排列数、组合数公式及二项式定理的应用

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35：排列组合和二项式定理高三复习数学知识点总结(全)

排列、组合与二项式定理1.两个计数原理（1）分类计数定理（加法原理）：如果完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有1m 种不同的方法，在第2类方式中有2m 种不同的方法，......，在第n 类方式中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法.（2）分步计数定理（乘法原理）：如果完成一件事，需要完成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，......，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法.（3）两个计数原理的区别分类计数原理与分步计数原理的区别关键在于看事件能否完成，事件完成了就是分类，分类后要将种数相加；事件必须要连续若干步才能完成的则是分步，分步后要将种数相乘.2.排列（1）排列的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.（2）排列数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示.（3）排列数公式：)1()2)(1()!(!+---=-=m n n n n m n n A m n .特别地：①（全排列）.123)2)(1(!⋅⋅--== n n n n A n n ②.1!0=3.组合（1）组合的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）组合数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示.（3）组合数公式：()()()()121!!!!m m n n m m n n n n m A n C A m m n m ---+===- .特别地：01n C =.（4）组合数的性质：①m n n m n C C -=；②11-++=m n m n m n C C C ；③11--=kn k n nC kC .4.解决排列与组合问题的常用方法通法：先特殊后一般（有限制条件问题），先组合后排列（分组问题），先分类后分步（综合问题）.例：某校开设9门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课时问相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有多少种不同的选修方案？答：.75461336=+C C C （1）特殊元素、位置优先安排法：对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列，然后排列其他一般元素或位置.例4-1：0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？答：.3013131224=+C C C A （2）限制条件排除法：先求出不考虑限制条件的个数，然后减去不符合条件的个数.也适用于解决“至多”“至少”的排列组合问题.例4-2：从7名男同学和5名女同学中选出5人，若至少有2名女同学当选，问有多少种情况？答：.596)(471557512=+-C C C C（3）相邻问题“捆绑法”：将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列，待整个问题排好之后再考虑它们内部的排列数，它主要用于解决相邻问题.例4-3：5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？答：6363A A =4320（4）不相邻问题“插空法”：先把无位置要求的元素进行排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的“空档”中（注意两端）.例4-4：5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？答：5354A A （5）元素相同“隔板法”：若把n 个不加区分的相同元素分成m 组，可通过n 个相同元素排成一排，在元素之间插入1-m 块隔板来完成分组，共11--+m m n C 种方法.例4-5：10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？答：.49C （6）元素不多“列举法”：即把符合条件的一一列举出来.例4-6：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格内，每个方格填一个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有种。

利用二项式定理求解组合问题

利用二项式定理求解组合问题二项式定理是代数学中的重要定理之一，它在组合问题中有着广泛的应用。

本文将利用二项式定理来求解组合问题，通过具体的例子来展示其求解方法和应用场景。

在组合学中，组合问题是指从给定的集合中选取若干个元素，按照一定的规则进行排列或组合的问题。

二项式定理可以帮助我们计算组合问题中的各种可能性。

首先，让我们来回顾一下二项式定理的表达式：$$(a + b)^n = \sum_{k = 0}^{n}{\binom{n}{k}a^{n-k}b^k}.$$其中，$a$和$b$是实数或复数，$n$为非负整数，$\binom{n}{k}$表示从$n$个元素中选取$k$个元素的组合数。

这个组合数可以通过以下公式来计算：$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!},$$其中$n!$表示$n$的阶乘，即$n! = n \times (n-1) \times \ldots \times 2\times 1$。

