高等数学教学课件6.1,
高等数学(下)(适用于经济类、管理类各专业)6.1-6.2
称其为空间直线的点向式方程.
特别地， 当l=0时， 直线方程为x=x0， y－y0m=z－z0n，
该直线是平面x=x0上的一条直线.
y=y0，
当l=m=0时， 直线方程为x=x0，
该直线是过点（x0， y0， 0）且平行于z轴的一条直线.
例7
解
求过两点P1（1， 2， -1）与P2（3， -2， 5）的直线方程.
类似于平面直角坐标系，
空间中的任意一点也可与三元有序数组（x， y， z）建立一一对应关系.
图6-2
如图6-3所示，对于空间中任意一点P，
可以过点P分别作垂直于x轴、y轴、z轴的三个平面，
这三个平面与坐标轴分别交于A、 B、 C三点，
这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标依次记为x、 y、 z.
这样一来， 点P就对应到了三元有序数组（x， y， z）；
即平面Oxy上的单位圆.
思考
平面Oxy上的单位圆还可以用其他的方程组来表示吗？
三、 平面与空间直线
1. 平面的方程
平面是特殊的曲面.
因此空间直角坐标系中的平面方程也是关于x、 y、 z的三元方程，
且平面方程的一般形式为Ax+By+Cz+D=0，
且A、 B、 C不全为零.
其中A、 B、 C、 D是常数，
该平面的方程为A（x－x0）+B（y－y0）+C（z－z0）=0，
称其为平面的点法式方程.
例6
在空间直角坐标系中，
求到两定点A（x1， y1， z1）和B（x2， y2， z2）距离相等的点的轨迹.
解
设P（x， y， z）是轨迹上的任意一点， 则|PA|=|PB|，
高等数学教学课件PPT
注 （1） 周期函数在每个周期上有相同的图形
（2） 通常周期函数的周期是指最小正周期
（3） 并非每个周期函数都有最小正周期
例：常量函数 f ( x) C
y
狄利克雷函数
1 f (x) 0
xQ x QC
1
概念
概念
集映
函
合射
逆映射
反函数
数
区邻 间域
构造 复合映射
构造
➢概念
设函数 f : D f (D) 是单射， 则它存在逆映射 f 1 : f (D) D 称映射 f 1 为函数f 的反函数. 一般地， y f ( x), x D的反函数记成 y f 1( x), x f (D)
1, x 0
y
sgn
x
0,
x0
1, x 0
y
1
o
x
1
y
注 分段函数不一定就是非初等函数！
2 1o 1 2 3 4 x
x x0
2
例5 设f(x)的定义域D=[0,1]，求下述函数的定义域
当 x1 x2 时，恒有 f ( x1) f ( x2 )
那么称函数f (x)在区间I上是单调增加的 o
类似可定义函数f (x)在区间I上是单调减少的
x1 x2 x
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D
y
➢ 如果对于区间I上的任意两点x1及x2，
当 x1 x2 时，恒有 f ( x1) f ( x2 )
设f是从集合X到集合Y的映射
若
即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,
则称f为X到Y上的映射或满射
若对X中任意两个不同的元素 则称f为X到Y的单射
《高数》第6章
把 x t t 0 1, x t t 0 3 代入 x t c1 cos t c2 sin t 和
x t c1 sin t c2 cos t 得 c1 1, c2 3 ．故所求的解为： x t cos t 3sin t
得到通解
G ( y ) F ( x) c 1 其中G(y)与F(x)分别是 与f(x)的一个原函数， c是 g ( y) 任意常数，式(2)就是方程(1)的隐式通解. 第 三 步 ， 在 第 一 步 中 ， 用 g(y) 除 方 程 的 两 边 ， 而 g(y)=0 是 不 能 做 除 数 的 ， 所 以 对 g(y)=0 要 单 独 考 虑．由g(y)=0解出的y是常数，它显然满足原方程， 是原方程的特解，这种特解可能包含在所求出的通解 中，也可能不包含在所求出的通解中（此时要把它单 独列出）． 例1 分方程 y 2 xy 的通解．
例3(推广普通话问题) 在某地区推广普通话，该地 区的需要推普的人数为N，设t时刻已掌握普通话的 人数为p(t)，推普的速度与已推普的人数和还未推普 的人数之积成正比，比例常数为k＞0于是得到 dp kp ( N p ) dt
此方程称为logisitic方程，在生物学，经济学等学科 领域有着广泛应用． 定义1 含有未知函数的导数(或微分)的方程叫微分方 程．未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方 程．如 (1) y x dp kp ( N p ) (2) dt
y P ( x ) y Q ( x ) 的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)为Q(x)的已 知函数．当Q(x)不恒为0时，方程(5) 称为一阶线性非 齐次微分方程.当 Q( x) 0时，方程(5)变成 y P ( x ) y 0 该方程称为一阶线性齐次微分方程． 显然，一阶线性齐次微分方程是可分离变量的方 程．一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下： 第一步，先求解其对应的齐次方程： y P ( x ) y 0
§6.1定积分的元素法§6.2几何应用(面积、体积)(2015)
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA 1 ( )2 d
2
所求曲边扇形的面积为
r ( ) d
A 1 2 ( ) d 2
x
《高等数学》
返回
下页
结束
例4. 计算阿基米德螺线 到 2 所围图形面积 .
