指数导学案
《指数函数的概念 》导学案
任务一： 阅读课本111页—113页的内容，回答下列问题探究指数函数的定义问题1： 阅读课本，第111页至112页，分析A 、B 两地景区游客人次y 与年份x 的变化规律。
A 地景区的游客人次近似______，______（填“年增长量”或“年增长率”）是一个常数；B 地景区的游客人次是非线性增长，________ （填“年增长量”或“年增长率”）越来越大，但其__________（填“年增长量”或“年增长率”）都约0.11，是一个常数。
问题2：阅读课本，第111页至112页，分析A 、B 两地景区游客人次y 与年份x 的对应关系。
A 地景区的游客人次年增长量相等，故游客人次自2001年后增加量记为y ，则y 与年份x 的对应关系可表示为_________________________，是一个 函数。
B 地景区的游客人次年增长率相等，故游客人次为2001年的倍数记为y ，则y 与年份x 的对应关系可表示为__________________________，是一个函数，其中指数x 是自变量。
问题3：阅读课本，第113页，可知，生物体内碳14含量y 与死亡年数x 的对应关系可表示为__________________________，是一个函数，其中 （填“指数”、“底数”或“幂”）x 是自变量。
如用字母a 代替函数 1.11(0)x y x =≥中的常数1.11与函数y =[(12)15730]x （0x ≥）中的常数(12)15730，以上两个函数的解析式都可以表示为 的形式，其中 （填“指数”、“底数”或“幂”）x 是自变量，底数a 是一个大于0且不等于1的常量。
知识一.指数函数的定义一般地，函数 叫做指数函数，其中 是自变量，定义域是 。
思考：1.指数函数的结构特征：（1）解析式中x a 的系数为 ;(2)底数 a 是,满足 ; （3）自变量 x 是 且 x. 2.为什么指数函数y ＝a x 的底数规定大于0，且不等于1?提示：(1)如果a ＜0，如y ＝(－4)x ，当x ＝14，12时，函数无意义． (2)如果a ＝0，y ＝0x ，当x ＞0时，,0x =0；当x ≤0时，0x 无意义.(3)如果a ＝1，y ＝1x ＝1，是一个常函数，没有研究的必要．为了避免上述各种情况，所以规定a >0，且a ≠1.任务二：用所学知识解决问题题型一：指数函数的概念例1．下列函数中，哪些是指数函数？(1)y ＝10x ； (2) y ＝2x ＋1 (3)y ＝－4x ； (4)y ＝x α(α是常数).（5）y ＝x 3 （6）y ＝3·2x （7）y ＝3－x (8) y ＝x x (x >0) 练习1.若函数x a y )12(-=是指数函数，则a 的取值范围为______.2.若函数f(x)＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，求a 的值。
指数函数的概念导学案
4.2.1 指数函数的概念导学案【学习目标】1.了解指数函数的概念.2.会画出指数函数图象(重点).3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域(重点、难点).【自主学习】一．指数函数的定义一般地，函数 (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .【答案】y ＝a x二．指数函数的图象和性质指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象和性质如下表：a >1 0<a <1图象定义域 R 值域(0，＋∞)性质过定点过定点 ，即x ＝0时，y ＝1函数值的变化 当x >0时， ；当x <0时， 当x >0时， ；当x <0时， 单调性在R 上是在R 上是【答案】【当堂达标基础练】1. 下列图象中，有可能表示指数函数的是（ ） 【答案】C【解析】由指数函数的增长速度及定义，可知C 正确． 2．已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（ ） A ．()()0f x f x B ．()()0f x f x --= C ．()()1f x f x -+= D ．1()()3f x f x --=【答案】C3.函数2(2)x y a a =-是指数函数，则（ ） A ．1a =或3a = B ．1a = C ．3a = D ．0a >且1a ≠【答案】C【分析】由指数函数的定义可得2(2)1a -=，同时0a >，且1a ≠，从而可求出a 的值 【详解】由指数函数定义知2(2)1a -=，同时0a >，且1a ≠，所以解得3a =. 故选：C4．若()233xy a a a =-+是指数函数，则有（ ）A ．1a =或2B ．1a =C ．2a =D ．0a >且1a ≠【答案】C【分析】根据指数函数的概念，由所给解析式，可直接求解.【详解】因为()233xy a a a =-+是指数函数，所以233101a aa a ⎧-+=⎪>⎨⎪≠⎩，解得2a =.故选：C ．5．已知函数1(),02()0xx f x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则[(4)]f f =________.故答案为：46.若函数()132xf x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0a >，且1a ≠）是指数函数，则=a ________．一、选择题1．若函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x是指数函数，则a 的值是( ) A ．4 B ．1或3 C ．3 D ．1[答案C【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ≠1，a 2－4a ＋4＝1，解得a ＝3，故选C.2．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ≥8)的值域是( ) A ．RB.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1256C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1256 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1256，＋∞【答案】B【解析】因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在[8，＋∞)上单调递减，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝1256.3．函数y ＝2x－1的定义域是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0] C ．[0，＋∞) D ．(0，＋∞)【答案】C【解析】由2x－1≥0得2x≥1，即x ≥0，∴函数的定义域为[0，＋∞)，选C. 4．当a >0，且a ≠1时，函数f (x )＝a x ＋1－1的图象一定过点( )A ．(0,1)B ．(0，－1)C ．(－1,0)D ．(1,0)【答案】C 【解析】∵f (－1)＝a－1＋1－1＝a 0－1＝0，∴函数必过点(－1，0)．5．函数f (x )＝a x与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )A B C D【答案】A【解析】当a >1时，函数f (x )＝a x单调递增，当x ＝0时，g (0)＝a >1，此时两函数的图象大致为选项A.二、填空题6．函数f (x )＝3x －1的定义域为________． 【答案】[1，＋∞)【解析】由x －1≥0得x ≥1，所以函数f (x )＝3x －1的定义域为[1，＋∞)．7．已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，且a ≠1)经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为________． 【答案】7【解析】由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3，所以f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋3＝4＋3＝7.8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <0，－2－x，x >0，则函数f (x )的值域是________．【答案】(－1,0)∪(0,1)【解析】由x <0，得0<2x<1；由x >0， ∴－x <0,0<2－x<1， ∴－1<－2－x<0.∴函数f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．] 三、解答题 9．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，其中a >0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．[解] (1)因为函数图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12， 所以a2－1＝12，则a ＝12.(2)由(1)知函数为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x ≥0)，由x ≥0，得x －1≥－1.于是0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2， 所以函数的值域为(0,2]．10．已知f (x )＝9x－2×3x＋4，x ∈[－1,2]． (1)设t ＝3x，x ∈[－1,2]，求t 的最大值与最小值； (2)求f (x )的最大值与最小值．[解] (1)设t ＝3x ，∵x ∈[－1,2]，函数t ＝3x在[－1,2]上是增函数，故有13≤t ≤9，故t 的最大值为9，t 的最小值为13.(2)由f (x )＝9x －2×3x ＋4＝t 2－2t ＋4＝(t －1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t ＝1，且13≤t ≤9，故当t ＝1时，函数f (x )有最小值为3，当t ＝9时，函数f (x )有最大值为67.【当堂达标素养练】1．函数y ＝a－|x |(0<a <1)的图象是( )A B C D【答案】A【解析】y ＝a －|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a |x |，易知函数为偶函数，∵0<a <1，∴1a>1，故当x >0时，函数为增函数，当x <0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.2．若a >1，－1<b <0，则函数y ＝a x＋b 的图象一定在( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、二、四象限【答案】A【解析】∵a >1，且－1<b <0，故其图象如图所示．3．已知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为________． 【答案】12【解析】∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上为减函数，∴m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9，故m ＋n ＝12. 4．函数f (x )＝3x3x ＋1的值域是________．