重点高中数学：函数解析式的十一种方法
求函数f（x）解析式常用的方法
求函数)(x f 解析式常用的方法济宁一中高一数学组 贾广素（邮编272000）电话：130****4397根据实际问题求解函数的表达式，是利用函数知识解决实际问题的基础。
因此，有必要掌握函数解析式的求法，下面就介绍几种求解函数解析式的常用方法：一、直接法直接法就是从题设（已知）条件出发，执因索果，进行演绎推导，从而得出函数解式的方法。
例1、 已知432)(2++=x x x f ，求函数)1(+x f 的解析式。
解：由于432)(2++=x x x f ，∴)1(+x f ＝4)1(3)1(22++++x x ＝9722++x x。
例2、 已知)(x f 是奇函数，且当0>x 时)1()(x x x f -=，求当0<x 时)(x f 的解析式。
解： 当0>x 时)1()(x x x f -=，∴当x<0时，－x>0，从而)1())(1)(()(x x x x x f +-=---=-又 )(x f 是奇函数，)()(x f x f -=-；)1()(x x x f +=∴。
注：直接法是一种正向的思维，解决问题时要善于将稍复杂的问题进行分解，各个击破，它不需要特殊的技巧。
二、待定系数法用一些字母作为待定系数，然后根据条件列出含有待定系数的方程式或方程组，解出这些待定系数，从而求出函数解析式的方法称为待定系数法。
例3、已知)(x f 是一次函数，并且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求函数)(x f 的解析式。
解：设)0()(≠+=a b ax x f ，则)1(2)1(3--+x f x f ＝ba axb a ax 222333-+-++＝b a ax ++5，又 172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，比较系数得⎩⎨⎧=+=1752a b a 解得7,2==b a ，所以所求函数的解析为72)(+=x x f 。
例4、已知二次函数)(x f y =的最大值等于13，且,5)1()3(=-=f f 求函数)(x f 的解析式。
求函数解析式方法
函 数 解 析 式 的 六 种 求 法一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法．它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。
其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。
例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ．二、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法．但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域．例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式．三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式．用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。
它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。
例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ．四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式．五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式． 例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f ．例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式小结：消元法适用于自变量的对称规律。
互为倒数，如f(x)、1()f x ；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。
函数解析式常见的求解方法
函数解析式常见的求解方法函数的解析式是指用数学表达式来表示函数的关系式，它是研究函数性质和求解函数值的基本工具。
常见的求解函数解析式的方法有以下几种：1.数学归纳法：对于一些特定的函数关系，在给定一些初始条件的情况下，通过递推关系式或递推公式，可以用数学归纳法来求解函数的解析式。
举个例子，求解斐波那契数列的解析式，我们知道当n=1时，F(1)=1；n=2时，F(2)=1；而当n>2时，斐波那契数列的数值等于它前两项的值之和，即F(n)=F(n-1)+F(n-2)。
根据这个递推关系式，可以通过数学归纳法求解得到斐波那契数列的解析式。
2.函数关系的图像法：通过观察函数关系图像的特点，可以得到函数的解析式。
举个例子，我们知道一次函数的图像是一条直线，它的解析式通常表示为y=ax+b，其中a和b是常数，a表示斜率，b表示截距。
因此，通过观察一次函数的图像的斜率和截距，可以得到函数的解析式。
3.函数关系的特殊情况法：对于一些特殊的函数关系，可以通过特定的方法求解函数的解析式。
举个例子，对于二次函数y=ax^2+bx+c，如果已知函数的图像经过三个点(x1, y1)、(x2, y2)和(x3, y3)，可以通过代数的方法求解得到函数的解析式。
4.函数关系的逆运算法：对于一些函数关系，如果已知逆运算的解析式，可以通过求解逆运算的解析式来得到函数的解析式。
举个例子，对于指数函数y=a^x，如果已知函数的解析式为y=a^x，可以通过求解对数函数y=log_a(y)，其中log_a表示以a为底的对数，来得到函数的解析式。
5.差值法和插值法：对于一些离散函数关系，可以通过差值和插值的方法来求解函数的解析式。
差值法是指通过已知的离散数据点，通过构造等差差分的方式，来求解函数的解析式。
插值法是指通过已知的离散数据点，通过构造合适的插值函数，并通过插值误差的原则，来求解函数的解析式。
综上所述，函数解析式的求解方法有数学归纳法、函数关系的图像法、函数关系的特殊情况法、函数关系的逆运算法、差值法和插值法等多种方法。
求函数解析式的几种常用方法
求函数解析式的几种常用方法一、高考要求:求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力. 重难点归纳:求解函数解析式的几种常用方法主要有:1.待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；2.换元法或配凑法，已知复合函数f ［g (x )］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；3.消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f (x ); 另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法.二、题例讲解:例1．(1)已知函数f (x )满足f (log a x )=)1(12x x a a --.(其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式. (2)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (－1)|=|f (0)|=1,求f (x )的表达式.命题意图:本题主要考查函数概念中的三要素:定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力.知识依托:利用函数基础知识，特别是对“f ”的理解，用好等价转化，注意定义域. 错解分析:本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错. 技巧与方法:(1)用换元法；(2)用待定系数法. 解:(1)令t=log a x (a >1,t >0;0<a <1,t <0),则x =a t .因此f (t )=12-a a .(a t －a －t )∴f (x )=12-a a (a x －a －x )(a >1,x >0;0<a <1,x <0)(2)由f (1)=a +b +c ,f (－1)=a －b +c ,f (0)=c得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=)0()]1()1([21)0()]1()1([21f c f f b f f f a并且f (1)、f (－1)、f (0)不能同时等于1或－1， 所以所求函数为.f (x )=2x 2－1或f (x )=－2x 2+1或f (x )=－x 2－x +1 或f (x )=x 2－x －1或f (x )=－x 2+x +1或f (x )=x 2+x －1.