现在，我们来看一个具体的例子来演示如何利用二项式定理求解组合问题。

假设我们有一个集合$S = \{a, b, c, d, e\}$，我们需要从中选择3个元素的组合。

我们可以利用二项式定理来计算出所有可能的组合数量。

根据二项式定理，我们可以展开$(a+b+c+d+e)^3$，并找出所有包含3个元素的项。

展开的结果如下：$$(a+b+c+d+e)^3 = \binom{3}{0}a^3 + \binom{3}{1}a^2b +\binom{3}{2}a^2c + \binom{3}{1}ab^2 + \binom{3}{2}abc +\binom{3}{3}ac^2 + \binom{3}{1}a^2d + \binom{3}{2}abd +\binom{3}{3}acd + \binom{3}{2}ad^2 + \binom{3}{3}ae^2 +\binom{3}{1}b^3 + \binom{3}{2}b^2c + \binom{3}{3}bc^2 +\binom{3}{2}b^2d + \binom{3}{3}bcd + \binom{3}{3}bd^2 +\binom{3}{2}b^2e + \binom{3}{3}bce + \binom{3}{3}bd^2 +\binom{3}{3}be^2 + \binom{3}{2}c^3 + \binom{3}{3}c^2d +\binom{3}{3}cd^2 + \binom{3}{3}ce^2 + \binom{3}{3}d^3 +\binom{3}{3}de^2 + \binom{3}{3}e^3.$$从上面的展开式中可以看出，一共有35项，每一项都对应着一个组合。

排列组合概率与算法

2)系数问题：(1)二项式系数及其性质
3)整除与余数问题问题 4)近似问题
附：排列数组合数部分性质：
1
Anm
n
Am1 n 1
n m 1
Am1 n
A A 2 m2 n n2
Ann Amm
n! m!
Cnm
Amm
n, m N , n m
2 n 1! n 1 n! n n!n! n n! n 1!n!
2）知概率求概率问题：弄清复合事件的类型
事件和（互斥事件只是一个发生）、事件积（相互独立事件同时发生）、n次独立实验中某事件发生k次的概率
例、电报信号由“.”与“-”组成，设发报台传送 “.”与“-”之比为3：2，由于通讯系统存在干扰，引起失真，传送“.”时失真的概率为0.2（传送 “.”而收到“-”），传送“-”时失真的概率为0.1. 若收报台收到信号“.”，求发报台确实发出“.” 的概率
N 0,1 u N u, 2
排列组合与排列数和组合数
复习排列、组合的定义及排列数和组合数的计算
一、基本内容 1、计数原理：加法原理(分类)与乘法原理(分步) 使用原则：先分类后分步应用示例流量问题等\染色、花坛问题等等
2、排列与组合 1）排列与组合定义
2）排列数与组合数
公式：Anm=
Cnm=
注意问题：(1) 上下标的特点 (2)定义值 (3)排列数与组合数性质；必胜429页例1、2
2、概率及其计算
1)等可能事件的概率计算方法
2)几何概型的计算方法
3)条件概率及其计算
4)连续型随机事件的概率的计算：积分
3、基本公式
1)古典概率
PA
m n
2)互斥事件的概率 PA B PA PB

排列组合、二项式定理与概率统计

排列组合、二项式定理与概率统计
概率统计与排列组合和二项式定理是数学中的重要知识。

它们主要用来解释和计算物理实验的概率，以及理解事件出现的概率统计规律。

排列组合是概率统计的基础，是指在一组数中，每个数字的位置不同的可能的组合数。

它的公式有:A(n,m)=n(n-1)...(n-m+1)。

这里的A表示从n个中取出m个的排列数。

二项式定理（亦称二项分布定理）是研究一个随机变量满足二项分布的定理。

它是推导概率统计解决一些问题的重要方法，它通过如下公式来计算事件发生的概率：
C(n,k)=An,m/k!，其中n表示试验次数，m表示成功的次数，k表示重复的次数。

概率统计用来研究不同事件出现的可能性和规律。

这些规律会告诉我们正发生的事件的可能性有多大，并帮助我们更好地解释现象。

概率统计的计算和分析是一个复杂的过程，需要全面的、简易的的方法。

排列组合、二项式定理等工具是进行概率统计分析的有力帮助，它们可以帮助我们了解不同事件出现的概率，并对现象加以解释和推断。

排列、组合与二项式定理(理)

