. 当该段函数图象与直线y＝x＋b有交点时，判别式为9－4b≥0，∴b≤94．综上，b的取值范围是2≤b≤94．【点睛】本题考查画函数图象以及利用函数图象解决问题，数形结合思想的应用是解决问题的关键．7．(1)A城生产20件，最小值是5700万元；(2)从A城把该产品运往C地的产品数量为20件，则从A城把该产品运往D地的产品数量为0件；从B城把该产品运往C地的产品数量为70件，则从B城把该产品运往D地的产品数量为10件时，可使A，B两城运费的和最小．【解析】【分析】（1）设A，B两城生产这批产品的总成本的和为W（万元），则W等于A城生产产品的总成本加上B城生产产品的总成本，由此可列出W关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；（2）设从A城把该产品运往C地的产品数量为n件，分别用含n的式子表示出从A城把该产品运往D地的产品数量、从B城把该产品运往C地的产品数量及从B城把该产品运往D地的产品数量，再列不等式组求得n的取值范围，然后用含n的式子表示出A，B两城总运费之和P ，根据一次函数的性质可得答案．(1)解：设A ，B 两城生产这批产品的总成本的和为W （万元），则22010060(100)W x x x =+++-2406100x x =-+2(20)5700x =-+，∴当20x时，W 取得最小值，最小值为5700万元， ∴城生产20件，A ，B 两城生产这批产品成本的和最小，最小值是5700万元；(2) 设从A 城把该产品运往C 地的产品数量为n 件，则从A 城把该产品运往D 地的产品数量为(20)n -件，从B 城把该产品运往C 地的产品数量为(90)n -件，则从B 城把该产品运往D 地的产品数量为(1020)n -+件，运费的和为P （万元），由题意得：20010200n n -⎧⎨-+⎩， 解得1020n ，3(20)(90)2(1020)P n n n n =+-+-+-+60390220n n n n =+-+-+-2130n n =-+130n =-+，根据一次函数的性质可得：P 随n 增大而减小，∴当20n =时，P 取得最小值，最小值为110，∴从A 城把该产品运往C 地的产品数量为20件，则从A 城把该产品运往D 地的产品数量为0件；从B 城把该产品运往C 地的产品数量为70件，则从B 城把该产品运往D 地的产品数量为10件时，可使A 、B 两城运费的和最小．【点睛】本题考查了二次函数和一次函数在实际问题中的应用，解题的关键是理清题中的数量关系并熟练掌握一次函数和二次函数的性质．8．(1)y ＝－20x ＋1800，60≤x ≤90(2)第二个月的销售单价定为65元/件时，可获得最大利润，最大利润是12500元【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据总利润=单件利润乘以销售量，列出函数解析式，根据二次函数的性质求解即可．(1)第一个月该商品的售价为40×(1＋50%)＝60(元)，设y 与x 之间的函数解析式为y ＝kx ＋b ，将点(60，600)，(70，400)代入y ＝kx ＋b 中，得6006040070k b k b=+⎧⎨=+⎩， 解得201800k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的函数解析式为y ＝－20x ＋1800；当y ＝0时，x ＝90，∴自变量x 的取值范围为60≤x ≤90；故答案为：y ＝－20x ＋1800；60≤x ≤90；(2)设第二个月的利润为w 元，由题意得，24040201()()()8002(0651250)0w x y x x x =-=-=+--+-．∵200-<，∴当x ＝65时，w 的最大值为12500．∴第二个月的销售单价定为65元/件时，可获得最大利润，最大利润是12500元．【点睛】本题主要考查了二次函数及一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，并根据题意确定等量关系，列出函数解析式．9．(1)402y x =+(2)当销售单价降低4元或6元时，该网店每天销售这种玩具可获利润1248元；(3)当销售单价降低5元时，该网店每天销售这种玩具获得的利润最大，最大利润是1250元．【解析】【分析】（1）根据销售单价每降1元，则每天可多销售2件．即可列出关于x 、y 的等式，即得出y 与x 之间的函数表达式；（2）根据题意可列出关于x 的一元二次方程，解出x 即得出答案；（3）设最大利润为w 元，根据题意可得出w 与x 的关系为二次函数关系，再根据二次函数的性质解题即可．(1)根据题意可列出等式：402y x =+．故y 与x 之间的函数表达式为402y x =+；(2)根据题意可列方程：(30)(402)1248x x -+=，解得：1246x x ==，．故当销售单价降低4元或6元时，该网店每天销售这种玩具可获利润1248元；(3)设最大利润为w 元，根据题意得：2(30)(402)2(5)1250w x x x =-+=--+∵20-<，∴当5x =时，w 有最大值，max 1250w =．故当销售单价降低5元时，该网店每天销售这种玩具获得的利润最大，最大利润是1250元．【点睛】本题考查一次函数、二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出等式是解题关键．10．售价为35元时，才能在一个月内获得最大利润【解析】【分析】设销售单价为x 元，月销售利润为y 元，根据月销售利润＝单件利润×月销量，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：设销售单价为x 元，销售利润为y 元，依题意得，单件利润为(20)x -元，月销量为[]40020(30)x --件，月销售利润[](20)40020(30)y x x =---，整理得220140020000y x x =-+-，配方得220(35)4500y x =--+，所以35x =时，y 取得最大值4500．故售价为35元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润为4500元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是能够根据题意构建二次函数解决最值问题．。
初中数学二次函数的应用题型分类——商品销售利润问题( 附答案)
初中数学二次函数的应用题型分类——商品销售利润问题（附答案）1. 某网店经营一种品牌水果, 其进价为10元/千克, 保鲜期为25天, 每天销售量(千克)与销售单价(元/千克)之间的函数关系如图所示.(1)求y与x的函数关系式；(2)当该品牌水果定价为多少元时, 每天销售所获得的利润最大？(3)若该网店一次性购进该品牌水果3000千克, 根据(2)中每天获得最大利润的方式进行销售, 发现在保鲜期内不能及时销售完毕, 于是决定在保鲜期的最后5天一次性降价销售, 求最后5天每千克至少降价多少元才能全部售完？2. 特产店销售一种水果, 其进价每千克40元, 按60元出售, 平均每天可售100千克, 后来经过市场调查发现, 单价每降低2元, 则平均每天可增加20千克销量.（1）若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元, 每千克水果应降多少元？（2）若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利最大, 每千克水果应降多少元？3．某文具店购进A, B两种钢笔, 若购进A种钢笔2支, B种钢笔3支, 共需90元；购进A种钢笔3支, B种钢笔5支, 共需145元．（1）求该文具店购进A.B两种钢笔每支各多少元？（2）经统计, B种钢笔售价为30元时, 每月可卖64支；每涨价3元, 每月将少卖12支, 求该文具店B种钢笔销售单价定为多少元时, 每月获利最大？最大利润是多少元？4．某公司可投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本）, 成功研发出一种产品, 公司按订单生产（产量＝销售量）, 第一年该产品正式投产后, 生产成本为8元/件, 此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝﹣x+28．（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；（2）该产品第一年的利润为20万元, 那么该产品第一年的售价是多少？（3）第二年, 该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发, 使产品的生产成本降为6元/件, 为保持市场占有率, 公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价, 另外受产能限制, 销售量无法超过14万件, 请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元.5．某实验器材专营店为迎接我市理化生实验的到来, 购进一批电学实验盒子, 一台电学实验盒的成本是30元, 当售价定为每盒50元时, 每天可以卖出20盒．但由于电学实验盒是特殊时期的销售产品, 专营店准备对它进行降价销售．根据以往经验, 售价每降低3元, 销量增加6盒．设售价降低了x（元）, 每天销量为y（盒）．（1）求y与x之间的函数表达式；日销售利润w875 1875 1875 875（元）（注: 日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价））（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价x为多少元时, 日销售利润w最大？最大利润是多少元？（3）当销售单价x为多少元时, 日销售利润w在1500元以上？（请直接写出x的范围）7. 某公司销售一批产品, 进价每件50元, 经市场调研, 发现售价为60元时, 可销售800件, 售价每提高1元, 销售量将减少25件.公司规定:售价不超过70元.(1)若公司在这次销售中要获得利润10800元, 问这批产品的售价每件应提高多少元?(2)若公司要在这次销售中获得利润最大, 问这批产品售价每件应定为多少元?8．某公司开发了一种新型的家电产品, 又适逢“家电下乡”的优惠政策．现投资万元用于该产品的广告促销, 已知该产品的本地销售量（万台）与本地的广告费用（万元）之间的函数关系满足．该产品的外地销售量（万台）与外地广告费用（万元）之间的函数关系可用如图所示的抛物线和线段来表示．其中点为抛物线的顶点.结合图象, 求出（万台）与外地广告费用（万元）之间的函数关系式；()2求该产品的销售总量y（万台）与本地广告费用x（万元）之间的函数关系式；如何安排广告费用才能使销售总量最大？9．某电子厂生产一种新型电子产品, 每件制造成本为20元, 试销过程中发现, 每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y＝﹣2x+100．（利润＝售价﹣制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时, 厂商每月获得的利润为400万元？（3）根据相关部门规定, 这种电子产品的销售单价不能高于40元, 如果厂商每月的制造成本不超过520万元, 那么当销售单价为多少元时, 厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？10．某灯具厂生产并销售A, B两种型号的智能台灯共100盏, 生产并销售一盏A型智能台灯可以获利30元；如果生产并销售不超过20盏B型台灯, 则每盏B型台灯可以获利90元, 如果超出20盏B型台灯, 则每超出1盏, 每盏B型台灯获利将均减少2元．设生产并销售B型台灯x盏．（其中x＞20）（2）当A型台灯所获得的利润比B型台灯所获得利润少200元时, 求生产并销售A, B 两种台灯各多少盏？（3）如何设计生产销售方案可以获得最大利润, 最大的利润为多少元？11．某商场销售一批名牌衬衫：平均每天可售出20件, 每件盈利40元, 为了扩大销售量, 增加盈利, 尽快减少库存, 商场决定采取适当的降价促销措施, 经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元, 那么平均每天就可多售出2件．（1）求出商场盈利与每件衬衫降价之间的函数关系式；（1）请直接写出a的值为；（2）从第21天到第40天中, 求q与x满足的关系式；（3）若该网店第x天获得的利润y元, 并且已知这40天里前20天中y与x的函数关系式为y＝﹣x2+15x+500i请直接写出这40天中p与x的关系式为: ；ii求这40天里该网店第几天获得的利润最大？13. 某工厂生产甲、乙两种产品, 已知生产1吨产品甲需要2吨原材料A；生产1吨产品乙需要3吨原材料A. 根据市场调研, 产品甲、乙所获利润y（万元）与其产量x（吨）之间分别满足函数关系：产品甲：y＝ax2+bx且x＝2时, y＝2.6；x＝3时, y＝3.6产品乙: y＝0.3x（1）求产品甲所获利润y（万元）与其产量x（吨）之间满足的函数关系；（2）若现原材料A共有20吨, 请设计方案, 应怎样分配给甲、乙两种产品组织生产, 才能使得最终两种产品的所获利润最大.14. 某商场销售一批衬衫, 平均每天可售出20件, 每件盈利40元. 为了扩大销售, 增加盈利, 商场采取了降价措施. 假设在一定范围内, 衬衫的单价每降1元, 商场平均每天可多售出2件, 设衬衫的单价降x元, 每天获利y元.（1）如果商场里这批衬衫的库存只有44件, 那么衬衫的单价应降多少元, 才能使得这批衬衫一天内售完, 且获利最大, 最大利润是多少？种成本为25元/件的新型商品．在40天内, 其销售单价n（元/件）与时间x（天）的关系式是：当1≤x≤20时, ；当21≤x≤40时, .这40天中的日销售量m（件）与时间x（天）符合函数关系, 具体情况记录如下表（天数为整数）:时间x（天）日销售量m(件）45 40 35 30 25 …（1）请求出日销售量m（件）与时间x（天）之间的函数关系式；（2）若设该同学微店日销售利润为w元, 试写出日销售利润w（元）与时间x（天）的函数关系式；16．某体育用品商店试销一款成本为50元的排球, 规定试销期间单价不低于成本价, 且获利不得高于40%．经试销发现, 销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）试确定y与x之间的函数关系式；（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元, 试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时, 该商店可获最大利润？最大利润是多少元？（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元, 请确定销售单价x的取值范围．销售单价q（元/件）与x满足: 当1≤x＜25时q=x+60；当25≤x≤50时q=40+ . （1）请分析表格中销售量p与x的关系, 求出销售量p与x的函数关系．（2）求该超市销售该新商品第x天获得的利润y元关于x的函数关系式.（1）请你根据表中的数据, 用所学知识确定与之间的函数表达式；（2）该商店应该如何确定这批文具盒的销售价格, 才能使日销售利润最大？（3）根据（2）中获得最大利润的方式进行销售, 判断一个月能否销售完这批文具盒, 并说明理由.20. 某工厂加工一种商品, 每天加工件数不超过100件时, 每件成本80元, 每天加工超过100件时, 每多加工5件, 成本下降2元, 但每件成本不得低于70元.设工厂每天加工商品x（件）, 每件商品成本为y（元）,（1）求出每件成本y（元）与每天加工数量x（件）之间的函数关系式, 并注明自变量的取值范围；（2）若每件商品的利润定为成本的20%, 求每天加工多少件商品时利润最大, 最大利润是多少？21．家用电器开发公司研制出一种新型电子产品, 每件的生产成本为18元, 按定价40元出售, 每月可销售20万件, 为了增加销量, 公司决定采取降价的办法, 经过市场调研, 每降价1元, 月销售量可增加2万件．（1）求出月销售利润W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式.（2）为了获得最大销售利润, 每件产品的售价定为多少元？此时最大月销售利润是多少？（3）请你通过（1）中函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围, 使月销售利润不低于480万元.22．城隍庙是宁波市的老牌商业中心, 城隍庙商业步行街某商场购进一批品牌女装, 购进时的单价是600元, 根据市场调查, 在一段时间内, 销售单价是800元时, 销售量是200件, 销售单价每降低10元, 就可多售出20件．(1)求出销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求出销售该品牌女装获得的利润W(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：x（10万元）y 1 1.5 1.8 …（1）求y与x的函数关系式；（2）如果把利润看做是销售总额减去成本费和广告费, 试写出年利润S（10万元）与广告费x（10万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10~30万元, 问广告费在什么范围内, 公司获得的年利润随广告费的增大而增大？24．绿色生态农场生产并销售某种有机产品, 每日最多生产130kg, 假设生产出的产品能全部售出, 每千克的销售价y1（元）与产量x（kg）之间满足一次函数关系y1＝﹣x+168, 生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数图象如图中折线ABC所示．