《互为反函数的函数图象间的关系》
互为反函数的函数图像之间的关系
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REPORTING
• 引言 • 互为反函数的函数图像特点 • 互为反函数的函数图像变换 • 互为反函数的函数在实际中的应用 • 结论
目RTING
WENKU DESIGN
什么是反函数
反函数：如果对于函数y=f(x)来说，其反函数存在的话，那么对于y的每一个值，x都有唯一 确定的值与之对应，那么此时y就是x的函数，我们称x为自变量，y为因变量，称f为x的反函 数。
01
互为反函数的函数图像在数学中常用于解决方程问题，例如求
解一元二次方程的根。
证明定理
02
利用互为反函数的函数图像，可以证明一些数学定理，例如函
数的单调性定理。
函数性质研究
03
通过研究互为反函数的函数图像，可以深入了解函数的性质，
例如函数的奇偶性、周期性等。
在物理领域的应用
描述物理现象
在物理学中，有些物理现象可以用互为反函数的 函数图像来表示，例如振动和波动现象。
PART 03
互为反函数的函数图像变 换
REPORTING
WENKU DESIGN
图像平移
总结词
互为反函数的函数图像在平移时具有对称性。
详细描述
当一个函数与其反函数在平面上进行平移时，它们的图像会以原点为中心对称。 例如，函数y=x^2与其反函数y=sqrt(x)在平移时，一个向左或向右移动，另一 个则以相反的方向移动，保持对称性。
反函数与机器学习的关系
在机器学习中，许多算法涉及到优化问题，而优化问题常常需要求解反函数。因此，进一步研究反函数 与机器学习之间的关系，有助于提高机器学习算法的效率和准确性。
THANKS
互为反函数图像之间的关系课件
什么样的函数存在反函数？
一一映射确定的函数
❖求反函数的一般步骤：
y= f (x)
x = f -1(y)
y= f -1(x)
注：标明反函数的定义域（即原函数 的值域）
互为反函数图像之间的关系课件
例1：求函数y=3x-2(x∈R)的反函数， 并画出原函数和它的反函数的图象。
解：由y=3x-2,
y=x²(x≥0)的反函数是
y = x(x ≥0)
互为反函数图像之间的关系课件
y=x²(x≥0) 1
y= x(x≥0) x
练习 ①画出函数y=√x(x∈[0,+∞))的图象.
好画吗? 怎样转化,用我们学过的知识来画?
先画y=x2 (x∈[0,+∞))这个我们熟悉!
y
yx
y x2
x 0 1 2 3… y 0 1 4 9…
y=x²+1(x≥0) y
y= x-1(x≥1)
o
x
y = x3 y
y=3 x
o
x
互为反函数图像之间的关系课件
y=x²+1(x≥0)
y
y=x
y= x-1(x≥1)
o
x
y = x3
y
y=x
y=3 x
o
x
互为反函数图像之间的关系课件
猜想
❖函数 y= f (x) 的图象和它的 反函数 y= f -1(x) 的图象关 于直线y=x对称
y x
x
x
0
1
4 9…
y
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
2 3…
互为反函数图像之间的关系课件
y
y=3x-2
互为反函数图像之间的关系
思考：
课堂小结
互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x对称。
课后作业 Ｐ６４－习题２.４－４、５
o
x
y = x3
y
y=x
y=3 x
o
x
猜想
函数 y= f (x) 的图象和它的 反函数 y= f -1(x) 的图象关 于直线y=x对称
证明分析：
两图象关于直线y=x对称 图象上的任意一对对应点关于直线y=x对称 直线y=x是对应点连线线段的垂直平分线 直线y=x上的任意一点到线段两端的距离相等
因此，函数y=3x-2
(x∈R)的反函数是
y= x+2(x∈R)
3
y
y=3x-2
x+2 y=
3
o
x
例2：求函数y=x²(x≥0)的反函数，并
画出原函数和它的反函数的图象
y
解：由y=x²，得
x = ± y。
由于 x≥0，故得
-1
o
x = y 。因此，函数 y=x²(x≥0)的反函数是 y= x(x ≥0)
授课者：周富红
复习回顾
什么样的函数存在反函数？
一一映射确定的函数
求反函数的一般步骤：
y= f (x)
x = f -1(y)
y= f -1(x)
注：标明反函数的定义域（即原函数 的值域）
例1：求函数y=3x-2(x∈R)的反函数， 并画出原函数和它的反函数的图象。
解：由y=3x-2,
得 x= y+2 。 3
y=x²(x≥0) y= x(x≥0)
1
x
练习 ①画出函数y=√x(x∈[0,+∞))的图象.
好画吗? 怎样转化,用我们学过的知识来画?
互为反函数的 两个函数图像间的关系
引导设问3
请画一画指数函数y 2x
的图像,并画出指数函数
和对数函数
和 ( y = (1)x 2
y = log
y
1x )
2
log
x 2
对数函数，它们的函数图像有什么关系？
y 2x的反函数是y log2 x
y
1 2
Hale Waihona Puke x 的反函数是y
log 1
2
x
有点(a,b)，那么它的反函数y=f-1(x)的图像上
必然有点(b,a)。
练习
应用 例3 函数f (x) =
ax + b (x ≥
b -)
的图象
过点（1，2），它的反函数的a 图象也过此
点， 求函数f(x)的解析式。
解： 点（1，2）关于直线y=x的对称
点为（2，1），可得函数f(x)的图象还 过（2，1）。
y
log
x 2
的图
像上吗？为什么？
引导设问5
动态演示
引导设问6
动态演示
引导设问7
由上述探究过程可以得到什么结 论？
结论
函数 y = f (x) 的图象和它的 反函数 y = f -1(x) 的图象关于 直线y=x对称。
在直角坐标系内，画出直线y=x,然后找 出下面这些点关于直线y=x的对称点，并 写出它们的坐标。
得到 2 a b，解得a=-3,b=7.