二项式定理不仅具有理论价值，还有广泛的应用价值，特别是在统计学、计算机科学和物理学等领域。
二项式定理的未来发展方向
理论完善
随着数学的发展，二项式定理的理论体系将不断完善，新的证明方法和技巧将不断涌现。
应用拓展
随着各学科的发展，二项式定理的应用领域将不断拓展，特别是在大数据处理、人工智能和量子计算等领域。
排列数的计算
01
二项式定理也可以用来计算排列数，特别是当排列数的上标和
下标较大时，使用二项式定理可以简化计算过程。
排列数的性质
02
通过二项式定理，我们可以推导出排列数的性质，如排列数的
增减性等。
排列数的递推关系
03
利用二项式定理，我们可以得到排列数的递推关系，从而更方
便地计算排列数。
利用二项式定理解决实际问题
互异性
有序性
排列中的元素顺序是确定的，不能随意调换。
排列中的元素没有重复出现的情况。
组合的定义与性质
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（0<m≤n），不考虑顺序，称为从n个不同元素中取出m个元素的
一个组合。
互异性
组合中的元素没有重复出现的情况。
无序性
组合中的元素顺序不影响其组合结果。
排列与组合的关系
利用组合数的性质，通过数学推导推导出二项式定理的展开式。
利用多项式乘法推导
将$(a+b)^n$展开成多项式，然后利用多项式乘法的性质推导出二项式定理的展开式。
利用幂的性质推导
利用幂的性质，将$(a+b)^n$展开成幂的形式，然后通过数学推导推导出二项式定理的展开式。
04 二项式定理的应用举例
利用二项式定理计算组合数

二项式定理与组合数的计算

二项式定理与组合数的计算二项式定理是高中数学中的一个重要定理，它与组合数的计算密切相关。

在数学中，组合数是一种用于计算选择的方法，它在概率论、统计学和组合数学中都有广泛的应用。

本文将探讨二项式定理与组合数的计算方法，并且通过一些实例来加深理解。

一、二项式定理的基本概念二项式定理是指对于任意实数a和b以及非负整数n，有如下等式成立：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n,n) * a^0 * b^n其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，也可以表示为n个元素中取k个元素的方式数。

二、组合数的计算方法组合数的计算方法有多种，常见的有排列组合法、杨辉三角法和递推法。

1. 排列组合法排列组合法是一种直观的计算组合数的方法。

对于从n个元素中选取k个元素的组合数，可以通过以下公式计算：C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)其中n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1。

2. 杨辉三角法杨辉三角是一种特殊的数列，它可以用来计算组合数。

杨辉三角的第n行第k 个数等于C(n,k)，可以通过以下规律进行计算：- 第n行有n+1个数；- 第n行的第一个数和最后一个数都是1；- 第n行的第k个数等于第n-1行的第k-1个数和第k个数之和。

通过杨辉三角法，可以方便地计算组合数，尤其适用于大规模的组合数计算。

3. 递推法递推法是一种基于递推关系计算组合数的方法。

对于从n个元素中选取k个元素的组合数，可以通过以下递推关系计算：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)这个递推关系的含义是，从n个元素中选取k个元素的组合数等于从n-1个元素中选取k-1个元素的组合数加上从n-1个元素中选取k个元素的组合数。

二项式定理与组合数学

二项式定理与组合数学在高中数学中，我们学习了很多数学定理和概念，其中二项式定理和组合数学是我们经常接触到的两个重要知识点。

本文将详细介绍二项式定理和组合数学，并探讨它们在数学领域中的应用。

一、二项式定理的表述二项式定理是一种展开表示二项式幂的公式，它通常用于展开(x + y)^n的形式。

根据二项式定理，我们可以得出以下等式：(x + y)^n = C(n,0) * x^n * y^0 + C(n,1) * x^(n-1) * y^1 + C(n,2) * x^(n-2) * y^2 + ... + C(n,n) * x^0 * y^n其中C(n,k)表示选择k个元素的组合数。

组合数的计算方法可以通过下面的公式得出：C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)二、组合数学的概念组合数学是一门研究选择、排列和组合的数学学科。

在组合数学中，我们关注的是从给定集合中选择或排列对象的方式和数量。

组合数学中的基本概念包括排列、组合和二项式系数等。

排列指的是从给定的n个元素中选择k个元素，并按照一定的顺序进行排列的方式。

排列数可以通过下面的公式进行计算：P(n,k) = n! / (n-k)!组合指的是从给定的n个元素中选择k个元素，但不考虑元素的顺序。

组合数可以通过下面的公式进行计算：C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)二项式系数即为二项式定理中的C(n,k)，它表示选择k个元素的组合数。