（1）求生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（2）求日利润为W（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少kg时, 这种产品获得的日利润最大？最大日利润为多少元？25．新鑫公司投资3000万元购进一条生产线生产某产品, 该产品的成本为每件40元, 市场调查统计：年销售量y（万件）与销售价格x（元）（40≤x≤80, 且x为整数）之间的函数关系如图所示．（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如何确定售价才能使每年产品销售的利润W（万元）最大？（3）新鑫公司计划五年收回投资, 如何确定售价（假定每年收回投资一样多）？26. 某商品的进价是每件40元, 原售价每件60元. 进行不同程度的涨60 61 62 63 …价后, 统计了商品调价当天的售价和利润情况, 以下是部分数据:售价（元/件）利润（元）6000 6090 6160 6210 …（1）当售价为每件60元时, 当天售出件；（2）若对该商品原售价每件涨价x元（x为正整数）时当天售出该商品的利润为y元.①用所学过的函数知识直接写出y与x之间满足的函数表达式：.②如何定价才能使当天的销售利润不等于6200元？27．服装厂批发某种服装, 每件成本为65元, 规定不低于10件可以批发, 其批发价y （元/件）与批发数量x（件）（x为正整数）之间所满足的函数关系如图所示．（1）求y与x之间所满足的函数关系式, 并写出x的取值范围；（1）由题意知商品的最低销售单价是元, 当销售单价不低于最低销售单价时, y是x的一次函数. 求出y与x的函数关系式及x的取值范围；（2）在（1）的条件下, 当销售单价为多少元时, 所获销售利润最大, 最大利润是多少元？29. 某店只销售某种进价为40元/kg的产品, 已知该店按60元kg出售时, 每天可售出100kg, 后来经过市场调查发现, 单价每降低1元, 则每天的销售量可增加10kg.（1）若单价降低2元, 则每天的销售量是_____千克, 每天的利润为_____元；若单价降低x元, 则每天的销售量是_____千克, 每天的利润为______元；（用含x的代数式表示）（2）若该店销售这种产品计划每天获利2240元, 单价应降价多少元？（3）当单价降低多少元时, 该店每天的利润最大, 最大利润是多少元？30. 某文具店出售一种文具, 每个进价为2元, 根据长期的销售情况发现：这种文具每个售价为3元时, 每天能卖出500个, 如果售价每上涨0.1元, 其销售量将减少10个. 物价局规定售价不能超过进价的240%.（1）如果这种文具要实现每天800元的销售利润, 每个文具的售价应是多少？（2）该如何定价, 才能使这种文具每天的利润最大？最大利润是多少？31．某制衣企业直销部直销某类服装,价格（元)与服装数量(件)之间的关系如图所示,现有甲乙两个服装店,计划在"五一”前到该直销部购买此类服装, 两服装店所需服装总数为件,乙服装店所需数量不超过件,设甲服装店购买件,如果甲、乙两服装店分别到该直销部购买服装,两服装店需付款总和为元.(1)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围.(2)若甲服装店购买不超过100件,请说明甲、乙两服装店联合购买比分别购买最多可节约多少钱32. 某企业接到生产一批手工艺品订单, 须连续工作15天完成. 产品不能叠压, 需专门存放, 第x天每件产品成本p（元）与时间x（天）之间的关系为p＝0.5x+7（1≤x≤5, x 为整数）. 约定交付产品时每件20元. 李师傅作了记录, 发现每天生产的件数y（件）与时间X（天）满足关系:（1）写出李师傅第x天创造的利润W（不累计）与x之间的函数关系式．（只要结果, 并注明自变量的取值范围．）（2）李师傅第几天创造的利润最大？是多少元？（3）这次订单每名员工平均每天创造利润299元. 企业奖励办法是: 员工某天创造利润超过平均值, 当天计算奖金30元. 李师傅这次获得奖金共多少元？33. 某手机专营店, 第一期进了品牌手机与老年机各50部, 售后统计, 品牌手机的平均利润是160元/部, 老年机的平均利润是20元/部, 调研发现：①品牌手机每增加1部, 品牌手机的平均利润减少2元/部；②老年机的平均利润始终不变.该店计划第二期进货品牌手机与老年机共100部, 设品牌手机比第一期增加x部. （1）第二期品牌手机售完后的利润为8400元, 那么品牌手机比第一期要增加多少部？（2）当x取何值时, 第二期进的品牌手机与老年机售完后获得的总利润W最大, 最大总利润是多少？34．某公司经销一种水产品, 在一段时间内, 该水产品的销售量W（千克）随销售单价x（元/千克）的变化情况如图所示．（1）求W与x的关系式；（2）若该水产品每千克的成本为50元, 则当销售单价定为多少元时, 可获得最大利润？（3）若物价部门规定这种水产品的销售单价不得高于90元/千克, 且公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润, 则销售单价应定为多少元？35. 某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示, 成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段, 图2的图象是抛物线）（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低, 此时出售每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本）（2）哪个月出售这种蔬菜, 每千克的收益最大？简单说明理由.（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元, 且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克, 求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？36. 某商品的进价为每件20元, 市场调查反映, 若按每件30元销售, 每天可销售100件；若销售单价每上涨1元, 每天的销售就减少5件.(1)设每天该商品的销售利润为y元, 销售单价为x元(x≥30), 求y与x的函数解析式；(2)求销售单价为多少元时, 该商品每天的销售利润最大, 最大利润是多少？37. 数学兴趣小组几名同学到商场调查发现, 一种纯牛奶进价为每箱40元, 厂家要求售价在40～70元之间, 若以每箱70元销售平均每天销售30箱, 价格每降低1元平均每天可多销售3箱.（1）求出y 与x 之间的函数表达式（2）该新型“吸水拖把”每月的总利润为w （元）, 求w 关于x 的函数表达式, 并指出销售单价为多少元时利润最大, 最大利润是多少元？（3）由于该新型“吸水拖把”市场需求量较大, 厂家又进行了改装, 此时超市老板发现进价提高了m 元, 当每月销售量与销售单价仍满足上述一次函数关系, 随着销量的增大, 最大利润能减少1750元, 求m 的值.39．某花店用3600元按批发价购买了一批花卉.若将批发价降低10%, 则可以多购买该花卉20盆.市场调查反映, 该花卉每盆售价25元时, 每天可卖出25盆.若调整价格, 每盆花卉每涨价1元, 每天要少卖出1盆. （1）该花卉每盆批发价是多少元？（2）若每天所得的销售利润为200元时, 且销量尽可能大, 该花卉每盆售价是多少元？ （3）为了让利给顾客, 该花店决定每盆花卉涨价不超过5元, 问该花卉一天最大的销售利润是多少元？40. 某商店经营一种小商品, 进价为3元, 据市场调查, 销售单价是13元时平均每天销售量是400件, 而销售价每降低一元, 平均每天就可以多售出100件.(Ⅰ)假定每件商品降低x 元, 商店每天销售这种小商品的利润y 元, 请写出y 与x 之间的函数关系. (注：销售利润=销售收入-购进成本)(Ⅱ)当每件小商品降低多少元时, 该商店每天能获利4800元？40元, 根据市场调查：在一段时间内, 销售单价是50元时, 销售量是600件,而销售单价每涨2元, 就会少售出20件玩具.（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞50）, 请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润ω元, 并把结果填写在表格中：销售单价（元）销售量y（件）①销售玩具获得利润ω（元）②（2）在（1）问条件下, 若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于54元, 且商场要完成不少于400件的销售任务, 求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少元？42．如图，某工厂与两地有铁路相连，该工厂从地购买原材料，制成产品销往地.已知每吨进价为600元（含加工费），加工过程中1吨原料可生产产品吨，当预计销售产品不超过120吨时，每吨售价1600元，超过120吨，每增加1吨，销售所有产品的价格降低2元.设该工厂有吨产品销往地.（利润＝售价—进价—运费）（1）用的代数式表示购买的原材料有吨.（2）从地购买原材料并加工制成产品销往地后，若总运费为9600元，求的值，并直接写出这批产品全部销售后的总利润.（3）现工厂销往地的产品至少120吨, 且每吨售价不得低于1440元, 记销完产品的总利润为元, 求关于的函数表达式, 及最大总利润.43. 水产经销商以10元/千克的价格收购了1000千克的鳊鱼围养在湖塘中（假设围养期每条鳊鱼的重量保持不变）, 据市场推测, 经过湖塘围养后的鳊鱼的市场价格每围养一天能上涨1元/千克, 在围养过程中（最多围养20天）, 平均每围养一天有10千克的鳊鱼会缺氧浮水。
初中数学二次函数的应用题型分类——商品销售利润问题4(附答案)
初中数学二次函数的应用题型分类——商品销售利润问题4（附答案）1．某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件售价为x 元（x 为非负整数），则若要使每星期的利润最大且每星期的销量较大，x 应为多少元？( )A ．41B ．42C ．42.5D ．432．某产品进货单价为9元，按10一件售出时，能售100件，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10件，设每件产品涨x 元，所获利润为y 元，可得函数关系式为（ ） A ．21011010y x x =-++B ．210100y x x =-+C ．210100110y x x =-++D ．21090100y x x =-++3．某海滨浴场有100个遮阳伞，每个每天收费10元时，可全部租出，若每个每天提高2元，则减少10个伞租出，若每个每天收费再提高2元，则再减少10个伞租出，…，为了投资少而获利大，每个每天应提高（ ）A ．4元或6元B ．4元C ．6元D ．8元4．某种商品的成本是120元，试销阶段每件商品的售价x （元）与产品的销售量y （件）满足当130x =时，70y =，当150x =时，50y =，且y 是x 的一次函数，为了获得最大利润S （元），每件产品的销售价应定为（ ）A ．160元B ．180元C ．140元D ．200元5．某超市将进货单价为l8元的商品按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每件提价1元，日销售就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？（ ）A ．22元B ．24元C ．26元D ．28元6．某公司在甲、乙两地同时销售某品牌的手表，已知在甲、乙两地的销售利润y （单位：万元）与销售量x （单元：只）之间分别是：12y x =，2210y x x =-+，若该公司在甲、乙两地共销售15只该品牌手表，则能获得的最大利润为（ ）A ．30万元B ．40万元C ．45万元D ．46万元7．某网店销售一款李宁牌运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价的钱数为（ ）A ．3元B ．4元C ．5元D ．8元8．某品牌钢笔进价8元，按10元1支出售时每天能卖出20支，市场调查发现如果每支每涨价1元，每天就少卖出2支，为了每天获得最大利润，其售价应定为（ ） A ．11元 B ．12元 C ．13元 D ．14元9．某商人将单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销售价(为偶数)提高( )A ．8元或10元B ．12元C ．8元D ．10元10．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y 和月份n 之间函数关系式为y=-n 2+14n-24，则该企业一年中利润最高的月份是( )A ．5月B ．6月C ．7月D ．8月11．某公司2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，若设平均每月的增长率x ，则根据题意可得方程为________．12．某商店将每件进价为8元的某种商品每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件，将这种商品的售价降低x 元时，则销售利润y =________．13．某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为160元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每间每天房价定为x 元，宾馆每天利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为_____．14．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出（100﹣x ）件，则将每件的销售价定为________ 元时，可获得最大利润．15．某网店销售一款李宁牌运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价的钱数为________元．16．有一种产品，生产x 吨需费用211000510x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭元，而卖出x 吨的价格为p 元/吨，其中x p a b=+（a ，b 为常数），如果生产出来的产品全部卖掉，并且当产量是150吨时，所获利润最大，这时的价格为每吨40元，则a ，b 的值分别为________、________． 17．某商人将进货单价为8元的某种商品按10元销售时，每天可卖出100件．现在他采用提高售价的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10件，那么他将售价每个定为________元时，才能使每天所赚的利润最大，每天最大利润是________元．18．某工厂今年3月份的产值为144万元，5月份的总产值为196万元．若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程为：__________________________．19．已知老王一个月销售某种服装x（件）与获得利润y（元）满足关系式：21200120000=-+-，则当一个月卖出________件衣服时，获得最大利润y x x________元．20．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，据此规律计算，每件商品降价_____元时，商场日盈利最多．21．元旦期间，某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．（1）若房价定为200元时，求宾馆每天的利润；（2）房价定为多少时，宾馆每天的利润最大？最大利润是多少？22．九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价（元/件）100 110 120 130 …月销量（件）200 180 160 140 …已知该运动服的进价为每件60元，设售价为元．（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是元；②月销量是件；（直接写出结果）（2）设销售该运动服的月利润为元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？23．某商品市场销售抢手，其进价为每件80元，售价为每件130元，每个月可卖出500件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件(每件售价不能高于240元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？(3)每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为40000元？根据以上结论，请你直接写出x在什么范围时，每个月的利润不低于40000元？24．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利50元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）若商场平均每天要赢利1600元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？25．