测量平差误差椭圆
测量中两待定点间相对误差椭圆的生成
测量中两待定点间相对误差椭圆的生成
测量中两待定点间相对误差椭圆的生成，是基础测量中的一个重要内容。
这种
方法能够有效减少两点间坐标系之间的误差。
当在平面内对椭圆拟合数据时，椭圆描述了双圆误差椭圆和参数化图形椭圆。
双圆误差椭圆表示两待定点间误差的椭圆，除了用于表示两个点之间的误差椭
圆外，它还可以利用一组控制点的误差椭圆，以进行测量质量的优化，也可以用于制作精细的平面绘图图表。
参数化图形椭圆是一种专为绘制二维图形所设计的椭圆，可以按照自定义参数，例如圆心和大小等参数，通过数学公式生成椭圆形形状，经常用来画出特定要求的图形。
借助这种方法，可以更有效地减少两点之间的精度误差，提高测量精准度和测
量效率，使测量成果更接近设计要求。
因此，采用两待定点间相对误差椭圆的方法，可以极大地提高测量的准确性。
误差理论与平差基础-误差椭圆.
∆X ∆P P（真）
O
显然有：
A
Y
P2 x2 y2 (其中：x x xˆ, y y yˆ)
点位误差的定义:
E(x2 ) E (x xˆ)2 E
xˆ E xˆ2
2 x
E(y2
)
由方差定义，可得：
2 P
2 x
2 y
由上讨论可的如下结论
点位方差大小不受坐标系的影响；
不同的坐标系，其位差分量大小是不同的；
点位位差可由任意两个互相垂直的方向上的坐标方差来求得。
故，点位误差计算公式为：
2 P
2 x
2 y
2 s
2 u
2
2 90
若使位差达到极值，则应使：
dQ 0
d
dQ d
d d
(Qxx cos2 Qyy sin2 Qxy sin 2 )
2Qxx cos sin 2Qyy sin cos 2Qxy cos 2
Qxx sin 2 Qyy sin 2 2Qxy cos 2
E
y
yˆ
2
E
yˆ E yˆ 2
2 y
P2 Ex(2 P2 )y2 E(x2 y2 )
E(x2 ) E(y2 )
2 x
2 y
2 P
测量上把
2 P
定义为“点位方差”，并把
测量平差基础课件——误差椭圆
tg2 0
2Q xy (Qxx Q yy )
2020/6/11
确定极值方 向的公式
两个根：2 0 和 20 180 即，使Q 取得极值的方 向值为 0 和 0 90 ，其 中一个为极大值方向， 另一个为极小值方向。 那么，哪个是极大值方 向？哪个是极小值方向 呢？下面作进一步的推 证：
9
§6-2 点位ห้องสมุดไป่ตู้差
三、位差的极大值 E 和极小值 F
1.极值方向的确定
总之：
tg2 0
2Q xy (Qxx Q yy )
两个根： 2 0
20 180
两个极值方向：0 0 90
当 当Qxy 0 ： 极大值方向 E 在一、
三象限，极小值在二、四象限。
当 当Qxy 0 ： 极大值方向 F 在一、
三象限，极小值在二、四象限。
2 P
02(Qxx
Qyy)
02(
1 Px
1 )
Py
P 0
Qxx Qyy 0
11 Px Py
Qx1 y1
Qx1 x2
Qx1 y2
Qx1 xk
Q x1
yk
Q y1 y1 Qx2 y1 Q y2 y1
Q y1 x2 Qx2 x2 Q y2 x2
Q y1 y2 Qx2 y2 Q y2 y2
三、位差的极大值 E 和极小值 F
1.极值方向的确定
cos2
0
1
cos 20
2
,
sin2
0
1
cos 20
2
或
Q
(Qxx
1 cos 20 2
Qyy
1 cos 20 2
Qxy sin20 )
误差理论与平差基础_第10章_误差椭圆
一．点位中误差 二．点位误差的计算 三．误差曲线 四．误差椭圆
一、点位中误差
控制点的平面位置是用一对平 面直角坐标来确定的。坐标是 由观测值的平差值计算所得的， 因此不可避免地带有误差。
x
A
O
Dy P¢(x, y) Du
Dx DP Ds
P(x, y)
y
在平面控制网的平差计算中，往往要评定待定点的点位精度； 待定点的点位精度通常用点位中误差简称“点位误差”的大 小来评定； 经过平差后的坐标（坐标的平差值）是估值，而不是真值！
Qxy Qyy
c s
os in
Qxx cos2 Qyy sin 2 Qxy sin 2
Dx
j
P
P¢¢ Dj
s
2 j
=
s
2 0
éëQxx
cos2
j
+
Qyy
sin2
j
+
Qxy
sin
2jùû
坐标方位角
P¢
P¢¢¢
y
二、点位任意方向的位差
x
与 j 垂直方向的位差如何求？
Q
=
æ èç
2 0.5
0.5 3