1 2a b
因此，函数的解析为 f (x) =
-3x +7(x ≥ 7)。
3
例4在同一坐标系内画出函数y （x>-3）及其反函数的图象。
互为反函数的函数图象间的关系
互为反函数的函数图象间的关系1. 引言在数学中，函数是一个关系，它将一组输入值映射到一组输出值。
互为反函数的函数是指两个函数之间存在着一种特殊的关系，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入时，两个函数所得的结果可以彼此对应，互相抵消，使得最终结果回到原先的输入。
本文将探讨互为反函数的函数图象之间的关系以及该关系的一些特点。
2. 互为反函数的定义设函数 f 和 g 为两个定义在数域 D 上的函数，如果对于任意x∈D有 g(f(x))=x和 f(g(x))=x，那么函数 f 和 g 互为反函数。
简单来说，互为反函数的函数可以互相撤销对方的操作，使得最终结果回到原先的输入。
3. 互为反函数的图象如果两个函数 f 和 g 互为反函数，那么它们的图象之间存在一些特殊的关系。
具体可以分为以下几种情况：3.1 图象对称如果函数 f 的图象关于直线 y=x 对称，则函数 g 的图象与函数 f 的图象重合。
这是因为对称性保证了将函数 f 的输出作为函数 g 的输入时，可以得到相同的结果，从而形成图象重合。
3.2 倒置关系当函数 f 的图象关于直线 y=x 倒置时，函数 g 的图象与函数 f 的图象相互倒置。
这是因为通过倒置关系，将函数 f 的输出作为函数 g 的输入时，可以得到相反的结果，从而形成图象相互倒置。
3.3 对称轴为直线 y=x如果函数 f 和 g 的图象关于直线 y=x 对称，则它们的图象在该直线上对应。
这是因为对称轴为直线 y=x 时，函数 f 和 g 可以互相抵消对方的操作，使得最终结果回到原先的输入，并保持图象在该直线上的对应关系。
4. 互为反函数的例子4.1 幂函数与对数函数幂函数和对数函数是互为反函数的经典例子。
定义在正实数集合上的幂函数f(x) = a^x 和对数函数 g(x) = loga(x) 具有以下关系：f(g(x)) = loga(a^x) = x，g(f(x)) = loga(a^x) = x。
高中数学 互为反函数的两个函数图象之间的关系
课件5 互为反函数的两个函数图象之间的关系课件编号： AB Ⅰ-2-2-3.课件名称：互为反函数的两个函数图象之间的关系.课件运行环境：几何画板4.0以上版本.课件主要功能：利用几何画板绘制函数图象的功能，动态演示互为反函数的两个图象之间的关系，配合教科书“探究与发现 互为反函数的两个图象之间的关系”的教学．问题1课件制作过程：（1）新建画板窗口．单击【Graph 】（图表）菜单中的【Define CoordinateSystem 】（建立直角坐标系），建立直角坐标系．选中原点，按Ctrl ＋K ，给原点加注标签A ，并用【文本】工具把标签改为O ．（2）单击【Graph 】菜单的【Plot New Function 】（绘制函数图象），弹出“New Function ”函数式编辑器，编辑函数f （x ）＝x 2，单击【OK 】后画出函数f （x ）＝x 2的图象．同法编辑函数2ln ln x ，画出g （x ）=2ln ln x 的图象（即x x g 2log )(=）．选中所有函数图象，单击【Display 】（显示）菜单、单击【Line Width 】（线型）中的【Thick 】（粗线），把上述图象都设置成粗线．（3）选中函数f （x ）＝x 2的图象，单击【Display 】菜单【Color 】（颜色），把该图象的颜色设置成红色．同样把函数x x g 2log )(=的图象设置成蓝色．（4）单击【Graph 】菜单的【Plot Points 】（绘制点），绘制点（1，1）．选中该点与原点单击【Construct 】（构造）菜单中的【Line 】（直线），把这点与原点用直线连结起来，并把直线设置成粗线．（5）用【文本】工具编辑文本f （x ）=2x ，x x g 2log )(=，y ＝x （图1）．课件使用说明：让学生观察上述图象，发现它们的对称关系．问题2课件制作过程：（1）单击【File 】（文件）菜单的【Document Options 】（文档选项），弹出“Document Options ”对话框．把页面1的名称改为“看图象”．单击【Add Page 】（增加页）选项卡，单击【Duplicate 】（复制页面）、【看图象】，将这页面的名称改为“对称点”．（2）单击【Graph 】菜单中的【Plot Points 】（绘制点），如图2所示，弹出“Plot Points ”对话框，绘制固定点P 1（－1，0.5），P 2（0，1），P 3（1，2）.图1 图2（3）双击直线y ＝x ，将直线y ＝x 标记镜面，同时选中P 1，P 2，P 3，单击【Transform 】（变换）菜单的【Reflect 】（反射），屏幕上出现它们的对称点P 1'，P 2'，P 3'．（4）同时选中P 1，P 2，P 3，单击【Measure 】（度量）菜单的【Coordinates 】（坐标），屏幕上出现点P 1，P 2，P 3的坐标；同时选中P 1'，P 2'，P 3'单击【Measure 】菜单的【Coordinates 】，屏幕上出现P 1'，P 2'，P 3'的坐标．课件使用说明：先让学生观察点P 1'，P 2'，P 3'是否落在函数x y 2log =的图象上；再利用测量出来的点的坐标验证点P 1'，P 2'，P 3'均落在函数x y 2log =的图象上．问题3课件制作过程：（1）选中函数f （x ）＝2x 的图象，单击【Construct 】（构造）菜单的【PointOn Function Plot 】（对象上的点），用文本工具给点标签为P 0，再用【选择】工具选中点P 0，单击【Measure 】（度量）菜单的【Coordinates 】（坐标），屏幕上出现点P 0的坐标．（2）同上作法画出点P 0关于直线y ＝x 的对称点P 0'，并度量出它的坐标．