三、二项式定理与组合数学的应用1. 组合数学在概率论中的应用概率论是研究随机事件发生的可能性的一门学科，而组合数学在计算概率时发挥着重要作用。

例如，在排列组合中，我们可以用组合数计算从一副扑克牌中抽取一手牌的可能性。

2. 二项式定理在代数中的应用二项式定理在代数中常用于展开多项式，研究多项式的性质。

通过二项式定理，我们可以快速计算(x + y)^n的展开式。

这在代数运算中非常有用，特别是在多项式乘法、多项式函数的求导和积分等操作中。

排列组合与二项式定理

排列、组合与二项式定理16．1 加法原理和乘法原理1、加法原理问题：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中火车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法？加法原理：完成一件事有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =+++ 种不同的方法。

2、乘法原理问题：从甲地到乙地有3条道路，从乙地到丙地有2条道路，问：某人从甲地经过乙地到丙地有多少种不同的走法？乘法原理：完成一件事需要n 个步骤，第1步有1m 种不同的方法，第2步有2m 种不同的方法，……，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法。

例1：书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。

（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中取不同科目的书两本，有多少种不同的取法？++=。

解：（1）35614⨯⨯=。

（2）35690⨯+⨯+⨯=。

（3）35365663例2：（1）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个各位数字可以重复的三位整数？（2）由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个各位数字可以重复的三位整数？（3）由数字0，1，2，3，4，5组成的三位整数中，有且只有两位数字相同（如114、303、255等）的数有多少个？N=⨯⨯=。

解：（1）555125N=⨯⨯=。

（2）566180N=⨯+⨯+⨯=。

（3）55555575N=⨯⨯--⨯⨯=。

另解：566555475课堂练习1、4名同学报名参加篮球、射击、游泳三个活动小组，每人限报一项，则不同的报名情况共有多少种？2、4名运动员争夺3项冠军，则冠军获得者的可能情况有多少种？3、用红、黄、蓝的小旗各一面挂在旗杆上表示信号，每次可以挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可表示多少种不同的信号？4、540（23540235=⨯⨯）的不同正约数共有多少个？5、在300和800之间，有多少个无重复数字的奇数？6、某小组有10人，每人至少会英语和日语中的一门，其中8人会英语，5人会日语，从中选出2人，一人去当英语翻译，另一人去当日语翻译，有多少种不同的选法?解：1、分4步：4381=2、分3步：3464=3、先分类，再分步33232115+⨯+⨯⨯=4、分3步：34224⨯⨯=5、先分类，再分步：348258176⨯⨯+⨯⨯=6、分两类：553437⨯+⨯=课后作业1、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？2、将四封信投入到三个邮筒中，有多少种不同的投递方式？3、在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有多少个?4、用数字0、1、2、3可以组成多少个无重复数字的自然数？5、满足A∪B=｛1,2,3｝的集合A、B共有多少组?6、如下图,共有多少个不同的三角形?7、4名同学各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则不同的分配方式共有多少种？8、矩形的两条对角线把矩形分成4个部分，用4种不同颜色给这4个部分涂色，要求每个部分只涂一种颜色，且有公共边的相邻部分颜色不同，则共有多少种不同的涂法？解：1、6； 2、81； 3、45； 4、49； 5、9； 6、35； 7、27； 8、8416.2 排列1、排列的概念问题：（1）从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？（2）从,,,a b c d 这四个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个不同元素，按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．。

排列组合二项式定理和概率

补右图是我国古代的“杨辉三角形”，按其数字
构成规律，图中第八行所有中应填数字的和
等于（ B ）. （09年）
1
A. 96 B.128 C. 256 D.312
11 121 13 31
解 n7
146 41 1 5 10 10 5 1
27 128
1 6 15 20 15 6 1
补求 (x 1 )9 的展开式中 x3 的系数。
★ 3. 排列数公式
n! n (n 1) (n 2) 21
Pnm n (n 1) (n 2) (n m 1)
▽
Pnm

n! (n m)!
特别： Pnn n!
例 P130 1098 720.
补由 0,1, 2, 9 可组成多少个8位数的电话号码？108.
例 5个男生和2个女生站成一排照相。
（1）共有多少种排法？（2）男生甲必须站在左端或右端，且2个女生必须相邻，
有多少种排法？
（3）男生甲必须站在中间，且2个女生必须相邻，
有多少种排法？
解（1） P77 7! 5040
（2）
（P63 例2）
先安排甲 P21 P55 2 480
（3）
在第 n 类办法中有 mn种不同的方法。
则完成这件事共有：
m1 m2 mn 种不同的方法。
2. 分步计数原理（乘法原理）
若完成一件事需要分成 n 个步骤。
做第一步有 m1 种不同的方法；做第二步有 m2 种不同的方法；
做第 n 步有mn 种不同的方法。
则完成这件事共有：
m1 m2 mn 种不同的方法。
(a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 (2 3)4 (2 3)4