【答案】(0,1)【解析】函数y ＝f (x )＝3x3x ＋1，即有3x ＝－y y －1，由于3x＞0，则－y y －1＞0，解得0＜y ＜1，值域为(0,1)．5．已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的取值范围；(2)若f (x )的图象如图②所示，|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的范围． [解] (1)由f (x )为减函数可知a 的取值范围为(0,1)， 又f (0)＝1＋b <0，所以b 的取值范围为(－∞，－1)． (2)由图②可知，y ＝|f (x )|的图象如图所示．由图象可知使|f (x )|＝m 有且仅有一解的m 值为m ＝0或m ≥3.6．设函数()3x f x =，且(2)18f a +=，函数()34()ax x g x x R =-∈． （1）求()g x 的解析式；（2）若方程()g x －b=0在 [－2，2]上有两个不同的解，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）()24x x g x =-，（2）31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【详解】试题分析：（1）；本题求函数解析式只需利用指数的运算性质求出a 的值即可， （2）对于同时含有2,x x a a 的表达式，通常可以令进行换元，但换元的过程中一定要注意新元的取值范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次的关系，从而解决问题．试题解析：解：（1）∵()3x f x =，且(2)18f a += ∴⇒∵∴（2）法一：方程为 令，则144t ≤≤ 且方程为在有两个不同的解．设2211()24y t t t =-=--+ ，y b = 两函数图象在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个交点由图知31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，方程有两不同解．法二： 方程为 ，令，则144t ≤≤ ∴方程在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 上有两个不同的解．设21(),,44f t t t b t ⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦解得31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭考点：求函数的解析式，求参数的取值范围【方法点睛】求函数解析式的主要方法有待定系数法，换元法及赋值消元法等；已知函数的类型（如一次函数，二次函数，指数函数等），就可用待定系数法；已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意自变量的取值范围；求分段函数的解析式时，一定要明确自变量的所属范围，以便于选择与之对应的对应关系，避免出错．。
新人教A版必修1高中数学2.1.2-3指数函数及其性质导学案
高中数学 2.1.2-3指数函数及其性质导学案 新人教A 版必修1学习目标：深入学习指数函数的性质学习重点：能解决与指数函数有关的综合应用问题 学习过程：一、 关于定义域：求下列函数的定义域 1、1621-=xy2、191-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xy3、x y 416-=二、 关于值域： 1、求下列函数的值域（1）3121+⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y（2）xy ⎪⎭⎫⎝⎛=32（3）212225.0+-=x x y（4）231-=+x y ，[]0,2-∈x （5）121-=x y2、函数)1,0(≠>=a a a y x 在[]2,1上的最大值比最小值大2a ，则a 的值为______三、 关于单调性：1、 求下列函数的单调区间 （1）12.01-=xy(2)322-+=x x a y ）（1,0≠>a a2、 已知x x a a a a -++>++122)2()2(，则x 的取值范围是_____________四、 关于奇偶性 1、判断函数xx f 2121)(+-=的奇偶性2、已知函数x x eaa e x f +=)( )0(>a 是R 上的偶函数，求a 的值 一、选择题1、 若指数函数y a x =+()1在()-∞+∞，上是减函数，那么（ ） A 、 01<<a B 、 -<<10a C 、 a =-1 D 、 a <-12、已知310x =，则这样的（ ）A 、 存在且只有一个B 、 存在且不只一个C 、 存在且x <2D 、 根本不存在 3、函数f x x ()=-23在区间()-∞，0上的单调性是（ ） A 、 增函数 B 、 减函数C 、 常数D 、 有时是增函数有时是减函数4、下列函数图象中，函数y a a a x =>≠()01且，与函数y a x =-()1的图象只能是（ ）y y y yO x O x O x O xA B C D11115、函数f x x ()=-21，使f x ()≤0成立的的值的集合是（ ）A 、 {}x x <0B 、 {}x x <1C 、 {}x x =0D 、 {}x x =16、函数f x g x x x ()()==+22，，使f x g x ()()=成立的的值的集合（ ） A 、 是φ B 、 有且只有一个元素 C 、 有两个元素 D 、 有无数个元素7、若函数(1)x y a b =+-（0a >且1a ≠）的图象不经过第二象限，则有 （ ）A 、1a >且1b <B 、01a <<且1b ≤C 、01a <<且0b >D 、1a >且0b ≤ 8、F(x)=(1+)0)(()122≠⋅-x x f x是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)( )A 、是奇函数B 、可能是奇函数，也可能是偶函数C 、是偶函数D 、不是奇函数，也不是偶函数 二、填空题9、 函数y x =-322的定义域是_________。
《指数函数的发展历程》导学案
《指数函数的发展历程》导学案指数函数的发展历程导学案简介指数函数是数学中一类十分重要的函数，被广泛应用于自然科学、工程技术、经济学等领域。
本导学案将带领你了解指数函数的历史发展及其应用。
研究目标通过本导学案的研究，你将能够：1. 了解指数函数的概念和特点；2. 了解指数函数的历史发展过程；3. 掌握指数函数的基本性质和运算规则；4. 掌握指数函数在实际问题中的应用。
研究内容1. 指数函数的概念指数函数是具有形式 `f(x) = a^x` 的函数，其中 `a` 是常数，且`a>0` 且`a≠1`。
指数函数具有以下特点：- 当 `x` 为整数时，指数函数具有与指数运算相一致的性质；- 当 `x` 为有理数时，指数函数具有与根式运算相一致的性质；- 当 `x` 为无理数时，指数函数具有与指数运算和根式运算相结合的性质。
2. 指数函数的历史发展指数函数最早由比萨大教堂的建筑师勒昂纳多·斐波那契在13世纪提出，并用于解决兔子繁殖问题。
指数函数的研究随后得到了牛顿、莱布尼茨等数学家的关注，并逐渐发展成为一门独立的分支学科。
3. 指数函数的性质和运算规则指数函数具有以下基本性质和运算规则：- 指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集；- 指数函数的图像总是通过点 `(0,1)`；- 指数函数具有指数增长和指数衰减的特点；- 指数函数之间可以进行加减乘除和指数运算等基本运算。
4. 指数函数的应用指数函数在实际问题中有广泛的应用，例如：- 在科学实验中，指数函数可用于描述变化速度快的现象；- 在金融领域中，指数函数可用于描述指数资产的增长或衰减情况；- 在生物学中，指数函数可用于描述细胞分裂和微生物繁殖等过程。
总结指数函数是一类具有重要应用价值的函数，通过了解指数函数的历史发展、性质和运算规则，以及其在实际问题中的应用，我们能够更好地理解和利用指数函数。
通过继续深入研究和实践，我们将能够在更多领域中应用指数函数，推动科学技术的发展。
指数函数导学案
指数函数及其性质（3课时）班级： 姓名 学号学习任务：（1）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点； （2）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．学习重点：指数函数的的念和性质．学习难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质． 学习过程：一、自主学习1、问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个， 2个分裂成4个，……依此类推，写出1个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数解析式？问题2：公元前300年左右，中国有位杰出的学者庄子，在他的文章《庄子·天下篇》 中写道：一尺之棰，日取其半，万世不竭。
意思是，一尺长的木棍，每天截掉一半，千年万载也截不完！设第 x 天截得的木棍长度为y 尺。
根据这句话，试求x 与y 之间的函数关系。
解答：问题1函数解析式为_________ 问题2函数解析式为_______ 思考（1）以上两个函数有何共同特征？当x 扩充到R 时，称作什么函数？（2）这类函数与我们学过的函数y=x,21,x y x y ==-一样吗？有什么区别？2、指数函数的概念（1）指数函数的定义：一般地，函数_____________________叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为_____________．（2）指数函数解析式的特征：___________________________________________________（3）为什么规定底数a ＞０且a ≠１呢？为什么定义域为R ？（4）利用指数函数的定义解决：二、练一练：例1.判断下列函数是不是指数函数，为什么？212333133x x x x x xxy x y x y y y y y y π+-====⋅==+=-=① ② ③ ④ ⑤ ⑥⑦⑧注意：指数函数的解析式y=x a 中，x a 的系数是思考：确定一个指数函数需要什么条件？例2.指数函数f(x)的图像经过点（2，9），求解析式及f(1) , f(-2)合作探究一：01xy a a a =>≠三、指数函数(且)的图象特征的学习12()2x x y y ==1.在同一直角坐标系中用描点法画出函数与的图象；列表： 2x y =1()2x y =描点、连线：2．观察底数a 取其它值时函数图象变化的情况y a 归纳结论：(1)两个指数函数的图象关于轴对称时其解析式的特点：____________(2)指数函数的图象与底数之间的规律：______________巩固练习一：1321.______.2..2.32x xxA yB y xC yD y +-====-下列函数一定是指数函数的是(21),x y a a =-2.函数为指数函数求满足的范围______观察、思考：（1） 这两个函数的图象有什么关系？ （2） 这两个函数的图象各有什么特点？ 试着从以下几个方面找出这两个图象的共同点和不同点： ① 图象范围② 图象经过的特殊点③图象从左向右的变化趋势x 合作探究二：0且你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？请完成下面表格：五、指数函数的应用例3：较下列各题中几个值的大小：2.530.10.20.33.11.7,1.70.8,0.8 1.7,0.9--①②③例题3解题方法小结：比较两个指数数幂的大小练一练：1.完成课本第73页练习1。