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：（1）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量y（件）与单价x（元/件）之间存在一次函数关系，求y关于x的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）；（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（2）中的关系，且该产品的成本是20元/件．为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？（3）为保证产品在实际试销中销售量不得低于30件，且工厂获得得利润不得低于400元，请直接写出单价x的取值范围．26．某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量P（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式p＝12x+8．从市场反馈的信息发现，该食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克，（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种食材能全部售出；当每天的产量大于市场需求量时，只能售出市场需求的量，而剩余的食材由于保质期短作废弃处理；①当每天的食材能全部售出时，求x的取值范围；②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当x 为多少时，y 有最大值，并求出最大利润．27．某文具店购进A ，B 两种钢笔，若购进A 种钢笔2支，B 种钢笔3支，共需90元；购进A 种钢笔3支，B 种钢笔5支，共需145元．（1）求A 、B 两种钢笔每支各多少元？（2）若该文具店要购进A ，B 两种钢笔共90支，总费用不超过1588元，并且A 种钢笔的数量少于B 种钢笔的数量，那么该文具店有哪几种购买方案？（3）文具店以每支30元的价格销售B 种钢笔，很快销售一空，于是，文具店决定在进价不变的基础上再购进一批B 种钢笔，涨价卖出，经统计，B 种钢笔售价为30元时，每月可卖68支；每涨价1元，每月将少卖4支，设文具店将新购进的B 种钢笔每支涨价a 元（a 为正整数），销售这批钢笔每月获利W 元，试求W 与a 之间的函数关系式，并且求出B 种铅笔销售单价定为多少元时，每月获利最大？最大利润是多少元？ 28．某超市为了销售一种新型“吸水拖把”，对销售情况作了调查，结果发现每月销售量y （只）与销售单价x （元）满足一次函数关系，所调查的部分数据如表：（已知每只进价为10元，销售单价为整数，每只利润＝销售单价﹣进价）（1）求出y 与x 之间的函数表达式（2）该新型“吸水拖把”每月的总利润为w （元），求w 关于x 的函数表达式，并指出销售单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？29．“疾驰臭豆腐”是长沙知名地方小吃，某分店经理发现，当每份臭豆腐的售价为6元时，每天能卖出500份；当每份臭豆腐的售价每增加0.5元时，每天就会少卖出20份，设每份臭豆腐的售价增加x 元时，一天的营业额为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；（2）考虑到顾客可接受价格a 元/份的范围是69a ≤≤，且a 为整数，不考虑其他因素，则该分店的臭豆腐每份多少元时，每天的臭豆腐营业额最大？最大营业额是多少元？30．2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠形风筝进价每个为10元，当售价为每个12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请解答以下问题：(1)用表达式表示蝙蝠形风筝销售量y (个)与售价x (元)之间的函数关系(12≤x ≤30)；(2)王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？(3)当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？参考答案1．B【解析】【分析】售价为x元，则涨价为（x-40）元，可用x表示出每星期的销量，并得到x的取值范围．根据总利润=销量×每件利润可得出利润的表达式，利用二次函数的最值可得出答案.【详解】解：由题意得，涨价为（x-40）元，（0≤x≤5且x为整数），每星期少卖10（x-40）件，∴每星期的销量为：150-10（x-40）=550-10x，设每星期的利润为y元，则y=（x-30）×（550-10x）=-10（x-42.5）2+1562.5，∵x为非负整数，∴当x=42或43时，利润最大为1560元，又∵要求销量较大，∴x取42元．答：若要使每星期的利润最大且每星期的销量较大，x应为42元.故选:B.【点睛】本题考查了二次函数的应用，与实际结合得比较紧密，解答本题的关键是表示出涨价后的销量及单件的利润，得出总利润的二次函数的表达式，另外要求我们熟练二次函数最值的求法. 2．D【解析】【分析】根据总利润=单件利润×数量建立等式就可以得出结论．【详解】解：由题意，得y=（10+x-9）（100-10x），y=-10x2+90x+100．故选D．【点睛】本题考查了销售问题的数量关系的运用，总利润=单件利润×数量的运用，解答时找准销售问题的数量关系是关键．3．C【解析】试题解析: 设每个伞收费应提高x 个2元，获得利润为y 元，根据题意得：225(102)(10010)2010010002011252y x x x x x ⎛⎫=+-=-++=--+ ⎪⎝⎭， ∵x 取整数，∴当x =2或3时，y 最大，当x =3时，每个伞收费提高6元，伞的个数最少，即投资少，∴为了投资少而获利大，每个伞收费应提高6元.故选C.4．A【解析】【分析】把x=130时，y=70，当x=150时，y=50，代入一函数解析式y=kx+b ，进而得出y 与x 的关系式；利用利润=销量×每件利润，进而利用配方法求出函数最值．【详解】设y =kx +b ,将(130,70),(150,50)代入得：即{1307015050k b k b +=+=，解得：{1200k b =-=， ∴y 与x 之间的一次函数关系式为：y =−x +200；销售利润为S ，由题意得：S =(x −120)y =−2x +320x −24000=−2(160)x -+1600，∴售价为160元/件时，获最大利润1600元.故选A.【点睛】本题主要考查二次函数的应用，利用配方法求出函数最值是解题关键.5．B【解析】【分析】设利润为y ，售价定为每件x 元，根据：利润=每件利润×销售量，列方程求解，然后利用配方法求二次函数取最大值时x 的值即可．【详解】设利润为y ，售价定为每件x 元，由题意得，y=（x-18）×[100-10（x-20）]， 整理得：y=-10x 2+480x-5400=-10（x-24）2+360，∵-10＜0，∴开口向下，故当x=24时，y 有最大值．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，难度适中，解答本题的关键是根据题意列出二次函数，要求同学们掌握求二次函数最大值的方法．6．D【解析】【分析】设在乙地销售了a 只，则在甲地销售了（15-a ）只，则()21221510y a y a a =-=-+，， 设总利润为W 元，根据总利润等于两地的利润之和表示出W 与a 之间的关系式就可以求出结论．【详解】设总利润为W 元，在乙地销售了a 辆，则在乙地销售了（15-a ）辆，则()21221510y a y a a =-=-+，，由题意，得W═-a 2+10a+2（15-a ），=-a 2+8a+30，=-（a-4）2+46．∴a=-1＜0，∴a=4时，W最大=46．故选D．【点睛】考查二次函数的应用，掌握配方法求二次函数的最值是解题的关键.7．B【解析】【分析】设每件需要降价的钱数为x元，则销量为(100+5x)件，那么利润y=(128-x-100)(100+5x)，根据函数在符合题意的情况下求最大值即可.【详解】解：设每件需要降价的钱数为x元，则利润:y=(128-x-100)(100+5x)=(28-x)(100+5x)=-5(x-4)2+2880,由a=-5＜0可知，抛物线开口向下，有最大值，当x=4时，有最大值y=2880，故选择B.【点睛】本题考察了二次函数的实际应用，列出函数关系式并化为顶点式是本题的管家.8．D【解析】设利润为w，由题意得，每天利润为：w=（2+x）（20–2x）=–2x2+16x+40=–2（x–4）2+72．所以当涨价4元（即售价为14元）时，每天利润最大，最大利润为72元．故选D．9．A【解析】【分析】每件利润为（x-8）元，销售量为（100-10×102x），根据利润=每件利润×销售量，得出销售利润y（元）与售单价x（元）之间的函数关系；再根据函数关系式，利用二次函数的性质求最大利润．【详解】解：（1）依题意，得y=（x-8）•（100-10×102x）=-5x2+190x-1200=-5（x-19）2+605，-5＜0，∴抛物线开口向下，函数有最大值，即当x=19时，y的最大值为605，∵售价为偶数，∴x为18或20，当x=18时，y=600，当x=20时，y=600，∴x为18或20时y的值相同，∴商品提高了18-10=8（元）或20-10=10（元）故选A．【点睛】本题考查了二次函数的应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．10．C【解析】试题解析：y=-n2+14n-24=-（n-7）2+25，∵-1＜0，∴开口向下，y有最大值，即n=7时，y取最大值25，故7月能够获得最大利润故选C.11．160(1＋x)2＝250【解析】根据2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，每月的平均增加率相等，可以列出相应的方程．由题意可得，160（1+x）2=250，故答案为160（1+x）2=250．12．()210010020002x x x -++≤≤ 【解析】【分析】销售利润=每件的利润×卖出件数=（原来每件的利润-降低的价钱）×（100+增加的销售量），把相关数值代入即可，注意利润应为非负数．【详解】∵每降低0.1元，其销售量可增加10件，∴降低x 元，其销售量可增加100x 件，∵原来每件的利润为10-8，现在降低x 元，∴现在每件的利润为2-x ，应保证2-x≥0，∴销售利润y=（10-8-x ）×（100+100x ）=-100x 2+100x+200（0≤x≤2）．故答案为：-100x 2+100x+200（0≤x≤2）【点睛】解决本题的关键是找到销售利润的等量关系，难点是得到降低价格后增加的销售量．13．y ＝﹣210x +58x ﹣1120 【解析】【分析】根据题意表示出每间房间的利润以及住满的房间数，进而得出答案．【详解】则y 与x 的函数关系式为：y=（x-20）(40-2x 1605811201010x x ）﹣﹣-=+.故答案为：y=﹣210x +58x ﹣1120. .【点睛】本题考查的是二次方程的实际应用，熟练掌握根据题意列方程是解题的关键.14．65【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价-每件进价．再根据所列二次函数求最大值．【详解】设最大利润为w元，则w=（x-30）（100-x）=-（x-65）2+1225，∵-1＜0，0＜x＜100，∴当x=65时，二次函数有最大值1225，∴定价是65元时，利润最大．故答案为：65．【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．15．4【解析】【分析】设每件降价x元，每天获得的利润为y元，根据销售问题的数量关系表示出y与x之间的关系式，转化为顶点式即可．【详解】解：设每件降价x元，每天获得的利润为y元，由题意，得y=(5x+100)(128-100-x),y=-5(x-4)2+2880．∴a=-5<0，∴ x=4时，y最大=2880．故答案：4．【点睛】本题考查利润问题的数量关系的运用，二次函数的解析式的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．16．a=45, b=-30【分析】首先设出售x 吨时，利润是y 元，根据题意表示出利润，然后根据二次函数求最值方法进行计算，求出a ，b ．【详解】解：设出售x 吨时，利润是y 元，则 y=（a+x b ）x-（1000+5x+2x 10）=10-b 10b x 2+（a-5）x-1000， 依题意可知，当x=150时，y 有最大值，则 a+150b=40， 当b ＜0或b ＞10时，10-b 10b＜0， 故 ()55b-10b a -=150，()150 40b {55=150b-10a b a +=-， 解得：a=45{b=-30．故答案为a=45，b=-30．【点睛】此题考查了函数模型的应用，通过对实际问题分析，转化为函数表达式，通过二次函数求最值计算，属于中档题．17．14 360【解析】【分析】设他将售价定为x 元，利润为y 元，根据总利润=单个利润×数量建立函数关系式，再由函数的解析式的性质求出其解即可．解：设设他将售价定为x元，利润为y元，由题意，得y=（x-8）[100-10（x-10）]，y=-10x2+280x-1600，y=-10（x-14）2+360．∴a=-10＜0，抛物线有最大值．∴当x=14时，y最大=360．故答案为：14，360．【点睛】本题考查了销售问题的数量关系的运用，由总利润=单个利润×数量建立函数关系式，二次函数的解析式的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．18．144(1+ x)2=196.【解析】四月的总产值是144（1+x），五月的总产值是144（1+x）(1+x)=144(1+x)2.所以可列方程：144(1+ x)2=196.故本题应填144(1+ x)2=196.19．600240000【解析】【分析】根据函数的单调性，在x=600左边为增函数，右边为减函数，找到最值点，把x=600代入数值求解y即可．【详解】∵y=-x2+1200x-120000，∴变形得y=-（x-600）2+240000，当x=600时取得最大值，最大值为240000元．故答案为：600 ；240000.【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质和配方法是解题的关键．20．17.5．【解析】设每件商品降价x元，所获利润为y，分别表示出每件商品售价和每天销售量，再根据销售额为售价乘以销售量列出函数关系式，进而根据二次函数的性质求解即可.【详解】设每件商品降价x元，所获利润为y，则y=（50﹣x）（30+2x）=﹣2x2+70x+1500=﹣2（x﹣17.5）2+2112.5，∴当x=17.5时，W取得最大值，最大值为2112.5，即每件商品降价17.5元时，商场日盈利达到最大，是2112.5元．故答案为：17.5．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题目中的数量关系列出函数关系式是解答本题的关键. 21．（1）宾馆每天的利润为8640；（2）房价定为350时，宾馆每天的利润最大，最大利润是10890元．【解析】【分析】（1）根据每天游客居住的房间数量等于50-减少的房间数即可解决问题；（2）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．【详解】（1）若房价定为200元时，宾馆每天的利润为：（200﹣20）×（50﹣2）＝8640（元），答：宾馆每天的利润为8640；（2）设总利润为y元，则y＝（50﹣18010x）（x﹣20）＝﹣110x2+70x+1360＝﹣110（x﹣350）2+10890故房价定为350时，宾馆每天的利润最大，最大利润是10890元．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数解决实际问题中的最值问题．22．（1） ； ；（2）售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．试题分析：（1）根据利润=售价-进价求出利润，运用待定系数法求出月销量；（2）根据月利润=每件的利润×月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润．试题解析：（1）①销售该运动服每件的利润是（x﹣60）元；②设月销量W与x的关系式为w=kx+b，由题意得，，解得，，∴W=﹣2x+400；（2）由题意得，y=（x﹣60）（﹣2x+400）=﹣2x2+520x﹣24000=﹣2（x﹣130）2+9800，∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元.23．(1) y=﹣2x2+400x+25000，0＜x≤110，且x为正整数；(2) 件商品的涨价100元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是45000元；(3) 每件商品的涨价为50元时，每个月的利润恰为40000元；当50≤x≤110，且x为正整数时，每个月的利润不低于40000元【解析】【分析】（1）设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件，根据月利润=单件利润×数量，则可以得到月销售利润y的函数关系式；（2）由月利润的函数表达式y=﹣2x2+400x+25000，配成顶点式即可；（3）当月利润y=40000时，求出x的值，结合（1）中的取值范围即可得．