（3）单击【Edit 】（编辑）菜单的【Action Buttons 】（操作类按钮） 中的【Animation 】（动画），屏幕上出现操作类按钮【Animation Point 】（运动点），选择文本工具将按钮名称【Animation Point 】改为【运动点P 0】，如（图3）所示．图3课件使用说明：1．单击按钮，则点P 0与P 0/同时在各自的曲线上运动或停止．学生可以清楚得看到P 0'始终落在函数x y 2log =的图象上．2．可以先将函数x y 2log =的图象隐藏，将P 0'点设置追踪点（单击【Display 】菜单中的【Trace 】（追踪点）．当点P 0/随点P 0的运动而运动时会留下痕迹；再显示x y 2log =的图象，发现点P 0/的痕迹与x y 2log =的图象重合．3．或同时选中P 0与P 0'，单击【Construct 】（构造）菜单中的【Locus 】（轨迹），立刻得到点P 0'的轨迹与x y 2log =的图象重合．问题4由上述探究过程都可以得到以下结论：函数x y 2=及其反函数x y 2log =的图象关于直线y ＝x 对称．（问题2、3、4详见页面2——“对称点”）问题5（页面3——“a 变化”）课件制作过程：（1）单击【File 】（文件）菜单的【Document Options 】（文档选项）对话框，单击【Add Page 】（增加页），单击【Blank Page 】（空白页），将此页面命名为“a 变化”．（2）单击【Graph 】菜单中的【Define Coordinate System 】（定义坐标系），屏幕上出现一个平面直角坐标系，用【画线段】工具画一条过原点和（15，0）点的线段，用【选择】工具选择线段，单击【Construct 】（构造）菜单中的【Point On Function Plot 】（对象上的点），在线段上出现一个点，点的标签为A ，用【选择】工具单击【Measure 】（度量）菜单的【Abscissa 】（横坐标），屏幕上出现x A =3.36,用【文本】工具将x A 改为a ．（3）单击【Graph 】菜单中的【Plot New Function 】（绘制新函数），在“新建函数”对话框内依次单击a ，^，x ，其中^，x 在函数编辑器上，a 在屏幕上，单击【OK 】（确定）后立即出现函数x a y =的图象，把上述图象设置成粗线，并选择一种颜色．（选中曲线，单击【显示】菜单中的【线型】中的粗线．）（4）单击【Graph 】菜单中的【Plot New Function 】（绘制新函数），在“新建函数”对话框内依次单击ln ，（，x ，），/，ln ，（， a ，），ln 在函数编辑器的函数选择菜单上，a 在屏幕上，其他在函数编辑器上，单击【OK 】（确定）立即出现函数x y a log =的图象．把上述图象设置成粗线，并选择一种颜色．（选中曲线，单击【显示】菜单中的【线型】中的粗线．）（5）用【选择】工具选中点A ，单击【Edit 】（编辑）菜单的【Action Buttons 】（操作类按钮） 中的【Animation 】（动画），屏幕上出现操作类按钮【Animation Point 】（运动点），用【文本】工具将按钮名称【Animation Point 】改为【改变底数a 】，选中线段端点A ，单击【Display 】（显示）中的【Hide Objects 】（隐藏），隐藏线段及点A ．单击按钮，两个函数图象随a 的变动而跟着变动．再画直线y ＝x ，让学生观察上述图象，发现它们的对称关系．（6）任取f （x ）= a x 图象上的一个点P ，度量出P 的横坐标和纵坐标B B y x ,，再依次点击B B x y ,，单击【Graph 】菜单中的【Plot Points 】（绘制点），即绘制点P 关于y ＝x 的对称点 P ''，单击【Display 】菜单中的【Trace 】（追踪点），可以发现点P /的轨迹与x a y =的反函数x y a log =的图象重合．画出过点P 与点P /的线段，单击【Construct 】（构造）菜单中的【Midpoint 】（线段的中点），用【文本】工具将将中点的标签记为点M ，单击【Construct 】（构造）菜单中的【Locus 】（轨迹），当P 运动时，发现M 在直线x y =上运动，如（图4）所示．图4课件使用说明：1．单击【运动点P 】，让学生观察，点P 与点P '的坐标的变化情况，从而进一步验证了上述结论对于（a >0，a ≠1）的情况下仍然成立．2．上述作图过程一般是随堂进行，若事先作好上课时直接应用，则可以制作一些隐藏与显示按钮（具体见课件）．。
互为反函数的两个函数图像间的关系
2.如果一次函数
y
ax
1
3与
y
4x
b
的图象关于直
线 y x对称,则 a 4 ,b 12 .
3.方程 x lg x 3 和 x 10x 3 的根分别为、 , 则 α+β 为 3 .
（八）课时小结人教A版必修1第二 基本初等函数（Ⅰ） 探究与发现
互为反函数的两个函数图象 之间的关系
复习回顾 下列函数互为反函数的是：
1y x 2与y x 2
1
2y x3与y x 3
3y x2与y x
4y log 2 x与y 2x
（一）观察实例
问题1. 在同一平面直角坐标系(横、纵轴长度单位一致)
问题5. 上述结论对于指数函数 y a x a 0,且a 1
及其反函数 y log a xa 0,且a 1 也成立吗？
（六）升华提高
⇒ 两个函数互为反函数 图象关于直线 y x 对称
⇔
⇔ 两个函数互为反函数 图象关于直线 y x 对称
（七）跟踪练习
1.设点a,b 在函数 y f x的图象上,则点 b, a 一
设 P0关于直线 y x的对称点为P0 ' ，则：P0 '( y0 , x0 )
y0 2x0 log 2 y0 x0 所以：P0 关于直线 y x的对称点在函数 y log 2 x
的图象上。
y = 2x 图象上任意一点关于直线 y x
的对称点都在y log2 x 的图象上 .