《指数与指数幂的运算(1)》导学案
2.1.1《指数与指数幂的运算（1）》导学案姓名: 班级: 组别: 组名: 【学习目标】1、理解根式的概念2、理解分数指数幂的概念3、能运用根式、指数幂的运算性质进行化简、求值 【重点难点】▲重点：根式、分数指数幂的概念 ▲难点：根式、指数幂的运算性质 【知识链接】1、二次根式的性质 a a =2)(，⎩⎨⎧<->==00||2a a a a a a2、整数指数幂及运算性质【学习过程】阅读课本P49，尝试回答以下问题 知识点一：根式的定义问题1：一般地，如果a x n=，那么 叫做 的 ，其中 。
①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数， 这时a 的n 次方根用符号______表示。
②当n 为偶数时，正数的n 次方根是____________，记为__________。
负数没有偶次方根 ，0的任何次方根都等于_____问题2：式子na 叫_______，其中n （1>n 且*∈N n ）叫做________，a 叫做___________。
问题3：根据n 次方根的意义，可以得到：⑴()=nna ⑵为偶数为奇数n n a n n ⎩⎨⎧=问题4：计算 （1）=333（2）=-55)5.0(（3）=-44)2(（4）=-44)3(π阅读P50—52内容，尝试回答以下问题 知识点二：分数指数幂 问题1：当a ＞0时， ①5102510a a a==②==4312a a _________③47a 也能写成分数指数幂的形式么？ 问题2：我们规定正分数指数幂的意义： =nm a______________________________________ (注意条件)我们规定负分数指数幂的定义：=-nm a______________________________________ （注意条件）0的正分数指数幂_______________，0的负分数指数幂_______________ 问题3：用分数指数幂表示下列各式（1）=32x __________（2）=+43)(b a __________（0>+b a ）（3）=-6)(n m __________（n m >）问题4：有理数指数幂的运算性质是:（1）sra a =________（a ＞0，r 、s Q ∈） （2）s r a )(=________（a ＞0，r 、s Q ∈）（3）r ab )(=________（a ＞0，b ＞0，r Q ∈） 它可推广到无理数。
高中数学：指数与指数函数导学案
指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *，式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)a 的n 次方根的表示x n ＝a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n a (当n 为奇数且n ∈N *时)，x ＝±n a (当n 为偶数且n ∈N *时).2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；②负分数指数幂： (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质R4.(1)na n与(na)n都等于a(n∈N*)．()(2)函数y＝a－x是R上的增函数．()(3)函数y＝a x2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．()(4)当x＞0时，y＝a x＞1.()(5)函数y＝2x－1＋1，过定点(0,1)．()考点一指数幂的运算[方法引航]指数幂的化简方法(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算.(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数.(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.1．化简－(－1)0的结果为()（易错）A．－9B．7C．－10 D．9考点二指数函数图象及应用命题点1.指数函数图象的变换2.指数函数图象的应用[例2](1)函数x b的是()A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0(2)k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？[方法引航](1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.1．函数f(x)＝2|x－1|的图象是()2．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．考点三指数函数的性质命题点1.比较指数式的大小2.解指数方程或指数不等式[例3] (1)设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1.5，则( )A ．y 3＞y 1＞y 2B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 1＞y 3＞y 2 (2)不等式2－x2＋2x＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4的解集为________． (3)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3①若f (x )有最大值3，求a 的值； ②若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．[方法引航] (1)比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小.(2)解决简单的指数方程或不等式问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论.(3)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，与前面所讲一般函数的求解方法一致，只需根据条件灵活选择即可.1．若本例(1)中的三个数变为y 1＝，y 2＝，y 3＝，则大小关系如何．2．在本例(3)中，若a ＝－1，求f (x )的单调区间．3．在本例(3)中，若a ＝1，求使f (x )＝1的x 的解．[方法探究]整体换元法，巧化指数式指数式的运算化简除了定义和法则外，根据不同的题目结构，可采用整体换元等方法．一、根据整体化为同指数[典例1] 计算(3－2)2 018·(3＋2)2 019的值为________．二、根据整体化为同底数[典例2] 若67x ＝27,603y ＝81，则3x －4y ＝________.期末考试第一题三、根据整体构造代数式 [典例3] 已知a 2－3a ＋1＝0，则＝________.四、根据整体构造常数a x ·a －x ＝1 [典例4] 化简4x4x ＋2＋41－x 41－x ＋2＝________.五、根据整体换元[典例5] 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________．[高考真题体验]1．已知则( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b2．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a3．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 3 B ．f (x )＝3x C ．f (x )＝D ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x4．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.5．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．课时规范训练 A 组 基础演练1．函数y ＝a x －a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )2．在同一坐标系中，函数y ＝2x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象之间的关系是( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称3．函数y ＝2x －2－x 是( )A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x(x ＞0)，e x (x ≤0)，若F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R ，则F (x )的值域为( )A ．(－∞，1]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)5．指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________．6．计算：＝________.7．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．8．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．9．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量且a ＞0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．B 组 能力突破1．偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则关于x 的方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 在x ∈[0,4]上解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x ＞7是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，611C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，611 3．已知f (x )＝9x －13x ＋1，且f (a )＝3，则f (－a )的值为________．结论：4．设函数f (x )＝aa 2－1(a x －a －x )(a ＞0，a ≠1) (1)讨论f (x )的单调性；(2)若m ∈R 满足f (m )＞f (m 2＋2m －2)，求m 的范围．。
高一数学(§212 指数函数及其性质)导学案