组合数公式大全

组合数公式大全组合数是数学中的一个重要概念，用于表示从n个元素中选取r个元素的组合的数量。

在组合数的计算中，有多种公式和方法可供选择。

本文将介绍一些常用的组合数公式，帮助读者理解和计算组合数。

1. 乘法公式：组合数的一个基本性质是乘法公式。

当n和r为非负整数时，组合数C(n, r)可以通过以下公式计算：C(n, r) = n! / ((n-r)! * r!)其中，n!表示n的阶乘。

2. 递推公式：递推公式是一种常见的计算组合数的方法，通过逐步递推得到结果。

C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)如果r为0或r等于n，则C(n, r)为1。

3. Pascal三角形：Pascal三角形是一种展示组合数的图形表示方法，利用递推公式来计算组合数。

Pascal三角形的第n行第r个数表示C(n, r)。

例如，Pascal三角形的第4行为：1 3 3 1，表示C(4,0)=1, C(4,1)=4, C(4,2)=6, C(4,3)=4, C(4,4)=1。

4. 二项式定理：二项式定理是组合数的一个重要公式，将一个二项式展开为一系列项的和。

(x + y)^n = C(n, 0) * x^n + C(n, 1) * x^(n-1) * y + ... + C(n, n-1) * x * y^(n-1) + C(n, n) * y^n5. 组合数的性质：- C(n, r) = C(n, n-r)，即从n个元素中选择r个等于从n个元素中选择n-r个。

- C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)，符合递推公式的性质。

- 对于任意正整数n，有C(n, 0) + C(n, 1) + ... + C(n, n) = 2^n，表示从n个元素中选择0个到n个元素的所有组合数之和等于2的n次方。

6. Lucas定理：Lucas定理是组合数的一个重要定理，用于计算模p的组合数。

对于非负整数n和p，设n = nk * pk + ... + n1 * p + n0，其中0 <= ni < p，0 <= i <= k。

二项式定理与排列组合的应用知识点总结

二项式定理与排列组合的应用知识点总结在数学中，二项式定理与排列组合是两个重要的概念。

二项式定理是代数中的一项基本定理，而排列组合是组合数学中的重要概念。

本文将对二项式定理和排列组合的应用进行知识点总结。

一、二项式定理二项式定理是数学中的一个重要定理，它是关于二项式与幂的展开公式。

二项式定理的公式表达如下：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n其中，C(n, k)表示组合数，即从n个元素中选择k个元素的组合数。

组合数的计算公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)二项式定理给出了二项式的展开公式，使我们可以快速求解幂指数较大的二项式。

其应用广泛，包括代数、概率统计等领域。

二、排列组合排列组合是组合数学中的一个分支，研究的是从给定的元素集合中选取出若干元素，按照一定规则进行排列或组合的方法。

排列和组合的计算公式如下：排列：P(n, k) = n! / (n-k)!组合：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n表示元素的总个数，k表示选取的元素个数。

排列组合在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在概率统计中，排列组合可用于计算事件发生的可能数；在密码学中，排列组合可用于计算密码的破解难度；在传统的魔方游戏中，排列组合可用于计算还原魔方的步骤等。

三、应用举例1. 掷硬币问题：将一枚硬币连续投掷3次，求出正反面出现的不同可能性。

解：根据排列组合的知识，将硬币的正反面看作两个元素，共有2个元素，从中选择3个元素排列，即为排列问题。

根据排列问题的计算公式，可得 P(2, 3) = 2! / (2-3)! = 2。

故，正反面出现的不同可能性为2种。

2. 发牌问题：从一副扑克牌中，随机抽出5张牌，在这5张牌中有几种同花色的可能性？解：根据排列组合的知识，将扑克牌的花色看作4个元素，从4个元素中选取1个元素，即为组合问题。