öø÷(dm2 / ('')2 )
单位权方差 0 0.5''
待定点P点到已知点A的距离为6.45km，方位角为45°，求P 点在AP方向的纵向误差和横向误差及AP边的边长相对中误 差。
s
2 j
=
s
2 0
éëQxx
cos2
j
+
Qyy
sin2
j
测量平差学习情境6 误差椭圆
教学内容 主要介绍点位真误差和点位误差、任意方向上 的位差、待定点的误差曲线与误差椭圆以及点与点
能正确陈述点位真误差和点位误差及其计算方 法；能正确陈述任意方向上的位差及其位差的极值； 能正确陈述误差曲线和误差椭圆；能基本正确陈述 相对误差椭圆。
1
技能目标 能正确计算点在任意方向上的位差，能正确计 算位差的极值方向和极值；能正确绘制误差曲线和 误差椭圆，能根据误差椭圆求点在任意方向上的位 差，能计算点与点之间的相对误差椭圆参数并绘制 相对误差椭圆。
13
2. 点位任意方向上的位差σψ：从椭圆的中心作 方向线，然后再作该方向线的垂线（要与椭圆上一 点相切），则垂足到椭圆中心的长度便是点位在该 方向上的位差（见图6-8），图中线段OD的长度就 等于该方向上的位差，即σψ=OD
图6-8
14
子情境3 相对误差椭圆 一、两点之间相对位置的精度 1.相对位置的表示 两点相对位置可用其两点的坐标差来表示,即 用矩阵表达为
11
②确定点位中误差。 ③待定点P至任意已知三角点（视其无误差）的边 长中误差。 ④待定点P至任意已知三角点（视其无误差）的方 位角中误差。
12
误差曲线不是一种典型曲线，作图也不方便， 因此降低了它的实用价值。但其形状与以E、F为 长、短半轴的椭圆很相似。在以xe、ye为坐标轴 的坐标系中，该椭圆的方程为 1.误差椭圆的绘制 误差椭圆是一种规则图形,作图比较容易。因 此，实际应用中常以E、F为长、短半轴来绘制标 准的椭圆来代替相应的误差曲线，用来计算待定点 在各方向上的位差，故称该椭圆为误差椭圆。
3
子情境1 点位真误差及点位误差 一、点位真误差 在测量工作中，通过野外所进行的一系列的观 测，然后对观测数据进行平差处理便可得到点的平 面坐标平差值(x^，y^）。 但是，观测值总是带有观测误差的，而由观测 值所计算的平差值虽然较观测值更合理、可靠，但 是，它是不可能消除误差的，即待定点坐标的平差 值(x^,y^），不是待定点坐标的真值(x，y)，这两 者之间是有差异的。
误差椭圆的定义
误差椭圆的定义嘿，朋友们！今天咱来聊聊误差椭圆呀！你说这误差椭圆，就好像是个调皮的小精灵，在测量的世界里蹦来蹦去。
想象一下哈，我们在测量一个东西的时候，就像是在黑暗中摸索，总会有些许偏差，而这个误差椭圆呢，就是把这些偏差给圈起来，告诉我们大致的范围。
它可不是随随便便就出现的，那是经过一番计算和琢磨才现身的呢！比如说我们要确定一个点的位置吧，实际测出来的可能就不是那么精准，会有这儿一点儿偏差，那儿一点儿偏差。
这时候误差椭圆就跳出来啦，说：“嘿，别担心，这个点大概就在我圈的这个范围里哦！”是不是很神奇？它就像是给我们测量结果加上了一个边界，让我们心里有个底。
就好比你要去一个地方，有人告诉你大概就在这一片儿，总比啥都不知道好吧！而且啊，误差椭圆还挺有个性的呢！它的大小和形状会根据不同的情况而变化。
有时候它扁扁的，有时候又圆圆的，就像个会变形的小怪物。
这可都是根据测量的数据来决定的呀！咱再打个比方，误差椭圆就像是一个神秘的领地，我们知道它的大致范围，但里面具体的情况还得我们去慢慢探索。
这探索的过程可有意思了，每一次测量都像是在给这个领地绘制更详细的地图。
你说要是没有误差椭圆，那我们测量出来的东西不就像没头苍蝇一样，不知道到底准不准确啦？它可是给我们指明了一个方向，让我们能更好地理解和处理测量的结果。
在实际应用中，误差椭圆可重要了呢！比如在建筑工地上，工程师们得靠它来确保建筑物的位置准确无误；在地图绘制中，它能帮助绘制出更精确的地图。
没有它，那可真是乱了套了呀！总之呢，误差椭圆这个小家伙虽然有时候让人有点头疼，但它确实是我们测量工作中不可或缺的好帮手呀！它让我们在面对不确定性的时候，能有个大概的把握，不至于两眼一抹黑。
所以啊，咱可得好好认识它、了解它，让它为我们的工作和生活发挥更大的作用呀！你们说是不是这个理儿呢？。
测量平差---误差椭圆
( )
2 1
tan 2ϕ0 =
2Qxy ˆˆ Qx −Qy ˆ ˆ
=
2×0.36 = 0.81818 3.81−2.93
13 /40
2 ϕ0 =39°17′或219°17′, ° 或 ° ϕ0=19°39′或109°39′ ° 或 °