例2．设f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≤－1时，y =f (x )的图象是经过点(－2，0)，斜率为1的射线，又在y =f (x )的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f (x )的表达式，并在图中作出其图象.命题意图:本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维能力.因此，分段函数是今后高考的热点题型.知识依托:函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线. 错解分析:本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱. 技巧与方法:合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式. 解:(1)当x ≤－1时，设f (x )=x +b∵射线过点(－2，0).∴0=－2+b 即b =2，∴f (x )=x +2. (2)当－1<x <1时，设f (x )=ax 2+2.∵抛物线过点(－1，1)，∴1=a ·(－1)2+2,即a =－1 ∴f (x )=－x 2+2.(3)当x ≥1时，f (x )=－x +2综上可知:f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<<---≤+1,211,21,12x x x x x x 作图由读者来完成.例3．已知f (2－cos x )=cos2x +cos x ,求f (x －1).解法一:(换元法）∵f (2－cos x )=cos2x －cos x =2cos 2x －cos x －1 令u =2－cos x (1≤u ≤3),则cos x =2－u∴f (2－cos x )=f (u )=2(2－u )2－(2－u )－1=2u 2－7u +5(1≤u ≤3) ∴f (x －1)=2(x －1)2－7(x －1)+5=2x 2－11x +4(2≤x ≤4) 解法二:(配凑法）f (2－cos x )=2cos 2x －cos x －1=2(2－cos x )2－7(2－cos x ）+5 ∴f (x )=2x 2－7x －5(1≤x ≤3),即f (x －1)=2(x －1)2－7(x －1)+5=2x 2－11x +14(2≤x ≤4).三、巩固练习:1.若函数f (x )=34-x mx (x ≠43)在定义域内恒有f ［f (x )］=x ,则m 等于( ) A 3B 23C －23D －32.设函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称，在x ≤1时，f (x )=(x +1)2－1,则x >1时f (x )等于( )A .f (x )=(x +3)2－1B .f (x )=(x －3)2－1C .f (x )=(x －3)2+1D .f (x )=(x －1)2－1 3.已知f (x )+2f (x1)=3x ,求f (x )的解析式为_________. 4.已知f (x )=ax 2+bx +c ,若f (0)=0且f (x +1)=f (x )+x +1,则f (x )=_________.5.设二次函数f (x )满足f (x －2)=f (－x －2),且其图象在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为2，求f (x )的解析式.6.设f (x )是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f (x )是偶函数，在区间［2，3］上时，f (x )=－2(x －3)2+4，求当x ∈［1,2］时f (x )的解析式.若矩形ABCD 的两个顶点A 、B 在x 轴上，C 、D 在y =f (x )(0≤x ≤2)的图象上，求这个矩形面积的最大值.7.动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ，设x 表示P 点的行程，f (x )表示P A 的长，g (x )表示△ABP 的面积，求f (x )和g (x ),并作出g (x )的简图.8.已知函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T =5，函数y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y =f (x )在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x =2时，函数取得最小值，最小值为－5.(1)证明:f (1)+f (4)=0;(2)试求y =f (x ),x ∈［1,4］的解析式； (3)试求y =f (x )在［4，9］上的解析式.四、参考答案:1.解析:∵f (x )=34-x mx . ∴f ［f (x )］=334434--⋅-⋅x mx x mxm =x ,整理比较系数得m =3. 答案:A2.解析:利用数形结合，x ≤1时，f (x )=(x +1)2－1的对称轴为x =－1,最小值为－1，又y =f (x )关于x =1对称， 故在x >1上，f (x )的对称轴为x =3且最小值为－1. 答案:B3.解析:由f (x )+2f (x 1)=3x 知f (x 1)+2f (x )=3x1. 由上面两式联立消去f (x 1)可得f (x )=x2－x .答案:f (x )=x2－x4.解析:∵f (x )=ax 2+bx +c ,f (0)=0,可知c =0.又f (x +1)=f (x )+x +1, ∴a (x +1)2+b (x +1)+0=ax 2+bx +x +1,即(2a +b )x +a +b =bx +x +1. 故2a +b =b +1且a +b =1,解得a =21,b =21,∴f (x )=21x 2+21x . 答案:21x 2+21x 5.解:利用待定系数法，设f (x )=ax 2+bx +c ,然后找关于a 、b 、c 的方程组求解，f (x )=178722++x x . 6.解:(1)设x ∈［1,2］,则4－x ∈［2,3］,∵f (x )是偶函数，∴f (x )=f (－x ),又因为4是f (x )的周期，∴f (x )=f (－x )=f (4－x )=－2(x －1)2+4. (2)设x ∈［0，1］，则2≤x +2≤3,f (x )=f (x +2)=－2(x －1)2+4, 又由(1）可知x ∈［0,2］时，f (x )=－2(x －1)2+4, 设A 、B 坐标分别为(1－t ,0）,(1+t ,0)(0＜t ≤1),则|AB |=2t ,|AD |=－2t 2+4,S 矩形=2t (－2t 2+4)=4t (2－t 2),令S 矩=S ，∴82S =2t 2(2－t 2)·(2－t 2)≤(3222222t t t -+-+)3=2764,当且仅当2t 2=2－t 2,即t =36时取等号.∴S 2≤27864⨯即S ≤9616,∴S max =9616.7.解:(1)如原题图，当P 在AB 上运动时，P A =x ;当P 点在BC 上运动时，由Rt △ABD 可得P A =2)1(1-+x ;当P 点在CD 上运动时，由Rt △ADP 易得P A =2)3(1x -+;当P 点在DA 上运动时，P A =4－x ,故f (x )的表达式为:f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤<+-≤≤)43(4)32( 106)21(22)10(22x x x x x x x x x x(2)由于P 点在折线ABCD 上不同位置时，△ABP 的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对P 点的位置进行分类求解.如原题图，当P 在线段AB 上时，△ABP 的面积S =0； 当P 在BC 上时，即1＜x ≤2时，S △ABP =21AB ·BP =21(x －1）；当P 在CD 上时，即2＜x ≤3时，S △ABP =21·1·1=21；当P 在DA 上时， 即3＜x ≤4时，S △ABP =21(4－x ).故g (x )=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤<≤<-≤≤)43( )4(21)32( 21)21( )1(21)10(0x x x x x x8. (1)证明:∵y =f (x )是以5为周期的周期函数， ∴f (4)=f (4－5)=f (－1),又y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)=－f (－1)=－f (4),∴f (1)+f (4)=0.(2)解:当x ∈［1,4］时，由题意，可设f (x )=a (x －2)2－5(a ≠0),由f (1)+f (4)=0 得a (1－2)2－5+a (4－2)2－5=0，解得a =2,∴f (x )=2(x －2)2－5(1≤x ≤4). (3)解:∵y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数， ∴f (0)=－f (－0),∴f (0)=0,又y =f (x ).(0≤x ≤1)是一次函数，∴可设f (x )=kx (0≤x ≤1),∵f (1)=2(1－2)2－5=－3,f (1)=k ·1=k ,∴k =－3. ∴当0≤x ≤1时，f (x )=－3x , 当－1≤x ＜0时，f (x )=－3x ,当4≤x ≤6时，－1≤x －5≤1,∴f (x )=f (x －5)=－3(x －5)=－3x +15, 当6＜x ≤9时，1＜x －5≤4,f (x )=f (x －5)=2［(x －5)－2］2－5=2(x －7)2－5.∴f (x )=⎩⎨⎧≤<--≤≤+-)96(5)7(2)64(1532x x x x .。