数学中的组合数学与排列组合计算方法

数学中的组合数学与排列组合计算方法在数学中，组合数学与排列组合计算方法是一种重要的数学分支，它涉及到数个对象的选择和排列。

通过运用排列组合计算方法，我们可以解决许多与选择、排列相关的问题。

本文将介绍组合数学与排列组合计算方法的基本概念和常见应用，帮助读者更好地理解和应用这些方法。

一、组合数学的基本概念在介绍组合数学与排列组合计算方法之前，我们首先需要了解一些基本概念。

1. 组合数：组合数指的是从总数n个不同元素中选择r个元素的方式数。

用C(n, r)表示，其计算公式为：C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)，其中n！表示n的阶乘。

2. 排列数：排列数指的是将总数n个不同元素进行排列的方式数。

用P(n)表示，其计算公式为：P(n) = n!。

3. 公式推导：组合数和排列数的计算方法可以通过公式推导来得到，具体推导过程略。

4. 二项式定理：二项式定理是组合数学中的重要定理之一，它可以用于展开任意次数的二项式。

二项式定理的表达式为：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n。

二、排列组合计算方法的应用排列组合计算方法在实际应用中有许多用途，下面我们将介绍几个常见的应用场景。

1. 排列组合问题：排列组合问题指的是在给定一组元素的情况下，计算出满足一定条件的排列或组合的个数。

例如，在一个班级中选择两名同学进行项目合作，我们可以使用组合数的计算方法得到合作的可能性。

2. 装箱问题：装箱问题是组合数学中的经典问题之一，它涉及到如何将不同大小的物品放置在不同大小的箱子中，且每个箱子都要装满。

通过排列组合计算方法，我们可以找到满足条件的不同装箱方式的数量。

3. 二项分布：二项分布是概率统计学中的重要分布之一，它是由n个独立的、相同分布的二项试验构成的。

通过使用组合数，我们可以计算出二项分布中某个特定值出现的概率。

排列组合与二项式定理

B． 24种 D． 36种
解析：因为恰有2人选修课程甲，共有C2 4 6 种结果，所以余下的两个人各有两种选法，共有2 2 4种结果，根据分步计数原理知共有6 4 24种结果．
2.(2011 重庆卷) 1 2x 的展开式中x 4的系数是
6
_________ .
r r 解析：展开式的通项为Tr 1 2r C6 x. 4 令r 4得展开式中x 4的系数是24 C6 240.
4 得常数1 1 C8 70； 4
当第一个括号中取2x 2时，则第二个括号必取
5
1 x2
5 项，由通项易知当r 5时，取得常数2 1 C8
112，所以展开式中常数项为 112 70 42.
【思维启迪】本题主要考查二项式定理的通项公式及分类讨论的思想方法．解答两个因式积的展开式问题主要有两种途径：
究；
6 近似计算：构造二项式，展开后根据精确度的要
求分析应取前几项，从哪项开始去掉后面的所有项．
拍卖预展龙威
1.(2 011 全国大纲卷)4位同学每人从甲、乙、丙3 门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 A． 12种 C． 30种
专题三
排列、组合、二项式定理、概率与统计
1．计数原理分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N m1 m2 mn种不同的方法．分步计数原理：完成一件事，需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N m1 m2 mn种不同的方法．

数学中的排列组合与二项式定理

数学中的排列组合与二项式定理在数学中，排列组合和二项式定理是重要的概念和原理。

它们在解决问题、计算概率等方面起着重要的作用。

一、排列组合排列组合是数学中用来描述和计算对象排列和选择方式的概念。

排列是从一组对象中选取若干个进行有序排列，而组合是从一组对象中选取若干个进行无序组合。

1.1 排列排列是从一组对象中选取若干个进行有序排列的方式。

假设我们有n个不同的对象，要从中选取r个进行排列，则排列的方式数用P(n,r)表示。

计算排列的方式数的公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。

排列的应用非常广泛，比如在数学竞赛中，求解一道题目需要按照一定的规则对给定的元素进行排列。

1.2 组合组合是从一组对象中选取若干个进行无序组合的方式。

与排列不同，组合不考虑对象的顺序。

假设我们有n个不同的对象，要从中选取r个进行组合，则组合的方式数用C(n,r)表示。

计算组合的方式数的公式为：C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)组合通常用于解决计算概率、统计样本等问题。