【详解】解：(1)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元，由题意得：y=(130﹣80+x)(500﹣2x)=﹣2x2+400x+25000∵每件售价不能高于240元∴130+x≤240∴x≤110∴y与x的函数关系式为y=﹣2x2+400x+25000，自变量x的取值范围为0＜x≤110，且x 为正整数；故答案为：y=﹣2x2+400x+25000；0＜x≤110．(2)∵y=﹣2x2+400x+25000=﹣2(x﹣100)2+45000∴当x=100时，y有最大值45000元；∴每件商品的涨价100元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是45000元，故答案为：每件商品的涨价100元时，月利润最大是45000元；(3)令y=40000，得：﹣2x2+400x+25000=40000解得：x1=50，x2=150∵0＜x≤110∴x=50，即每件商品的涨价为50元时，每个月的利润恰为40000元，由二次函数的性质及问题的实际意义，可知当50≤x≤110，且x为正整数时，每个月的利润不低于40000元．∴每件商品的涨价为50元时，每个月的利润恰为40000元；当50≤x≤110，且x为正整数时，每个月的利润不低于40000元，故答案为：每件商品的涨价为50元；50≤x≤110；【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，方案设计类营销问题，二次函数表达式的求解，二次函数顶点式求最值问题，由函数值求自变量的值，掌握二次函数的实际应用是解题的关键．24．（1）每件衬衫应降价30元；（2）每件衬衫降价20元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1800元．【解析】【分析】（1）若设每件衬衫应降价x元，则每件所得利润为（50﹣x）元，但每天多售出2x件即售出件数为（20+2x）件，因此每天赢利为（50﹣x）（20+2x）元，进而可根据题意列出方程求解．（2）列出商场平均每天赢利y与衬衫降价x之间的函数关系式，并化为顶点式，即可解答．【详解】解：（1）设每件衬衫应降价x元，根据题意得（50﹣x）（20+2x）＝1600，整理得2x2﹣80x+600＝0解得x1＝30，x2＝10．因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降30元．答：每件衬衫应降价30元．（2）设商场平均每天赢利y元，则y＝（20+2x）（50﹣x）＝﹣2x2+80x+1000＝﹣2（x2﹣40x﹣400）＝﹣2[（x﹣20）2﹣625]＝﹣2（x﹣20）2+1800．∴当x＝20时，y取最大值，最大值为1800．答：每件衬衫降价20元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1800元．【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用和二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用二次函数求最值是解决此题的关键.25．（1）y=﹣2x+100；（2）当x=35时，w的最大值为450元（3）30≤x≤35【解析】试题分析：（1）设y=kx+b，根据表中数据，利用待定系数法求解可得；（2）设工厂获得的利润为w元，根据：“总利润=每件利润×销售量”，列函数解析式并配方可得其最值情况；（3）根据销售量≥30件、获得的利润≥400元列不等式组，解不等式组可得．试题解析：（1）设y=kx+b，将x=30、y=40，x=34、y=32，代入y=kx+b，得：3040 {3432k bk b++＝＝，解得：2{100k b -＝＝， ∴y 关于x 的函数关系式为：y=-2x+100；（2）设定价为x 元时，工厂获得的利润为w 元，则w=（x-20）•y=-2x 2+140x-2000=-2（x-35）2+450∴当x=35时，w 的最大值为450元．（3）根据题意得：2210030{21402000400x x x -+≥-+-≥ 解得：30≤x≤35．26．（1）q ＝﹣x +14，其中2≤x ≤10；（2）①2≤x ≤4，②y ＝221716(24)21316(410)x x x x x x ⎧+-≤≤⎪⎨⎪-+-<≤⎩；（3）x ＝132时取最大值，最大利润1054百元． 【解析】【分析】（1）根据表格数据，设q 与x 的函数关系式为：q ＝kx +b ，待定系数法即可求得； （2）①根据题意，p ≤q ，计算即可求得x 的取值范围；②根据销售利润=销售量⨯（售价-进价），列出厂家每天获得的利润y （百元）与销售价格x 的函数关系；（3）根据（2）中的条件分情况讨论即可.【详解】（1）由表格的数据，设q 与x 的函数关系式为：q ＝kx +b根据表格的数据得212410k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得114k b =-⎧⎨=⎩， 故q 与x 的函数关系式为：q ＝﹣x +14，其中2≤x ≤10（2）①当每天的半成品食材能全部售出时，有p ≤q 即12x +8≤﹣x +14，解得x ≤4 又2≤x ≤10，所以此时2≤x ≤4②由①可知，当2≤x ≤4时，y ＝（x ﹣2）p ＝（x ﹣2）（12x +8）＝12x 2+7x ﹣16 当4＜x ≤10时，y ＝（x ﹣2）q ﹣2（p ﹣q ） ＝（x ﹣2）（﹣x +14）﹣2[12x +8﹣（﹣x +14）] ＝﹣x 2+13x ﹣16即有y ＝221716,(24)21316,(410)x x x x x x ⎧+-⎪⎨⎪-+-<⎩ （3）当2≤x ≤4时，y ＝12x 2+7x ﹣16的对称轴为x ＝2b a＝﹣7 ∴当2≤x ≤4时，随x 的增大而增大∴x ＝4时有最大值，y ＝20当4＜x ≤10时y ＝﹣x 2+13x ﹣16＝﹣（x ﹣132）2+1054， ∵﹣1＜0，132＞4 ∴x ＝132时取最大值 即此时y 有最大利润1054百元． 【点睛】本题考查一次函数和二次函数实际应用中的利润问题，属综合中档题.27．（1） A 种钢笔每只15元 B 种钢笔每只20元；（2） 方案有两种，一方案为：购进A 种钢笔43支，购进B 种钢笔为47支方案二：购进A 种钢笔44支，购进B 种钢笔46支；（3） 定价为33元或34元，最大利润是728元.【解析】（1）设A 种钢笔每只x 元，B 种钢笔每支y 元，由题意得2390 35145x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：1520xy=⎧⎨=⎩，答：A种钢笔每只15元，B种钢笔每支20元；（2）设购进A种钢笔z支，由题意得：() 152090158890z zz z⎧+-≤⎨<-⎩，∴42.4≤z<45，∵z是整数z=43，44，∴90-z=47，或46；∴共有两种方案：方案一：购进A种钢笔43支，购进B种钢笔47支，方案二：购进A种钢笔44只，购进B种钢笔46只；（3）W=（30-20+a）（68-4a）=-4a²+28a+680=-4(a-72)²+729，∵-4<0，∴W有最大值，∵a为正整数，∴当a=3，或a=4时，W最大，∴W最大==-4×(3-72)²+729=728，30+a=33，或34；答：B种铅笔销售单价定为33元或34元时，每月获利最大，最大利润是728元．28．（1）y＝﹣10x+500；（2）当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元．【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求函数解析式．（2）总利润=单件利润×总销售量，先表示出w，再根据二次函数求最值问题进行配方即可．【详解】解：（1）设y＝kx+b（k≠0），根据题意，代入点（20，300），（25，250），∴20300 25250k bk b+=⎧⎨+=⎩，。
温州市初中数学二次函数技巧及练习题附答案解析
温州市初中数学二次函数技巧及练习题附答案解析一、选择题1．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系如下表：t0 1 2 3 4 5 6 7 … h 0 8 14 18 20 20 18 14 …下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m ；②足球飞行路线的对称轴是直线92t =；③足球被踢出9s 时落地；④足球被踢出1.5s 时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】【详解】解：由题意，抛物线的解析式为y =ax （x ﹣9），把（1，8）代入可得a =﹣1， ∴y =﹣t 2+9t =﹣（t ﹣4.5）2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m ，故①错误，∴抛物线的对称轴t =4.5，故②正确，∵t =9时，y =0，∴足球被踢出9s 时落地，故③正确，∵t =1.5时，y =11.25，故④错误，∴正确的有②③，故选B ．2．二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b+＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝222ax bx +，且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．②④C ．②⑤D ．②③⑤【答案】D【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【详解】解：抛物线的开口向下，则a ＜0；抛物线的对称轴为x=1，则-2b a=1，b=-2a ∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0；由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标，不是最大值∴+a b ＞2am bm +（故③正确）：b ＞0，b+2a=0；（故②正确） 又由①②③得：abc ＜0 （故①错误）由图知：当x=-1时，y ＜0；即a-b+c ＜0，b ＞a+c ；（故④错误）⑤若211ax bx +＝222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=211ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1-x 2)=a(x 1+x 2)（x 1-x 2）+b(x 1-x 2)= （x 1-x 2）[a(x 1+x 2)+b]= 0∵1x ≠2x∴a(x 1+x 2)+b=0∴x 1+x 2=2b a a a-=-=2 （故⑤正确） 故选D ．考点：二次函数图像与系数的关系.3．如图，抛物线2119y x =-与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（ ）A ．2B ．322C ．52D ．3【解析】【分析】根据抛物线解析式即可得出A 点与B 点坐标，结合题意进一步可以得出BC 长为5，利用三角形中位线性质可知OE=12BD ，而BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，据此进一步求解即可.【详解】 ∵2119y x =-， ∴当0y =时，21019x =-， 解得：=3x ±，∴A 点与B 点坐标分别为：(3-，0)，(3，0)，即：AO=BO=3，∴O 点为AB 的中点，又∵圆心C 坐标为(0，4)，∴OC=4，∴BC 长度5=，∵O 点为AB 的中点，E 点为AD 的中点，∴OE 为△ABD 的中位线，即：OE=12BD ， ∵D 点是圆上的动点，由图可知，BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，∴BD 的最小值为4，∴OE=12BD=2， 即OE 的最小值为2，故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.4．在抛物线y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）和直线y ＝﹣12x 的图象上有三点（x 1，m ）、（x 2，m ）、（x 3，m ），则x 1+x 2+x 3的结果是（ ） A ．3122m -+ B ．0 C ．1 D ．2【解析】【分析】根据二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征即可求得结果．【详解】解：如图，在抛物线y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）和直线y ＝﹣12x 的图象上有三点A （x 1，m ）、B （x 2，m ）、C （x 3，m ），∵y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）∴抛物线的对称轴为直线x ＝m+1， ∴232x x +＝m+1， ∴x 2+x 3＝2m+2， ∵A （x 1，m ）在直线y ＝﹣12x 上， ∴m ＝﹣12x 1， ∴x 1＝﹣2m ， ∴x 1+x 2+x 3＝﹣2m+2m+2＝2，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合思想画出函数图形．5．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数b y x=在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．【详解】∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下，∴a ＜0，∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点，∴c=0，∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧，∴a ，b 同号，∴b ＜0，∴一次函数y=ax+c ，图象经过第二、四象限，反比例函数y=b x图象分布在第二、四象限， 故选D ．【点睛】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．6．将抛物线243y x x =-+平移，使它平移后图象的顶点为()2,4-，则需将该抛物线（ ）A ．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位B ．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位C ．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位D ．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位【答案】C【解析】【分析】先把抛物线243y x x =-+化为顶点式，再根据函数图象平移的法则进行解答即可． 【详解】∵抛物线243y x x =-+可化为()221y x =--∴其顶点坐标为：(2,−1)，∴若使其平移后的顶点为(−2,4)则先向左平移4个单位，再向上平移5个单位． 故选C.【点睛】本题考查二次函数图像，熟练掌握平移是性质是解题关键.7．如图，正方形ABCD 中，AB ＝4cm ，点E 、F 同时从C 点出发，以1cm /s 的速度分别沿CB ﹣BA 、CD ﹣DA 运动，到点A 时停止运动．设运动时间为t （s ），△AEF 的面积为S （cm 2），则S （cm 2）与t （s ）的函数关系可用图象表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：分类讨论：当0≤t≤4时，利用S=S 正方形ABCD ﹣S △ADF ﹣S △ABE ﹣S △CEF 可得S=﹣t 2+4t ，配成顶点式得S=﹣（t ﹣4）2+8，此时抛物线的开口向下，顶点坐标为（4，8）；当4＜t≤8时，直接根据三角形面积公式得到S=（8﹣t ）2=（t ﹣8）2，此时抛物线开口向上，顶点坐标为（8，0），于是根据这些特征可对四个选项进行判断． 解：当0≤t≤4时，S=S 正方形ABCD ﹣S △ADF ﹣S △ABE ﹣S △CEF=4•4﹣•4•（4﹣t ）﹣•4•（4﹣t ）﹣•t•t=﹣t 2+4t=﹣（t ﹣4）2+8；当4＜t≤8时，S=•（8﹣t ）2=（t ﹣8）2．故选D ．考点：动点问题的函数图象．8．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，给出以下结论：①abc ＜0；②3a +c ＝0；③ax 2+bx ≤a +b ；④若M （﹣0.5，y 1）、N （2.5，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＜y 2．其中正确的是（ ）A ．①③④B ．①②3④C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】【分析】 根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：①由图象可知：a ＜0，c ＞0， 由对称轴可知：2b a -＞0， ∴b ＞0，∴abc ＜0，故①正确；②由对称轴可知：2b a-＝1， ∴b ＝﹣2a ，∵抛物线过点（3，0），∴0＝9a+3b+c ，∴9a ﹣6a+c ＝0，∴3a+c ＝0，故②正确；③当x ＝1时，y 取最大值，y 的最大值为a+b+c ，当x 取全体实数时，ax 2+bx+c≤a+b+c ，即ax 2+bx≤a+b ，故③正确；④（﹣0.5，y 1）关于对称轴x ＝1的对称点为（2.5，y 1）：∴y 1＝y 2，故④错误；故选：C ．