高中数学求函数解析式解题方法大全与配套练习
高中数学求函数解析式解题方法大全及配套练习一、定义法：根据函数的定义求解析式用定义法。
【例1】【例2】【例3】【例4】二、待定系数法：（主要用于二次函数）已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式。
它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。
其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。
【例1】【解析】【例2】已知二次函数f（x）满足f（0）=0，f（x+1）= f（x）+2x+8，求f（x）的解析式.解：设二次函数f（x）= ax2+bx+c，则f（0）= c= 0 ①f（x+1）（x+1）= ax2+（2a+b）x+a+b②由f（x+1）= f（x）+2x+8 与①、②得解得故f（x）= x2+7x.【例3】三、换元（或代换）法：道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。
使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。
如：已知复合函数f [g（x）]的解析式，求原函数f（x）的解析式，把g（x）看成一个整体t，进行换元，从而求出f（x）的方法。
实施换元后,应注意新变量的取值围,即为函数的定义域.【例1】【解析】【例2】【例3】【例4】（1）在（1（2）1（3）【例5】（1（2）由【例6】四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．【例1】解则解得，上，(五)配凑法【例1】：2x当然，上例也可直接使用换元法即由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。
【例2】：分析：此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。
实质上，配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的函数来表示出来，在通过整体换元。
和换元法一样，最后结果要注明定义域。
求函数解析式的六种常用方法
求函数解析式的六种常用方法函数解析式是用数学语言描述数学函数的一种方法。
它可以方便地表示函数的定义域、值域、性质等，并且能够通过函数图像和方程表达式等形式直观地展现函数的特征。
下面将介绍六种常用的方法来求函数的解析式。
1.常函数法：常函数法是求解常函数的一种简单方法。
常函数表示所有的输入值都对应着相同的输出值。
常函数的解析式通常形如"f(x)=c"，其中c是常数。
常函数的定义域和值域都是全体实数值。
例如，函数f(x)=3就是一个常函数，它的输出始终为32.幂函数法：幂函数是一种具有形如y=x^a的解析式的函数。
幂函数法是通过给定了函数的一些特定点来推导出整个函数的解析式。
常见的幂函数包括正幂函数、负幂函数和倒数函数。
例如，给定函数f(x)通过点（1,2）和（2,4），我们可以通过观察得出f(x)=2^x。
3.分段函数法：分段函数是一种具有不同解析式在不同区间上的函数。
分段函数法是通过将函数的定义域按照不同的区间划分，然后在每个区间上分别确定函数的解析式来得到函数的解析式。
例如，函数f(x)=，x，在x<0时取值为-x，在x≥0时取值为x，这就是一个分段函数。
4.复合函数法：复合函数是通过使用一个函数的输出结果作为另一个函数的输入来得到的函数。
复合函数法是通过将两个或多个函数的定义域和值域相互组合，然后确定新函数的解析式来求解函数的解析式。
例如，给定函数f(x)=x+1和g(x)=2x，我们可以求得f(g(x))=2x+15.反函数法：反函数是指一个函数的自变量和因变量对换后得到的新函数。
反函数法是通过将一个函数的自变量和因变量交换位置，然后求解得到函数的解析式。
例如，给定函数f(x)=2x，我们通过交换x和y的位置，可以求得反函数f^(-1)(x)=x/26.曲线拟合法：曲线拟合法是通过已知函数的一些点来找到一个与这些点最接近的函数的解析式。
它可以应用于实验数据分析和模型建立等领域。
求函数的解析式的几种常见方法
求函数的解析式的几种常见方法求函数的解析式是函数的常见问题,也是高考的常规题型之一,方法众多, 若在考试的时候方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，起到事半功倍的作用。
下面就对一些常用的方法举例如下.一．换元法：已知f （g(x)）,求f(x)的解析式，一般的可用换元法，具体为：令t=g(x),在求出f(t)可得f （x ）的解析式。
换元后要确定新元t 的取值范围。
例题1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.令t=3x+1， x=31-t 354)(3314)(-=⇒+-⨯=⇒t t f t t f 354)(-=⇒x x f 二．配凑法：把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含有g(x)的形式，再把g(x)用x 代替。
一般的利用完全平方公式例题2．已知221)1(xx x x f +=-, 求)(x f 的解析式. 2)(2)1()1(22+=⇒+-=-⇒x x f xx x x f 三．待定系数法：已知函数模型（如：一次函数，二次函数，指数函数等）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系数例题3．设)(x f 是一元二次函数, )(2)(x f x g x ⋅=,且212)()1(x x g x g x ⋅=-++, 求)(x f 与)(x g .解;设c bx ax x f =+=2)(,则g(x)=2x (ax 2+bx+c) 四．构造法:求抽象函数的解析式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，利用消元法求f （x ）的解析式例题4．设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式x xf x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式. 解;令x x 1=，xx f x f 14)(2)1(3⨯=+ 联立方程，得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+x x f x f x x f x f 4)(2)1(34)1(2)(3 ， 解得x x x f 58512)(-= 五．利用给定的特性求解析式;一般为已知x>0时， f(x)的解析式，求x<0时，f(x)的解析式。
高中数学：函数解析式的十一种方法
