2021课件(人教A版数学理)第五章 第五节数列的综合应用.ppt

为-3的等差数列，
故 S n=4 n+n （ 2 n-1 （ ） -3 ） = -3 n 2 2+ 1 1 2 n； 当n>2时，|an|=an=3n-7，此时这个数列从第三项起是一个公
差为3的等差数列，故Sn=|a1|+|a2|+a3+a4+…+an
2.设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d.若ak是a1与a2k的等 比中项，则k=( )
(A)2
(B)4
(C)6
(D)8
【解析】选B.由等差数列{an}且a1=9d，得 ak=a1+(k-1)d=(k+8)d， a2k=a1+(2k-1)d=(2k+8)d. 又∵ak是a1与a2k的等比中项，则有ak2=a1a2k, 即[(k+8)d]2=9d×[(2k+8)d]得k2-2k-8=0， 解得k1=4,k2=-2(舍去).
列，则{an}的前n项和Sn=( )
(A) n 2 + 7 n
44
(B) n 2 + 5 n
33
(C) n 2 + 3 n
24
(D)n2+n
【解析】选A.设数列{an}的公差为d，则根据题意得
(2+2d)2=2·(2+5d)，解得d = 1 或d=0(舍去)，所以
2
数列{an}的前n项和 Sn=2n+n(n 2-1)1 2=n 42+7 4 n.
(3)数列与不等式问题中经常使用放缩的方法，则对n∈N*有
1 n(n+1)
<n12
<n(n1-1).
(
)
(4)数列与函数问题中有时会使用导数的方法，证明不等式
2n>n时，可以构造函数f(n)=2n-n(n∈N*)，然后对这个函数
求导，研究函数的性质得出所证不等式.( )
【解析】(1)正确.根据等差数列各个元素之间的关系知正确.
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)在等差数列{an}中，首项a1、公差d、前n项和Sn、通项an、 项数n，这五个元素中只要已知其中的三个，就一定能够求出 另外两个.( ) (2)在等比数列{an}中，首项a1、公比q、前n项和Sn、通项an、 项数n，这五个元素中只要已知其中的三个，就一定能够求出 另外两个.( )
(2)数列应用题常见模型. ①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是 等差模型，增加(或减少)的量就是公差. ②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数， 该模型是等比模型，这个固定的数就是公比. ③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固 定，随项的变化而变化，应考虑是an与an+1的递推关系，还是 前n项和Sn与前n+1项和Sn+1之间的递推关系.
②d=3时，a2=-1，a3=2,a1=-4, 此时a2,a3,a1成等比数列； 当d=-3时，a2=-1,a3=-4,a1=2， 此时a2,a3,a1不是等比数列，故an=3n-7， 这个数列的第一、二两项为负值，从第三项开始为正值.
方法一：当n≤2时，|an|=7-3n，这是一个首项为4的公差
【规范解答】(1)选C.设等差数列{an}的公差为d，且d≠0，
∵S1,S2,S4成等比数列，∴S22=S1S4,

4(a1 +a4), 2
∴(2a1 +d)2 =2a1(2a1 +3d),
∴d2=2a1d,解得d=2a1或d=0(舍去),
∴ a2+a3=a1+d+a1故+2 选d= C.8a1=8,
列，则{an}的公比为_______.
【解析】设公比为q,则an=a1qn-1，又4S2=S1+3S3，
即4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2)，q解= 得1 .
3
答案: 1
3
考向 1 等差数列与等比数列的综合问题
【典例1】(1)已知Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，
且S1,S2,S4成等比数列,则 a 2 + a 3 =( )
(2)正确.根据等比数列各个元素之间的关系知正确.
(3)错误.
1 n2
<
对1 n≥2才有意义.
n(n -1)
(4)错误.函数在自变量离散的地方不存在导数，必须先把函数
的定义域拓展到连续的实数区间上才能求导.
答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)×
1.设{an}是公差不为0的等差数列，a1=2且a1,a3,a6成等比数
a1
a1
a1
(2)①设等差数列的公差为d，根据a1+a2+a3=-3可得a2=-1， 进而得a1a3=-8， 即(a2-d)(a2+d)=-8，所以1-d2=-8，解得d=±3. 当d=3时，a1+3=-1，得a1=-4， 此时an=-4+(n-1)×3=3n-7； 当d=-3时，a1-3=-1，得a1=2， 此时an=2+(n-1)×(-3)=-3n+5. ∴{an}的通项公式为an=3n-7或an=-3n+5.
3.已知x>0，y>0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，
则 ( a + b ) 2 的最小值是( )
cd
(A)0
(B)1
(C)2
(D)4
【解析】选D.∵a+b=x+y,cd=xy,
∴
(a+b)2 (x+y)2 (2 xy)2
=
=4.
cd
xy
xy
4.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数
第五节 数列的综合应用
数列的实际应用 (1)解答数列应用题的步骤. ①审题——仔细阅读材料，认真理解题意； ②建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题 转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征； ③求解——求出该问题的数学解； ④还原——将所求结果还原到原实际问题中.
具体解题步骤用框图表示如下：
a1
(A)4
(B)6
(C)8
(D)10
(2)(2012·湖北高考)已知等差数列{an}前三项的和为-3，前 三项的积为8.
①求等差数列{an}的通项公式； ②若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和.
【思路点拨】(1)由等比中项的性质列出S22=S1S4,再代入等差 数列的通项公式和前n项和公式，用a1和公差d表示出来，求出 a1和d的关系，进而求出式子的比值. (2)①根据已知条件，列出方程求出首项和公差，根据等差数 列通项公式可得结果. ②根据a2，a3，a1成等比数列确定等差数列的公差，按照项的 符号分段求解数列{|an|}的前n项和.