主页
误差椭圆
ˆˆ 因为 Qxy > 0 故 ，
黑龙江工程学院
1 2 3 4 5 6 7 8 9
tan 2ϕ0 =
2Qxy Qx −Qy
2 2 σϕ =σ0 (Qx cos2 ϕ0 +Qy sin 2 ϕ0 +Qxy sin 2ϕ0 )
2 =σ0 (Qx cos2 ϕ0 +Qy sin 2 ϕ0 +Qxy ⋅
极值方向的判别方法: 极值方向的判别方法 Qxy ＞0，极大值在第Ⅰ、Ⅲ象限 ，极小值方向在第Ⅱ、 极小值方向在第Ⅱ ，极大值在第Ⅰ 8 /40 Qxy，极大值在第Ⅱ 象限， 象限； ＜0，极大值在第Ⅱ、Ⅳ象限，极小值方向在 Ⅳ象限； 象限。 第Ⅰ、Ⅲ象限。
______
= cosϕ∆x + sin ϕ∆y
∆x ∆x = [cosϕ sin ϕ] ∆y
由协方差传播律得: 由协方差传播律得 或
2 2 2 σϕ =σx cos2 ϕ +σy sin 2 ϕ +σxy sin 2ϕ 2 2 σϕ =σ0 Q ϕ
7 /40
2 =σ0 Qx cos2 ϕ +Qy sin 2 ϕ +Qxy sin 2ϕ
主页
2 2 2 2 2 σP =σx +σ y =σs +σu ―点位方差计算式
误差椭圆
黑龙江工程学院
利用Excel绘制误差椭圆的方法
测量方法利用Exce l 绘制误差椭圆的方法王 永1,泥立丽2,钟来星1(11山东科技大学资源与土木工程系,山东泰安 271019;21泰山学院数学与系统科学系,山东泰安 271000)摘要:在测量平差课程中,误差椭圆是非常重要的一部分内容。
Excel 是W indows 操作系统的一个常用的办公软件,具有强大的数据计算和处理功能,而且可以实现数据的可视化。
文中借助于Excel 的强大功能,生成了误差椭圆,结果表明该方法具有操作简单、清晰直观,令人满意。
关键词:Excel;误差椭圆;坐标转换;特征点中图分类号:P209 文献标识码:B 文章编号:1001-358X (2008)05-0049-03 在测量平差课程中,误差椭圆是非常重要的一部分内容,在工程测量中,常常需要用它来评定待定点的点位精度,了解待定点点位在哪一个方向上的位差最大,在哪一个方向上的位差最小。
通过误差椭圆还可以求得待定点在任意方向上的位差,可以较精确、形象且全面地反映待定点点位在各个方向上误差的分布情况[1,3]。
Excel 是W indows 操作系统的一个常用的办公软件,能进行复杂的数据计算和处理,而且还具有强大的制图功能[2]。
本文中笔者借助于Excel 的强大功能,绘制了误差椭圆图。
1 绘制误差椭圆的基本思路利用Excel 绘制误差椭圆时,基本思路如下:(1)已知数据包括:已知的三角点坐标、位差极大值E 、极小值F 、极大值方向T 或φE 、误差椭圆的中心点(即待定点)P (Xp,Yp );(2)(参考文献7)如图1所示,以极值方向为坐标轴建立直角坐标系EPF,从E 轴正方向开始,每隔30度在椭圆上取特征点,依次记为0,1,……,11;仍以P 点为坐标原点建立坐标系XPY,则E 轴在坐标系XPY 中的坐标方位角为φE ,特征点0,1,……,11在新坐标系中的坐标也发生了变化,然后依据坐标转换公式X P (i )=x 0+E cos (i ・t )cosT -F sin (i ・t )sin TY P (i )=y 0+E co s (i ・t )sin T +F sin (i ・t )cos T (式中:i =0,1,…,n -1,t =(360/n )°),求出它们在坐标系XPY 的坐标,然后依次连接即得待定点的点位误差椭圆。
误差椭圆的三个参数
误差椭圆，也被称为置信椭圆或测量误差椭圆，是在统计学和测量学中广泛使用的一个概念。
主要用于表示二维数据点的分布、测量误差的范围或不确定性。
它由三个主要参数定义：中心、主轴和次轴。
中心：这是误差椭圆的几何中心，代表了所有测量数据的平均位置或最可能的位置。
在理想的情况下，如果我们有无限精确的测量设备，所有的测量数据都会落在这个点上。
然而，在现实世界中，由于各种因素的影响，如设备误差、环境噪声等，测量数据通常会在这个点附近分布。
主轴：主轴是误差椭圆的长轴，代表了数据点分布的主要方向。
它的长度通常被定义为包含一定比例（例如，68%，95%或99%）测量数据的椭圆的半径。
这个比例的选择取决于我们对误差的容忍度或我们对数据的信心水平。
主轴的方向也是非常重要的，因为它可以告诉我们哪些因素对测量结果的影响最大。
次轴：次轴是误差椭圆的短轴，与主轴垂直。