§2.1.2 指数函数及其性质（1）学习目标1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；2. 理解指数函数的概念和意义；3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质（单调性、特殊点）.学习过程一、课前准备（预习教材P 54~ P 57，找出疑惑之处） 复习1：零指数、负指数、分数指数幂怎样定义的？ （1）0a = ；（2）na-= ；（3）mna = ；m na -= .其中*0,,,1a m n N n >∈>复习2：有理指数幂的运算性质.（1）m n a a = ；（2）()m n a = ；（3）()n ab = . 二、新课导学 ※ 学习探究探究一：指数函数模型思想及指数函数概念实例： A ．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么？B ．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？新知：反思：为什么规定a ＞0且a ≠1呢？否则会出现什么情况呢？探究二：指数函数的图象和性质引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ 回顾：研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 作图：在同一坐标系中画出下列函数图象：1()2x y =， 2x y =讨论：（1）函数2x y =与1()2x y =的图象有什么关系？如何由2x y =的图象画出1()2x y =的图象？（2）根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. 变底数为3或13后呢？新知：根据图象归纳指数函数的性质.a >1 0<a <1图 象性质(1)定义域： (2)值域 (3)过定点 (4)单调性(4)单调性※例1函数()x f x a =（0,1a a >≠且）的图象过点(2,)π，求(0)f ,(1)f -,(1)f 的值.小结：①确定指数函数重要要素是 ；② 待定系数法. 例2比较下列各组中两个值的大小：（1）0.60.52,2； （2）2 1.50.9,0.9-- ； （3）0.5 2.12.1,0.5 ； （4）231-与.小结：利用单调性比大小；或间接利用中间数.※ 动手试试练1. 已知下列不等式，试比较m 、n 的大小：（1）22()()33m n >； （2） 1.1 1.1m n <.练2. 比较大小：（1）0.70.90.80.8,0.8, 1.2a b c ===；（2）01, 2.50.4,-0.22-, 1.62.5.练3. 已知下列不等式，比较,m n 的大小.（1）33m n <； （2）0.60.6m n >； （3）(1)m n a a a >> ；（4） (01)m n a a a <<<. 三、总结提升 ※ 学习小结①指数函数模型应用思想；②指数函数概念；③指数函数的图象与性质；③单调法. ※ 知识拓展因为(01)x y a a a =>≠，且的定义域是R ， 所以()(01)f x y a a a =>≠，且的定义域与()f x 的定义域相同. 而()(01)x y a a a ϕ=>≠，且的定义域，由()y t ϕ=的定义域确定.学习评价1. 函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为（ ）. A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 任意值2. 函数f (x )=21x a -+ (a >0,a ≠1)的图象恒过定点（ ）. A. (0,1) B. (0,2) C. (2,1) D. (2,2)3. 指数函数①()xf x m =，②()xg x n =满足不等式 01m n <<<，则它们的图象是（ ）.4. 比较大小：23( 2.5)- 45( 2.5)-.5. 函数1()19x y =-的定义域为 .课后作业1. 求函数y =1151x x--的定义域.2.求函数112x y -=的定义域，值域3.解不等式221()22x -≤4.如果224,(0,1)x xx a a a a -+>>≠且，求x 的取值范围。
新人教A版必修1高中数学2.1.2-1指数函数及其性质导学案
高中数学 2.1.2-1指数函数及其性质导学案 新人教A 版必修1学习目标：1、理解指数函数的定义 2、掌握指数函数的图象和性质 学习重点：指数函数性质的应用 学习过程：一、情景体验、获得新知1、一张纸对折1次，厚度变为原来的2倍；对折2次，厚度变为原来的 倍；对折3次，厚度变为原来的2倍；对折4次，厚度变为原来的____ 倍；对折次，厚度变为原来的______倍。
2、指数函数的概念____________________ 练习：1、下列函数中是指数函数的是________ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥2、函数是指数函数，则a=_________二、指数函数的图象与性质1、图象：在直角坐标系中作出下列函数的图象(1)(2)2、指数函数的图象和性质练习：1、 若a>1，-1<b<0，则函数的图象一定在第_____象限 2、 比较大小（1） ，（2），(3) ,一、选择题(每小题5分，共20分)1．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 22．若⎝ ⎛⎭⎪⎫142a ＋1<⎝ ⎛⎭⎪⎫143－2a，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ B.()1，＋∞C ．(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，123．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x －1，则有( )A ．f(13)<f(32)<f(23)B ．f(23)<f(32)<f(13)C ．f(23)<f(13)<f(32)D ．f(32)<f(23)<f(13)4．如果函数f(x)＝(1－2a)x 在实数集R 上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0，12)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，12)D ．(－12，12)5．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<2x ＋1<4，x∈Z，则M∩N 等于( )A ．{－1,1}B ．{－1}C ．{0}D ．{－1,0} 6．设14<⎝ ⎛⎭⎪⎫14b <⎝ ⎛⎭⎪⎫14a<1，那么( )A ．a a <a b <b aB ．a a <b a <a bC ．a b <a a <b aD ．a b <b a <a a二、填空题(每小题5分，共10分)7．已知函数f(x)＝a －12x ＋1，若f(x)为奇函数，则a ＝____8．函数y ＝2－x 2＋ax －1在区间(－∞，3)内递增，求a 的取值范围．9．设a>0，f(x)＝e x a ＋ae x (e>1)，是R 上的偶函数，则a ＝________.10．下列空格中填“>、<或＝”．(1)1.52.5________1.53.2，(2)0.5－1.2________0.5－1.5.三、解答题(每小题10分，共20分)11．根据下列条件确定实数x 的取值范围：a<⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－2x(a >0且a ≠1)．12．已知a>0且a≠1，讨论f(x)＝a－x2＋3x＋2的单调性．．．13．(10分)已知函数f(x)＝3x＋3－x.(1)判断函数的奇偶性；(2)求函数的单调增区间，并证明．。
《整数指数幂》 导学案
《整数指数幂》导学案一、学习目标1、理解整数指数幂的概念和意义。
2、掌握整数指数幂的运算性质，并能熟练运用进行计算。
3、能够将负整数指数幂转化为正整数指数幂进行计算。
二、学习重点1、整数指数幂的运算性质。
2、负整数指数幂的转化。
三、学习难点整数指数幂运算性质的灵活运用。
四、知识回顾1、正整数指数幂：＼（a^n\）（＼（n\）为正整数），其中\（a\）叫做底数，＼（n\）叫做指数。
2、同底数幂的乘法：＼（a^m×a^n ＝ a^｛m+n}＼）（＼（m\）、＼（n\）为正整数）3、幂的乘方：＼（（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＼）（＼（m\）、＼（n\）为正整数）4、积的乘方：＼（（ab)＾n ＝ a^n b^n\）（＼（n\）为正整数）五、新课导入我们已经学习了正整数指数幂的相关知识，那么当指数为零或者是负整数时，又该如何定义和计算呢？这就是我们今天要学习的整数指数幂。
六、知识讲解1、零指数幂规定：＼（a^0 ＝ 1\）（＼（a≠0\））任何一个非零数的零次幂都等于\（1\）。
思考：为什么\（a\）不能为\（0\）？因为如果\（a ＝ 0\），＼（0^0\）就没有意义。
2、负整数指数幂规定：＼（a^｛p} ＝＼frac{1}｛a^p}＼）（＼（a≠0\），＼（p\）为正整数）例如：＼（2^｛－3} ＝＼frac{1}｛2^3} ＝＼frac{1}｛8}＼）负整数指数幂可以转化为正整数指数幂的倒数。
3、整数指数幂的运算性质（1）＼（a^m×a^n ＝a^｛m+n}＼）（＼（m\）、＼（n\）为整数）（2）＼（（a^m)＾n ＝a^｛mn}＼）（＼（m\）、＼（n\）为整数）（3）＼（（ab)＾n ＝ a^n b^n\）（＼（n\）为整数）思考：这些运算性质在整数指数幂范围内是否仍然成立？七、例题讲解例 1：计算（1）＼（3^0 2^｛－2}＼）解：＼（3^0 2^｛－2} ＝ 1 ＼frac{1}｛2^2} ＝ 1 ＼frac{1}｛4} ＝＼frac{3}｛4}＼）（2）＼（（＼frac{1}｛2}）＾｛－3}＼）解：＼（（＼frac{1}｛2}）＾｛－3} ＝＼frac{1}｛（＼frac{1}｛2}）＾3} ＝ 2^3 ＝ 8\）例 2：化简（1）＼（a^2 × a^｛－3}＼）解：＼（a^2 × a^｛－3} ＝ a^｛2 ＋（－3)｝＝ a^｛－1} ＝＼frac{1}｛a}＼）（2）＼（（x^3 y^｛－2}）＾2\）解：＼（（x^3 y^｛－2}）＾2 ＝ x^6 y^｛－4} ＝＼frac{x^6}｛y^4}＼）八、课堂练习1、计算：（1）＼（5^0 ＋ 5^｛－2}＼）（2）＼（（－3)＾｛－2}＼）2、化简：（1）＼（x^5 × x^｛－2}＼）（2）＼（（2m^2 n^｛－3}）＾3\）九、拓展提升1、已知\（a^｛－2} ＝ 9\），求\（a\）的值。
指数函数的概念 导学案 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
4.2.1指数函数的概念[知识目标]1.通过实际问题了解指数函数的实际背景:2.理解指数函数的概念和意义。