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．9．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a ﹣b+c ，则P 的取值范围是( )A ．﹣4＜P ＜0B ．﹣4＜P ＜﹣2C ．﹣2＜P ＜0D ．﹣1＜P ＜0【答案】A【解析】【分析】【详解】 解:∵二次函数的图象开口向上，∴a ＞0．∵对称轴在y 轴的左边，∴b 2a-＜0．∴b ＞0． ∵图象与y 轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b ﹣2=0． ∴a=2﹣b ，b=2﹣a ．∴y=ax 2+（2﹣a ）x ﹣2．把x=﹣1代入得：y=a ﹣（2﹣a ）﹣2=2a ﹣4，∵b ＞0，∴b=2﹣a ＞0．∴a ＜2．∵a ＞0，∴0＜a ＜2．∴0＜2a ＜4．∴﹣4＜2a ﹣4＜0，即﹣4＜P ＜0．故选A ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键．10．小明从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①c ＞0，②abc ＜0，③a -b +c ＞0，④2b ＞4a c ，⑤2a =－2b ，其中正确结论是（ ）．A ．①②④B ．②③④C ．③④⑤D ．①③⑤【答案】C【解析】【分析】 由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由抛物线交y 轴于负半轴，则c<0，故①错误；②由抛物线的开口方向向上可推出a>0；∵对称轴在y 轴右侧，对称轴为x=2b a ->0， 又∵a>0，∴b<0；由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c<0，故abc>0，故②错误；③结合图象得出x=−1时，对应y 的值在x 轴上方，故y>0，即a−b+c>0，故③正确； ④由抛物线与x 轴有两个交点可以推出b 2−4ac>0，故④正确；⑤由图象可知：对称轴为x=2b a -=12则2a=−2b ，故⑤正确；故正确的有：③④⑤．故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件．11．若二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象于x 轴的交点坐标分别为（x 1，0），（x 2，0），且x 1＜x 2，图象上有一点M （x 0，y 0）在x 轴下方，对于以下说法：①b 2﹣4ac ＞0②x ＝x 0是方程ax 2+bx +c ＝y 0的解③x 1＜x 0＜x 2④a （x 0﹣x 1）（x 0﹣x 2）＜0其中正确的是（ ）A ．①③④B ．①②④C ．①②③D ．②③【答案】B【解析】【分析】①根据二次函数图象与x 轴有两个不同的交点，结合根的判别式即可得出△=b 2-4ac ＞0，①正确；②由点M （x 0，y 0）在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出x=x 0是方程ax 2+bx+c=y 0的解，②正确；③分a ＞0和a ＜0考虑，当a ＞0时得出x 1＜x 0＜x 2；当a ＜0时得出x 0＜x 1或x 0＞x 2，③错误；④将二次函数的解析式由一般式转化为交点式，再由点M （x 0，y 0）在x 轴下方即可得出y 0=a （x 0-x 1）（x 0-x 2）＜0，④正确．【详解】①∵二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象于x 轴的交点坐标分别为（x 1，0），（x 2，0），且x 1＜x 2，∴方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴△=b 2-4ac ＞0，①正确；②∵图象上有一点M （x 0，y 0），∴a +bx 0+c=y 0，∴x=x 0是方程ax 2+bx+c=y 0的解，②正确；③当a ＞0时，∵M （x 0，y 0）在x 轴下方，∴x 1＜x 0＜x 2；当a ＜0时，∵M （x 0，y 0）在x 轴下方，∴x 0＜x 1或x 0＞x 2，③错误；④∵二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象于x 轴的交点坐标分别为（x 1，0），（x 2，0）， ∴y=ax 2+bx+c=a （x-x 1）（x-x 2），∵图象上有一点M （x 0，y 0）在x 轴下方，∴y 0=a （x 0-x 1）（x 0-x 2）＜0，④正确；故选B ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的相关知识逐一分析四条结论的正误是解题的关键．12．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( )A ．①②B ．①②③C ． ①③④D ． ①②④ 【答案】D【解析】【分析】根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a =->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a bc ++>，将23a b =-代入可得40c b ->.【详解】①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确.②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确.③由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a bc ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确.故答案选D.【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。
初中数学二次函数的图象与性质基础过关训练题1(附答案详解)
初中数学二次函数的图象与性质基础过关训练题1（附答案详解）1．在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2+b 与y ＝ax +b (a ，b 都不为0)的图象的相对位置可以是( )A ．B ．C ．D ．2．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+c 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．对于二次函数y ＝﹣（x ﹣2）2﹣3，下列说法中正确的是（ ） A ．当x ＝﹣2时，y 的最大值是﹣3 B ．当x ＝2时，y 的最小值是﹣3 C ．当x ＝2时，y 的最大值是﹣3 D ．当x ＝﹣2时，y 的最小值是﹣34．下列m 的取值中，能使抛物线y =x 2+（2m ﹣4）x +m ﹣1顶点在第三象限的是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 5．二次函数2616y x x =++的顶点坐标是（） A ．（-3，7）B ．（3，7）C ．（-3，-7）D ．（3，-7）6．已知抛物线y ＝ax 2+bx+c(a ＞0)过(﹣2，0)、(2，3)两点，那么抛物线的对称轴( ) A ．只能是x ＝﹣1B ．可能是y 轴C ．在y 轴右侧且在直线x ＝2的左侧D ．在y 轴左侧7．抛物线y ＝（x －2）2－3的顶点坐标为（ ）A ．（2，3）B ．（2，－3）C ．（－2，－3）D ．（－2，3）8．如图，二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，则下列说法错误的是（ ）A ．AB ＝4 B ．∠ABC ＝45° C ．当x ＞0时，y ＜﹣3D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大9．若将抛物线y ＝x 2向下平移1个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（ ） A ．y ＝（x ﹣1）2 B ．y ＝（x+1）2 C ．y ＝x 2﹣1 D ．y ＝x 2+1 10．若抛物线y ＝ax 2+2ax+4a(a ＞0)上有A(32-，y 1)、B(2，y 2)、C(32，y 3)三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系为( ). A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 1＜y 3＜y 2C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 3＜y 111．已知（1，y 1），（2，y 2），（3，y 3）是抛物线y ＝﹣2x 2+6x+c 上的点，则（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 1＞y 2＞y 3C ．y 1＝y 2＜y 3D ．y 1＝y 2＞y 312．已知二次函数(1)(3)y x x =+-，则该二次函数的对称轴为_________________. 13．把抛物线y=x 2+4先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为__________.14．二次函数2(1)3y x =--的图象与y 轴的交点坐标是________．15．已知二次函数212y x x =--和一次函数21y x =+的两个交点分别为A(−1,0)，B(3,4)，当12y y >时，自变量x 的取值范围是___. 16．反比例函数1y x=-与二次函数2y x =的共同性质有______.(写出一条符合题意的即可)17．抛物线y ＝x 2﹣6x +11的顶点为_____________．18．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出它们的一些特点： 甲：对称轴是4x =；乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y 轴交点的纵坐标也是整数，且以三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数的解析式：______.19．已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，顶点为(1,0)-，有下列结论：①0abc <；②240b ac -=；③2a >；④420a b c -+>，其中，正确结论有________.20．将抛物线y ＝x 2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是_____．（写成顶点式）21．如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是_____．22．已知点A（1，y1），B（-2，y2），C（-2，y3）在y=2(x+1)2-0.5的函数图像上，请用“<“号比较y1，y2， y3的大小关系_______________.23．二次函数y＝4（x﹣3）2+7，开口_____，对称轴为_____，顶点坐标为_____．24．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y＝x﹣2，它的相关函数为()202(0)x xyx x⎧-+< =⎨-≥⎩（1）已知点A（﹣3，8）在一次函数y＝ax﹣5的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣1．当点B（m，2）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；25．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c，函数值y与自变量x之间的部分对应值如下表：x …﹣4 ﹣1 0 1 …y …﹣2 ﹣1 ﹣2 ﹣7 …（1）此二次函数图象的对称轴是直线，此函数图象与x轴交点个数为．（2）求二次函数的函数表达式；（3）当﹣5＜x＜﹣1时，请直接写出函数值y的取值范围．26．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，图象经过B（﹣3，0）、C（0，3）两点，且与x轴交于点A．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使△ACM周长最短，求出点M的坐标；（3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．27．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分,图象过点A(−5,0),对称轴为直线x=−2,给出四个结论：①b 2>4ac ；②4a+b=0；③函数图象与x 轴的另一个交点为(2,0)；④若点(−4,y 1)、(−1,y 2)为函数图象上的两点,则y 1<y 2.其中正确结论是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个28．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2﹣6mx +9m +1（m ≠0）． （1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x 轴的两个交点分别为A 和B 点（点A 在点B 的左侧），且AB ＝4，求m 的值．（3）已知四个点C （2，2）、D （2，0）、E （5，﹣2）、F （5，6），若抛物线与线段CD 和线段EF 都没有公共点，请直接写出m 的取值范围．29．如图，已知直角坐标平面上的ΔABC ，AC=CB ，∠ACB=90°，且A(-1，0)，B(m ，n)，C(3，0)．若抛物线23y ax x =+-经过A 、C 两点．(1)求a 、b 的值；(2)将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点B ，求新抛物线的解析式. 30．已知抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），且经过点（0，4），求该函数的解析式． 31．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），函数y 与自变量x 的部分对应值如下表： x …… ﹣1 0 1 4 …… y……12622……（1）求二次函数的解析式；（2）直接写出不等式ax 2+bx +c ﹣2＞0的解集是 ．32．设函数y =k 1x +2k x，且k 1•k 2≠0，自变量x 与函数值y 满足以下表格： x…… -4-3-2-1-12 121 2 3 4 ……y …… -334 -223 -1120 112 -1120 112m n ……（1）根据表格直接写出y 与x 的函数表达式及自变量x 的取值范围______（2）补全上面表格：m =______，n =______；在如图所示的平面直角坐标系中，请根据表格中的数据补全y 关于x 的函数图象；（3）结合函数图象，解决下列问题： ①写出函数y 的一条性质：______； ②当函数值y ≥32时，x 的取值范围是______； ③当函数值y =-x 时，结合图象请估算x 的值为______（结果保留一位小数）33．小明按照列表、描点、连线的过程画二次函数的图象，下表与图是他所完成的部分表格与图象：（1）补全表格与图象；（2）直接写出此抛物线顶点坐标． x … ﹣1 0 2 4 _____ … y …59_____…34．如图，已知抛物线2123y x x =--与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，直线2y kx b =+经过点B ，C .（1）求直线BC 的函数关系式；（2）当12y y >时，请直接写出x 的取值范围.35．我们定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y 轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y ＝2x 2+4x ﹣5的友好同轴二次函数为y ＝﹣x 2﹣2x ﹣5．（1）请你写出y ＝13x 2+x ﹣5的友好同轴二次函数； （2）如图，二次函数L 1：y ＝ax 2﹣4ax+1与其友好同轴二次函数L 2都与y 轴交于点A ，点B 、C 分别在L 1、L 2上，点B ，C 的横坐标均为m （0＜m ＜2）它们关于L 1的对称轴的对称点分别为B′，C′，连接BB′，B′C′，C′C ，CB ．若a ＝3，且四边形BB′C′C 为正方形，求m 的值．参考答案1．A【解析】【分析】根据一次函数图象和二次函数图象性质,再根据每一选项中a、b的符号是否相符,逐一判断．【详解】解：A选项,由抛物线可知,a＜0,b＜0,由直线可知,a＜0,b＜0,故本选项正确,B选项,由抛物线可知a＜0,由直线可知a＞0,相矛盾,故本选项错误,C选项,由抛物线可知,a＞0,b＜0,由直线可知,a＞0,b＞0,相矛盾,故本选项错误,D选项,由抛物线可知,a＞0，b＞0,由直线可知,a＜0,b＞0,相矛盾,故本选项错误,故选A．【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象,解决本题的关键是要熟练掌握一次函数,二次函数的图象与系数的关系．2．D【解析】【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A错误，D选项正确；故选D．【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．3．C 【解析】 【分析】根据抛物线的性质由a=-1得到图象开口向下，据此根据二次函数的性质解答可得． 【详解】解：对于二次函数y=-（x-2）2-3，由于-1＜0，所以，当x=2时，y 取得最大值，最大值为-3. 故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数的最值，解题关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 4．B 【解析】 【分析】对于.y =ax ²+bx +c （a ≠0）中，顶点坐标是（24,24b ac b a a--）,顶点坐标在第三象限，那么顶点坐标特点（-，-），即横纵坐标都小于0。
