正弦定理和余弦定理 强化训练
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正弦定理和余弦定理 强化训练
A 级——保大分专练
1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则 △ABC 的面积为( )
A.12
B.14 C ．1
D ．2
解析：选A 由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12(负值舍去)，由bc ＝2，可得△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×
1
2＝12
. 2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若(2a ＋
c )cos B ＋b cos C ＝0，则角B 的大小为( )
A.π6
B.π
3
C.2π3
D.5π
6
解析：选C 由已知条件和正弦定理，得(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0.化简，得2sin A cos B ＋sin A ＝0.因为角A 为三角形的内角，所以sin A ≠0，所以cos B ＝－12，所以B ＝2π
3
.
3．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝22
3
，a ＝3， S △ABC ＝22，则b 的值为( )
A ．6
B ．3
C ．2
D ．2或3
解析：选D 因为S △ABC ＝1
2
bc sin A ＝22，所以bc ＝6，
又因为sin A ＝22
3，A ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，
所以cos A ＝1
3
，因为a ＝3，
所以由余弦定理得9＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－4，b 2＋c 2＝13，可得b ＝2或b ＝3.
4． 在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，t a n ∠BAC ＝－3，则
BC 边上的高等于( )
A ．1 B. 2 C. 3
D ．2
解析：选A 法一：因为t a n ∠BAC ＝－3，所以sin ∠BAC ＝310，
c os ∠BAC ＝－1
10
.由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·ABc os ∠BAC
＝5＋2－2×5×2×⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫－110＝9，所以BC ＝3，所以S △ABC ＝
1
2
AB ·AC sin ∠BAC ＝12×2×5×310＝32，所以BC 边上的高h ＝
2S △ABC
BC ＝2×
3
23
＝1.
法二：在△ABC 中，因为t a n ∠BAC ＝－3<0，所以∠BAC 为钝角，因此BC 边上的高小于2，结合选项可知选A.
5． 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a sin
B ＝3b cos A ，当b ＋c ＝4时，△AB
C 面积的最大值为( )
A.33
B.3
2
C. 3
D ．2 3