次轴的长度代表了数据点在垂直于主轴的方向上的分布范围。
与主轴一样，次轴的长度也被定义为包含一定比例测量数据的椭圆的半径。
如果次轴的长度小于主轴的长度，这意味着测量数据在主轴方向上的变化比在次轴方向上的变化更大，也就是说，某些因素对测量结果的影响较小。
这三个参数共同定义了误差椭圆，为我们提供了一个直观的方式来理解和表示二维测量数据的不确定性或误差范围。
通过分析和比较不同误差椭圆的这三个参数，我们可以更好地理解我们的测量系统的性能，找出可能的改进方向，以及更准确地解释我们的测量结果。
误差理论与平差基础_第10章_误差椭圆
Q
=
æ èç
2 0.5
0.5 3
öø÷(dm2 / ('')2 )
单位权方差 0 0.5''
待定点P点到已知点A的距离为6.45km，方位角为45°，求P 点在AP方向的纵向误差和横向误差及AP边的边长相对中误 差。
s
2 j
=
s
2 0
éëQxx
cos2
j
+
Qyy
sin2
j
+
Qxy
sin
2jùû
Qxn y1 Qyn y1
Qx1xs Qy1xs
Qxn xs Qyn xs
Qx1ys
ö ÷
Qy1ys
÷ ÷
Qxn ys
÷ ÷
Qyn ys
÷ ø
二、点位任意方向的位差
Dj = pp¢¢ + p¢¢p¢¢¢ = Dx cosj + Dysinj
x
Dy
j
Q cos
s
in
Qxx Qyx
QFF
=
1 2
(Qxx
+ Qyy
-
K)
= 100.015
tan j E
=
QEE - Qxx Q
= -0.276
jE =164°33¢ / 344°33¢
xy
tan j F
=
Q FF
-
Q xx
Qxy
= 3.618
jF = 74°33¢ / 254°33¢
B P
b
A xA = 4578.67 yA = 3956.74 aAB = 345°18¢12¢¢
(修改版)测量平差-zzc-10
极小值在二、四象限。
当 Qxy 0 时，极大值在二、四象限；
极小值在一、三象限。
用 E和E 180, F和F 180 表示极大值与极小值方向。
知道了极大值与极小值的方向，下面再来研究极大值与极
小值的大小。
即
(Qxx Qyy ) sin 20 2Qxy cos 20 0
于是有三角方程：
因为
tan 20
2Qxy Qxx Qyy
（3）
tan 20 tan(20 180 )
所以（3）式有两个解：2 0
向也有两个： 0 和0 90
和，即2一0 个 1极80大 值。方则向极，值一方
个极小值方向，且极大值方向与极小值方向正交。
第十章——误差椭圆
既然 0 和0 90 为极大值方向和极小值方向，那么哪
个是极大值方向？哪个又是极小值方向呢？下面来讨论
这个问题。
将三角公式
cos2 0
1 cos20
2
,
sin 2 0
1 cos20
2
代入（2）式，得：
Q00
Qx
x
1
c
os 2
20
Qyy
1
c
os 2
20
Qxy
s
in
20
第十章——误差椭圆
事实上，QEE 和 QFF 就是协因数矩阵 QXˆXˆ 特征值的两个根
QXˆXˆ 的特征方程为：
QXˆXˆ
I
Qxx
Qxy
Qxy Qyy
0
展开得：
2 Qxx Qyy QxxQyy Qx2y 0
中国矿业大学环境与测绘学院测绘工程《测量平差》第六章 误差椭圆
由于观测条件的存在， 由于观测条件的存在，观测值总是带有观测误 差，因而根据观测值通过平差计算所获得的待定点 的平面直角坐标， 的平面直角坐标，并不是真正的坐标值 ~P , ~P ， x y ˆ ˆ 而是待定点的真坐标值的估值 x P , y P 。 在前面几章讲述的几种平差方法中， 在前面几章讲述的几种平差方法中，对坐标估值的 精度估算已有论述，在此基础上， 精度估算已有论述，在此基础上，本节对测量中常 用的评定控制点点位的精度方法进一步讨论。 用的评定控制点点位的精度方法进一步讨论。
设有两组不同的观测值向量 L 、 2 ，分别代入式 1 L （6-1-3）可得 ）
ˆ xP 1 = xA +α L 1+α 0 ˆ yP1 = yA + β L 1+ β 0
ˆ xP 2 = xA +α L 2+α 0
和 y = y +β L +β ˆP2 A 2 0