它们在 y log2 x的图象上吗？为什么？
P1
互为反函数的两个函数图像之间的关系
互为反函数的两个函数图象之间的关系我们先来看两个函数：指数函数y 2 x与对数函数y log 2 x .我们知道对数来源于指数，即指数与对数两者之间可以进行相互转换。
指数函数 y 2 x，若将之转化为用y 来表示 x 即：x log 2y ，将其中y作为自变量，x作为R 中与之对应的唯一的值，我们就可以把函数xlog2y（y(0,)）叫做指数函数y 2x x log y（ y (0,)）y log x（ x (0, )）的反函数，习惯上我们把函数22，记作，即底数同为 2 的指数函数与对数函数互为反函数。
根据指数与对数的性质，我们也可以知道所有同底的指数函数与对数函数均互为反函数，即指数函数y a x (a0, a1) 与对数函数y log a x (a0, a1) 互为反函数。
通常我们将原函数记作y f ( x)，反函数记作y f1(x)。
因为原函数与反函数本质是将x 与 y 互换，所以我们就可以得到：原函数的定义域就是它的反函数的值域，原函数的值域就是它的反函数的定义域。
现在请你应用所学的数学知识，通过下面几个问题来探究一下互为反函数的两个函数图象之间的关系，让我们亲自来发现其中的奥秘吧！问题 1 在同一平面直角坐标系（横、纵轴长度单位一致）中，画出指数函数y 2 x及其反函数 y log 2 x 的图象，你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗？问题 2 取y 2x图象上的几个点，如P1( 1,1), P2 (0,1), P3. (1,2).P1, P2 , P3关于直线y x 的2对称点的坐标是什么？它们在的图象上吗？为什么？问题 3 如果点P（x, y ）x的图象上，那么P（ x , y ）x 的对称点000在函数y 20 0 0 关于直线y在函数 y log 2 x 的图象上吗？为什么？问题 4 由上述探究过程可以得到什么结论？问题 5 上述结论对于指数函数y a x (a 0, a 1) 及其反函数 y log a x (a0, a 1) 也成立吗？为什么？通过上面的问题的探究我们可以知道互为反函数的两个函数，函数 y f ( x) 图象上的点关 于 yx 的 对称 点 一 定 是 在 yf 1 (x) 有 图 象 上 ，并 且 函 数 y f ( x) 图象 与 反 函 数yf 1 (x) 的图象关于 y x 对称 .例 1 求下列函数的反函数（ 1） yx1( x1)2x 1（ 2） y3x 解：（ 1）由 yx 1 解出 x ( y1) 2 又写成： y (x 1) 2函数 yx 1( x 1)的值域为 [ 0, )所求的反函数为 y ( x 1)2( x[ 0, )) .注意：如果不注明反函数定义域，得出y ( x1)2 是错误的 .（ 2 ） 由 y2x 1（ x 3） y 2 x 1x( y 2) 3 y 1 x3 y 1 ，改写成x3y 2y3x 1即为所求 .x 2说明：一般地，求分式函数 yaxb(c 0, ad bc) 的反函数时，直接解出 x f 1 ( y) ，cx d再改写成 y f 1 (x) 即可 .因为使所求出的解析式有意义的x 的范围，已知函数的值域 .例 2 已知函数 yax b( xb) 的图象过点 (1， 2)，它的反函数图象也过此点，求函a数 f ( x) 的解析式 .解法一：由 yaxb 得 x y 2 ba∴当 xb时， ya∴函数 yax b (xb) 的反函数是 f1( x) x2b( x 0)aa又∵点 (1，2)既在函数 f (x) 上，也在函数f1( x ) 上2a b∴有1 b 解得： a 3, b 72a∴函数 f (x) ＝ 3x7(x7 )3解法二：由互为反函数的两个函数图象间的关系以及点(1，2)关于直线 y x 的对点为 (2，1)，可以得到函数 f ( x) 的图象还过点 (2， 1)∴得到2 a b1 2 ab解得： a3, b7∴函数 f (x) ＝3x 7 (x7 )3巩固练习：1．函数 yx 2 2 x( x 0) 的反函数的定义域是（）A 、, 0B 、 0,1C 、,1 D 、[0,)2．设 f ( x)2 x 1 ( x R,x 3),则 f 1( 2) 的值等于（）4x 34A 、5 B 、2C 、2D 、5655113．设 a 0, a 1 ，函数 ylog a x 的反函数和 y log 1 x 的反函数的图象关于（）a[ 来源 :][ 来源 :]( A) x 轴对称(B) y 轴对称(C ) y x 轴对称(D ) 原点对称4．点 (a, b) 在 yf ( x)的图象上，则下列的点在其反函数图象上的是（）A. P(a, f1(a )) B. P( f1(b), b)C. P( f1(a), a)D. P(b, f 1(b))5．已知 函数 f (x) ( 1) x1 ，则 f 1( x) 的图象只可能是（）y2yyyxx1 x 2xO 11O2O1 O( A)( B)(C )( D )6．设 f ( x)x21(0x 1)，则 f 1 ( 5 )．2x ( 1 x0)47．若 y ax 6 与 y 1 x b 的图象关于直线y x对称，且点(b, a)在指数函数 f (x) 的图象3上，则 f ( x)．x1x R,且 x 18．给定实数 a，a≠0，且 a≠1，设函数y1．试证明：这个函数ax a 的图象关于直线y=x成轴对称图形．参考答案：1． A ，2． A ， 3． B， 4． D， 5．C，6．1． 7． f (x)( 3 ) x．28．证明：先求所给函数的反函数:由yx1ax1( x R, x1 ),a得y(ax－1)=x－1，即 (ay－ 1)x=y－ 1．假如 ay 10,则 y 1,代入所给函数的解析式, 得1x1 a a ax1即 ax－ a=ax－ 1，由此得 a=1，与已知矛盾，所以ay－ 1≠ 0．因此得到xy 1,其中 y1 , ay1a这表明函数 yx 1 ( x R,且 x 1)的反函数是ax 1ayx 1,( x R,且 x 1).ax1a由于函数 y=f(x) 的图象和它的反函数 y=f － 1(x) 的图象关于直线 y=x 对称，所以函数yx 1 R, 且 x1ax(x ) 的图象关于直线 y=x 成轴对称图形 .1a。
小学数学课件互为反函数的函数图象间的的关系-13页PPT资料
M(a,b), 则
y x2 3
y=f-1(x)过
x M´(b,a).