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题2(附答案)
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题2（附答案）1．如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（）A．2.1m B．2.2m C．2.3m D．2.25m2．烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣2t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．10s3．某建筑物，从10m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面403m，则水流落地点B离墙的距离OB是（）A．2m B．3m C．4m D．5m4．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m，水流在离喷出口的水平距离1.25m处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面（）A．0.55米B．1130米C．1330米D．0.4米5．如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面3米，则水流下落点B 离墙的距离OB 是( )A ．2.5米B ．3米C ．3.5米D ．4米6．广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y （米）关于水珠和喷头的水平距离x （米）的函数解析式是()236042y x x x =-+≤≤，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（ ）A ．1米B ．2米C ．5米D ．6米 7．同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部A 下压如图②位置时，洗手液从喷口B 流出，路线近似呈抛物线状，且a ＝﹣118．洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD ．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH ＝12cm ，喷嘴位置点B 距台面的距离为16cm ，且B 、D 、H 三点共线．小王在距离台面15.5cm 处接洗手液时，手心Q 到直线DH 的水平距离为3cm ，若学校组织学生去南京进行研学实践活动，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH 的水平距离是（ ）cm ．A ．3B ．2C ．3D ．2 8．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米9．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流的高度h (单位：m)与水流运动时间t (单位:s)之间的关系式为2305h t t =-，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是( ) A ．6 s B ．4 s C ．3 s D ．2 s10．某公园一喷水池喷水时水流的路线呈抛物线（如图）．若喷水时水流的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式是y=﹣x 2+2x+1.25，则水池在喷水过程中水流的最大高度为（ ）A ．1.25米B ．2.25米C ．2.5米D ．3米11．市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x(单位：米)的一部分．则水喷出的最大高度是____米．12．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ，水管的顶端安有一个喷水池，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ，水柱落地点D 离池中心A 处3m ，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取A 点为坐标原点时的抛物线的表达式为()()2313034y x x =--+≤≤，则选取点D 为坐标原点时的抛物线表达式为______，水管AB 的长为______m ．13．某市民广场有一个直径16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头(喷水头高度忽略不计)，各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA 的顶端A 处汇合，水柱离中心3米处达最高5米，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的他站立时必须在离水池中心O________米以内．14．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，水流的高度h （单位：m ）与水流喷出时间t （单位：s ）之间的关系式为2305h t t =-，那么水流从喷出至回落到水池所需要的时间是__________s ．15．如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA ＝1.25m ，A 处是喷头，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆心为O ，直径为线段CB ．建立如图所示的平面直角坐标系，若水流路线达到最高处时，到x 轴的距离为2.25m ，到y 轴的距离为1m ，则水落地后形成的圆的直径CB ＝_____m ．16．如图，公园里喷水池中的水柱的形状可以看成是抛物线，小明想知道水柱的最大高度，于是画出示意图，并测出了一些数据：水柱上的点C,D 到地面的距离都是1.6米，即 1.6BC OD ==米，1AB =米，5AO =米，则水柱的最大高度是______米.17．消防员的水枪喷出的水流可以用抛物线212y x bx =-+来描述，已知水流的最大高度为20m ，则b 的值为________． 18．某体育公园的圆形喷水池的水柱如图①所示，如果曲线APB 表示落点B 离点O 最远的一条水流(如图②)，其上的水珠的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为y ＝－x 2＋4x ＋94，那么圆形水池的半径至少为_______米时，才能使喷出的水流不落在水池外．19．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线是抛物线y ＝﹣x 2+4x （单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是_____米．20．两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A 处透过窗户E 发现乙楼F 处出现火灾，此时A ,E ,F 在同一直线上.跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m 高的D 处喷出，水流正好经过E ,F . 若点B 和点E 、点C 和F 的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移0.4m ，再向左后退了____m ，恰好把水喷到F 处进行灭火．21．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷头，使喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离中心3m．（1）在给定的坐标系中画出示意图；（2）求出水管的长度．22．如图1，已知水龙头喷水的初始速度v0可以分解为横向初始速度v x和纵向初始速度v y，θ是水龙头的仰角，且v02=v x2+v y2．图2是一个建在斜坡上的花圃场地的截面示意图，水龙头的喷射点A在山坡的坡顶上（喷射点离地面高度忽略不计），坡顶的铅直高度OA为15米，山坡的坡比为13．离开水龙头后的水（看成点）获得初始速度v0米/秒后的运动路径可以看作是抛物线，点M是运动过程中的某一位置．忽略空气阻力，实验表明：M与A的高度之差d（米）与喷出时间t（秒）的关系为d=v y t-5t2；M与A 的水平距离为v x t米．已知该水流的初始速度v0为15米/秒，水龙头的仰角θ为53°．（1）求水流的横向初始速度v x和纵向初始速度v y；（2）用含t的代数式表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x 的取值范围）；（3）水流在山坡上的落点C离喷射点A的水平距离是多少米？若要使水流恰好喷射到坡脚B处的小树，在相同仰角下，则需要把喷射点A沿坡面AB方向移动多少米？（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）23．如图，斜坡AB长10米，按图中的直角坐标系可用y=3+5表示，点A，B分别在x轴和y轴上．在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛物线可用y =13-x 2+bx +c 表示．（1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围）；（2）求水柱离坡面AB 的最大高度；（3）在斜坡上距离A 点2米的C 处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？ 24．游乐园新建的一种新型水上滑道如图，其中线段PA 表示距离水面（x 轴）高度为5m 的平台（点P 在y 轴上）.滑道AB 可以看作反比例函数图象的一部分，滑道BCD 可以看作是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B 为二次函数BCD 的顶点，且点B 到水面的距离2BE m =，点B 到y 轴的距离是5m.当小明从上而下滑到点C 时，与水面的距离3m 2CG =，与点B 的水平距离2m CF =.（1）求反比例函数的关系式及其自变量的取值范围；（2）求整条滑道ABCD 的水平距离；（3）若小明站在平台上相距y 轴1m 的点M 处，用水枪朝正前方向下“扫射”，水枪出水口N 距离平台3m 2，喷出的水流成抛物线形，设这条抛物线的二次项系数为p ，若水流最终落在滑道BCD 上（包括B 、D 两点），直接写出p 的取值范围.25．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ．高度为3m ．水柱落地点D 离池中心A 处3m ．建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．（1）求水柱所在抛物线的函数解析式；（2）求水管AB 的长．26．某小区有一半径为8m 的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线．在距水池中心3m 处达到最高，高度为5m ，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．以水平方向为x 轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式；（2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8m 的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？27．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA ，点O 恰好在水面中心，安装在柱子顶端A 处的圆形喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任意平面上，水流喷出的高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系如图所示，建立平面直角坐标系，右边抛物线的关系式为2y x 2x 3=-++.请完成下列问题：（1）将2y x 2x 3=-++化为()2y a x h k =-+的形式，并写出喷出的水流距水平面的最大高度是多少米；（2）写出左边那条抛物线的表达式；（3）不计其他因素，若要使喷出的水流落在池内，水池的直径至少要多少米？ 28．现代城市绿化带在不断扩大，绿化用水的节约是一个非常重要的问题．如图1、图2所示，某喷灌设备由一根高度为0.64 m 的水管和一个旋转喷头组成，水管竖直安装在绿化带地面上，旋转喷头安装在水管顶部（水管顶部和旋转喷头口之间的长度、水管在喷灌区域上的占地面积均忽略不计），旋转喷头可以向周围喷出多种抛物线形水柱，从而在绿化带上喷灌出一块圆形区域．现测得喷的最远的水柱在距离水管的水平距离3 m 处达到最高，高度为1 m ．（1）求喷灌出的圆形区域的半径；（2）在边长为16 m 的正方形绿化带上固定安装三个该设备，喷灌区域可以完全覆盖该绿化带吗？如果可以，请说明理由；如果不可以，假设水管可以上下调整高度，求水管高度为多少时，喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带．（以上需要画出示意图，并有必要的计算、推理过程）29．某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状，喷出的水流高度y （m ）与喷出水流喷嘴的水平距离x （m ）之间满足2122y x x =-+ （l ）喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？（2）喷嘴喷出水流的最远距离为多少？30．图1是一个倾斜角为α的斜坡的横截面，1tan 2α=．斜坡顶端B 与地面的距离BC 为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A ，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y （单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A 的水平距离为x （单位：米），y 与x 之间近似满足函数关系2y ax bx =+（a ，b 是常数，0a ≠），图2记录了x 与y 的相关数据．（1）求y关于x的函数关系式；（2）斜坡上有一棵高1.8米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A 喷出的水珠能否越过这棵树．参考答案1．D【解析】【分析】设抛物线的解析式为y= a(x-1)2+3(0≤x≤3)，将(3，0)代入求得a值，则x=0时得的y值即为水管的长．【详解】解：由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，则设抛物线的解析式为：y=a(x-1)2+3(0≤x≤3)，代入(3，0)得，0=a×(3-1)2+3，求得：a=34．将a值代入得到抛物线的解析式为：y=-34(x-1)2+3(0≤x≤3)，令x=0，则y=94=2.25．则水管长为2.25m，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．2．C【解析】【分析】将h关于t的函数关系式变形为顶点式，即可得出升到最高点的时间，从而得出结论．【详解】解：∵h＝﹣2t2+20t+1＝﹣2（t﹣5）2+51，∴当t＝5时，礼炮升到最高点．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将二次函数的关系式变形为顶点式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，将函数的关系式进行变换找出顶点坐标即可．3．