解:
A
2
0
1 (a )2 d
2
02
y
ox
R x
《高等数学》
返回
下页
结束
微分的几何意义与切线段的长度
dy f (x)dx
y y f (x)
y
ds dy dx
o
x
x
切线段的长度
x dx
此直角三角形称为： 微分三角形
ds (d x)2 (d y)2 1 f 2 (x)dx （弧微分公式）
曲线 y f (x) C[a,b], s b 1 f 2 (x)dx.
4 3 a2
3
对应 从 0 变
2 a
o
x
d
例5. 计算心形线
所围图形的面积 .
解:
1 (1 cos )2 d
2
2
2
1 (3cos
)2
d
2
3
5.
4
《高等数学》
返回
与圆
(
3
,
(利用对称性)
)
23
d
o
2x
下页
结束
二、体积
１．平行截面面积为已知函数的立体体积
§6 定积分的应用
§6.1 定积分的元素法（微元法） §6.2 几何应用 §6.3 物理应用
高等数学第6章
• 另外，如果这个极限存在，也称广义积分 • 收敛，否则称广义积分
发散。
• 同样可定义广义积分 及其收敛
• 和发散。对广义积分 •
，
存在的充分必要条件是对任意 实数a,两个广义积分 和
都收敛。
• 6.5.2 无界函数的定积分
• 定义6.5.2 设函数 f (x)在[a,b)有定义，且当 x→b-时，f (x)→∞，设δ＞0，积分
• 如果极限
• 存在，这个极限就称为无界函数 f (x)在[a,b] 上的广义积分，记为
• 也称广义积分
极限 •
收敛。否则，如果
不存在，就称广义积分
是发散的。
• 类似地，如果当x→a+时，f(x)→∞，可以类
似地定义广义积分 为：
• 而对当a＜c＜b,当x→c时，f(x)→∞，规定广
义积分 • 和 存在当且仅当广义积分 都存在，且
• 6.3 微积分学基本定理 • 6.3.1 变限定积分 • 定理6.3.1 如果函数f (x)是区间[a,b]上的一个
连续函数，那么当a≤x≤b时，变上限积分
• 是一个可导函数，且
• 定理6.3.2 在区间[a,b]上连续的函数 f (x)的
• 原函数一定存在，且变上限积分
• 就是它的一个原函数。 • 例6.3.4 设 f (x)，g(x)和h(x)都是连续函数，
• 令各小区间的最大长度
，
• 如果不论小区间怎样划分，也不论在小区
间[xk-1,xk]上如何取ξk，当λ→0时，极限
•
• 为
总是存在，则这一极限就称
为函数 f (x)在区间[a,b]上的定积分。记 ，即：
• 关于定积分的定义，我们做如下说明：
共形映射
第六章共形映射（The Conformal mapping）第一讲授课题目：§6.1共形映射的概念；§6.2共形映射的基本问题教学内容：导数的几何意义、共形映射的概念、解析函数的保域性与边界对应原理、共形映射的存在唯一性.学时安排：2学时.教学目标：1、理解导数的几何意义；2、弄清共形映射的概念；3、掌握解析函数的保域性与边界对应原理、共形映射的存在唯一性；教学重点：解析函数的保域性与边界对应原理；教学难点：解析函数的保域性与边界对应原理；教学方式：多媒体与板书相结合.P习题六：1-3作业布置：164板书设计：一、导数的几何意义；二、共形映射的概念；三、解析函数的保域性与边界对应原理；四、共形映射的存在唯一性参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社；2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版；3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月课后记事：1、基本掌握共形映射的概念；2、不能灵活运用解析函数的保域性与边界对应原理；教学过程：§6.1共形映射的概念(The conception of conformal mapping)一、导数的几何意义（Geometric meaning of derivative ）1、解析变换的保域性（Transform domain of security analysis ）解析函数所确定的映射是共形映射.它是复变函数论中最重要的概念之一，与物理中的概念有密切的联系，而且对物理学中许多领域有重要的应用.如应用共形映射成功地解决了流体力学与空气动力学、弹性力学、磁场、电场与热场理论以及其他方面的许多实际问题.我们主要研究单叶解析函数的映射性质.注1：单叶函数是一个单射的解析函数.例 1 函数α+=z w 及z w α=是z 平面上的单叶解析函数它们把z 平面映射成w 平面，其中α是复常数，并且对于第二个映射0≠α.例 2 z e w =在每个带形,2Im π+<<a z a 内单叶解析，并且把这个带形区域映射成w 平面上除去从原点出发的一条射线而得的区域，，其中a 是任意实常数.引理（Lemma ）：设函数)(z f 在0z z =解析，并且)(00z f w =.设...)3,2,1(0)(,0)(...)('')('0)(0)1(00=≠====-p z f z f z f z f p p ，那么0)(w z f -在0z 有p 阶零点，并且对充分小的正数ρ，存在着一个正数μ，使得当μ<-<||00w w 时，w z f -)(在ρ<-<||00z z 内有p 个一阶零点.证明：由已知条件可知0)(w z f -在0z 有p 阶零点.