小结
1、不是所有的函数都有反函数，只有 一一映射构成的函数才有反函数.
2、原函数和反函数的关系
原函数和其反函数的图象关于 直线y=x对称，
若两个函数的图象关于直线y=x 对称，则它们互为反函数.
谢谢
定 理:
反函数的定义域是原 函数的值域.
例 .已 知 函 数 （ f x） x2（ 1x2）
求 出 f （ 14） 的 值 。
解：x2令 14，解之x得 5： 又x2， x 5.
例 .若 函 数 f ( x ) = 3 2 x x + - 1 1,f-1 (7 3 ) 的 值 为 多 少 ?
y=3x-2
yx
∴x= y 2
y
3
∴函数y=3x-2(x∈R)
的反函数为
1
y x2 3
y= x 2
x∈R3
-2 -1 -1 1 -2
x
例3.求函数y=x3(x∈R)的反函数，并画
出原来的函数和它的反函数的图象.
解：yx3x3 y
y
y3 x(xR)
1
y x3 yx y3 x
反函数与原函数的 三要素之间的关系
求反函数的方法步骤：
1. 求原函数的值域；即求出反函数的 定义域；
2. 由 y = f ( x ) 反解出 x = f －1 ( y )； 即把 x 用 y 表 示出来；
3. 将 x = f －1 ( y ) 改写成 y = f －1 ( x )，并写出反函数的 定义 域; 即对调 x = f －1 ( y ) 中的 x、y.
例 .求 函 数y=3x+2的 值 域 . x-2
互为反函数的函数图象间的关系一(PPT课件)
生：函数y=f(x)的定义域是它的反函数y=f-1(x)的值域； 函数y=f(x)的值域是它的反函数y=f-1(x)的定义域． 师：(2)已知函数y=f(x)存在反函数，如何求它的反函数？ 生：求反函数的步骤是由y=f(x)解出x=f-1(y)，然后x、y 互换，得到反函数y=f-1(x)． 师：很好，请大家根据反函数的有关知识，求下列各函 数的反函数，并在同一个直角坐标系中，分别作出互为 反函数的两个函数的图象． 例1 (1)y=2x-1(x∈R)； (2)y=x3(x∈R)； (3)y=x2(x≤0)．
证明：设M(a、b)是y=f(x)的图象上的任意一点，那么x=a 时，f(x)有唯一的值f(a)=b，∵y=f(x)有反函数y=f-1(x)， ∴x=b时，f-1(x)有唯一的值f-1(b)＝a，即点M'(b，a)在反 函数y=f-1(x)的图象上． 如果a=b，那么M(a，b)，M'(b，a)是直线y=x上的同一个 点，因此它们关于直线y=x对称．
§1．12互为反函数的函数图象间的关系
一、素质教育目标 (一)知识教学点 1．互为反函数的两个函数图象间的关系． 2．证明两个函数图象关于已知直线对称的方法． 3．加深理解函数和反函数的概念． (二)能力训练点 1．掌握互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称的关 系． 2．学会证明两个函数图象关于已知直线对称的方法． 3．通过定理的教学，培养学生观察比较、归纳猜想、数形结 合等能力． (三)德育渗透点 1．渗透“由特殊到一般”的辩证思想． 2．培养学生化归的思想方法． 3．培养学生勇于探索、大胆猜想、严谨论证的良好思维习 惯．
代数(上)P．65中练习2、3；P．66中7． 补充：已知直线l1和l2的夹角平分线为y=x，如果l1的方 程为ax+by+c=0(ab＞0)，求l2的方程．
高中数学必修一《互为反函数的函数图像间的关系》PPT
引导设问 1
你们看到大多数是关于X轴和Y轴 对称的图形，那在数学中有没有关 于直线y=x对称的函数图像呢？
引导设问2
指数函数与对数函数互为 什么函数？函数又是如何得到 它的反函数的呢？
引导设问3
那么这种互为反函数的函数图像 间是什么关系呢？
如果函数y=f(x)在其定义域内存在反函 数,那么它们关于 y=x 对称。
引导设问9
动态演示
如果函数y=f(x)在其定义域内存在反函 数,那么它们关于 y=x 对称。
释意：
一般地，如果点(a,b)在函数y=f(x)的图像 上，那么点(b,a)必然在它的反函数y=f-1(x)的 图像上。换言之，如果函数y=f(x)的图像上有 点(a,b)，那么它的反函数y=f-1(x)的图像上必 然有点(b,a)。
f (1) 2, f (2) 1
即 a b 2a b
12定义域内存在反函 数,那么它们关于 y=x 对称。
释意：
一般地，如果点(a,b)在函数y=f(x)的图像 上，那么点(b,a)必然在它的反函数y=f-1(x)的 图像上。换言之，如果函数y=f(x)的图像上有 点(a,b)，那么它的反函数y=f-1(x)的图像上必 然有点(b,a)。
探究与发现
互为反函数的函数图像间的关系
重庆市青木关中学 兰长侨
引导设问4
请画一画指数函数 y 2x 和对数
函数
y
log
x 2
的图像，它们的函
数图像有什么关系？
动态演示
引导设问5
请大家讨论一下如何证明：指数函
数
y
2x
和对数函数
y
log
x 2
互为反函数的函数图象间的关系课件