比如在概率问题中，我们需要计算从一组给定的元素中选取若干个元素的所有可能组合的概率。

二、二项式定理二项式定理是数学中一个非常重要的定理，它描述了如何展开一个二项式的幂。

一个二项式表示如下：(a + b)^n其中，a和b是实数或者变量，n是非负整数。

二项式定理给出了展开(a + b)^n所得的多项式的各项系数。

二项式定理的表达式如下：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n,n) * a^0 * b^n其中，C(n,r)表示从n个元素中选取r个元素的组合数量。

排列组合和二项式定理

排列组合和二项式定理一、排列数1.全排列：一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列。

特别地，时的排列（即取出所有对象的排列）称为全排列。

2.排列数:从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号A n m(m,n都是正整数)表示。

所谓排成一列是指与顺序有关。

3.排列数公式:A n m=n(n−1)(n−2)⋯(n−(m−1))m个数=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1).(应用公式时，要注意最后一项)4.阶乘:n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×2×1.规定：0!=1.因此，排列数公式可改写为：A n m=n!(n−m)!.5.公式：A n m+mA n m−1=A n+1m,证明如下：A n m+mA n m−1=n!(n−m)!+m n!(n−m+1)!=n! (n−m)!×[1+mn−(m−1)]=n!(n−m)!×n+1n−(m−1)=(n+1)![(n+1)−m]!=A n+1m.二、组合数1.组合:从n个不同对象中取出m个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合.2.组合数：从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号C n m(m,n都是正整数)表示.所谓并成一组是指与顺序无关。

3. 组合数公式：C n m =(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m×(m−1)×⋯×2×1=n!(n−m )!m!. 4. 公式1:C n m =C n n−m .5. 公式2:C n m +C n m−1=C n+1m .6. 公式3：A m m +A m+1m +⋯+A 2m m =A 2m+1m （排列数和组合数的关系，结合C n m +C n m−1=C n+1m 和A n m =m!C n m 可证得。

排列组合知识点

高考数学概念方法题型易误点技巧总结（十）排列、组合和二项式定理1.排列数m n A 中1,n m n m ≥≥∈N 、、组合数m n C 中,1,0,n m n m n m ≥≥≥∈、N .(1)排列数公式!(1)(2)(1)()()!m n n A n n n n m m n n m =---+=≤-；!(1)(2)21n n A n n n n ==--⋅。

如（1）1！+2！+3！+…+n ！（*4,n n N ≥∈）的个位数字为（答：3）；（2）满足2886x x A A -<的x ＝（答：8）(2)组合数公式()(1)(1)!()(1)21!!m mn nm m A n n n m n C m n A m m m n m ⋅-⋅⋅-+===≤⋅-⋅⋅⋅-；规定01！=，01n C =.如已知16m n m n m n C C A +++=，求 n ，m 的值（答：m ＝n ＝2）(3)排列数、组合数的性质：①m n m n n C C -=；②111m m m n n n C C C ---=+；③11k k n n kC nC --=；④1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ；⑤!(1)!!n n n n ⋅=+-；⑥11(1)!!(1)!n n n n =-++. 2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．如（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种（答：53）；（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有种（答：70）；（3）从集合{}1,2,3和{}1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是___（答：23）；（4）72的正约数（包括1和72）共有个（答：12）；（5）∠的顶点共10个点，∠的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同AA以这些点为顶点，可以构成_____个三角形（答：90）；（6）用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有种不同涂法（答：480）；（7）同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有种（答：9）；（8）f是集合{}N=-的映射，且()()1,0,1,,M a b c=到集合{}+f a f bCBA的= ()f c=，则不同的映射共有个（答：7）；（9）满足}4,3,2,1{集合A、B、C共有组（答：47）3.解排列组合问题的方法有：（1）特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。