高中数学:函数解析式的十一种方法一、定义法 二、待定系数法 三、换元(或代换）法 四、配凑法 五、函数方程组法七、利用给定的特性求解析式.六、特殊值法 八、累加法 九、归纳法 十、递推法 十一、微积分法一、定义法:【例1】设23)1(2+-=+x x x f ,求)(x f .2]1)1[(3]1)1[(23)1(22+-+--+=+-=+x x x x x f =6)1(5)1(2++-+x x65)(2+-=∴x x x f【例２】设21)]([++=x x x f f ，求)(x f ． 【解析】设xx x x x x f f ++=+++=++=111111121)]([xx f +=∴11)(【例３】设33221)1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++=+，求)]([x g f .【解析】2)(2)1(1)1(2222-=∴-+=+=+x x f x x x x x x f又x x x g x x x x xx x x g 3)()1(3)1(1)1(3333-=∴+-+=+=+ 故2962)3()]([24623-+-=--=x x x x x x g f【例4】设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=.【解析】)2(17cos )]2[cos()(sin x x f x f -=-=ππx x x 17sin )172cos()1728cos(=-=-+=πππ．二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
【例１】 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ,求)(x f 【解析】设b ax x f +=)( )0(≠a ,则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 【例2】已知1392)2(2+-=-x x x f ,求)(x f ．【解析】显然,)(x f 是一个一元二次函数。
函数解析式的求解及常用方法
函数解析式的求解及常用方法函数解析式的求解是数学中常见的问题之一、它涉及到将已知的数学条件转化为一个函数关系表达式，从而描述出函数的性质和特点。
在实际应用中，函数解析式的求解非常重要，可以帮助我们了解函数的行为、性质、变化规律等，进而应用于解决实际问题。
下面将介绍一些常用的方法来求解函数解析式。
1.根据问题中的条件列方程：在实际问题中，往往会给出一些条件，如函数过一些点、满足一些关系等。
根据这些条件，我们可以列出一些方程，然后通过求解这些方程来得到函数解析式。
例如，如果问题中已知函数经过点$(x_0,y_0)$，则可以得到函数解析式$y=f(x)$中的常数项$C$通过代入点$(x_0,y_0)$所得的方程$f(x_0)=y_0$来求解。
2.利用已知函数的性质和变化规律：有些函数的解析式已知，可以利用已知函数的性质和变化规律来求解新的函数解析式。
例如，如果已知函数$f(x)$的解析式，要求解函数$g(x)$的解析式，且知道函数$g(x)$是由函数$f(x)$经过平移、伸缩等变换得到的，那么可以通过对已知函数的解析式进行相应的平移、伸缩等操作得到函数$g(x)$的解析式。
3.利用函数的性质和条件的显式或隐式表达：有些函数的性质和条件可以用显式或隐式的数学表达式表示出来。
通过分析这些表达式，可以求解函数解析式。
例如，假设问题中已知函数$f(x)$满足$f'(x)=k$，其中$k$为常数，那么可以通过对函数$f(x)$进行积分来求解函数解析式。
4. 利用函数的级数展开式：有些函数可以使用级数展开式来表示。
级数展开式可以通过泰勒级数或幂级数来表示函数。
通过计算级数的前几项或者使用截断误差的方法，可以得到函数的解析式。
例如，函数$e^x$可以使用泰勒级数展开为$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!} + \cdots$，通过计算级数的前几项，可以得到函数$e^x$的解析式。
二次函数解析式解题技巧
二次函数解析式解题技巧二次函数解析式是数学学习当中非常重要的一个章节，也是数学考试的一个必考知识点。
下面是小编为大家整理的关于二次函数解析式解题技巧，希望对您有所帮助。
欢迎大家阅读参考学习!二次函数解析式解题技巧函数解析式的常用求解方法：(1)待定系数法：(已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等)：若已知f(x)的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f(x)的表达式。
待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
(2)换元法(注意新元的取值范围)：已知f(g(x))的表达式，欲求f(x)，我们常设t=g(x)，从而求得x=(g^(-1))(t)，然后代入f(g(x))的表达式，从而得到f(t)的表达式，即为f(x)的表达式。
(3)配凑法(整体代换法)：若已知f(g(x))的表达式，欲求f(x)的表达式，用换元法有困难时，(如g(x)不存在反函数)可把g(x)看成一个整体，把右边变为由g(x)组成的式子，再换元求出f(x)的式子。
(4)消元法(如自变量互为倒数、已知f(x)为奇函数且g(x)为偶函数等)：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
(5)赋值法(特殊值代入法)：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
求函数解析式是中学数学的重要内容，是高考的重要考点之一。
极客数学帮给出求函数解析式的基本方法，供广大师生参考。
一、定义法根据函数的定义求其解析式的方法。
二、换元法利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围，即f(x)的定义域。
三、方程组法根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。
方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程。
四、特殊化法通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。
求函数解析式常用的方法
求函数解析式常用的方法函数的解析式是指能够描述函数关系的数学表达式。
常见的函数解析式有多种求法，下面介绍几种常用的方法。
一、通过已知的函数图像求函数的解析式：1.方程法：已知函数的图像，可以通过观察图像上的点与坐标轴的交点，列方程来求解。
例如，已知函数图像上点(1,3)和(2,5)，可以列出方程f(1)=3和f(2)=5，然后通过解方程组的方法求得函数解析式。
2.函数平移法：已知函数图像上的一些平移属性，可以通过对已知函数进行平移操作得到所求函数的解析式。
例如，已知函数f(x)在原坐标系上的图像向左平移2个单位，可以得到函数f(x+2)。
3.倒推法：已知函数的图像为已知函数的变换之一，可以从已知函数推导出所求函数的解析式。
例如，已知函数f(x)的图像是函数g(x)的图像上关于y轴对称得到的，可以通过对函数f(x)进行关于y轴对称操作得到函数g(x)的解析式。
二、通过已知函数求函数的解析式：1.基本函数的组合：常见的基本函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
可以通过将基本函数进行合理的组合和变换，来构建所求函数的解析式。
2.反函数法：已知函数的反函数，可以通过对已知函数的自变量和因变量进行互换得到所求函数的解析式。
例如，已知函数f(x)的反函数是g(x)，则所求函数的解析式为f(y)=x。
3.极限法：当函数的极限存在时，可以通过极限的概念推导所求函数的解析式。
例如，已知函数的极限为一些常数，可以通过求出极限值来得到所求函数的解析式。
三、通过函数的性质求函数的解析式：1.函数的奇偶性：如果一个函数是奇函数，那么它的解析式中不含有$x^2$的项；如果一个函数是偶函数，那么它的解析式中不含有$x$的项。
2.函数的周期性：如果一个函数是周期函数，那么它的解析式中必定含有正弦或余弦等与周期函数相关的函数。
3.函数的导数与微分：通过求函数的导数和微分，可以得到函数所满足的微分方程，然后进一步求解微分方程从而得到函数的解析式。
求函数解析式的四种常用方法
（4）.已知f(1-cosx)=sin2x，求f(x) （5）.二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2x)，且f(x)＝0的两实根平方和为10， 图象过点(0，3)，求f(x)的解析式。 2 （6）：已知：方程：x +ax+a+1=0 的两根满足一个条件：一根大于k， 一根小于k(k是实数)，求a的取值 范围。
答案：x －4x＋3
2
3．设 y＝f(x)是二次函数，方程 f(x)＝0 有两个相等实根， 且 f′(x)＝2x＋2，求 f(x)的解析式．
解：设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则 f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2， ∴a＝1，b＝2，f(x)＝x ＋2x＋c. 又∵方程 f(x)＝0 有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c＝0，c＝1，故 f(x)＝x2＋2x＋1.