如果函数y=f(x)与其反函数 y=f^(-1)(x)的图象关于直线y=x 对称，则称函数y=f(x)与其反函 数y=f^(-1)(x)互为反函数。
反函数的性质
01
02
03
单值性
对于任意一个自变量x， 反函数f^(-1)(x)只有一个 因变量y与之对应。
对应性
对于任意一个因变量y， 反函数f^(-1)(x)只有一个 自变量x与之对应。
交换性
如果函数y=f(x)与其反函 数y=f^(-1)(x)的图象关于 直线y=x对称，则它们的 定义域和值域互换。
反函数的求法
代数法
通过解方程组来求反函数。首先将原 函数表示为x的函数，然后解出x，得 到反函数的解析式。
几何法
通过观察原函数的图象来求反函数的 图象。首先找到原函数的值域和定义 域，然后通过平移和对称变换得到反 函数的图象。
理解值域与定义域的互换是理解反函数的关键
掌握这一性质有助于理解反函数的定义和性质，以及如何从已知函数求得其反函数。
函数图象的交点
互为反函数的函数图象交点关于直线y=x对称
如果两个互为反函数的函数图象在某点$(a,b)$相交，那么它们必然关于直线y=x对称地 交于另一点$(b,a)$。这是因为互为反函数的两个函数满足$f(x)=y$和$f^{-1}(y)=x$，
当它们在$(a,b)$相交时，必然也在$(b,a)$相交。
交点的对称性是判断两个函数是否互为反数的重要依据
如果两个函数的图象没有交点或者交点不关于直线y=x对称，那么它们就不可能互为反 函数。
04
反函数的应用
在数学中的应用
函数性质研究
01
通过研究反函数的性质，可以深入了解原函数的性质，如单调
互为反函数图像之间的关系
复习回顾
什么样的函数存在反函数？
一一映射确定的函数
求反函数的一般步骤：
y= f (x)
x = f -1(y)
y= f -1(x)
注：标明反函数的定义域（即原函数 的值域）
例1：求函数y=3x-2(x∈R)的反函数， 并画出原函数和它的反函数的图象。
解：由y=3x-2,
得 x= y+2 。 3
y=x²(x≥0) y= x(x≥0)
1
x
练习 ①画出函数y=√x(x∈[0,+∞))的图象.
好画吗? 怎样转化,用我们学过的知识来画?
先画y=x2 (x∈[0,+∞))这个我们熟悉!
y
yx y x2
x 0 1 2 3… y 0 1 4 9…
y
0
1
2 3…
y
y=3x-2
o
x+2 y=
3 x
y
y=x²(x≥0)
y= x(x ≥0)
-1 o 1
x
y
y=3x-2
o
y=x x+2
y= 3
x
y
y=x²(x≥0)
y=x
y= x(x ≥0)
-1 o 1
x
y=x²+1(x≥0) y
y= x-1(x≥1)
o
x
y = x3
y
y=3 x
o
x
y=x²+1(x≥0)
y
y=x
y= x-1(x≥1)
因此，函数y=3x-2
(x∈R)的反函数是
y= x+2(x∈R)
3
y
y=3x-2
x+2 y=
人教版高中数学必修一《互为反函数的两个函数图像之间的关系》
y＝loga(－x)的图象只能是图中的（
B
）
3.已知函数f(x)＝ax－k的图象过点(1，3)， 其反函数的图象过点(2，0)，则f(x)的表达 式为：
f ( x) 2 1
x
课堂小结：
（1）反函数的定义域和值域分别是原 函数的值域和定义域.
（2）图象关于直线
y x 对称.即点
(a,b)在原函数图象上，则点(b,a)必在其
探究活动一：画一画
（1）在同一直角坐标系中，画出指数函数 y 2 及其反函数y log 2 x 的图象. （2）观察函数 y 2x 的图象与函数 y log2 x 的图象之间的关系.
x
y
y 2 y x?
x
y log2 x
0
x
猜测结果：
函数 y 2 的图象与函数 y log2 x 的图
x
像可能关于直线 y x 对称.
探究活动二：算一算
1 （1）取 y 2 图象上的几个点，如 P 1 ( 1, ) , 2 y x 的对 P2 (0,1) , P3 (1, 2) , P 1, P 2, P 3 关于直线
x
称点的坐标分别是什么？
（2）算一算，这些对称点的坐标满足函数
y log2 x 的解析式吗？
反函数图象上，反之也成立.
（3）原函数与反函数具有相同的单调性.
积跬步以致千里，积怠惰以致深渊
1.01
365 365
37.8 0.03
0.99
多百分之一的努力，得千分收成
1.01 1.02
365 365
37.8 1377.4
三天打鱼，两天晒网，终将一无所获
1.01 0.99 1.01
互为反函数图像之间的关系
o
x
y = x3
y
y=x
y=3 x
o
x
猜想
函数 y= f (x) 的图象和它的 反函数 y= f -1(x) 的图象关 于直线y=x对称
证明分析：
两图象关于直线y=x对称 图象上的任意一对对应点关于直线y=x对称 直线y=x是对应点连线线段的垂直平分线 直线y=x上的任意一点到线段两端的距离相等
y=x²(x≥0) y= x(x≥0)
1
x
练习 ①画出函数y=√x(x∈[0,+∞))的图象.