由于)(z f 不恒等于零，作以0z 为心的开圆盘ρ<-|:|0z z D ，其边界为C ，使得)(z f 在C D D ⋃=上解析，并且使得0)(w z f -及)(z f '除去0z z =外在D 上无其它零点.有0|)(|min 0>=-∈μw z f Cz 取w ，使μ<-<||00w w .由儒歇定理，比较w z f -)(及0)(w z f -在内D 的零点的个数.由于),())(()(00w w w z f w z f -+-=-而当C z ∈时,0|||)(|00>->≥-w w w z f μ可见w z f -)(及0)(w z f -在D 内的零点个数同为p （每个n 阶零点作n 个零点）.因为0w w ≠，所以0z z ≠，而0]')([0≠-≠z z w z f . 所以w z f -)(在D 内的每个零点都是一阶的.由此引理可证明下面定理定理(Theorem)6.1、设函数)(z f 在区域D 内单叶解析，则D z ∈∀，有 .0)('≠z f注2：这个定理的逆定理不成立，例如z e w =的导数在z 平面上任意一点不为零，而z e w =在整个z 平面上不是单叶的.定理(Theorem)6.2设函数)(z f w =在0z z =解析，并且0)('0≠z f ，那么)(z f 在0z 的一个邻域内单叶解析.定理(Theorem)6.3设函数)(z f w =在区域D 内解析，并且不恒等于常数，则)(1D f D =是一个区域.注3：如果)(z f w =在区域D 内单叶解析，根据定理6.3，它把区域D 双射成区域)(D f .于是)(z f 有一个在)(D f 内确定的反函数)(w z ϕ=.定理(Theorem)6.4设函数)(z f 在区域D 内单叶解析，则)(z f w =在)(D f 内存在单叶解析的反函数)(w z ϕ=，且 .)('1)('z f w =ϕ 证明：考虑以下思路：)(0D f w ∈∀，有D z ∈∀0,1)()(000000z z w w w w z z w w w w --=--=--ϕϕ 因为当0w w →时，)()(00z z w z ϕϕ=→=，所以,)('1)()(lim 1lim 1)()(lim 0000000000z f z z z f z f z z w w w w w w z z z z w w =⎪⎪⎭⎫ ⎝--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--→→→ϕϕ即可给出定理的证明.2、导数的几何意义(Geometric meaning of derivative)设函数)(z f w =是区域D 内的单叶解析函数.)(,000z f w D z =∈.则有0)('0≠z f .过0z 作一条简单光滑曲线C ： ),()()()(b t a t iy t x t z z ≤≤+==]),[()(000b a t z t z ∈=.)(')(')('t iy t x t z dtdz +== 则)(0t z '存在，且0)(0≠'t z作过曲线C 上点)(00t z z =及)(11t z z =的割线，割线的方向向量为0101t t z z --，当1t 趋近于0t 时，向量0101t t z z --与实轴的夹角0101arg t t z z --存在极限，即为曲线C 在0z z =的切线的位置.已知,0)('lim 0010101≠=--→t z t t z z t t 所以，有),('arg arg lim 0010101t z t t z z t t =--→ 这就是曲线C 在)(00t z z =处切线与实轴的夹角，在这里幅角是连续变动的，并且极限式两边幅角的数值是相应地适当选取的. 函数)(z f w =把简单光滑曲线C 映射成一条简单曲线Γ： ),())((1t t t t z f w o ≤≤=由于())('))(('000t z t z f t w ='，可见Γ也是一条光滑曲线；它在0w 的切线与实轴的夹角是()),('arg ))(('arg )('))(('arg arg 00000t z t z f t z t z f t w +==' 因此，Γ在0w 处切线与实轴的夹角及C 在0z 处切线与实轴的夹角相差)('arg 0t z .注4：这里的)('arg 0t z 与曲线C 的形状及在0z 处切线的方无关.另外在D 内过0z 另有一条简单光滑曲线)(:11t z z C =，函数)(z f w =把它映射成一条简单光滑曲线))((:11t z f w =Γ.和上面一样，1C 与1Γ在0z 及0w 处切线与实轴的夹角分别是)('arg 01t z 及),('arg ))(('arg )('))(('arg 01010101t z t z f t z t z f +=所以，在0w 处曲线Γ到曲线1Γ的夹角恰好等于在0z 处曲线C 到曲线1C 的夹角：),('arg )('arg )('))(('arg )('))(('arg 001000101t z t z t z t z f t z t z f -=-因此，用单叶解析函数作映射时，曲线间的夹角的大小及方向保持不变，我们称这个性质为单叶解析函数所作映射的保角性.下面再说明它的模的几何意义.因为,|||)()(|lim |)('|0000z z z f z f z f z z --=→ 由于|)('|0z f 是比值|||)()(|00z z z f z f --的极限，它可以近似地表示这种比值.