对于同一控制网而言，如果观测量相同（ 对于同一控制网而言，如果观测量相同（如同样 的角度、边长等），采取同样的平差方法， ），采取同样的平差方法 的角度、边长等），采取同样的平差方法，则式中 β α β 是不变量，但观测值向量L 的 α、 、 0、 0是不变量，但观测值向量 1、L2不会相 ˆ ˆ ˆ y ˆ 可见，随着观测值L的不 等，因此 xP 1 ≠ xP 2 、P1 ≠ yP 2 。可见，随着观测值 的不 yP 也将取得不同的数值。但P点的真坐标 ~P 同，ˆP和 ˆ 也将取得不同的数值。 点的真坐标 x x 和 ~P 是唯一的，由式 、 知 y 是唯一的，由式(6-1-1)、(6-1-2)知，就会出现 不同的 ∆ x 和∆ y 值以及 ∆ P ，所以说点位真误差随观 测值不同而变化，即点位真误差具有随机性。 测值不同而变化，即点位真误差具有随机性。
(完整版)测量平差知识大全汇总
➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。
一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。
二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
3. 粗差定义，例如观测时大数读错。
误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。
一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。
3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。
当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。
因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。
例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。
现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。
第六章 误差椭圆
V P 1 AT K QAT K
n1
ˆ L L V
下面举例说明若干协因数阵的推导过程，考 W ˆ 可以视为常量。 X 虑到为非随机量，所以
x
Qww AQll AT N aa
aa
1 aa
1 ˆ V P 1 AT N aa (W Bx)
bb
1 bb
cc
1 cc
e
§5-2
精度评定
任何一种平差方法，其精度评定的内容
都包括以下三方面内容：单位权方差估 值的计算、各向量的协因数阵及向量间 的互协因数阵的推导、平差值函数协因 数及其中误差的计算
单位权方差估值的计算公式
~ L L
A B ~ W 0 x
cu u1 c1
~ X X0 ~ x
则可写出其线性化后的函数模型为
cn n1
su u1
ˆ C x Wx 0
s1
以~ 和 x
的估值
cn n1
V
ˆ 和 x 代入上式，则
c1
ˆ A V B x W 0
cu u1
1 1 ˆ B T N aa Bx C T K s B T N aaW 0
基础方程和它的解
则得：
ˆ N aa K B x
cc c1 cu u1
W 0
c1
BT K
s u u 1
u c c1
CT KS
u s s1
0
C ~ x
Wx 0
பைடு நூலகம்s1
上式称为附有条件的条件平差的法方程，其系数 矩阵对称，所以仍是一个对称线性方程组。可将 其写成如下形式： N B 0 K W
平差结果的转换与相对误差椭圆
平差结果的转换与相对误差椭圆
平差结果的转换和相对误差椭圆是解决测量中的精度问题的重要手段。
它涉及到相关参数的标准化处理、不确定度估计等多种因素。
一、平差结果转换
1. 标准化处理
标准化处理是将所有已知量和形变量转换为均值为0，标准差为1的标
准化量。
有利于参数估计方便比较，使参数估计更加健壮。
2. 维度变量转换
维度变量转换就是将常见的平面内维度变量转换为以弧度单位的斜边
长度。
3. 标准相关参数
标准化处理完成后，需要根据标准斜方差来确定标准相关参数，这是
估计经济精度的重要参数。
4. 拟合估计
基于标准相关参数，采用最小二乘法拟合技术，得到最终估计结果。
二、相对误差椭圆
1. 椭圆模型
计算两元之间的误差时，往往会用到椭圆模型，它可以表达出测量的参数化相对误差关系。
2. 误差及控制
椭圆模型可用于测量不确定度分析，将误差分为主限差和次限差两部分。
主限差主要受几何和精度因素的影响，通过改善测量条件和操作质量，可以有效控制其变量。
3. 误差分析