好画吗? 怎样转化,用我们学过的知识来画?
先画y=x2 (x∈[0,+∞))这个我们熟悉!
y
yx y x2
x 0 1 2 3… y 0 1 4 9…
y x
x
x
0
1
4 9…
y
0
1
2 3…
y
y=3x-2
授课者：周富红
复习回顾
什么样的函数存在反函数？
一一映射确定的函数
求反函数的一般步骤：
y= f (x)
x = f -1(y)
y= f -1(x)
注：标明反函数的定义域（即原函数 的值域）
例1：求函数y=3x-2(x∈R)的反函数， 并画出原函数和它的反函数的图象。
解：由y=3x-2,
得 x= y+2 。 3
因此，函数y=3x-2
(x∈R)的反函数是
y= x+2(x∈R)
3
y
y=3x-2
x+2 y=
3
o
x
例2：求函数y=x²(x≥0)的反函数，并
画出原函数和它的反函数的图象
高中数学必修一《互为反函数的两个函数图像之间的关系》优秀教学设计
互为反函数的两个函数图像之间的关系一、教材分析：本节课是《数学（1）》（人教A 版）第二章第二节后探究与发现内容，这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，可以让学生接受、理解反函数的概念，体会互为反函数的两个函数图像之间的关系，又可使学生加深对函数基本概念的理解。
二、学情分析：学生已经学习了函数的基本概念和表示法，掌握了函数的基本知识，理解反函数的概念及互为反函数的两个函数的性质和特征，更有助于学生将函数的思想理解得更透彻。
通过探究指数函数与对数函数的关系,归纳出互为反函数的概念,通过指数函数图象与对数函数图象的关系,总结出互为反函数的图象间的关系,体会从特殊到一般的思维过程.三、教学目标分析：知识与技能：（1）了解互为反函数的函数图像间的关系，并能利用这一关系，由已知函数的图像作出反函数的图像。
（2）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。
过程与方法：由特殊事例出发，由教师引导，学生主动探索得出互为反函数的函数图像间的关系，使学生探索知识的形成过程，本可采用自主探索，引导发现，直观演示等教学方法，同时渗透数形结合思想。
（3）情感态度价值观：通过图像的对称变换是学生该授数学的对称美和谐美，激发学生的学习兴趣。
四、教学重点与难点教学重点：互为反函数的两个函数图像之间的关系教学难点：反函数的定义和求法.五、教学过程设计（一）创设情景、提出问题设a 为大于0且不为1的常数,对于等式a t ＝s ,若以t 为自变量可得指数函数x y a =，若以s 为自变量可得对数函数log a y x =那么指数函数与对数函数有怎样的关系呢？这就是本节我们要探究的主要问题.（二）师生互动、探究新知探究点一指数函数与对数函数的关系为了探究这两个函数之间的关系,我们用列表法画出函数2x y =及2log y x =的图象.问题1：函数2x y =及2log y x =的定义域和值域分别是什么,它们的定义域和值域有怎样的关系？答：函数2x y =的定义域为R,值域为(0,＋∞);函数2log y x =的定义域为(0,＋∞),值域为R.函数2x y =的定义域和值域分别是函数2log y x =的值域和定义域.问题2 ：取函数2x y =的图象上的几个点，如：1231(1,),(0,1),(1,2),2P P P -123,,,P P P 关于直线y x =的对称点坐标是什么？它们在函数2log y x =的图像上吗？为什么？答：123,,,P P P 关于直线y x =的对称点坐标分别为'''1231(,1),(1,0),(2,1),2P P P -每个点坐标满足2log y x =，它们在函数2log y x =的图像上问题3 ： 如果点000(,)P x y 在2x y =的图象上，那么000(,)P x y 关于直线y x =的对称点坐标是什么？它在函数2log y x =的图像上吗？为什么？答：利用对称性可知000(,)P x y 关于直线y x =的对称点坐标分别为'000(,)P y x ，因为002x y =，所以020log x y =，即点'000(,)P y x 在函数2log y x =的图像上。
高一数学互为反函数的函数图象间的关系1
练习：①画出函数y=√x(x∈[0,+∞))的图象. 好画吗? 怎样转化,用我们学过的知识来画?
先画y=x2 (x∈[0,+∞))这个我们熟悉!
y
yx
yx
2
x y
0 0
1 1
2 4
3 … 9 …
y x
x
x y
0 0
1 1
4 2
9 … 3 …
3 例2、 已知函数f ( x) 1 2 x 3 ( x )有反函数， 且点(a, b) 2 在原函数图象上， 也在反函数图象上， 求a, b的值.
y=x
● Q(4,2)
x
1、阅读课本，完成P63页第5题：（教材原题如下）
• （1）在直角坐标系内，画出直线y＝x，然后找出下 面这些点关于直线y＝x对称的点，并且写出它们的 坐标（不必说明理由）：
A（2，3），B（I，0），C（－2，－I），D（0，－l） A1（ ）， B1（ ）， C1（ ），D1（ ）．
2、调（x, y）
3、注定（定义域）
2、函数y=2x2-3(x∈R)有没有反函数？ 为什么？ 如何改写定义域才能使其有反函数？
解: 没有; 因为它不是一一映射构成的函数； 把定义域改写为 (-∞,0]、[0,+∞)时它有 反函数.