[核心素养]1.数学抽象:指数函数的概念:2.逻辑推理:用待定系数法求函数解析式及解析值:3.数学运算:利用指数函数的概念求参数:4.数学建模:通过由抽象到具体，由具体到一般的思想总结指数函数概念.[重点难点]重点:理解指数函数的概念和意义:难点:理解指数函数的概念.[学习过程]一、预习导入引例,当生物死亡后，机体内原有的碳14含量每年会按照确定的比率p衰减(称为衰减率)，大约经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为半衰期.按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x之间有怎样的关系?分析:如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位,那么死亡1年后，生物体内碳14含量为________死亡2年后，生物体内碳14含量为死亡3年后，生物体内碳14含量为死亡x年后，生物体内碳14含量y=由于碳14半衰期是5730年，所以当x=5730时，y=12该表达式即为，解得p=生物体内碳14含量y与死亡年数x之间的关系式比如:生物死亡10000年后，它体内碳14含量y= ≈0.3如果用字母a代替上述两式中的底数，那么就可以表示为:f(x)=a x1.指数函数的定义一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.2. 指数函数解析式的3个特征(1)底数a为大于0且不等于1的常数.(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.(3)a x的系数是1.3.指数函数和幂函数的区别:[自主探究]题型一 判断一个函数是否为指数函数例1判断下列函数是否为指数函数(1)y=2x+2 (2)y=(-2)x (3)y=-2x (4)y=πx例2 函数y= (a-2)a x 是指数函数,则( )A.a=1或a=3B.a=1C.a=3D.a>0且a ≠1跟踪训练一1.判断下列函数是否为指数函数(1)y=x 2 (2)y=4x2 (3)y=x x (4)y=(a-1)x (a>1,且a ≠2)2.已知函数f(x)=(a 2+a-5)a x 是指数函数.则a=题型二 指数函数的概念例1(1)已指数函数f(x) =a x (a>6且a ≠1)的图象过点(3，π)，求f(0)，f(1), f(-3)的值.(2)已知函数 y=(a 2-3a+3)a x 是指数函数,求a 的值.跟踪训练二1.已知指数函图像经过点P(-1，3)，则f(3)=2.已知函数f(x)=（a 2-2a+2)(a+1)x 为指数函数,则a=3.已知函数f(x)=a x +b (a>0,且a ≠1),其图象像经过点(-1，5)，(0，4),则f(-2)的值为[当堂检测]1.下列函数中，指数函数的个数为（ ）(1)y=(12)x−1 (2)y=a x (a>0，且a ≠1) (3)y=1x (4) y=(12)2x−1 A.0个B.1个C.3个D.4个2.已知函数f(x)是指数函数，且f(-32)=√525，则f(x)=3.若函数 y=(a ²-4a+4)a x 是指数函数,则a 的值是（ ）A.4B.1或3C.3D.14.若点(a ，27)在函数y=(√3)x 的图象上,则√a 的值为（ ）A.√6B.1C.2√2D.05.若指数函数f(x)=a x 的图象经过点(32，8)则底数a 的值是（ ） A.2 B.4 C.12 D.146.函数f(x)=3√x−1的定义域为7.在某个时期,某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长,那么经过10天,该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍?(参考数据:1.062510=1.834)8.某城市房价(均价)经过6年时间从1200元/m 2增加到了4 800元/m 2,则这6年间平均每年的增长率是9.函数f(x)=(a 2-2a+1)(a+1)x 为指数函数,则a=10.据报道,某湖的水量在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2019年的湖水量为m,写出从2019年起经过x 年后湖水量y 与x 之间的函数解析式11.下列各函数中,定义域为R 的函数是（ ）A.y=x 3B.y=5x+1C.y=51x 2+1 D.y=51x12.己知指数函数f(x)的图象过点(12，√22)则f(x)= ，[f(2)]2的值为13.已知f(x)=2x +2-x ，若f(a)=4，则f(2a) =14.按复利计算利率的储蓄，存入银行2万元，如果年息3％，本利和为人民币（ ）A.2(1+0.3)5万元B.2(1+0. 3)5万元C.2(1+0.3)4万元D.2(1+0.03)4万元。
指数函数导学案(自用经典必下)
指数函数导学案班级： 姓名 学号学习任务：（1）了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；（3）理解指数函数的的概念和意义，能画出指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性和特殊点； （2）在学习的过程中体会研究指数函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等。
学习过程：知识回顾：指数函数的概念：一般地，函数_____________________叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .练一练：判断下列函数是不是指数函数，为什么？（1）x y 4= （2）4x y = （3）xy 4-= （4）14+=x y合作探究一：指数函数的图像1、 在同一直角坐标系中用描点法画出函数xy 2=与xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的图像列表：2xy =1()2x y =描点、连线：合作探究二：指数函数x a y =的性质3、你能根据指数函数的图像的特征归纳出指数函数的性质吗？请完成下面表格：9 1 2 3 4 5 6 7 0 8 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 xy4．指数函数的应用1 已知指数函数()xx f 5= ，求()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,2,2,0f f f f 的值。
2 比较下列各组数的大小（1）1.72.5 ，1.73 （2）1.70.2 ，0.94（3） 5287,78⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-小结 比较指数幂大小的方法：单调性法：利用函数的单调性，数的特征是底同指不同（包括可以化为同底的）。
中间值法：找一个中间值如“1”来过渡，数的特征是底不同指不同。
练一练 2：比较下列个组数的大小5.03.02.1,2.1258.0,8.0()222,21--⎪⎭⎫ ⎝⎛5432,32⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-\\3若函数是指数函数，则a 的值为多少？4已知y =f (x )是指数函数，且f (2)=4,求函数y =f (x )的解析式5已知函数)(212)(R x a x f x∈+-=是奇函数，求实数a 的值.6若指数函数xa y )12(-=是减函数，则a 的范围是多少？7已知函数)(x f 的定义域是（0,1），那么)2(xf 的定义域是多少？252.1,8.04.035.2,7.2-。
《指数函数的图像和性质》第2课时导学案
课题:4.2.2《指数函数的图像和性质 》（第2课时）导学案命制人： 审核人： 使用人: 高一全体学生 使用日期:学习目标：1.能用指数函数的图像研究函数的值域和单调性。
2.能运用指数函数的图像和性质解决有关数学问题。
任务一：知识回顾底数a 的范围10<<a 1>a图象性质 定义域 值域 过定点单调性 任务二：知识应用题型一：求指数型函数的定义域例1．函数121x x y -=-的定义域是（ ）A ．RB ．{}|1x x ≠C ．{}|0x x ≠D ．{|0x x ≠且}1x ≠练习1函数()39x f x =-的定义域为练习2函数()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为 练习3函数()1182102xf x x ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭的定义域为 题型二：求值域和最值例2．函数()[]1,0,22xf x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则()f x 的值域是 练习1函数3x y =+1在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是 ． 练习2求函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭-2，[]1,3x ∈的最大值与最小值。
例3．已知函数()1,02,0x x f x xa x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是 . 练习1函数4,104,023x x x y x ⎧-≤≤⎪=⎨⎛⎫<≤⎪ ⎪⎝⎭⎩的值域为 . 例4．函数3132x x y -=-的值域是 ． 练习1求函数2121x x y -=+的值域 例5．已知函数()2234x x f x +=-⨯定义域为[]1,1x ∈-，则()f x 的最大值和最小值分别是（ ）A ．2,03B ．4,13C ．45,34D ．log3,1题型三指数型函数的单调性与最值例6.函数y ＝13x 的单调递减区间是( )A.(－∞，＋∞)B.(－∞，0)C.(0，＋∞)D.(－∞，0)和(0，＋∞)练习1函数的单调递增区间是 . 练习2函数y=a x 在［0，1］上的最大值与最小值的和为3，则a=________________.任务三：能力提高1.若且 求 的取值范围. 2.（多选）已知实数满足等式 ，则下列关系式中，可能成立的关系式有( ) A. B. C. D.3.若函数 则不等式 的解集为 .4.函数1423x x y +=-+的定义域为[]1,1x ∈-，求函数的值域.5.已知函数. （1）若，求 的单调区间； （2）若的最大值为3，求实数 的值； （3）若的值域是 ，求实数 的值.作业布置：课本习题4.2的1.3.6题及同步练习册。
《2.1指数函数》导学案
《2.1指数函数》导学案【入门向导】指数函数图象诗歌鉴赏多个图象像束花，(0，1)这点把它扎． 撇增捺减无例外，底互倒时纵轴夹． x ＝1为判底线，交点y 标看小大． 重视数形结合法，横轴上面图象察．此诗每行字数相等，且押韵，读起来倍感顺口，内容简洁明了，使读者在无形之中把指数函数图象的特点牢记于心．如图所示的就是上面举的指数函数的图象．不难看出，它们就像一束花．每个指数函数的图象都经过(0，1)这点，所以说“(0，1)这点把它扎”就顺理成章了．对于指数函数的图象来说，“撇增捺减”就绝对是事实．当a >1时，从左往右看指数函数y ＝a x 的图象是上升的，类似于汉字中的撇，这时，指数函数y ＝a x是增函数；当0<a <1时，从左往右看指数函数y ＝a x 的图象是下降的，类似于汉字的捺，这时，指数函数y ＝a x是减函数．由y ＝2x和y ＝(12)x的图象，可以看出它们是关于y 轴对称的．而底数2与12是倒数，所以自然而然地得到“底互倒时纵轴夹”，这也可以从y ＝3x和y ＝(13)x的图象中得到充分的体现．重点、难点、易考点 解读指数函数图象的应用一、要点扫描学习指数函数要记住图象，理解图象，由图象能说出它的性质．关键在于弄清楚底数a 对于函数值变化的影响，对于a >1与0<a <1时函数值变化的情况不同，不能混淆，为此必须利用图象，数形结合．二、指数函数的图象及性质图三、图象应用 1．比较大小例1 若a <0，则2a，(12)a ，0.2a的大小顺序是________．解析 分别作出函数y ＝2x，y ＝(12)x 和y ＝0.2x的图象，如图所示，从图象可以看出，当a <0时，有0.2a>(12)a >2a .答案 0.2a>(12)a >2a点评 本题涉及三个指数函数图象，因此在作图时，一定要抓住图象的特征点(0，1)或特征线y ＝1及指数函数图象的走向正确作图：当a >1时，底数a 越大图象越陡；当0<a <1时，底数a 越小图象越陡．2．求解方程根的问题例2 确定方程2x＝－x 2＋2的根的个数．解 根据方程的两端分别设函数f (x )＝2x ，g (x )＝－x 2＋2.在同一坐标系中画出函数f (x )＝2x 与g (x )＝－x 2＋2的图象，如图所示．由图可以发现，二者仅有两个交点，所以方程2x ＝－x 2＋2的根的个数为2.点评 利用指数函数的图象确定方程的根的关键是要正确作出方程两端对应的函数的图象，遇到含有参数的方程时，还要注意分类讨论．3．