在)(z f w =所作映射下，||0z z -及|)()(|0z f z f -分别表示z 平面上向量0z z -及w 平面上向量)()(0z f z f -的长度，这里向量0z z -及)()(0z f z f -的起点分别取在0z 及)(0z f .当较小||0z z -时，|)()(|0z f z f -近似地表示通过映射后，|)()(|0z f z f -对||0z z -的伸缩倍数，而且这一倍数与向量0z z -的方向无关.我们把|)('|0z f 称为在点0z 的伸缩率.从几何直观上来看.设)(z f w =是在区域D 内解析的函数，0)(',),(,00000≠∈=∈z f D z z f w D z ，那么)(z f w =把z 平面上半径充分小的圆ρ=-||0z z 近似地映射成w 平面上圆),0(|)('|||00+∞<<=-ρρz f w w因此，解析函数在导数不为零的地方具有旋转角不变性和伸缩率不变性.二、共形映射的概念(The concept of conformal mapping) 定义(Definition)6.1对于区域D 内的映射)(z f w =，如果它在区域D 内任意一点具有保角性和伸缩率不变性，则称映射)(z f w =是第一类保角映射；如果它在区域D 内任意一点保持曲线的交角的大小不变，则称映射)(z f w =是第二类保角映射.定理(Theorem)6.5如)(z f w =在区域D 内解析，且0)(≠'z f 则)(z f w =所构成的映射是第一类保角映射. 定义(Definition)6.2设)(z f w =是区域D 内的第一类保角映射，如果当21z z ≠时，有()21)(z f z f ≠，，则称)(z f 为共形映射.例1z e w =在复平面上解析，且0)(≠='z z e e ，因此z e 在任何区域内都构成第一类保角映射，但它在复平面上不是共形映射，而在区域π4Im 0<<z 内，z e w =构成共形映射.§6.2共形映射的基本问题(The basic problem of conformal mapping)一、共形映射的基本问题(The basic problem of conformalmapping)对于共形映射，我们主要研究下列两个方面的问题.问题一 对于给定的区域D 和定义在D 上的解析函数()z f =ω，求像集()D f G =，并讨论()z f 是否将D 共形的映射为G .问题二 给定两个区域D 和G ，求一解析函数()z f =ω，使得()z f 将D 共形的映射为G .对于问题二，我们只需考虑能把D 变为单位圆内部即可.这是因为若存在函数()z f =ξ把D 变为1<ξ，而函数()ωξg =把G 变为1<ξ，则()()z f g 1-=ω把D 映射为G （下图）.二、 解析函数的保域性与边界对应原理(Analytic functions of protection domain and the boundary correspondence principle )对于问题一，有下面两个定理.定理(Theorem)6.6（保域性定理） 设函数()z f 在区域D 内解析，且不恒为常数，则像集合()D f G =是区域.定理(Theorem)6.7 （边界对应原理）设区域D 的边界为简单闭曲线C ，函数()z f =ω在C D D Y =上解析，且将C 双方单值的映射成简单闭曲线Γ.当z 沿C 正向绕行时，相应的ω的绕行方向定为Γ的正向，并令G 是以Γ为边界的区域，则()z f =ω将D 共形的映射为G .注1：定理6.6说明了解析函数把区域变为区域， 注2：定理6.7为像区域的确定给出了一个一般性的方法. 注3：是Γ的方向.（如下图），区域D 在曲线C 的内部，在C 上沿逆时针方向取三个点321,,z z z ，函数()z f =ω将C 于321,,z z z 分别映射为Γ和321,,ωωω.若321,,ωωω也按逆时针方向排列，则像区域G 在Γ的内部.例1 设区域⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<<=10,2arg 0:z z z D π，求区域D 在映射3z =ω下的像区域G .解：（如下图），设区域D 的边界为321C C C ++，其中1C 的方程为θi e z =（θ从0到2π），相应的像曲线1Γ的方程为 ϕθωi i e e ==3（ϕ从0到23π）； 2C 的方程为iy z =（y 从1到0），相应的像曲线2Γ的方程为()iv y i =-=3ω （v 从-1到0）3C 的方程为x z =（x 从0到1），相应的像区线3Γ的方程为u x ==3ω（u 从0到1）.因此像区域为()b⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<<=23arg 0,10:πωωωG .三、 共形映射的存在唯一性(Conformal mapping of the existence and uniqueness)1、问题二函数的存在性：当区域D 是下面两种情况之一时，将不存在解析函数，使之保形地映射为单位圆内部.第一，区域是扩充复平面；第二，区域是扩充复平面除去一点（不妨设为∞点，如果是有限点z ，只需做一映射01z z -=ξ即可）.无论哪一种情况，如果存在函数)(z f =ω将它们共形映射为1<ω，则)(z f 在整个复平面上解析，且1)(<z f .