高二选修2-3课件：计数原理

C C C A 多少分法？ 2 2 2 3 Why?
642
3
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一
种情况,所以分组后要一定要除以 均分的组数)避免重复计数。
A(nnn为
1.将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4
个队, 有多少分法？
C C C 5
44
13
8
4
A2 2
2.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每 班安排2名，则不同的安排方案种数为______
3.组合：（1）组合的定义：__________ （2）组合数公式：____________
（3）组合数性质：①_______②________
4.排列组合基本方法：特殊元素法、特殊位置法、捆绑法、插空法、排除法、隔 板法、分堆
5.排列组合应用题的关键：区别它是排列问题，还是组合问题，也就是看 它有无顺序
种不同的方法．
定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取
出m个元素的排列数.
用符号
Am
表示. n
A
m n
nn
1 n
2L
n
m 1
m, n N且m n.
A
m n
(n
n! m)!
（n, m
N*且m
n)
规定：0！=1
组合的定义：
一般地，从n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素合成 一组，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合。
解排列组合问题的常用技巧
（一）特殊元素的“优先安排法”
[例1]用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字
的三位数，其中偶数共有（
）
A.24
B.30
C.40
D.60
分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数， 又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应优 先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类；
分析：若不考虑限制条件，则有A55 种排法，而甲，乙之间 排法有A22种，故甲在乙前面的排法只有一种符合条件，故
符合条件的排法有A55种. A 22
（5）分堆问题
例. 6本不同的书分成3堆,各堆分别1，2，3本，则共
有多少分法？ 解：分三步取书得
C C C 种方法 1 2 3 653
例. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有
1) 0排在末尾时，有A24个 2) 0不排在末尾时，有A12A13A13个 由分类计数原理，共有偶数30个.
（2）相邻问题——捆绑法
7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分别有多少种 站法？
分析：先将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素，与其余
4人共有5个元素做全排列，有A55种排法，然后对甲，乙，丙
三人进行全排列 由分步计数原理可得：
种不同排法
A55A33
（3）不相邻问题——插空法
对于某几个元素不相邻得排列问题，可先将其它元素排 好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空 隙之间插入即可。
例：7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有 多少种站法？
分析：可先让其余4人站好，共有A
不遗漏 分类 分步 按事件的发生过程
、
，正确地交替使用两个原理，
这是解决排列问题的最基本，也是最重要的思想方法。
二项式定理有哪些题型？
知识梳理：
1.两个计数原理：_____________(分类) _____________(分步)
2.排列：（1）排列的定义：____________ （2）排列数公式：____________
6.二项式定理：______________ 通项：_____________
7.二项式系数的性质：①对称性_______ ②增减性________最大值__________ ③二项式系数之和____________
8.注意区别“二项式系数”和“项的系数”
9.关于二项式定理的类型题： 求展开式、求指定项、求指定项的系数、求二项式系数和、求展开式中指定的 项的系数和（赋值法）、整除问题等。
将n个相共同有的_元__素_C分_96_成__m_份__（种n分，法m为。正整数）,
每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n
个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数
为
C m1 一 n1 班
二三四五 六 七 班班班班 班 班
分类 重复 在处理排列组合综合题时，通过分析条件按元素的性质
，做到不
，
C C A 2 2 2 4 2 6 90 A22
元素相同问题隔板策略
例.有10个运动员名额，再分给7个班，每 班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成
一排。相邻名额之间形成９个空隙。 在９个空档中选６个位置插个隔板，
可把名额分成７份，对应地分给７个
班级，每一种插板方法对应一种分法
组合数的定义及其公式：
从 n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合
（Combination)的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m个
元素的组合数，用符号Cnm 表示。
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) (n m 1) m!
n!
m!(n m)!
二项式定理
(a b)n
(n N )
4 4
种排法，再在这4人之间
及两端的5个“空隙”中选三个位置让甲，乙，丙插入，则A
有 种方法，这样共A有44A35 种不同的排法。
3 5
（4）顺序固定问题用“除法” 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个
元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这 几个元素的全排列数.
[例]五人排队，甲在乙前面的排法有几种？
Cn0anb0 Cn1aa1b1 Cn2a b n2 2 L Cnra b nr r L Cnna0bn
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式
Tr1 Cnr anrbr (0 r n, r Z )
称为二项展开式的通项公式，它表示展开式的第r+1项.
高二上期末复习选修2-3
计数原理
两 个
排 列
计
计
数
数
原
组
原
理
合
理
排列概念 排列数公式 排列问题
组合概念 组合数公式 组合数性质
排列组 合应用
组合问题
二
项
二项展开
通项公式
应
式
式性质
用
定
二项式系
理
Biblioteka Baidu数的性质
复习分类回计数顾原理::
分类计数原理:
分步计数原理: • 完同有成 的一方件法m种事，2不，做同需 第的m要2方步1分法有成．mｎ那2个么种步完不.骤.成同.，这的做件m m方第n事m法n11共步…有有…:做第种ｎ不步