二、探索研究
y 4 3 2 1 B -1 0 -1 1 2 3 4 A ●P(2,4) O’
0
2 3
-2
-1
-1 -2
1
x
注意
函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图 象关于直线y=x对称。 注: 这一结论是在坐标系中横轴为X轴，纵轴为 y轴，而且横轴和纵轴的长度单位一致的前提下 得出的． 函数 y＝ f（ x）的图象和它的反函数y＝ f-1（ x） 的图象关于直线 y＝ x对称， 而不是函数y＝f（x ）与x＝f﹣1（y）的图象关于 直线y=x对称．
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课题：互为反函数的函数图像间的关系
教学过程设计
创设情景，引入新课
1、复习提问反函数的概念。
〇学生活动学生回答，教师总结（1）用y表示x（2）把y当自变量还是函数
提出问题，探究问题
一、画出y=3x-2)
(R
x∈的图像，并求出反函数。
●引导设问1原函数中的自变量与函数值和反函数中的自变量函数值什么关系？
〇学生活动学生很容易回答
原函数y =3x-2中反函数3
2
+
=
y
x
中
y:函数x：自变量 x:函数y：自变量
●引导设问2在原函数定义域内任给定一个x0都有唯一的一个y0与之对应，即
()y
x
,在原函数图像上，那么哪一点在反函数图像上？
〇学因为y0=3x0-2成立，所以3
2
+
=
y
x成立即(y
,x0)在反函数图像上。
●引导设问3若连结BG，则BG与y=x什么关系？点B与点G什么关系？为什么？点B再换一个位置
行吗？
〇学生活动学生根据图形很容易得出y=x垂直平分BG，点B与点G关于y=x对称。
学生证法可能有OB=OG,BD=GD等。
▲教师引导教师用几何花板，就上面的问题追随学生的思路演示当()y
x
,在y =3 x-2图像变化时(y0,x0)也随之变化但始终有两点关于y=x对称。
●引导设问4若不求反函数，你能画出y=3x-2)
(R
x∈的反函数的图像吗？怎么画？
〇学生活动有了前面的铺垫学生很容易想到只要找出点G的两个位置便可以画出反函数的图像。
●引导设问5上题中原函数与反函数的图像，这两条直线什么关系？
〇学生活动由前面容易得出（关于y=x对称）
●引导设问6若把l/当作原函数的图像，那么它的反函数图像是谁？
〇学生活动由图中可以看出l
l /
,
关于y=x 相互对称所以他的反函数图像应是l ，另外由上节课原函数与
反函数互为反函数也可得。
●引导设问7以上是一个特殊的函数，图像为直线，若对一个一般的函数图像你能根据上题的原理画出反函数的图像吗？如图是x y 3
=
的图像，请你猜想出它的反函数图像。
〇学生活动由上题学生不难得出做y=x 的对称图像（教师配合动画演示）
●引导设问8通过上面的两个问题我们可以得出原函数图像与反函数图像有什么关系？
▲ 学生总结，教师补充 结论（1）一个函数若存在反函数则原函数和反函数的图像关于y=x 这条直线
对称。
（2）一个函数若存在反函数则这两个函数许违反寒暑，若把其中一个图像当作原函数图像则
另一个图象便是反函数图像。
习题精炼，深化概念
●引导设问9根据图像判断函数x
y 2
=有没有反函数？为什么？对自变量加上什么条件才能有反函
数？
〇学生活动学生从图中可以发现在原函数中可以有两个不等的自变量
x x 2
1
,与同一个y 相对应，当
我们用y 表示x 后，对一个y 会有两个x 与之对应，所以应加上自变量的范围，使得原函数是从定义
〇学生活动由上面结论很容易做出通过图形的样式使学生进一步认识到原函数的定义域值域是反函数的值域定义域。
总结反思，纳入系统： 内容总结：
1、
()y x 0
,在原函数图像上，那么(y 0
,x 0
)在反函数图像上。
2、()y x 00
,与(y 0
,x 0
)关于y=x 对称。
3、原函数和反函数的图像关于y=x 这条直线对称。
思想总结：
由特殊到一般的思想，数形结合的思想 布置作业，承上启下
数图像得出一般结论的。
我认为这样处理虽然可以使学生得出并记住这个结论，但学生对这个结论理解并不深刻。
这样处理也不利于培养学生严密的数学思维。
而我对这节课的处理是在不增加教材难度
的情况下（不严密证明）利用
()y x 0
,在原函数图像上，那么(y 0
,x 0
)在反函数图像上这一性质，从
图形上充分研究()y x 00
,与(y 0
,x 0
)的关系。
经讨论研究可得出结论“()y x 00
,与(y 0
,x 0
)关于y=x
对称”。
进而通过任意点的对称得出原函数和反函数的图像关于y=x 这条直线对称，另外利用任意点来研究图像也是以后数学中经常用到的方法。
具体操作大致如下：首先请学生画出y=3x-2)(R x ∈的图像，并求出反函数，然后提出问题1：原函数中的自变量与函数值和反函数中的自变量函数值什么关系？学生很容易得出原函数与反函数中的自变量，函数值正好对调即：原函数y =3x-2中 y:函数x ：
自变量，反函数32
+=y x 中x:函数y ：自变量。
问题2：在原函数定义域内任给定一个x
都有
唯一的一个
y
与之对应，即
()y x 0
,在原函数图像上，那么哪一点在反函数图像上？对于这个问题有了
上题的铺垫，学生不难得出(
y 0
,x 0
)在反函数图像上。
问题3：若连结B ()y x 0
,，G(y 0
,x 0
)，则
BG 与y=x 什么关系？点B 与点G 什么关系？为什么？点B 再换一个位置行吗？对于这个问题的设计重
在帮助学生理解()y x 0
,与(y 0
,x 0
)为什么关于y=x 对称，突出本课重点和难点。
其它环节具体见教
案。