根据刘维尔定理（见§3.4）)(z f 必恒为常数.这显然不是我们所要求的映射.2、问题二函数的唯一性： 一般说来是不唯一的，例如，对任意给定的常数0θ，映射0θωi ze =均把单位圆内部映射为单位圆内部.那么，到底在什么情况下，共形映射函数存在且唯一呢？黎曼（Riemann ）在1851年给出了下面的定理，它是共形映射的基本定理.定理(Theorem)6.8（黎曼存在唯一性定理） 设D 与G 是任意给定的两个单连域，它们的边界至少包含两点，则一定存在解析函数)(z f =ω 把D 保形的映射为G .如果在D 和G 内在再分别任意指定一点0z 和0ω，并任給一实数)(00πθπθ≤<-，要求函数)(z f =ω满足00)(ω=z f 且00)(arg θ='z f 则映射)(z f =ω是唯一的.注4：黎曼存在唯一性定理肯定了满足给定条件的函数的存在唯一性，但没有给出具体的求解方法.2 1§6.3 分式线性映射分式线性函数及其分解、分式线性映射的保圆性、保行性、保对称点性、唯一决定分式线性映射的条件、两个典型区域间的映射.1、理解分式线性函数所构成的映射2、掌握分式线性映射的性质3、切实掌握两个典型区域间的映射分式线性映射的保圆性、保行性解析函数的保域性与边界对应原理分式线性映射的保对称点性、唯一决定分式线性映射的条件讲授法多媒体与板书相结合P习题六：4-9164一、分式线性函数及其分解二、分式线性映射的保圆性三、分式线性映射的保行性四、分式线性映射的保对称点性五、两个典型区域间的映射[1]《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.[2]《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版社.[3]《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005.[4]《复变函数与积分变换》,苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008. 基本掌握分式线性函数所构成的映射第二讲授课题目：§6.3 分式线性映射；教学内容：分式线性函数及其分解、分式线性映射的保圆性、保行性、保对称点性、唯一决定分式线性映射的条件、两个典型区域间的映射.学时安排：2学时.教学目标：1、理解分式线性函数所构成的映射；2、掌握分式线性映射的性质；3、切实掌握两个典型区域间的映射；教学重点：分式线性映射的保圆性、保行性；教学难点：分式线性映射的保对称点性、唯一决定分式线性映射的条件；教学方式：多媒体与板书相结合.P习题六：4-9作业布置：164板书设计：一、分式线性函数及其分解；二、分式线性映射的保圆性；三、分式线性映射的保行性；四、分式线性映射的保对称点性；五、两个典型区域间的映射参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社；2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版；3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月；4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月；课后记事：基本掌握分式线性函数所构成的映射；教学过程：§6.2 分式线性映射（The fraction linearity mapping ）形如：dz c baz w ++=的函数，称为分式线性函数.其中d c b a ,,,是复常数，而且0≠-bc ad .在0=γ时，我们也称它为整式线性函数. 一、 分式线性函数及其分解(Fractional linear function and its decomposition) 一般分式线性函数总可以分解为下列四种简单函数复合： （1）α+=z w （α为一个复数）； （2）z e w i θ=（θ为一个实数）； （3）rz w =（0>r ）； （4）、zw 1=. 例2 将分式线性函数iz zw +=2分解为四种简单函数复合 解：⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+-+=+=-i z e i z ii z z w i 1222222π，其复合过程为w z z z z z z z ez z iz i −−→−−→−−−→−−→−−→−++-242321143221π1、平移、旋转与相似映射 (1) 平移映射：α+=z w令iy x z +=，21ib b b +=，iv u w +=，则有1b x u +=，2b y v +=，它将曲线C 沿b 的方向平移到曲线γ(2)旋转映射：z e w i θ=令0θi e z =，则有)(0θθ+=i e w ，它将曲线C 绕原点旋转到曲线γ. (3 ) 相似映射：rz w =令θρi e z =，则有θρi e r w =，它将曲线C 放大（或缩小）到曲线γ 2、反演映射：zw 1=令θi re z =，则有)(1θ-=i e r w 即zw 1=，zw arg arg -=由zw 1=可知，当1<z 时，1>w ；当1>z 时，1<w 因此反演映射zw 1=的特点是将单位圆内部（或外部）的任一点映射到将单位圆外部（或内，部）且辐角反号.