求解参数问题例3 若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|＋1(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．解析 当a >1时，通过平移变换和翻折变换可得如图1所示的图象，则由图可知1<2a <2， 即12<a <1与a >1矛盾．当0<a <1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图2所示的图象， 则由图可知1<2a <2， 即12<a <1，即为所求． 答案 12<a <1点评 (1)解答此题时要注意底数的不确定性，因此作图时要注意讨论；(2)根据条件确定直线y ＝2a 与函数的图象位置关系，然后由位置关系建立不等式，进而求得结果，其处理的过程体现了数形结合的思想．指数函数定义学习中的两个注意点定义：函数y ＝a x(a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R .注意点1：为什么要规定a >0且a ≠1呢？ (1)若a ＝0，则当x >0时，a x＝0； 当x ≤0时，a x无意义．(2)若a <0，则对于x 的某些数值，可使a x无意义．如(－2)x，这时对于x ＝14，x ＝12，…在实数范围内函数值不存在．(3)若a ＝1，则对于任意x ∈R ，a x＝1是一个常量，没有研究的必要性．为了避免上述各种情况，所以规定a >0且a ≠1.在规定以后，对于任意x ∈R ，a x都有意义，且a x>0.因此指数函数的定义域是R ，值域是(0，＋∞)．注意点2：函数y ＝3·(12)x是指数函数吗？根据定义，指数函数的解析式y ＝a x 中，a x的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y ＝ax ＋k(a >0且a ≠1，k ∈Z )；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y＝a －x(a >0且a ≠1)，因为它可以化为y ＝(1a )x，其中1a >0，且1a ≠1.学习根式和分数指数幂的运算三注意有关根式和分数指数幂的运算，和我们学过的加、减、乘、除运算一样，是十分重要的，它也是我们继续学习指数函数和对数函数的基础．由于这一部分内容的概念较多，初学时很容易出错，首先要注意以下三点．(1)根式的运算中，有开方和乘方两种情况并存的情况，此时要注意两种运算的顺序是否可换．如当a ≥0时，n a m＝(n a )m ，而当a <0时，则不一定可换，应视m ，n 的情况而定．(2)分数指数幂不能对指数随意约分．(3)对分数指数幂的运算结果不能同时含有根号和分数指数，不能同时含有分母和负指数．错例分析一、有关方根的概念不清与忽视方根的性质致错分析 例4 设f (x )＝x 2－4，且0<a ≤1，求f (a ＋1a )的值．错解 f (a ＋1a )＝ a ＋1a 2－4＝ a －1a 2＝a －1a .剖析 在开方运算中忽视根式的两个重要性质： (1)当n 为奇数时，n a n ＝a ；(2)当n 为偶数时，n an＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.性质(2)在解题中是很容易被忽视的，因为此时的n 为偶数，所以不论a 取怎样的值，n a n总有意义．因此在上面的解答中应有：由0<a ≤1，得1a ≥1， 所以1a －a ≥0，从而 a ＋1a 2－4＝ a －1a 2＝|a －1a |＝1a －a .二、忽视分数指数幂的意义致错分析 例5 下列化简与计算中，正确的个数是( ) (1)(a 3)2＝a 9；(2)a 23·a 32＝a (a >0)；(3)a 610＝a 35；(4)6 －8 2＝(－8)26＝(－8)13＝－2；(5)32×6 －3 2＝32×3－3＝3－6＝－36. A ．0B ．1C ．2D ．3请同学们给出答案后根据基础知识分析致错的原因． 剖析 忽视运算性质致错：(1)应为(a 3)2＝a 6，比如，(23)2＝82≠29；(2)应为a 23·a 32＝a 23＋32＝a 136. 忽视字母的取值范围致错：(3)应为a 610＝|a 35|，比如(－2)610应是一个正数，而(－2)35却是一个负数． 在分数指数幂与根式的化简中致错：(4)显然6 －8 2应是一个正数，这里(－8)26≠(－8)13； (5)显然6 －3 2≠3－3. 故答案为A .教材中，规定了正分数指数幂的意义a m n ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且mn 为既约分数)，从而指数的概念扩充到了有理数指数，继而又扩充到了实数指数．这时底数、指数的范围发生了变化，这在解题中是很容易被忽视的，由于在后面有关指数函数求定义域的问题中经常用到，这里就不再赘述．三、忽视隐含条件致错例6 化简：(1－x )[(x －1)－2(－x )12]12.错解 (1－x )[(x －1)－2(－x )12]12＝(1－x )(x －1)－1(－x )14＝－(－x )14.剖析 题目中含有(－x )12，要注意考虑－x ≥0这个前提条件，即x ≤0. 正解 由(－x )12可知－x ≥0，即x ≤0， 所以(1－x )[(x －1)－2(－x )12]12＝(1－x )(1－x )－1(－x )14＝(－x )14.点评 在指数运算过程中，一定要注意题目中隐含的一些特殊条件，只有充分挖掘这些隐含的特殊条件，才能为正确解答打下坚实的基础．初学指数函数应当心一、指数函数概念出错例7 已知指数函数y ＝a x的底数a 满足方程a 2＋a －6＝0，求该指数函数．错解 由方程a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3.所以该指数函数为y ＝2x 或y ＝(－3)x.剖析 在解题过程中忽视了指数函数的定义中对底数a 的限定，这个隐含条件对解题往往起到至关重要的作用．正解 由方程a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3.由于指数函数y ＝a x的底数a 满足a >0且a ≠1，故取a ＝2.所以该指数函数为y ＝2x .点评 指数函数定义中的底数a 满足a >0且a ≠1这个隐含条件，在解答过程中一定要加以注意．二、指数函数值域出错例8 求函数y ＝21x －1的定义域和值域．错解要使函数y＝21x－1有意义，则x－1≠0，即x≠1.所以函数y＝21x－1的定义域为{x|x≠1}．因为x≠1，即1x－1≠0，所以21x－1≠1.所以函数y＝21x－1的值域为{y|y≠1}．剖析在解题过程中忽视了指数函数的值域{y|y>0}这个隐含条件，而只是根据题目条件得出y≠1是不全面的．正解要使函数有意义，则x－1≠0，即x≠1.所以函数y＝21x－1的定义域为{x|x≠1}．因为x≠1，即1x－1≠0，所以21x－1≠1.又21x－1>0，所以函数y＝21x－1的值域为{y|y>0，且y≠1}．点评指数函数y＝a f(x)(a>0，且a≠1)的值域只能是R＋的子集，解题时一定要结合具体情况加以分析讨论．三、指数函数图象出错例9根据函数y＝|2x－1|的图象，判断当实数m为何值时，方程|2x－1|＝m无解？有一解？有两解？错解由方程|2x－1|＝m可得2x＝1±m，结合指数函数的图象(如图)可知：当2x＝1±m≤0，即m≤－1或m≥1时，方程|2x－1|＝m无解；当2x＝1±m>0，即－1<m<1时，方程|2x－1|＝m有一解；不存在实数m使方程|2x－1|＝m有两解．剖析不能充分理解函数图象的交点与方程解的关系．没有充分结合指数函数的图象的变换加以解答．可以把这个问题加以转换，将求方程|2x－1|＝m的解的个数转化为求两个函数y＝|2x－1|与y＝m的图象交点个数去理解，而不能结合运算加以分析，这样容易导致错误．正解 函数y ＝|2x －1|的图象可由指数函数y ＝2x的图象先向下平移一个单位长度，然后再作x 轴下方的部分关于x 轴的对称图形，如图所示．函数y ＝m 的图象是与x 轴平行的直线，观察两图象的关系可知：当m <0时，两函数图象没有公共点，此时方程|2x－1|＝m 无解；当m ＝0或m ≥1时，两函数图象只有一个公共点，此时方程|2x－1|＝m 有一解； 当0<m <1时，两函数图象有两个公共点，此时方程|2x－1|＝m 有两解．点评 由于方程解的个数与它们对应的函数图象交点的个数是相等的，所以对于含字母方程解的个数讨论，往往用数形结合方法加以分析，准确作出相应函数的图象是正确解题的前提和关键.指数运算中的几种变形技巧常见的指数运算问题有：化简、求值、证明等，而分数指数幂的引入为这类问题的解决增加了难度，为帮助大家更好的学习，本文就这类问题的求解方法试作分析．一、逆用公式例1 已知a ＝5，b ＝311，c ＝6123，试比较a ，b ，c 的大小． 解 因为a ＝5＝653＝6125， b ＝311＝6112＝6121，c ＝6123， 而121<123<125，所以a >c >b . 即5>6123>311. 二、妙用公式变形引入负指数及分数指数幂后，平方差、立方差、完全平方公式就有了新的形式，赋予新的活力，如：a ＋b ＝(a 13＋b 13)(a 23－a 13b 13＋b 23)，a －b ＝(a 12＋b 12)(a 12－b 12)等等，运用这些公式新变形，可快速巧妙求解问题．例2 a 43－8a 13b 4b 23＋23ab ＋a 23÷(1－23ba )×3a . 解 原式＝a 13 a －8b 4b 23＋2a 13b 13＋a 23÷a 13－2b 13a 13×a 13.＝a 13{ a 13 3－[ 8b 13]3}4b 23＋2a 13b 13＋a 23×a 13a 13－2b 13×a 13＝a 13 a 13－2b 13 a 23＋2a 13b 13＋4b 23 4b 23＋2a 13b 13＋a 23·a 13a 13－2b 13·a 13＝a 13·a 13·a 13＝a . 三、整体代换在指数运算中，若进行适当的变量代换，将分数指数幂转化为整数指数幂，使指数间的关系比较明显显现出来，易于求解．例3 已知a 2－3a ＋1＝0，求a －12＋a 12的值．分析 若先求出a 的值，再代入计算很繁琐，探寻条件与结论之间的关系，分析条件，把条件转化为与结论有明显关系的式子．解 ∵a 2－3a ＋1＝0，∴a ≠0，∴a ＋1a ＝3.而(a －12＋a 12)2＝a －1＋a ＋2＝3＋2＝5， ∴a －12＋a 12＝ 5. 四、化异为同 例4 计算(3－2)2 008·(3＋2)2 009.分析 注意到两个底数3＋2与3－2互为有理化因式，且它们的指数相差不大，所以互化为同指数计算．解 原式＝(3－2)2 008·(3＋2)2 008·(3＋2)＝[(3－2)·(3＋2)]2 008·(3＋2)＝12 008·(3＋2)＝3＋ 2.五、化负为正例5 化简4x 4＋2＋41－x41－＋2.解 方法一 原式＝4x 4x ＋2＋41－x ·4x41－x ·4x ＋2·4x ＝4x 4x ＋2＋44＋2×4x ＝4x 4x ＋2＋22＋4x ＝4x＋24x ＋2＝1. 方法二 原式＝4x4x ＋2＋4·4－x4·4－x ＋2·4x ·4－x ＝4x 4x ＋2＋44＋2·4x ＝1.点评 对于式子41－x41－x ＋2，方法一是利用分子分母同时乘4x化简，而方法二是把2写成2·4x ·4－x ，通过约分化简，两种方法都是巧用4x ·4－x ＝1实现化简的．指数函数常见题型解法探究一、指数函数的定义例6 已知指数函数f (x )的图象经过点(2，4)，试求f (－12)的值．解 设指数函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)，由已知得f (2)＝4，即a 2＝4(a >0，a ≠1)，所以a ＝2.故f (－12)＝2－12＝22.