椭圆模型搭配最大似然估计技术可以分析两两参量之间的误差，有助于改进测量精度和精确度。
综上所述，平差结果的转换和相对误差椭圆对测量的精度控制起着重要的作用，可以提高测量的可信度。
测量平差方法及误差分析技巧
测量平差方法及误差分析技巧引言：测量平差在各个领域中都起到了至关重要的作用，无论是土地测量、工程测量还是地理测量都离不开精确的测量平差。
本文将介绍测量平差的基本原理、方法以及误差分析技巧，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、测量平差的基本原理1.1 测量平差的定义测量平差是指在测量中，通过对测量数据进行处理和分析，用数学方法将观测值修正为比较可靠的数值，并确定其精度和可靠度的过程。
1.2 测量平差的基本原理测量平差的基本原理是以观测数据为基础，通过适当的计算和修正方法，使测量结果达到满足一定精度要求的条件。
二、测量平差的方法2.1 误差的分类误差是指由于种种原因导致观测值与真值之间的差异。
根据产生误差的原因，可将误差分为系统误差和随机误差两类。
2.2 测量平差的方法2.2.1 最小二乘法最小二乘法是一种常用的测量平差方法，其基本原理是通过构建误差方程，使误差的平方和最小化，从而得到最优的修正数值。
2.2.2 加权最小二乘法加权最小二乘法是在最小二乘法的基础上，引入权重因子，对观测值进行加权处理，以更好地反映各个观测值的可靠性。
2.2.3 置信椭圆法置信椭圆法是一种通过误差椭圆的几何性质，结合观测弥散矩阵，进行测量平差的方法。
通过确定椭圆的长轴、短轴和倾斜角度，可对误差进行合理的修正和分析。
三、误差分析技巧3.1 误差的传递规律误差在测量过程中具有传递性，即观测结果的误差会随着计算过程的推进而逐渐增大。
因此，在进行误差分析时，需要考虑不同环节中误差的传递规律，以准确评估测量结果的可靠性。
3.2 概略误差与精确误差概略误差是指由于设备精度、人为操作等因素导致的测量误差，通过一些常见的公式和方法可以进行较为粗略的估计。
精确误差是在概略误差的基础上，通过更加精细的计算和分析得到的误差值，更贴近实际测量结果的误差。
3.3 误差理论和误差估计误差理论是关于误差发生的规律的理论体系，包括误差分类、误差分布等。
误差椭圆
Qmin 0
QFF 0
1 2
Qxx Qyy K
或写成
E2
1 2
2 x
2 y
2 x
2 y
2
4
2 xy
F 2
1 2
2 x
2 y
2 x
2 y
2
4
2 xy
其中：E 2
F2
2 x
2 y
2 P
11
第七章 误差椭圆
1
• 7.1 概述 • 一、点位误差 • A－－已知点 • P－－待放样点P的真位置 • P´－－P点平差后的平差值点位
P点在x、y方向的真误差：X
x y
~xP ~yP
xˆP yˆ P
x
P点点位真误差： A
y P´ u
s P
P x2 y2
QXX I C 0
就是QXX的两个特征根。
9
由特征方程：
QXX
I
Qxx
Qxy
Qxy 0
Qyy
,
得
1 2
Qxx Qyy
1 2
Qxx Qyy 2 4 QxxQyy Qx2y
即
1
Qmax QEE
• 4）误差椭圆绘制的比例尺比地形图的比例尺要 大，一般为1：10或1：1等。
19
• 7.4 相对误差椭圆
• 点位误差椭圆－待定点对已知点的点位精度情况
第五章误差椭圆
5.2.4 用极值表示任意方向上的位差
图5-4 以E为起始轴时的角度关系
5.2.4 用极值表示任意方向上的位差 由图5-4中可知，任意方向在两个坐标系中的方位角有以下关系 ，即
(5-10)，得
2 2 2 x2 cos 2 ( E ) y sin 2 ( E ) xy sin(2 2 E )
2 2 E(P2 ) E(x2 ) E(y 2 ) x y
，则
式中，E (P 2 ) 是P点真位差平方的理论平均值，即P点的 2 P 点位方差，若记为
则
2 2 P x2 y
(5-3)
5.1 点位误差概述
式中， x y
分别为P点在x、y方向上的中误差，或称为x、y方向上 的位差。将式(5-3) 开方即得P点的点位中误差 P
即 2Qxx cos0 sin 0 2Qyy sin 0 cos0 2Qxy cos 20 0 2Q tan 2 由此得 (5-12) Q Q
xy 0 xx yy
5.2.3 位差的极大值、极小值与极值方向
根据式(5-12)可得两个解 2 和2 极值方向为 0和0 90°
2 再顾及式(5-13)，则得 E 2 cos2 F 2 sin 2