反演映射zw 1=可以分两步进行，第一步，将z 映射为z w 11=:zw 11=,且 z w arg arg 1=再将1w 映射为w 满足: 1w w=,且11arg arg w w -=定义 6.3设某圆的半径为B A R ,,为两点在从圆心出发地射线上，且2R B o A o =⋅,则称B A 与是关于圆周对称的.即设已给圆)0(|:|0+∞<<=-R R z z C ，如果两个有限点1z 及2z 在过0z 的同一射线上，并且20201||||R z z z z =--，那么我们说1z 及2z 是关于圆C 的对称点.因此，zw 1=可由单位圆对称映射与实轴对称映射复合而成. 二、分式线性映射的保行性(Fractional linear maps preserving feasibility)规定：在扩充复平面上，任一直线看成半径是无穷大的圆. 定理(Theorem)6.8 在扩充复平面上，分式线性函数把圆映射成圆.证明：由于分式线性函数所确定的映射是平移、旋转、相似映射及zw 1=型的函数所确定的映射复合而得，但前三个映射显然把圆映射成圆，所以只用证明映射z w 1=也把圆映射为圆即可. 由此可得如下定理定理(Theorem)6.9分式线性函数在扩充复平面上是共形映射.三、分式线性映射的保圆性(Fractional linear maps preserving circle of)定理(Theorem)6.10扩充 z 平面上任何圆，可以用一个分式线性函数映射成扩充 w 平面上任何圆. 证明：由映射zw 1=把圆映射为圆可证明此定理. 注1：圆C 上的点是它本身关于圆C 的对称点；注2：规定0z 及∞是关于圆C 的对称点；注3 :利用此定理也可以解释关于直线的对称点.例1 求实轴在映射iz i w +=2下的像曲线. 解：在实轴上取三点∞=1z ，02=z ，13=z ，则对应的三个像点为01=w ，22=w ，i w +=13，所以像曲线为11=-w ，上半平面被映射到圆的内部，而下半平面被映射到圆的外部.四、分式线性映射的保对称点性(Fractional linear maps of symmetric point of)引理:不同两点1z 及2z 是关于圆C 的对称点的必要与充分条件是通过1z 及2z 的任何圆与圆C 直交.定理(Theorem)6.11设点1z 及2z 关于圆C 的对称，则在分式线性映射下，它们的像点1w 及2w 关于圆C 的像曲线Γ对称.证明：设Γ'是过1w 及2w 的任意一个圆，则其原像C '是过1z 及2z 的圆.由1z 及2z 是关于圆C 对称，有C '与C 正交，由保角性Γ'与Γ正交，即过1w 与2w 的任意圆Γ'与Γ正交，因此1w 及2w 关于圆C 的像曲线Γ对称.五、唯一决定分式线性映射的条件(The only decision the conditions of fractional linear maps)定理(Theorem)6.12 在z 平面上任意三个不同的点321,,z z z 以及扩充 w 平面上任意三个不同的点321,,w w w ，存在唯一的分式线性函数，把321,,z z z 分别映射成321,,w w w .证明：在z 平面上，考虑已给各点都是有限点的情形.设所求分式线性函数（也称为分式线性变换）是d cz b az w ++=那么，由dcz b az w d cz b az w d cz b az w ++=++=++=222222111,, 得))(())(())((1111d cz d cz d cz b az d cz b az w w ++++-++=-))(())((11d cz d cz bc ad z z +++-= 同理，有：))(())((131313d cz d cz bc ad z z w w +++-=-，))(())((232323d cz d cz bc ad z z w w +++-=-，))(())((222d cz d cz bc ad z z w w +++-=-， 因此，有231321231321::z z z z z z z z w w w w w w w w ----=----， 将上式整理后可以解出形如dcz b az w ++=的分式线性函数.显然得这样的分式线性函数是唯一的. 由此，我们可以解出分式线性函数.由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的.推论1：如果k z ，或k w 中有一个为∞，则只需要将对应点公式中含有∞的项换为1.推论2：设)(z f w =是一分式线性映射，且)(11z f w =及)(22z f w =，则它可表示成2121z z z z k w w w w --=-- （k 为复常数） 特别：当01=w ，∞=2w 时，有 21z z z z k w --= （k 为复常数） 六、 两个典型区域间的映射(Mapping between the twotypical regions)例1 求一分式线性映射把上半平面0Im >z 保形映射成单位圆盘内部1<w .解：所求映射一方面把0Im >z 内某一点0z 映射成0=w ，另一方面把0Im =z 映射成1=w .由于线性映射把关于实轴0Im =z 的对称点映射成为关于圆1=w 的对称点，所求映射不仅把0z 映射成0=w ，而且把0z 映射成∞=w .