求函数解析式的四种常用方法
求函数解析式的四种常用方法
(1) 配凑法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)， 可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式， 然后以 x 替代 g(x)， 便得 f(x求函数解析式的四种常用方法
(2)待定系数法：若已知函数的类型 (如一次函数、 二次函数)可用待定系数法；
求函数解析式的四种常用方法
(3)换元法： 已知复合函数 f(g(x))的解析式，
可用换元法， 此时要注意新元的取值范围；
求函数解析式的四种常用方法
(4)解方程组法： 已知关于 f(x)与
1 fx或
f(－
x)的表达式，可根据已知条件再构造出另 外一个等式组成方程组，通过解方程求出 f(x)．
(4)定义在(－1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)， 求函数 f(x)的解析式．
人教B版高中数学必修一高中函数解析式的八种方法
人教B版高中数学必修一高中函数解析式的八种方法高中数学必修一中，函数解析式是一个非常重要的概念。
掌握了各种方法表示函数解析式，对于理解和应用函数概念有很大帮助。
接下来，我将介绍人教B版高中数学必修一中的八种方法表示函数解析式，分别是：1.用自变量和因变量的关系给出函数解析式在实际问题中，往往会给出自变量和因变量的关系式，例如：已知y是x的平方减一，即y=x^2-1、这种情况下，直接将关系式作为函数解析式即可。
2.列表法有时候给出函数的一个表格，列出自变量和因变量的对应值，例如：x，0，1，2y，1，2，3根据这个表格可以看出y=x+1、这种情况下，将对应的关系列出来即可。
3.语言描述法有时候给出的函数关系用自然语言进行描述，例如：已知y是x的平方加上3的两倍。
这种情况下，需要将自然语言转化为代数表达式，即y=2*(x^2)+34.函数值表示法有时候给出函数一些特定点的函数值，例如：f(0)=1,f(1)=2,f(2)=3、这种情况下，可以直接将函数值表示出来，即f(x)=x+15.图像法有时候给出函数的图像，例如给出一个函数的曲线图，根据曲线图可以找到函数的解析式。
例如，根据图像我们可以发现函数是一个二次函数，并且经过点（1，2）,（2，3）.得出函数解析式为y=x+16.已知和未知函数结合有时候给出函数的一部分，例如：f(x) = kx^2，在函数中有一个未知量 k，此时我们称函数为未定函数，并且需要通过其他条件来确定 k的值。
7.推断法有时候给出一组数的关系，根据数的特点可以确定函数的解析式。
例如一组数递增的特点，我们可以推断函数是一个递增函数。
8.函数的组成有时候函数可以由两个或多个基本函数通过其中一种运算得到，例如，函数 f(x) = sin(x)+cos(x) 可以由两个基本函数 sin(x)和 cos(x) 通过加法得到。
以上就是人教B版高中数学必修一中表示函数解析式的八种方法。
每种方法都有不同的应用场景，掌握了这些方法，对于理解和应用函数概念会有很大帮助。
高中数学：函数解析式的十一种方法
高中数学：函数解析式的十一种方法一、定义法 二、待定系数法 三、换元（或代换）法 四、配凑法 五、函数方程组法七、利用给定的特性求解析式.六、特殊值法 八、累加法 九、归纳法 十、递推法 十一、微积分法一、定义法：【例1】设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .2]1)1[(3]1)1[(23)1(22+-+--+=+-=+x x x x x f =6)1(5)1(2++-+x x 65)(2+-=∴x x x f【例2】设21)]([++=x x x f f ，求)(x f . 【解析】设xx x x x x f f ++=+++=++=111111121)]([xx f +=∴11)(【例3】设33221)1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++=+，求)]([x g f .【解析】2)(2)1(1)1(2222-=∴-+=+=+x x f x x x x x x f又x x x g x x x x xx x x g 3)()1(3)1(1)1(3333-=∴+-+=+=+ 故2962)3()]([24623-+-=--=x x x x x x g f【例4】设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=.【解析】)2(17cos )]2[cos()(sin x x f x f -=-=ππx x x 17sin )172cos()1728cos(=-=-+=πππ.二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
【例1】 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 【解析】设b ax x f +=)( )0(≠a ，则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 【例2】已知1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f .【解析】显然，)(x f 是一个一元二次函数。
求函数解析式的几种方法及题型
求函数解析式的几种方法及题型【最新版3篇】篇1 目录一、引言二、求函数解析式的常用方法1.待定系数法2.交点式3.顶点式4.换元法5.归纳法三、求函数解析式的题型及应用1.已知三个点求解析式2.已知顶点求解析式3.已知交点求解析式4.抽象复杂函数问题四、结论篇1正文一、引言求函数解析式是高中数学中的常见问题，也是高考的常规题型之一。
解决这类问题需要掌握一定的方法和技巧。
本文将介绍几种常用的求函数解析式的方法及题型，帮助同学们更好地理解和应用这些方法。
二、求函数解析式的常用方法1.待定系数法待定系数法是一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式。
2.交点式交点式适用于已知抛物线与 x 轴的两个交点的情况。
通过已知的交点，我们可以得到两个方程，解这两个方程可以求得抛物线的解析式。
3.顶点式顶点式适用于已知抛物线的顶点的情况。
通过已知的顶点，我们可以得到一个方程，这个方程包含了抛物线的顶点坐标和抛物线的解析式中的待定系数。
解这个方程可以求得抛物线的解析式。
4.换元法换元法是一种通用的求函数解析式的方法，适用于各种复杂的函数问题。
通过换元，我们可以将复杂的函数问题转化为简单的函数问题，从而求得函数的解析式。
5.归纳法归纳法适用于具有一定规律的函数问题。
通过观察函数的规律，我们可以猜测函数的解析式，然后通过数学归纳法证明我们的猜测是正确的。
三、求函数解析式的题型及应用1.已知三个点求解析式已知函数上的三个点，我们可以通过待定系数法求解函数的解析式。
设定函数的形式为 y=ax^2+bx+c，然后将三个点的坐标代入方程，得到三个方程组成的线性方程组，解这个方程组可以求得函数的解析式。
2.已知顶点求解析式已知抛物线的顶点，我们可以通过顶点式求解抛物线的解析式。
七种求法求函数解析式
七种求法求函数解析式七种求函数解析式的方法一、待定系数法：已知函数的解析式时，可以使用待定系数法构造函数。
例如，设$f(x)$是一次函数，且$f[f(x)]=4x+3$，求$f(x)$的解析式。
设$f(x)=ax+b(a\neq0)$，则$f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b$。
根据题意，有$a^2=4$，解得$a=2$或$a=-2$。
再代入$f[f(x)]=4x+3$中，解得$b=1$或$b=3$。