(5-17)
此即以极大值方向为起始轴，用E、F表示的任意方向 上位差 的实用公式
5.2.4 用极值表示任意方向上的位差 例5-1 如图5-5所示，在固定三角形内插入一点P，经过平 差后得P点坐标的协因数阵为 Qxx Qxy 3.81 0.36 (cm2/")
据式(5-2)、式(5-3)可以直接写出
2 P
可见，点位方差
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2P 2S 2u
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误差椭圆
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2.点位方差及其计算
由方差的定义式可得：
1 2 3
x2＝E（x－Ex）2 ＝E（x－~x）2 ＝E（~x－x）2 E（x2） y2＝E（y－Ey）2 ＝E（y－~y）2 ＝E（~y－y）2 E（ y2）
4 故有 5
E（
P
第Ⅰ、Ⅲ象限。
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误四差、椭 圆位差的极大值和极小值的计黑龙算江工程学院
用 E表示极大值方向、F e 900表示极小值方向；
用E、F分别表示位差的极大值和极小值。则有
1
E2
2 0
(Qx
cos2 E
Qy
sin 2 E
Qxy
sin
2 E )
2 3
F2
2 0
(Qx
cos2 F
Qy
sin 2 F
cos2
2 X
cos2 E
2 Y
sin
2 E
XY
Qxy
sin
2 F )
4 5
把
0
代入位差计算式得
6 7 8
2 0
2 0
(Qx
cos 2
0
Qy
sin
2
0
Qxy
sin
20 )
2 0
(Qx
1 cos 20
2
Qy
1 cos 20
2
Qxy
sin
20 )
9
10
2 0
2
Qx Qy Qx Qy cos 20 2Qxy sin 20
2 0
3 4 5
P′：P点平差值的点位位置,
其坐标值为 x, y
6 7 8
ΔP： P点的点位真误差, Δx、Δy：坐标真位差
9
ΔS：P点真位差在AP方向
10
的投影，称为纵向误差。
Δu：P点真位差在垂直于 AP方向上的投影，称为横向误差。
5 /4 0
如图可得： 2P 2X 2Y ,
无法求得（为什么?）。
E XY
sin 2
2E
2 X
cos 2
cos2
E
sin
2
sin
2
E
1 2
sin
2
sin
2 E
2 Y
sin
2
cos2
E
cos 2
sin
2
E
1 2
sin
2
sin
2 E
XY sin 2 cos 2E cos2 sin 2E sin 2 sin 2E
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误差椭圆
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2 0
(Qx
Qy )
K
2 有下面关系:
2 P
E2
F2
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误五差、椭 圆用E、F表示的任意方向Ψ上黑龙的江位工差程学院
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
11 /4 0
由图可知,任意方向在 两个坐标系中的方位角有 如下关系:
E
把
E
代入
位差计算式得:
2
2
2 X
cos2
E
2 Y
sin 2
定P点在哪一个方向上的精度最好（最差）。
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二、P点在任意方向φ上的位差
1
由图可得下列关系式:
2
______ ______ ______
3
PP PP PP
4 5
cosx sin y
6
7
8
9
10
由协方差传播律得:
cos sin yx
2
2 x
cos2
2 y
sin
2
2
d
d
d
02Qx
cos2
02Qy
sin
2
Q 2
0 xy
sin
2
2
02Qx
cos
sin
2
02Qy
sin
cos
2
Q 2
0 xy
cos
2
4
02Qx
sin
2
02Qy
sin
2
2
Q 2
0 xy
cos
2
5 6 7 8 9
10
2 0
(Qx
Qy