因此这种映射形如：0z z z z k w --= （k 为待定的复常数） 当z 是实数时，有,1||00=--z z z z 对应1=w ，所以,1||=k 于是θi e k =，其中θ是一个实常数.因此所求的映射一般为：,00z z z z e w i --=θ 由于z 是实数时，1=w ，因此它把直线0Im =z 映射成圆1=w ，从而把上半平面0Im >z 映射成1<w ，取i z -0，0=θ，得所求映射为：iz i z w +-= 例2 求一分式线性映射把单位圆内部1<z 保形映射成单位圆盘内部1<w .解：在|z |<1内任取一点0z ，映射成00=w ，并且把1=z 映射成1=w .由于0z 与01z 关于圆1=z 对称，所以这种映射把01z 映射成∞=w .因此这种映射形如：01001/1z z z z k z z z z k w --=--= （01z k k -=为待定的复常数） 当|z|=1时，有),(1000z z z z z z z z z -=-=- 于是,1|||1|||||1001==--=k z z z z k w 因此θi e k =1，其中θ是一个实常数.所求的映射为：,100z z z z e w i --=θ2 1§6.4几个初等函数构成的共形映射幂函数、指数函数、综合举例1、掌握幂函数构成的共形映射2、掌握指数函数构成的共形映射函数构成的共形映射指数函数构成的共形映射讲授法多媒体与板书相结合P习题六：4-9164一、幂函数构成的共形映射二、指数函数构成的共形映射三、综合举例[1]《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.[2]《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版社.[3]《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005.[4]《复变函数与积分变换》,苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008. 基本掌握幂函数构成的共形映射，指数函数构成的共形映射掌握不好第三讲授课题目：§6.4几个初等函数构成的共形映射；教学内容：幂函数、指数函数、综合举例学时安排：2学时.教学目标：1、掌握幂函数构成的共形映射；2、掌握指数函数构成的共形映射；教学重点：函数构成的共形映射；教学难点：指数函数构成的共形映射；教学方式：多媒体与板书相结合.P习题六：4-9作业布置：164板书设计：一、幂函数构成的共形映射；二、指数函数构成的共形映射；三、综合举例；参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社；2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版；3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月；4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月；课后记事：基本掌握幂函数构成的共形映射，指数函数构成的共形映射掌握不好；§6.4几个初等函数构成的共形映射(Conformal mapping composed of several elementary functions)一、 幂函数(Power function)()整数2≥=n z w n容易得到：函数n z w =将角形域)2(000nπθθθ≤<<共形映射为角形域00θϕn <<（如下图）.因此通俗地讲，幂函数的特点是扩大角形域.相应地，根式函数n z w =作为幂函数的逆映射，则是将角形域)2(000nπθθθ≤<<共形映射为角形域00θϕ<<.同样，我们也通常说，根式函数的特点是缩小角形域.注意：如果是扇形域（即模有限），则模要相应的扩大或缩小，这一点往往容易忽略.例1 区域{}0Re ,0Im ,1:>><=z z z z D 求一共形映射，将D 变为上半平面.解: 如下图，首先由21z z =将D 变为上半单位圆域.接着由分式线形映射11211z z z -+=将其变为第一象限，最后由映射22z =ω将其变为上半平面.因此所求映射为22211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=z z ω. 二、指数函数(Exponential function)z e w =容易得到 ：函数z e w =将带形域()π2Im 0≤<<h h z 共形映射为角形域h w <<arg 0（图6.20）.因此可以简单的说，指数函数的特点是将带形域变成角形域.相应的，对数函数z w ln =作为指数函数的逆映射，则是将角形域()π2arg 0≤<<h h w 变成带形域h z <<Im 0.例2 求一共形映射，将带形域⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=ππz z D Im 2:映射为上半平面.解: 如下图，首先由平移映射i z z 21π-=将带形域D 变为带形域2Im 01π<<z ，再由相似映射122z z =变为带形域2Im 02π<<z ，最后由指数函数2z e w =变为上半平面.因此所求的映射为⎪⎭⎫⎝⎛-=i z ew 22π.