因此，$f(x)=2x+1$或$f(x)=-2x+3$。
二、配凑法：已知复合函数$f[g(x)]$的表达式，求$f(x)$的解析式，可以使用配凑法。
但需要注意所求函数$f(x)$的定义域不是原复合函数的定义域，而是$g(x)$的值域。
例如，已知$f(x+1)=(x+1)^2-2$，求$f(x)$的解析式。
将$x$换成$x-1$，得$f(x)=(x-1)^2-2(x\geq2)$。
三、换元法：已知复合函数$f[g(x)]$的表达式时，可以使用换元法求$f(x)$的解析式。
与配凑法类似，需要注意所换元的定义域的变化。
例如，已知$f(x+1)=x+2x$，求$f(x)$的解析式。
令$t=x+1$，则$t\geq1$，$x=(t-1)$，$f(t)=(t-1)^2+2(t-1)=t^2-1$，因此$f(x)=x^2-1(x\geq1)$。
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般使用代入法。
例如，已知函数$y=x+\sqrt{x}$与$y=g(x)$的图像关于点$(-2,3)$对称，求$g(x)$的解析式。
设$M(x,y)$为$y=g(x)$上任一点，且$M'(x',y')$为$M(x,y)$关于点$(-2,3)$的对称点，则$x'+x=-4$，$y'+y=6$，解得$y=-x-7+\sqrt{x+4}$，因此$g(x)=-x^2-7x-6$。
高中数学：函数解析式的十一种方法
高中数学：函数解析式的十一种方法一、定义法六、特殊值法二、待定系数法八、累加法三、换元（或代换）法九、归纳法四、配凑法十、递推法五、函数方程组法十一、微积分法七、利用给定的特性求解析式.一、定义法：2 x【例1】设f (x 1) x 3 2，求f ( x) .2 x x 2 x 2 xf ( x 1) x 3 2 [( 1)1] 3[( 1) 1] 2 = (x 1) 5( 1) 6f (x) 2 xx 56【例2】设x 1f [ f ( x)] ，求f (x) .x 2【解析】设 f [ f ( x)] xx12x 11f(x)1x 1 1 111x1x【例3】设1 2 1 1 13f (x ) x , g(x ) x ，求f [ g( x)] .2 3x x x x1 1 12 f x x2 2【解析】) 2 ( ) 2f (x) x (x2x x x1 1 1 13 3 3又g x x xg( x) x (x ) 3(x ) ( ) 33x x x x3 x x x x2 6 4 2故f [ g( x)] (x 3 ) 2 6 9 2【例4】设f (cos x) cos17 x, 求f (sin x) .【解析】)f (sin x) f [cos( x)] cos17 ( x2 2cos(8 17 x) cos( 17 x) sin17x.2 2二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
【例1】设f (x) 是一次函数，且 f [ f ( x)] 4x3，求 f (x)【解析】设f (x) ax b (a 0)，则f [ f ( x)] af (x) b a( ax b) b a 2 x ab ba ab 2 4b 3ab2 a或1 b23f (x) 2x 1或 f (x) 2x 32 x【例2】已知f (x 2) 2x 9 13，求f (x) .2 bx c a 【解析】显然， f (x) 是一个一元二次函数。
求函数解析式的六种常用方法精编版
求函数解析式的六种常用方法精编版一、直接构造法直接构造法适用于已知函数的性质和条件的情况下，可通过组合各种基本函数形式来构造出所需的函数形式。
例如，已知函数在区间[0，1]上的表达式为f(x)=x^2，并且我们想要构造一个在同一区间上的连续函数，且在x=0和x=1处与f(x)相等。
我们可以构造出一个函数解析式为：g(x)=(1-x)f(x)+x(x-1)f(1)这里，g(x)在[0,1]上连续，并且在x=0和x=1处分别等于f(x)。
二、数列法数列法适用于问题可以抽象为数列的情况下，可通过观察数列特点找到函数的解析式。
例如，已知数列{an}的前n项和为Sn = n(n + 1)，我们希望求解出数列{an}的通项公式。
我们可以观察得到，Sn - Sn-1 = n，即{an}是一个等差数列，公差为1、因此，{an}的通项公式为an = an-1 + 1三、变量代换法变量代换法适用于已知函数的变量可以通过代换转化为已知函数形式的情况下，可通过变量代换求解出函数的解析式。
例如，已知函数的解析式为f(t) = sin(t)，现在我们想要求解出函数的解析式f(x)。
我们可以通过将变量t用x表示，并使用三角函数的关系sin(t) = sin(x)来代换，得到f(x) = sin(x)。
四、变量插值法变量插值法适用于已知函数在离散点上的取值情况下，可通过连接各个离散点并找到插值函数的形式来求解函数的解析式。
例如，已知函数在离散点(0,1)，(1,2)，(2,3)上的取值，我们可以通过连接这三个点得到插值函数，形式为f(x)=x+1五、递推法递推法适用于问题可以通过递推关系来求解的情况下，可通过观察得到递推关系，从而求解出函数的解析式。
例如，已知递推关系为an = an-1 + n，其中a0 = 1、我们可以通过观察到an - an-1 = n，得到an = 1 + 1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2六、级数展开法级数展开法适用于问题可以通过级数展开来求解的情况下，可通过展开级数并进行合并化简，从而求解出函数的解析式。
求函数解析式的几种常用方法
求函数解析式的几种常用方法函数解析式是用来描述一个函数的数学表达式，它是数学中非常重要的概念。
在数学中，我们常常使用函数解析式来描述一个函数的性质、图像以及其他相关信息。
下面介绍几种常用的方法来求函数解析式。
一、观察法观察法是最常见的一种方法，它适用于一些简单的函数。
通过观察函数的各个特点，我们可以推测出函数的解析式。
例如，对于线性函数y = kx + b来说，我们可以通过观察到该函数的图像是一条直线，并且通过截距b可以确定直线的位置。
同时，我们还可以通过观察到斜率k来确定直线的斜率。
二、代入法代入法是一种常用的方法，它可以通过代入已知的数据来求得函数的解析式。
例如，假设我们已知一个函数满足条件f(0) = 2，f(1) = 3，f(2) = 4，我们可以通过代入这些数据来求得函数的解析式。
首先，我们可以设函数的解析式为f(x) = ax + b，然后代入第一个条件f(0) = 2，得到2 = a * 0 + b，从而得到b = 2、接着，我们再代入第二个条件f(1) = 3，得到3 = a * 1 + 2，从而得到a = 1、最后，代入第三个条件f(2) = 4，得到4 = 1 * 2 + 2，从而验证了我们的答案。
三、求导和积分法对于一些复杂的函数，我们可以利用求导和积分的方法来求函数的解析式。
首先，我们可以通过求导的方法来求得函数的导函数，然后再通过积分的方法来求得函数的解析式。
例如，对于函数f(x)=x^2+2x+1来说，我们可以通过求导的方法来求得导函数f'(x)=2x+2，然后再通过积分的方法来求得函数的解析式。
具体的方法和步骤可以根据函数的特点来确定。
四、简化法简化法是一种常用的方法，它适用于一些复杂的函数。
通过对函数的特征进行简化，我们可以得到函数的解析式。
例如，对于一个多项式函数f(x)=2x^3+3x^2+4x+5来说，我们可以通过简化法来求得函数的解析式。
首先，我们可以对多项式进行化简，得到f(x)=x^2*(2x+3)+4x+5，然后再进行进一步的化简。
函数解析式的8种求法
函 数 解 析 式 的 八 种 求 法一．待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）若已知)(x f 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得)(x f 的表达式。