) sin
2
2
Q 2
0 xy
cos 2
设位差的极值方向为
0
,
2）＝E（
x
2）＋E（
y
2）＝
x2＋
2 y
6 7 8
同理有：
E（
P
2）＝E（
s
2）＋E（u
2）＝
S2＋
2 u
记 p2＝E（ P 2），则有：
9
10
2 P
2 x
2 y
2 s
2 u
―点位方差计算式
上式说明点位方差的大小与坐标轴的方向无关, 即与坐标
系的选择无关。
6 /4 0
用点位方差衡量P点精度的缺陷： 不能完善说明P点在任一个方向上的精度情况，不能确
1 2
2 0
Qx
Qy
Qxy
1
Qx Qy 2Qxy 2
2
令
1 2
2 0
Qx Qy
Qx Qy 2 4Qx2y
K Qx Qy 2 4Qx2y
10 代入上式, 得
E 2
1 2
2 0
(Qx
Qy ) K
10 /4 0
F 2 P
与
E2
、
F2
1 2
2 /4 0
退出
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误差椭圆
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第一节 概述
1 2
第二节 点位误差
3
4 5
授课目的要求：明确点位中误差、位差和位
6 差的极值等概念，掌握其计算方法 。
7
8 9
重 点、难 点: 位差及其极值的计算方法 。
10
3 /4 0
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本次课主要内容：
1 2
一、点位误差概念及点位误差的计算
xy
sin
2
或
7 /4 0
2
2 0
Q
2 0
Qx
cos 2
Qy
sin
2
Qxy
sin
2
上式即为求任意方位角φ方向上点位方差的计算公式。
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三、误 差位椭差圆 极值方向的确定
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由位差计算式可以看出, P 随着φ值的变化而改变，
具有最大值和最小值。其一阶导数等于零，即
1 2 3
d
误差椭圆
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
1 /4 0
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介绍点位位差、误差曲 线、误差椭圆和相对误差椭圆 的概念，误差曲线与误差椭圆 的关系，误差椭圆三要素和点 位在任意方向上位差的计算方 法。
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1
本章主要内容
2
3
4
5
概述、点位误差
6
7 8
误差曲线
9
10
误差椭圆和相对误差椭圆
2
Qx
Qy
2Qxy
tan 20
cos
20
2Qxy
sin
20
9 /4 0
1
2
2 0
Qx
Qy
2Qxy
sin 2
0
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误差椭圆
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1
1 2
2 0
Qx Qy
2Qxy csc 20
1 2
2 0
Qx Qy Qxy
1 cot2 20
2 3 4 5 6 7 8 9
则有
将 0代入位差计算式得:
tan
20
2Qxy Qx Qy
2 0
2 0
(Qx
cos 2
0
Qy sin
2 0
(Qx
cos2
0
Qy
sin
2
极值方向的判别方法:
2 0
0
Qxy
Qxy
2 1
sin
tan
tan
20
0 2 0
)
8 /4
Qxy ＞0，极大值在第Ⅰ、Ⅲ象限 ，极小值方向在第Ⅱ、
0 Ⅳ象限； ＜Q0xy，极大值在第Ⅱ、Ⅳ象限，极小值方向在
3 4
二、P点在任意方向φ上的位差5 6来自三、 位差极值方向的确定
7 8
四、位差的极大值和极小值的计算
9
10
五、用E、F表示的任意方向Ψ上的位差
六、应用实例
4 /4 0
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一、点位误差概念及点位误差的计算
1
1. 点位真误差
2
左图中 P：P点的点位真位置, 其
坐标值为 ~x , ~y