B【解析】【分析】以OB为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系，A点坐标为（0，10），M点的坐标为（1，403），设出抛物线的解析式，代入解答球的函数解析式，进一步求得问题的解．【详解】解：设抛物线的解析式为y＝a(x﹣1)2+403，把点A（0，10）代入a(x﹣1)2+403，得a(0﹣1)2+403＝10，解得a＝﹣103，因此抛物线解析式为y＝﹣103(x﹣1)2+403，当y＝0时，解得x1＝3，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；即OB＝3米．故选B．【点睛】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题是时设抛物线的顶点式求解析式是关键．4．B【解析】【分析】如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得到对称轴为x＝1.25＝54，A（0，0.8），C（3，0），列方程组求得函数解析式，即可得到结论．【详解】解：如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得，对称轴为x＝1.25＝54，A（0，0.8），C（3，0），设解析式为y＝ax2+bx+c，∴9305240.8a b cbac++=⎧⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎩，解得：8154345abc⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以解析式为：y＝815-x2+43x+45，当x＝2.75时，y＝13 30，∴使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面08﹣1330＝1130，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意建立合适的坐标系，找到点的坐标，用待定系数法解出函数解析式是解题的关键5．B【解析】【分析】由题意可以知道M（1，3），A（0，2.25），用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值．【详解】解：设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3，把A（0，2.25）代入，得2.25=a+3，a=-0.75．∴抛物线的解析式为：y=-0.75（x-1）2+3．当y=0时，0=-0.75（x-1）2+3，解得：x1=-1（舍去），x2=3．OB=3米．故选：B．【点睛】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题，解答本题是求出抛物线的解析式．6．B【解析】【分析】先把函数关系式配方，即可求出函数取最大值时自变量的值．【详解】解：∵y=-32x2+6x=-32（x2-4x）=-32[（x-2）2-4]=-32（x-2）2+6，∴当x=2时，y有最大值，∴水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2．故选B．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出当函数取最大值时自变量的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．7．B【解析】【分析】根据题意得出各点坐标，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解．【详解】解：如图：根据题意，得Q （9，15.5），B （6，16），OH ＝6，设抛物线解析式为y ＝﹣118x 2+bx +c ， 12×81915.5,,183114.×36616,18b c b c b c ⎧-++=⎧⎪=⎪⎪⎨⎨⎪⎪=-++=⎩⎪⎩解得， 所以抛物线解析式为y ＝﹣118x 2+23x +14． 当y ＝0时，即0＝﹣118x 2+23x +14， 解得：x ＝2（负值舍去），又OH=6， 所以洗手液落在台面的位置距DH 的水平距离是2cm ．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算．8．A【解析】）∵y=－x 2＋4x=2x-24-+（），∴当x=2时，y 有最大值4，∴最大高度为4m9．A【解析】由于水流从抛出至回落到地面时高度h 为0，把h =0代入h =30t -5t 2即可求出t ，也就求出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间．解：水流从抛出至回落到地面时高度h 为0，把h =0代入h =30t −5t 2得：5t 2−30t =0，解得：t 1=0(舍去),t 2=6.故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6s.故选A.10．B【解析】试题分析：直接利用二次函数解析式得出水流离地面的最大高度．解：∵y=﹣x 2+2x+1.25=﹣（x ﹣1）2+2.25，∴水池在喷水过程中水流的最大高度为2.25米．故选B ．考点：二次函数的应用．11．4【解析】【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线24y x x =-+的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案.【详解】水在空中划出的曲线是抛物线24y x x =-+， ∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线24y x x =-+的顶点坐标的纵坐标， ∴()22424y x x x =-+=--+，∴顶点坐标为：()2,4， ∴喷水的最大高度为4米.故答案为：4.【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题.12．()()2323304y x x =-++-≤≤ 2.25． 【解析】【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案，再由题意可得，3x =-时得到的y 值即为水管的长．【详解】以喷水池中心A 为原点，竖直安装的水管为y 轴，与水管垂直的为x 轴建立直角坐标系． 抛物线的解析式为：()23134y x =--+， 当选取点D 为坐标原点时，相当于将原图象向左平移3个单位， 故平移后的抛物线表达式为：()()2323304y x x =-++-≤≤； 令3x =-，则33 2.254y =-+=． 故水管AB 的长为2.25m ． 故答案为：()()2323304y x x =-++-≤≤；2.25． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．13．7【解析】【分析】根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a 值，求出函数解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x 的值，由此即可得出结论；【详解】设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a （x －3）2+5（a≠0），将（8，0）代入y=a （x －3）2+5，得：25a+5=0，解得：a=－15，∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=－15（x－3）2+5（0＜x＜8）．当y=1.8时，有－15（x－3）2+5=1.8，解得：x1=－1（舍去），x2=7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．故答案为：7【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：根据点的坐标，用利用待定系数法求出二次函数表达式并利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8时x的值．14．6【解析】【分析】由于水流从抛出至回落到地面时高度h为0，把h=0代入h=30t-5t2即可求出t，也就求出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间．【详解】水流从抛出至回落到地面时高度h为0，把h=0代入h=30t-5t2得：5t2-30t=0，解得：t1=0（舍去），t2=6．故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6s．故答案为：6【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是正确理解题意，利用函数解决问题，结合实际判断所得出的解．15．5【解析】【分析】设y轴右侧的抛物线解析式为：y＝a（x−1）2＋2.25，将A（0，1.25）代入，求得a，从而可得抛物线的解析式，再令函数值为0，解方程可得点B 坐标，从而可得CB 的长．【详解】解：设y 轴右侧的抛物线解析式为：y ＝a （x ﹣1）2+2.25∵点A （0，1.25）在抛物线上∴1.25＝a （0﹣1）2+2.25解得：a ＝﹣1∴抛物线的解析式为：y ＝﹣（x ﹣1）2+2.25令y ＝0得：0＝﹣（x ﹣1）2+2.25解得：x ＝2.5或x ＝﹣0.5（舍去）∴点B 坐标为（﹣2.5，0）∴OB ＝OC ＝2.5∴CB ＝5故答案为：5．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的相关性质及正确的解方程，是解题的关键．16．7225【解析】【分析】设解析式为2y ax bx c =++，由题意可知点D 为（0，1.6），点C 为（4，1.6），点A 为（5，0），代入后得到三元一次方程组，解方程组即可求出抛物线解析式，再求顶点坐标即可．【详解】解：设解析式为2y ax bx c =++，由题意可知点D 为（0，1.6），点C 为（4，1.6），点A 为（5，0）， ∴ 1.6164 1.62550c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得825322585a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩， ∴解析式为：2832825255y x x =-++， ∴当3225282()25x =-=⨯-时，y 有最大值为7225. ∴水柱的最大高度是7225米. 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，用待定系数法求出二次函数的解析式是解题关键． 17．±【解析】【分析】利用二次函数的性质列出关于b 的方程，求出方程的解即可得到b 的值．【详解】解：抛物线y =12-x 2+bx ， 根据题意得： 2b a - =122b -⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=b ，当x =b 时，取得最大值为20，21202b b b -+=， 12b 2=20， b =±． 故答案为：b =±． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数的性质． 18．92【解析】【详解】当y=0时，即-x2+4x+94=0，解得x1=92，x2=-12（舍去）．答：水池的半径至少92米时，才能使喷出的水流不落在水池外．故答案是：92．19．4米【解析】【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．【详解】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x，∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，∴y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，∴顶点坐标为：（2，4），∴喷水的最大高度为4米，故选A．【点睛】考点：二次函数的应用．理解二次函数性质是关键.2010【解析】设直线AE的解析式为:y=kx+21.2.把E（20,9.2）代入得，20k+21.2=9.2,∴k=-0.6,∴y =-0.6x +21.2. 把y =6.2代入得， -0.6x +21.2=6.2， ∴x =25, ∴F (25,6.2).设抛物线解析式为：y=ax 2+bx +1.2, 把E （20,9.2）, F (25,6.2)代入得，40020 1.29.262525 1.2 6.2a b a b ++=⎧⎨++=⎩解之得0.041.2a b =-⎧⎨=⎩ ， ∴y =-0.04x 2+1.2x +1.2，设向上平移0.4m ，向左后退了h m, 恰好把水喷到F 处进行灭火由题意得 y =-0.04(x +h )2+1.2(x+h )+1.2+0.4, 把F (25,6.2)代入得，6.2=-0.04×(25+h )2+1.2(25+h )+1.2+0.4， 整理得 h 2+20h -10=0, 解之得110x =-,210x =-（舍去）.∴向后退了10)m点睛：本题考查了二次函数和一次函数的实际应用，设直线AE 的解析式为:y =kx +21.2. 把E （20,9.2）代入求出直线解析式，从而求出点F 的坐标.把E （20,9.2）, F (25,6.2)代入y=ax 2+bx +1.2求出二次函数解析式.设向左平移了h m ，表示出平移后的解析式，把点F 的坐标代入可求出k 的值.21．（1）详见解析；（2）水管长为2.25m ． 【解析】 【分析】（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y 轴，与水管垂直的为x 轴建立直角坐标系； （2）设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x ≤3），将（3，0）代入求得a 值，则x ＝0时得的y 值即为水管的长． 【详解】解：（1）建立以池中心为原点，竖直安装的水管为y 轴，与水管垂直的为x 轴建立直角坐标系；（2）由于在距池中心的水平距离为1m 时达到最高，高度为3m ， 则设抛物线的解析式为： y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x ≤3）， 代入（3，0）求得：a ＝﹣34． 将a 值代入得到抛物线的解析式为： y ＝﹣34（x ﹣1）2+3（0≤x ≤3）， 令x ＝0，则y ＝94＝2.25． 故水管长为2.25m ．【点睛】此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据图形建立合适的直角坐标系. 22．（1）水流的横向初始速度v x 是9米/秒，纵向初始速度v y 是12米/秒；（2）y=-2581x +43x+15；（3）水流在山坡上的落点C 离喷射点A 的水平距离是27米，需要把喷射点A 沿坡面AB 方向移动610 【解析】【分析】（1）根据题意利用θ的正弦和余弦定义可得结论；（2）由（1）的表示出v x 表示出x ，OA 已知，利用y=d+OA ，代入OA 的值和d 与t 的函数关系式，可以得解；（3）先求得点A 和点B 的坐标，进而写出其直线解析式，再将其与（2）中抛物线解析式联立，从而求得落点C 的坐标，再利用平移知识及勾股定理可以求解． 【详解】解：（1）∵v 0为15米/秒，水龙头的仰角θ为53°，∴cosθ=0xv v ，sinθ=0y v v ，∴v x =15cos53°=15×35=9，v y =15sin53°=15×45=12；答：水流的横向初始速度v x 是9米/秒，纵向初始速度v y 是12米/秒； （2）x=v x t=9t ， ∴t=9x ， 又M 与A 的高度之差d （米）与喷出时间t （秒）的关系为d=v y t-5t 2∴y=d+OA=12t-5t 2+15=-5×2()9x +12×9x +15=-2581x +43x+15；∴y 与x 的关系式为：y=-2581x +43x+15．（3）∵坡顶的铅直高度OA 为15米，山坡的坡比为13，∴OB=45米，点A （0，15）点B （45，0）∴直线AB 的解析式为：y=13x -+15，将其与抛物线解析式联立得：254158131153y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， 解得015x y =⎧⎨=⎩（舍）或276x y =⎧⎨=⎩，∴水流在山坡上的落点C 坐标为（27，6），喷射点A 沿坡面AB 方向移动的距离等于BC 的距离，而答：水流在山坡上的落点C 离喷射点A 的水平距离是27米，需要把喷射点A 沿坡面AB 方向移动 【点睛】本题考查了二次函数的应用以及坡度问题和解直角三角形的应用等知识，正确构造出直角三角形是解题关键． 23．（1）y =-13x 2+3x +5；（2）当x=2时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为254；（3）水柱能越过树，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意先求出A,B 的坐标，再把其代入解析式即可 （2）由（1）即可解答（3）过点C 作CD ⊥OA 于点D ，求出ODOD 代入解析式即可 【详解】（1）∵AB =10、∠OAB =30°， ∴OB =12AB =5、OA则A （0）、B （0，5），将A 、B 坐标代入y =-13x 2+bx +c，得：175035c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩，解得：5b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为y =-13x 2+5； （2）水柱离坡面的距离d =-13x 2+3x +5-（-3x +5）=-13x 2+533x =-13（x 2-53x ） =-13（x -532）2+254， ∴当x =532时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为254； （3）如图，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，∵AC =2、∠OAB =30°， ∴CD =1、AD 3 则OD 3， 当x 3时，y =-13×（32+33×3＞1+3.5， 所以水柱能越过树． 【点睛】此题考查二次函数的应用，解题关键在于求出A,B 的坐标 24．（1）10y x=，25x ≤≤；（2）7m ；（3）91332128p -≤≤-. 【解析】 【分析】（1）在题中，BE=2，B 到y 轴的距离是5，即反比例函数图象上一点的横坐标和纵坐标都已告知，则可求出比例系数k ；（2）根据B ，C 的坐标求出二次函数解析式，得到点D 坐标，即OD 长度再减去AP 长度，可得滑道ABCD 的水平距离；（3）由题意可知点N 为抛物线的顶点，设水流所成抛物线的表达式为213(1)2y p x =-+，通过计算水流分别落到点B 和点D 可以得出p 的取值范围.。