【例1】已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式。
分析：所求的函数类型已定，是一次函数。
设f(x)=ax+b(a≠0)则f(x+1)=?，f(x-1)=?解：设f(x)=ax+b(a≠0)，由条件得：3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17，∴f(x)=2x+7【例2】求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7分析：所求的函数类型已定，是一次函数。
设f(x)=ax+b(a≠0)则f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}=f[a(ax+b)+b]=?解：设f(x)=ax+b （a≠0)，依题意有a[a(ax+b)+b]+b=8x+7∴x a 3+b(2a +a+1)=8x+7，∴f(x)=2x+1例 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 例、已知二次函数)(x f y =满足),2()2(--=-x f x f 且图象在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求函数)(x f y =的解析式。
分析：二次函数的解析式有三种形式：① 一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f② 顶点式：()为函数的顶点点其中k h a k h x a x f ,,0)()(2≠++=③ 双根式：的两根是方程与其中0)(,0))(()(2121=≠--=x f x x a x x x x a x f解法1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，则由y 轴上的截距为1知：1)0(=f ，即c=1 ①∴ 1)(2++=bx ax x f由)2()2(--=-x f x f 知：1)2()2(1)2()2(22+--+--=+-+-x b x a x b x a整理得：0)4(=-x b a , 即： 04=-b a ②由被x 轴截得的线段长为22知，22||21=-x x ，即84)()(21221221=-+=-x x x x x x . 得:814)(2=--aa b . 整理得： 2284a a b =- ③由②③得： 2,21==b a , ∴ 1221)(2++=x x x f . 解法2：由)2()2(--=-x f x f 知：二次函数对称轴为2-=x ，所以设)0()2()(2≠++=a k x a x f ；以下从略。
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重点高中数学：函数解析式的十一种方法————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：高中数学：函数解析式的十一种方法一、定义法 二、待定系数法 三、换元（或代换）法 四、配凑法 五、函数方程组法七、利用给定的特性求解析式.六、特殊值法 八、累加法 九、归纳法 十、递推法 十一、微积分法一、定义法：【例1】设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .2]1)1[(3]1)1[(23)1(22+-+--+=+-=+x x x x x f =6)1(5)1(2++-+x x 65)(2+-=∴x x x f【例2】设21)]([++=x x x f f ，求)(x f . 【解析】设xx x x x x f f ++=+++=++=111111121)]([xx f +=∴11)(【例3】设33221)1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++=+，求)]([x g f .【解析】2)(2)1(1)1(2222-=∴-+=+=+x x f x x x x x x f又x x x g x x x x xx x x g 3)()1(3)1(1)1(3333-=∴+-+=+=+ 故2962)3()]([24623-+-=--=x x x x x x g f【例4】设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=.【解析】)2(17cos )]2[cos()(sin x x f x f -=-=ππx x x 17sin )172cos()1728cos(=-=-+=πππ.二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
【例1】 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 【解析】设b ax x f +=)( )0(≠a ，则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 【例2】已知1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f .【解析】显然，)(x f 是一个一元二次函数。
设)0()(2≠++=a c bx ax x f则c x b x a x f +-+-=-)2()2()2(2 )24()4(2c b a x a b ax +-+-+= 又1392)2(2+-=-x x x f比较系数得：⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=1324942c b a a b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==312c b a 32)(2+-=∴x x x f三、换元（或代换）法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
【例1】 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 【解析】令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t xx x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x【例2】 已知,11)1(22x xx x x f ++=+求)(x f . 【解析】设,1t x x =+则11-=t x 则x x x x x x x f t f 11111)1()(222++=++=+= 1)1()1(1111)11(11222+-=-+-+=-+-+=t t t t t t 1)(2+-=∴x x x f 【例3】 设x x f 2cos )1(cos =-，求)(x f .解：令1cos ,1cos +=∴-=t x x t又0201cos 2,1cos 1≤≤-≤-≤-∴≤≤-t x x 即]0,2[,)1()()02(,)1()(22-∈+=≤≤-+=∴x x x f t t t f 即【例4】 若x xx f x f +=-+1)1()( （1） 在（1）式中以xx 1-代替x 得x x xx x x f x x f 11)111()1(-+=---+-即x x x f x x f 12)11()1(-=--+- （2） 又以11--x 代替（1）式中的x 得：12)()11(--=+--x x x f x f （3） )1(112121)(2:)2()3()1(23---=----++=-+x x x x x x x x x x f 得)1(21)(23---=∴x x x x x f【例5】设)0,,()1()()(b a ，c b a cxxbf x af x f ±≠=+且均不为其中满足，求)(x f 。