排列组合二项式

1 2 n (11)求值： C n + 2C n + 3C n + L + ( n + 1)C n ; 求值： 0 0 1 2 n C n + 2C n + 2 2 C n + L + 2 n C n ;
0 2 4 C n + C n + C n + L = 2 n−1
11、a + b ) n 展开式偶数项二项式系数之和： ( 数之和：
1 3 5 C n + C n + C n + L = 2 n −1
12、二项式展开式系数问题常用赋值法
Tr + 1 ≥ Tr + 2 13、二项式展开式系数最大值：大值： Tr + 1 ≥ Tr
10
(4)(1 + x ) + (1 + x ) 2 + (1 + x ) 3 + L + (1 + x ) 6 展开式中含 x 2 项的系数 ___ 1 24 的展开式中， (5)在（ x + 3 ) 的展开式中，常数项有 __ 项，整式项有 x __ 项，有理项有 __ 项 (6)( x 2 + x − 1)9 ( 2 x + 1) 4 的展开式中所有 x的奇次项系数之和为 _______ （7 ( x + 1) 2 ( x − 1) 5 展开式中 x 4的系数是 ____ ）
6、二项式展开式：二项式展开式：
0 1 2 n ( a + b ) n = C n a n b 0 + C n a n −1b 1 + C n a n − 2b 2 + L + C n a 0 b n

专题六第1讲排列、组合、二项式定理

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(1)若甲同学分配到 B 宿舍，且单独住一
室，则有 24－2 种方案；若甲同学分配到 B 宿舍，且不单独住一室，则有 C2 A3 4· 3种方案；故甲同学分配到 B 宿舍共有(24－2)＋C2 A3 4· 3＝50 种方案，同理，甲同学分配到 C 宿舍也有 50 种方案，则甲同学不能分配到 A 宿舍的分配方
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(4)二项式系数的性质：
n－r r r－1 r ①Cr ＝ C ， C ＋ C ＝ C n n n n n＋1.
n ＋1 2 当 n 为偶数时，中间一项即第______项的二项式系 n n＋1 n＋3 2 C 2 ， 2 数 n 最大；当 n 为奇数时，中间两项即第____________
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二、梳理基础知识
1．掌握排列数与组合数两个公式 (1)排列数公式： n！ n(n－1)…(n－m＋1) n－m！ Am n ＝___________________＝_________. (2)组合数公式：

排列、组合、二项式定理的精品教案3篇

排列、组合、二项式定理的精品教案排列、组合、二项式定理的精品教案精选3篇（一）教案主题：排列、组合、二项式定理教学目标：1. 了解和理解排列、组合的概念和特点；2. 学习排列、组合的计算公式；3. 通过实际问题应用排列、组合的知识；4. 理解和应用二项式定理。

教学准备：1. PowerPoint演示文稿；2. 排列、组合的计算示例；3. 计算器。

教学流程：一、导入（5分钟）1. 引出学生对于排列、组合的了解，以及他们对于二项式定理的了解。

2. 引出排列、组合涉及到的实际问题，如抽奖、排座位等。

二、讲解排列（15分钟）1. 讲解排列的概念：从n个元素中选取r个元素进行排列，一共有多少种不同的排列方式。

2. 讲解排列的计算公式：P(n, r) = n!/(n-r)!。

3. 讲解排列的特点：次序有关，一个元素不能重复选取。

三、讲解组合（15分钟）1. 讲解组合的概念：从n个元素中选取r个元素进行组合，一共有多少种不同的组合方式。

2. 讲解组合的计算公式：C(n, r) = n!/[(n-r)!r!]。

3. 讲解组合的特点：次序无关，一个元素不允许重复选取。

四、讲解二项式定理（15分钟）1. 讲解二项式定理的概念：将一个二项式表达式展开后的结果。

2. 讲解二项式定理的公式：(a+b)^n = C(n, 0) a^n b^0 + C(n, 1) a^n-1 b^1 + ... + C(n, n-1) a^1 b^n-1 + C(n, n) a^0 b^n。

3. 讲解二项式定理的应用：展开二项式表达式，求特定项的值。

五、练习与应用（20分钟）1. 给出一些排列、组合的计算问题，让学生自主计算并回答。

2. 提供一些实际问题，让学生应用排列、组合的知识进行解决。

六、总结与延伸（5分钟）1. 对排列、组合和二项式定理进行简要总结。

2. 探讨一些延伸问题，如多项式展开、二项式系数等。

教学反思：1. 教学内容安排合理，从概念到计算公式，再到实际应用，能够让学生逐步理解和掌握知识。