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初中数学二次函数的应用基础练习题（附答案详解）1．城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题.近几年来，“互联网＋”战略与传统出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用，名为“数据包络分析”（简称DEA ）的一种效率评价方法，可以很好地优化出租车资源配置，为了解出租车资源的“供需匹配”，北京、上海等城市对每天24个时段的DEA 值进行调查，调查发现，DEA 值越大，说明匹配度越好.在某一段时间内，北京的DEA 值y 与时刻t 的关系近似满足函数关系2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，且a ≠0），如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻t 是（ ）A ．4.8B ．5C ．5.2D ．5.52．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA ，O 恰为水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA 的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系式是2y x 2x 3=-++，则下列结论：（1）柱子OA 的高度为3m ；（2）喷出的水流距柱子1m 处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m ；（4）水池的半径至少要3m 才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．43．如图，点A （a ，b ）是抛物线212y x =上一动点，OB ⊥OA 交抛物线于点B （c ，d ）．当点A 在抛物线上运动的过程中（点A 不与坐标原点O 重合），以下结论：①ac 为定值；②ac=﹣bd ；③△AOB 的面积为定值；④直线AB 必过一定点．正确的有（ ）4．如图，直线y=x+2与y 轴交于点A ，与直线y=﹣x 交于点B ，以AB 为边向右作菱形ABCD ，点C 恰与原点O 重合，抛物线y=（x ﹣h ）2+k 的顶点在直线y=﹣x 上移动．若抛物线与菱形的边AB 、BC 都有公共点，则h 的取值范围是（ ）A ．﹣2≤h≤B ．﹣2≤h≤1C ．﹣1≤h≤D ．﹣1≤h≤5．抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）过A （4，4），B （2，m ）两点，点B 到抛物线对称轴的距离记为d ，满足0＜d≤1，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m≤2或m≥3B ．m≤3或m≥4C ．2＜m ＜3D ．3＜m ＜46．周长8m 的铝合金制成如图所示形状的矩形窗柜，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（）m 2A ．45B ．83C ．4D ．567．已知二次函数2y x x c =++的图象与x 轴的一个交点为()1,0，则它与x 轴的另一个交点坐标是（ ）A ．(1, 0)B ．(-1, 0)C ．(2, 0)D ．(-2, 0)8．如图，两条抛物线y 1＝－12x 2＋1，y 2＝－12x 2－1与分别经过点(－2，0)，(2，0)且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为( )A ．8B ．6C ．10D ．49．已知下列命题：①对顶角相等；②若a <b <0，则1a ＜1b ；③对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；④抛物线y=x 2﹣2x 与坐标轴有3个不同交点；⑤边长相等的多边形内角都相等．从中任选一个命题是真命题的概率为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45 10．已知二次函数y=﹣（x ﹣a ）（x ﹣b ），其中a ＜b ，m 、n （m ＜n ）是方程1﹣（x ﹣a ）（x ﹣b ）=0的两个根，则实数a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ）A ．a ＜m ＜n ＜bB ．m ＜a ＜b ＜nC ．a ＜m ＜b ＜nD ．m ＜a ＜n ＜b11．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）关于滑行时间t （单位：s ）的函数解析式是y=60t ﹣232t ．在飞机着陆滑行中，最后4s 滑行的距离是_____m ． 12．抛物线()y 4x 2=-2与y 轴的交点坐标是________．13．设11()A x y ，、22()B x y ，是抛物线2242y x x =+-上的点，坐标系原点O 位于线段AB 的中点处，则AB 的长为_____．14．若函数2y x 2x k =-++的部分图象如图所示，由图可知，关于x 的方程2x 2x k 0-++=的一根是3，则另一根为________．15．在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x （0＜x ＜2）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式是_____．16．校运动会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度()y m 与水平距离()x m 之间的函数关系式为21251233y x x =-++，小明这次试掷的成绩为________，铅球出手时的高度是________． 17．小亮同学想在房子附近开辟一块绿化场，现共有a 米长的篱笆材料，•他设计了两种方案：一种是围成正方形的场地，另一种是围成圆形的场地，•那么选用哪一种方案围成的场地面积较大________（填序号）．18．某旅行社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张．若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张．以每提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每日应提高___元．19．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，制定了促销条件：当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元．（1）若销售商一次订购x（x＞100）个零件，直接写出零件的实际出厂单价y（元）？（2）设销售商一次订购x（x＞100）个零件时，工厂获得的利润为W元（W＞0）．①求出W（元）与x（个）之间的函数关系式及自变量x的取值范围；并算出销售商一次订购多少个零件时，厂家可获得利润6000元；②厂家为了达到既鼓励销售商订购又保证自己能获取最大利润的目的，重新制定新促销条件：在原有的基础上又增加了限制条件﹣﹣销售商订购的全部零件的实际出厂单价不能低于a（元）．请你利用函数及其图象的性质求出a的值；并写出实行新促销条件时W （元）与x（个）之间的函数关系式及自变量x的取值范围．（工厂出售一个零件利润=实际出厂单价﹣每个零件的成本）20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣22x22与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为点D．(1)求线段AC的长度；(2)P为线段BC上方抛物线上的任意一点，点E为（0，﹣1），一动点Q从点P出发运动到y轴上的点G，再沿y轴运动到点E．当四边形ABPC的面积最大时，求PG+22GE的最小值；(3)将线段AB沿x轴向右平移，设平移后的线段为A'B'，直至A'P平行于y轴（点P为第2小问中符合题意的P点），连接直线CB'．将△AOC绕着O旋转，设旋转后A、C 的对应点分别为A''、C'，在旋转过程中直线A''C'与y轴交于点M，与线段CB'交于点N．当△CMN是以MN为腰的等腰三角形时，写出CM的长度．21．如图，已知点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P为第一象限内抛物线上一点，过点P 作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标．22．某商品的进价为每件40元，售价不低于50元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，设每件商品的售价为x元，每月的销售量为y件．（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？23．如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，有以下两种围法．（1）如图1，设花圃的宽AB为x米，面积为y米2，求y与x之间的含函数表达式，并确定x的取值范围；（2）如图2，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门，设花圃的宽AB为a米，面积为S米2，求S与a之间的函数表达式及S的最大值？24．已知抛物线C：y＝ax2﹣2ax+c经过点C(1，2)，与x轴交于A(﹣1，0)、B两点(1)求抛物线C的解析式；(2)如图1，直线y＝34x交抛物线C于S、T两点，M为抛物线C上A、T之间的动点，过M点作ME⊥x轴于点E，MF⊥ST于点F，求ME+MF的最大值；(3)如图2，平移抛物线C的顶点到原点得抛物线C1，直线l：y＝kx﹣2k﹣4交抛物线C1于P、Q两点，在抛物线C1上存在一个定点D，使∠PDQ＝90°，求点D的坐标．25．如图：河上有一座抛物线形桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部3m时，水面宽AB＝6m，建立如图所示的坐标系．（1）当水位上升0.5m时，求水面宽度CD为多少米？（结果可保留根号）（2）有一艘游船它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在上述河流中航行，若这船宽（最大宽度）2米，从水面到棚顶高度为1.8米．问这艘船能否从桥下洞通过？参考答案1．C【解析】【分析】先用待定系数法求得函数解析式，根据二次函数的性质求得y 取得最大值时x 的值即可得答案．【详解】将（4，0.43）、（5，1.1）、（6，0.87）代入解析式得：1640.43255 1.13660.87a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：0.454.7211.25a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴y =-0.45x 2+4.72x -11.25，当x =-()4.7220.45⨯-≈5.244时，y 取得最大值， 故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键． 2．D【解析】分析：在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x 轴，y 轴的交点，解答题目的问题．详解：当x=0时，y=3，故柱子OA 的高度为3m ；（1）正确；∵y=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4，∴顶点是（1，4），故喷出的水流距柱子1m 处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是4米；故（2）（3）正确；解方程-x 2+2x+3=0，得x 1=-1，x 2=3，故水池的半径至少要3米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，（4）正确．故选：C ．点睛：本题考查了抛物线解析式的实际应用，掌握抛物线顶点坐标，与x 轴交点，y 轴交点的实际意义是解决问题的关键．3．C 【解析】分析：过点A 、B 分别作x 轴的垂线，通过构建相似三角形以及函数解析式来判断①②是否正确．AOB 的面积不易直接求出，那么可由梯形的面积减去构建的两个直角三角形的面积得出，根据得出的式子判断这个面积是否为定值．利用待定系数法求出直线AB 的解析式，即可判断④是否正确．详解：过A . B 分别作AC ⊥x 轴于C. BD ⊥x 轴于D ，则：AC =b ，OC =−a ，OD =c ，BD =d ；(1)由于OA ⊥OB ,易知△OAC ∽△BOD ，有：,AC OC OD BD = 即,b a c d=- ∴ac =−bd (结论②正确).(2)将点A. B 的坐标代入抛物线的解析式中，有：212b a = …Ⅰ、212d c =…Ⅱ； Ⅰ×Ⅱ,得：221,4bd a c =即221,44ac a c ac -==- (结论①正确). (3)AOB ACO BOD ACDB S S S S =--梯形,11111()()()22222b dc a a b cd bc ad =+----=-, 144116()().22bc bc c b bc -=-⋅=+ 由此可看出,△AOB 的面积不为定值(结论③错误).(4)设直线AB 的解析式为：y =kx +h ，代入A . B 的坐标，得：ak +h =b ...Ⅲ、ck +h =d (Ⅳ)Ⅲ×c −Ⅳ×a，得：221112222a c acbc adh acc ac a--===-=--，∴直线AB与y轴的交点为(0,2)(结论④正确).综上，共有三个结论是正确的，它们是①②④，故选C.点睛：属于二次函数综合题，考查了待定系数法确定函数关系式，相似三角形的判定与性质，以及图形面积的求法，难点在于对式子的变形，可以将已知的条件列出，通过比较式子之间的联系找出答案.4．A【解析】【分析】【详解】当抛物线经过C且顶点在C右侧时，y=（x﹣h）2+k的顶点在直线y=﹣x,过C(0,0),y=（x﹣h）2-,解得h1=，h2=0.(舍去)当抛物线经过B点时，将B（-2，1）代入y=（x﹣h）2-，解得h1=-2,h2=.(舍去)所以﹣2≤h ≤.故选A.5．B【解析】【分析】把A （4，4）代入抛物线y=ax 2+bx+3得4a+b=14，根据对称轴x=-2b a ，B （2，m ），且点B 到抛物线对称轴的距离记为d ，满足0<d≤1，所以0<|2-(-2b a )|≤1，解得a≥18或a≤-17，把B （2，m ）代入y=ax 2+bx+3得：4a+2b+3=m ，得到a=78-4m ，所以78-4m ≥18或78-4m ≤-18，即可解答．【详解】把A(4,4)代入抛物线y=ax 2+bx+3得：16a+4b+3=4，∴16a+4b=1， ∴4a+b=14， ∵对称轴x=−2b a ,B(2,m)，且点B 到抛物线对称轴的距离记为d ，满足0<d ≤1， ∴0<|2−(−2b a)|≤1 ∴0<|42a b a|≤1， ∴|18a|≤1， ∴a ≥18或a ≤−18， 把B(2,m)代入y=ax 2+bx+3得：4a+2b+3=m ，2(2a+b)+3=m ， 2(2a+14−4a)+3=m ， 72−4a=m ， a=78-4m ， ∴78-4m ≥18或78-4m ≤-18， ∴m ≤3或m ≥4.故答案选：B.【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.6．B【解析】设窗户的宽是x ，根据题意得S =()832x x - =2348()(04)233x x --+<< ∴当窗户宽是43m 时，面积最大是83m²,故选B. 点睛：根据窗户框的形状可设宽为x ，其高就是8-3x 2，所以窗户面积S =()832x x -，再求出二次函数解析式—顶点式即可求出最大面积。