【解析】cx x bf x af =+)1()( （1）用x 1来代替x ，得xc x bf x af 1)()1(⋅=+ （2） 由xbcacx x f b a b a -=-⨯-⨯222)()(:)2()1(得xb a bcacx x f ba )()(222--=∴±≠【例6】已知2)(21+=-x af x ，求)(x f .【解析】设01 -=x a t，则t x a log 1=- 即1log +=t x a代入已知等式中，得：3log 2log 2)1(log )(22++=++=t t t t f a a a3log 2log )(2++=∴x x x f a a四、配凑法已知复合函数[()]f g x 的表达式，要求()f x 的解析式时，若[()]f g x 表达式右边易配成()g x 的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。
【例1】已知(1)2,f x x x +=+求()f x 的解析式。
【解析】2x x +可配凑成∴可用配凑法由2(1)2()1f x x x x +=+=+- 令1t x =+1x t ≥∴≥则2()1f t t =- 即2()1(1)f x x x =-≥ 当然，上例也可直接使用换元法 令1t x =+ 则1t x =+ 得222(1)()(1)2(1)1x t f t t t t =-∴=-+-=- 即 2()1(1)f x x x =-≥由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。
【 例 2】已知2211(),f x x x x-=+求()f x .【解析】此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。
由222111()()2f x x x x x x-=+=-+令2110t x x tx x =-⇒--=由0∆≥即240t +≥得t R ∈ 2()2f t t ∴=+即：2()2()f x x x R =+∈实质上，配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的内函数来表示出来，在通过整体换元。
和换元法一样，最后结果要注明定义域。
五、函数方程组法。
函数方程组法适用的范围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数()f x 混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。
【 例1】设()f x 满足1()2(),f x f x x-=求()f x 的解析式。
【解析】要求()f x 可消去1()f x ,为此，可根据题中的条件再找一个关于()f x 与1()f x的等式，通过解方程组达到消元的目的。
1()2()f x f x x-=………………………①显然，0x ≠,将x 换成1x得11()2()f f x x x-=……………………………..②由1()2()11()2()f x f x x f f x xx ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去1()f x，得12()33f x x x=--小结：函数方程组法适用于自变量的对称规律。
互为倒数，如f(x)、1()f x；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。
【 例 2】已知2)(21+=-x af x ，求)(x f .【解析】设01 -=x a t，则t x a log 1=- 即1log +=t x a代入已知等式中，得：3log 2log 2)1(log )(22++=++=t t t t f a a a3log 2log )(2++=∴x x x f a a【例 3】设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 【解析】)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，)()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴又11)()(-=+x x g x f ① ， 用x -替换x 得：11)()(+-=-+-x x g x f 即11)()(+-=-x x g x f ② 解① ②联立的方程组，得11)(2-=x x f ， xx x g -=21)( 六、特殊值法：（赋值类求抽象函数）【例1】设)(x f 是定义在N 上的函数，满足1)1(=f ，对于任意正整数y x ,，均有xy y x f y f x f -+=+)()()(，求)(x f .解：由1)1(=f ，xy y x f y f x f -+=+)()()(设1=y 得：x x f x f -+=+)1(1)(即：1)()1(+=-+x x f x f在上式中，x 分别用1,,3,2,1-t 代替，然后各式相加可得：t t t t t f 21211)1)(2(21)(2+=+-+=)(2121)(2*∈+=∴N x x x x f【例2】 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f【解析】对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2+-=-+=+--=-y y y y y y f y f 再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2++=x x x f七．利用给定的特性求解析式.【例1】设)(x f 是偶函数，当x ＞0时， xe x e xf +⋅=2)(，求当x ＜0时，)(x f 的表达式.【解析】对x ∈R ， )(x f 满足)1()(+-=x f x f ，且当x ∈[－1，0]时， x x x f 2)(2+=求当x ∈[9，10]时)(x f 的表达式.七．利用给定的特性求解析式.八、累加法：（核心思想与求数列的通项公式相似）【例1】若af 1lg)1(=，且当),0(,lg )()1(,21*∈-=-≥-N x a a x f x f x x 满足时，求)(x f . 【解析】),0(lg )1()(1*-∈+-=N x a a x f x f x递推得：2lg )2()1(-+-=-x a x f x f3lg )3()2(-+-=-x a x f x f…… ……2lg )2()3(a f f +=a f f lg )1()2(+=以上)1(-x 个等式两边分别相加，得：122lg lg lg lg )1()(--+++++=x x a a a a f x f )1()2(21lg )1(-+-++++=x x a f12)1(2)1(lg lg 1lg ---=+=x x x x aaaa x x lg ]12)1([--= 九、归纳法：【例1】已知a f N x x f x f =*∈+=+)1()(),(212)1(且，求)(x f . 【解析】a a f f a f 2124212)1(212)2(,)1(+-=+=+==a a f f 202124)212(212)2(212)3(+-=++=+=a a f f 312124)413(212)3(212)4(+-=++=+=-a a f f 422124)81213(212)4(212)5(+-=++=+=-………………………………，依此类推，得a x f x x 132124)(--+-=再用数学归纳法证明之。