二、考查指数的运算性质例7 若f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝e x ＋e －x2，则f (2x )等于( ) A ．2f (x )B ．2g (x )C ．2[f (x )＋g (x )]D ．2f (x )·g (x )解析 f (2x )＝e 2x －e －2x 2＝ e x ＋e －x e x －e －x2 ＝2· e x ＋e －x e x －e －x 4＝2f (x )·g (x )． 故选D . 答案 D三、指数函数的单调性例8 设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( ) A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2 解析 y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝(12)－1.5＝21.5.由于指数函数f (x )＝2x 是R 上的增函数，且1.8>1.5>1.44，所以y 1>y 3>y 2，选D .答案 D四、定义域和值域例9 已知函数y ＝f (x )的定义域为(1，2)，则函数y ＝f (2x)的定义域为________．解析 由函数的定义，得1<2x <2⇒0<x <1. 所以应填(0，1)．答案 (0，1)五、图象过定点问题例10 已知不论a 为何正实数，y ＝ax ＋1－2的图象恒过定点，则这个定点的坐标是________．解析 因为指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点(0，1)，而函数y ＝a x ＋1－2的图象可由y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象向左平移1个单位后，再向下平移2个单位而得到，于是，定点(0，1)→(－1，1)→(－1，－1)．所以函数y ＝ax ＋1－2的图象恒过定点(－1，－1)．答案 (－1，－1)六、图象 依据：(1)指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象；(2)函数y ＝f (x )的图象与y ＝f (x ＋a )、y ＝f (x )＋b 、y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝|f (x )|、y ＝f (|x |)的图象之间的关系．例11 利用函数f (x )＝2x 的图象，作出下列各函数的图象：(1)y ＝f (x －1)；(2)y ＝f (|x |)；(3)y ＝f (x )－1；(4)y ＝－f (x )；(5)y ＝|f (x )－1|.解 利用指数函数y ＝2x 的图象及变换作图法可作所要作的函数图象．其图象如图所示：点评 函数y ＝2|x |，y ＝2－|x |，y ＝|2x －1|的值域和单调性如何？七、考查参数的取值范围例12 已知函数y ＝a a 2－2(a x －a －x)(a >0，a ≠1)在(－∞，＋∞)上递增，求a 的取值范围． 解 设任意x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)<0，即aa 2－2(ax 1－a －x 1)－a a 2－2(ax 2－a －x 2)＝aa 2－2(ax 1－ax 2)(1＋1ax 1＋x 2)<0， 所以(a 2－2)(ax 1－ax 2)<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－2>0ax 1－ax 2<0.或⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－2<0，ax 1－ax 2>0.解得a >2或0<a <1.异底指数比大小五法一、化同底例13 比较20.6，(12)－0.7，80.3的大小． 解 化同底得20.6，(12)－0.7＝20.7，80.3＝20.9. 因为函数y ＝2x 在R 上是增函数，且0.6<0.7<0.9，所以20.6<20.7<20.9，即20.6<(12)－0.7<80.3.点评 因为化同底后即可运用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底．二、商比法例14 比较下列两个数的大小：1.1－0.2与1.3－0.1.解 因为1.1－0.21.3－0.1＝(1.211.3)－0.1＝(1.31.21)0.1>(1.31.21)0＝1，所以1.1－0.2>1.3－0.1. 点评 不同底但可以化为同指数的两数比较大小，用商比法即可迎刃而解，这时要特别注意分母的正负．三、取中间值例15 下列大小关系正确的是( )A ．0.43<30.4<π0B ．0.43<π0<30.4C ．30.4<0.43<π0D ．π0<30.4<0.43解析 因为π0＝1，0.43<0.40＝1，30.4>30＝1，所以0.43<π0<30.4，故选B .答案 B点评 不同底也不同指数时比较大小，宜先与中间值0或1比较大小，再间接地得出所求解．四、估算法例16 若3a ＝0.618，a ∈[k ，k ＋1]，则k ＝________.解析 因为k ≤a ≤k ＋1，所以3k ≤3a ≤3k ＋1.把3a ＝0.618代入得3k ≤0.618≤3k ＋1.估算得13≤0.618≤1，即3－1≤0.618≤30.解得k ＝－1.答案 －1点评 估算法既可快速达到比较大小的目的，又可培养同学们的估算能力，它是同学们必备的一种技能，在考试中解答填空、选择题时可用．五、图解法例17 已知实数a ，b 满足等式(12)a ＝(13)b ，下列五个关系式：①0<b <a ； ②a <b <0； ③0<a <b ； ④b <a <0； ⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 在同一坐标系中，分别画出函数y ＝(12)a ，y ＝(13)b 的图象．由图观察可知，当b <a <0时，等式(12)a ＝(13)b 不可能成立；又当0<a <b 时，等式(12)a ＝(13)b 也不可能成立，故选B .答案 B点评 把所要比较的指数化为指数函数，在同一坐标系中画出它们的图象，可以直观地看出其中的大小关系．指数函数考什么？1．(福建高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0，∴f (a )＋2＝0.①当a >0时，f (a )＝2a ，2a ＋2＝0无解；②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0，∴a ＝－3.答案 A2．(全国Ⅰ高考)已知函数f (x )＝a －12x＋1.若f (x )为奇函数，则a ＝________. 解析 ∵定义域为R ，且函数为奇函数，∴f (0)＝0，即a －12＝0，∴a ＝12.答案 123．(全国高考)函数y ＝－e x 的图象( )A ．与y ＝e x 的图象关于y 轴对称B ．与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称C ．与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称D ．与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称解析 函数y ＝－e x 与y ＝e －x 的自变量x 取相反数时，函数值y 也为相反数，所以其图象关于原点对称．答案 D4．(湖北高考)若函数y ＝a x ＋b －1 (a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则必有( )A ．a >0，b <1B ．0<a <1，b <0C ．0<a <1，b >0D ．a >1，b <0解析 数形结合是解题中常用的方法之一，熟练掌握基本初等函数的图象及性质是利用数形结合法解题的前提．由指数函数y ＝a x 向下平移1－b 个单位，使1－b >1即可得知．答案 B5．(全国高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x －1 x ≤0 ，x 12 x >0 .若f (x 0)<1，则x 0的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析 当x ≤0时，2－x 0－1<1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0<2，即x 0>－1，当x >0时，x 120<1，得x 0<1.答案 A6．(湖北高考)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )A ．e x －e －xB .12(e x ＋e －x )C .12(e －x －e x )D .12(e x －e －x ) 解析 ∵f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )．∴f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x.又∵f (x )＋g (x )＝e x ，∴g (x )＝e x －e －x 2. 答案 D。
指数函数导学案
指数函数（1）一、学习目标1．通过数学模型理解指数函数的概念；2．学会画出指数函数的图像，并由图像指出相关性质； 3．引导学生观察、分析、归纳能力，发展学生的思维能力．二、自学评价 1、一般地，函数 叫做指数函数，定义域为2、指出下列函数哪些是指数函数()()()()()()()4142324y 315106y 3x x x x x y y x y y -===-=+=-= 3、利用描点法作出12,2xx y y ⎛⎫== ⎪⎝⎭的图像4、归纳出()0,1x y a a a =>≠且的图像，指出其性质三、【精典范例】例1：画出下列函数图像并指出其单调性()()()()2152y 330.54y 2xx x x y y ⎛⎫== ⎪⎝⎭==-例2：1）、若函数 ()233x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为2）、函数()210,1x y aa a -=+>≠且的图像必经过点例3：比较下列各组数中两个值的大小()()() 2.5 3.2-1.2-1.50.3 1.211.5,1.520.5,0.531.5,0.8四、检测反馈1、如果指数函数()()12x f x a =-在实数R 上是减函数，那么实数a 的取值范围2、试比较下列各组数的大小()()()10.244122551,6612,1530.8,4ππ-----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭3、求满足下列条件的实数x 的取值范围()()()()12812327132450.2x x x ><⎛⎫> ⎪⎝⎭<指数函数（2）一、学习目标1、了解简单的函数图象的平移变换2、学会通过图象观察函数的基本性质3、培养学生动手、观察和发展学生思维能力二、自学评价1、作出下列函数的图象并指出他们之间的关系()()()22122232x x x y y y -+===()42x y -=2、思考函数x h y a +=，x h y a -+=与函数()0,0,0x y a a a h =>≠≠的图象之间有什么关系？三、【精典范例】例1：如果指数函数()()1xf x a =-是R 上的单调减函数，那么a 的取值范围是例2：求下列函数的定义域和值域 ()()()141122233421x x x x y y y --+=⎛⎫= ⎪⎝⎭=++例3：函数()()0,1x f x a a a =>≠在]1,2⎡⎣中最大值比最小值大2a ，求a 的值。
指数函数及其性质(导学案)
5.求函数 y 4x 2x1 1(x R) 的值域.
