重点高中数学：函数解析式的十一种方法

重点高中数学：函数解析式的十一种方法

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高中数学：函数解析式的十一种方法

一、定义法 二、待定系数法 三、换元（或代换）法 四、配凑法 五、函数方程组法

七、利用给定的特性求解析式.

六、特殊值法 八、累加法 九、归纳法 十、递推法 十一、微积分法

一、定义法：

【例1】设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .

2]1)1[(3]1)1[(23)1(22+-+--+=+-=+x x x x x f =6)1(5)1(2++-+x x 65)(2+-=∴x x x f

【例2】设2

1

)]([++=

x x x f f ，求)(x f . 【解析】设x

x x x x x f f ++=+++=++=

11111

11

21)]([

x

x f +=

∴11)(

【例3】设33221

)1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++=+，求)]([x g f .

【解析】2)(2)1(1)1(2222

-=∴-+=+=+x x f x x x x x x f

又x x x g x x x x x

x x x g 3)()

1(3)1(1)1(3333

-=∴+-+=+=+ 故2962)3()]([24623-+-=--=x x x x x x g f

【例4】设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=.

【解析】

)2

(17cos )]2[cos()(sin x x f x f -=-=π

π

x x x 17sin )172

cos()1728cos(=-=-+

=π

π

π.

二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

【例1】 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 【解析】设b ax x f +=)( )0(≠a ，则

b

ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([

∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩

⎨⎧⎩⎨

⎧=-===32

12b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或

【例2】已知1392)2(2

+-=-x x x f ，求)(x f .

【解析】显然，)(x f 是一个一元二次函数。设)0()(2≠++=a c bx ax x f

则c x b x a x f +-+-=-)2()2()2(2 )24()4(2c b a x a b ax +-+-+= 又

1392)2(2+-=-x x x f

比较系数得：⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=1324942c b a a b a 解得：⎪⎩

⎪⎨⎧=-==312

c b a 32)(2

+-=∴x x x f

三、换元（或代换）法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

【例1】 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 【解析】令1+=

x t ，则1≥t ，2)1(-=t x

x x x f 2)1(+=+

∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f

1)(2-=∴x x f )1(≥x

x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x

【例2】 已知

,11)1(2

2x x

x x x f ++=+求)(x f . 【解析】设,1t x x =+则1

1

-=

t x 则x x x x x x x f t f 11111)1()(222++=++=+= 1)1()1(11

11

)11(11222+-=-+-+=-+-+

=t t t t t t 1)(2+-=∴x x x f 【例3】 设x x f 2

cos )1(cos =-，求)(x f .

解：令1cos ,1cos +=∴-=t x x t

又0201cos 2,1cos 1≤≤-≤-≤-∴≤≤-t x x 即

]0,2[,)1()()02(,)1()(22-∈+=≤≤-+=∴x x x f t t t f 即

【例4】 若x x

x f x f +=-+1)1

(

)( （1） 在（1）式中以x

x 1-代替x 得x x x

x x x f x x f 11)11

1

()1(-+=---+-

即x x x f x x f 12)11()1(-=

--+- （2） 又以11--x 代替（1）式中的x 得：1

2

)()11(--=

+--x x x f x f （3） )1(112121)(2:)2()3()1(23---=----++=-+x x x x x x x x x x f 得)

1(21)(23---=∴x x x x x f

【例5】设)0,,()1()()(b a ，c b a cx

x

bf x af x f ±≠=+且均不为其中满足，求)(x f 。

【解析】cx x bf x af =+)1(

)( （1）用x 1来代替x ，得x

c x bf x af 1

)()1(⋅=+ （2） 由x

bc

acx x f b a b a -=-⨯-⨯22

2

)()(:)2()1(得x

b a bc

acx x f b

a )()(2

2

2--=∴±≠

【例6】已知2)(21

+=-x a

f x ，求)(x f .

【解析】设01 -=x a t

，则t x a log 1=- 即1log +=t x a

代入已知等式中，得：

3log 2log 2)1(log )(22++=++=t t t t f a a a

3log 2log )(2++=∴x x x f a a