x t 2 (t 0), 解：运用换元法，令
得到关于t的二次函数，答案为 (1, )
2014-11-13
6.若函数 求a的取值范围.
ax2 1( x 0) f ( x) 2 ax (a 1)e ( x 0)
y ax
( a 1)
y a x (0 a 1)
y
1 0
x
1
0
x
图象自左至右逐渐上升
2014-11-13
图象自左至右逐渐下降
探究3 指数函数的性质
0<a<1
y ax
y
a>1
y
y ax
( a 1)
图象
1
0
x
1 0
x
定义 域 值域
R （0，+∞）
2014-11-13
（1）过定点（0，1），即x=0 性质 时， y=1 R上是 （2）在R上是增函 （2）在 减函数 数
2014-11-13
3.若函数y=2|1-x|+m的图象与x轴有公共点，则m的取
值范围是( A ).
A.m≤-1
C.m≥1
B.-1≤m＜0
D.0＜m≤1
解析：∵|1-x|≥0,∴2|1-x|≥1.
∵y=2|1-x|+m≥1+m,
∴要使函数y=2|1-x|+m的图象与x轴有公共点，
则1+m≤0即m≤-1.
0 1
0.5
1
1.5
2
0.7 0.3 0.2 0.5 1 5 5
1 y 2
x
《指数与指数幂的运算(2)》导学案
1 2.1.1《指数与指数幂的运算(2)》导学案姓名: 班级: 组别: 组名:【学习目标】1、熟练掌握根式与指数幂的互化2、熟练运用指数幂的运算性质进行化简、求值【重点难点】▲重点：根式、指数幂的运算性质▲难点：化简、求值的技巧【知识链接】1、二次根式的性质 a a =2)(，⎩⎨⎧<->==00||2a a a a a a 2、整数指数幂及运算性质3、立方和、差公式：))((2233b ab a b a b a +±=±【学习过程】阅读课本P49，尝试回答以下问题知识点一：分数指数知识点三：典型例题问题1：求下列各式的值：(考查根式的性质) ⑴88)2(-x ⑵4433)21()21(223-+-+-问题2：用分数指数幂表示下列各式：(0,0>>b a ) (考查根式与分数指数幂的转化) ⑴43a a ⋅⑵a a a ⑶323)(ab a ⋅⑷332)(ab ab2问题3：计算下列各式的值：(分数指数幂的运算) ⑴75.034303116])2[()87(064.0---+-+-- ⑵)0,0()(1.0)4()41(213323121>>⋅----b a b a ab用分数指数幂表示下列各式：【基础达标】A1：计算：（1）6a （a ＞0）B2：把下列各式化成分数指数幂的形式：（1）432981⨯ （2）3252)(1x x (0≠x )C3：计算下列各式（1）3)21()161(164321--- （2）20)154(35-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+-3D4：化简2423221)(---÷⋅a b b a【小结】【当堂检测】1，2125-等于（ ）A 25B 251C 5D 51 2，若4=x ，则33x 的平方根是（ ）A 4B 2C 2±D 不确定【课后反思】本节课我最大的收获是 我还存在的疑惑是 我对导学案的建议是。
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指数与指数函数（预习案）
命题人 张慧 班级 姓名
1、 了解指数函数模型的实际背景。
2、 理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
3、 理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点。
1、 根式和正数的分数指数幂
（1）=a n m
(a>0,m,n ∈N +,且m/n 为既约分数)。
（2）=-a
n m (a>0,m,n ∈N +,且m/n 为既约分数)。
（3）0的任何次方根都是 ，即 =0。
（4）()
=n a n （n ∈N +）。
（5）当n 为奇数时，=n n a ；当n 为偶数时，=n n a 。
2、 有理指数幂的运算性质 （1）a a s r ⋅= （a>0,r,s ∈Q ）.
（2）
()a r s = （a>0,r,s ∈Q ）. (3 )()ab r = (a>0,b>0,r ∈Q).
（4）=÷a a s r （a>0,r,s ∈Q ）.
3、 指数函数
一般地，函数y=a x (a>0,a ≠1,x ∈R)叫做 ，其中x 是自变量。
4. 指数函数的图像与性质
1 .已知函数()()1,0≠>+=-a a x f a a x
x ，若f(-1)=3,则f(0)+f(2)的值为（ ） A.13 B.9 C.7 D.11
2. 若定义域为R 的函数f(x)满足条件：f(0)=1,f(3x)=[f(x)]3,则f(x)可能是（ ）
A.f(x)=2x
B.f(x)=x 3
C.f(x)=(1/4)x
D.f(x)=log 2(x+1)
3. 函数f(x)=a x-2009+2009(a>0,a ≠1)的图像恒过定点P ，则P 点坐标为
4. 函数f(x)=(1/5)x -3x 在闭区间[-1,1]上的最大值等于 。
5. 函数()()3/23+=x x f 的单调递减区间是 ，该函数的最大值是 。
通过这堂课的学习，我明确了
收获与感受
疑惑之处
指数与指数函数（学习案）
命题人 郑卫生 张晓菲 班级 姓名
1了解指数函数模型的实际背景。
2理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
3理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点。
例1 若2x =8y-1,9y =3x-9,则x+y 等于（ ）
A.18
B.24
C.27
D.45
例2 函数x x y a x =
（0<a<1）的图像的大致形状是（ ）
例3 已知函数()()
3/142-=x x f ， （1） 求函数的单调区间； （2） 解不等式()331≤
x f
例4 如果函数y=a 2x +2a x -1(a>0,a ≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14，求a 的值。
1.在养分充足的情况下，细菌的数量会以指数函数的方式成长。
假设细菌A 的数量每2小时可以成长为原来的2倍；细菌B 的数量每5个小时可以成长为原来的4倍。
现在若养分充足且一开始两种细菌的数量相等，则经过（ ）小时后，细菌A 的数量是B 的数量的两倍。
A.5
B.10
C.15
D.20
2.若函数y=a x +b-1(a>0,a ≠1)的图象经过第二，三，四象限，则一定有（ ）
A.0<a<1,b>0
B.a>1,b>0
C.0<a<1,b<0
D.a>1,b<0
3. 函数12-=x y 在区间（k-1,k+1）上不单调，则k 的取值范围（ ）
A.(-1,+∞)
B.(-∞,1)
C.(-1,1)
D.(0,2)
4.（1）已知-1≤x ≤0,函数y=2
x+2-3*4x 的最大值为 （2）函数221x x y +=
的值域为
1. 若x>0,则=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x x 2121234123414
2
2
33
2. 若52sin ,3,log log 225.0ππ===c b a , 则（ ）
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>a>b
D.b>c>a
3. 若函数f(x),g(x)分别为R 上的奇函数,偶函数，且满足f(x)-g(x)=e x ,则有（ ）
A ．f(2)<f(3)<g(0) B. g(0)< f(3)< f(2) C. f(2)< g(0)< f(3)
D. g(0)< f(2)< f(3)
已知函数f(x)=(1/3)x ,x ∈[-1,1],函数g(x)=f 2(x)-2af(x)+3的最小值为h(a),
(1) 求h(a)；
（2）是否存在实数m ，同时满足以下条件：
①m>n>3;
②当h(a)的定义域为[n,m]时，值域为[n 2,m 2]?若存在，求出m,n 的值；若不存在，说明
理由。
1. 比较两个指数幂大小时，尽量化为同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同
一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小或构造一个幂函数。
2. 解简单的指数不等式时，当底数含参数，且底数的大小不确定时，要对底数分大于
1与大于零小于1的正数两种情况进行讨论，即
()()()()()()⎩⎨⎧<<<>>⇔>10,1,a x g x f a x g x f a a x g x f 3.
在第一象限，指数函数图象由下往上，对应底数逐渐增大。
4. 可化为02=+⋅+C B a a x x 或02≥+⋅+C B a a x
x （或≤0）的指数方程或不等式，常借助换元法解决。