三、综合举例（Comprehensive example ）例3 设区域{}0Im ,1:><=z z z D ，求一个共形映射，将区域D 保形映射成上半平面.解： 作一分式线性映射11'-+=z z w 把-1及+1分别映射成w '平面上的0及∞两点，于是把1=z 及0Im =z 映射成w '平面上在原点互相直交的两条直线.z 平面上的实轴映射成w '平面上的实轴； 0=z 映射成1-='w ，半圆的直径AC 映射成w '平面上的负半实轴；平面-z O)1(-B )(i D -)0(A C平面-'w C)1(-D )1(B )0(A C平面-w圆1=z 映射成w '平面上的虚轴；又由于i z =映射成i i i w -=-+=11'半圆ADC 映射成w '平面上的下半虚轴.由在保形映射下区域及其边界之间的对应关系，已给半圆盘映射到w '平面上的的区域：第三象限23'arg ππ<<w . 作映射2'w w =当w '在第三象限中变化时，w arg 在π2及π3之间变化.因此w '平面上的第三象限就映射成w 平面上的上半平面. 因此，所求共形映射为：22)11('-+==z z w w . 例4 求一个共形映射，把z 平面上的带形π<<z Im 0保形映射成w 平面上的单位圆1<w .解：由于指数函数z e w ='把w 平面上的已给带形保形映射成w '平面上的上半平面. 取w '平面上关于实轴的对称点-i 及i ，那么函数iw iw w +-='', 把的w '平面上的上半平面保形映射成w 平面上的单位圆1<w . 因此，所求共形映射为：ie i e w z z +-=Oi-i平面-'w 平面-z。
应用高等数学-6.1 傅里叶变换
例8
试证单位阶跃函数
F () F[(t)] (t)e jt d t e jt 1
t0
显然， (t)与常数1构成了一傅氏变换对，按
逆变换公式有
(t)
F
1[F ()]
1 2π
e
jt
d
由上式可得 e jt d 2π (t)
（6-9）
这是一个关于δ函数的重要公式．
例5 证明：1和 2π ()构成傅氏变换对．
f
(t)
1, 1,
π t 0 0 t π
如何将函数展开为傅里叶级数的三角形式．
解： 由定理6.1可得 0 1，a0 0，an 0 (n 1, 2,L )
bn
1
π
f (t)sin ntdt
π
π2
π
sin ntdt
0
nπ 2 (cos
nt
π
) 0
nπ 2 (1 cos nπ)
nπ 2 [1 (1)n ]
2π ( 0 )
例7 求正弦函数 f (t) sin 0t 的傅氏变换．
解：
F() F[ f (t)]
e
jt
sin
0t
d
t
1 (e j0t e j0t )e jt d t
2 j
1 (e j(0 )t e j(0 )t ) d t
2 j
jπ[ ( 0 ) ( 0 )]
式中当t=0可得重要积分公式
sin
x
d
x
π
0x
2
例4
求单边指数衰减函数
f
(t)
0, et ,
t0 t0
( 0)
的频谱函数、振幅谱、相位谱．
《高等数学教案》课件
《高等数学教案》PPT课件第一章：导数与微分1.1 导数的概念引入导数的定义解释导数的几何意义举例说明导数的计算方法1.2 基本函数的导数计算常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数总结常用函数的导数公式1.3 微分的概念与应用引入微分的定义解释微分的几何意义举例说明微分的计算方法介绍微分在实际问题中的应用第二章：积分与微分方程2.1 积分的概念引入积分的定义解释积分的几何意义举例说明积分的计算方法2.2 基本函数的积分计算常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的积分总结常用函数的积分公式2.3 微分方程的概念与解法引入微分方程的定义解释微分方程的意义举例说明微分方程的解法介绍微分方程在实际问题中的应用第三章：级数与极限3.1 级数的概念引入级数的定义解释级数的收敛性与发散性举例说明级数的计算方法3.2 幂级数的概念与应用引入幂级数的定义解释幂级数的收敛区间与收敛半径举例说明幂级数的计算方法介绍幂级数在实际问题中的应用3.3 极限的概念与性质引入极限的定义解释极限的意义举例说明极限的计算方法介绍极限在实际问题中的应用第四章：向量与矩阵4.1 向量的概念与运算解释向量的几何意义举例说明向量的运算方法4.2 矩阵的概念与运算引入矩阵的定义解释矩阵的意义举例说明矩阵的运算方法4.3 向量空间与线性变换引入向量空间的概念解释线性变换的意义举例说明线性变换的性质介绍向量空间与线性变换在实际问题中的应用第五章：概率与统计5.1 概率的基本概念引入概率的定义解释概率的意义举例说明概率的计算方法5.2 随机变量的概念与分布引入随机变量的定义解释随机变量的意义举例说明随机变量的分布方法5.3 统计的基本概念与方法解释统计的意义举例说明统计的计算方法介绍统计在实际问题中的应用第六章：多变量微积分6.1 多元函数的概念引入多元函数的定义解释多元函数的意义举例说明多元函数的计算方法6.2 偏导数与全微分引入偏导数的定义解释偏导数的意义举例说明偏导数的计算方法介绍全微分的概念与应用6.3 多重积分的概念与应用引入多重积分的定义解释多重积分的意义举例说明多重积分的计算方法介绍多重积分在实际问题中的应用第七章：常微分方程7.1 常微分方程的概念引入常微分方程的定义解释常微分方程的意义举例说明常微分方程的解法7.2 线性微分方程与非线性微分方程引入线性微分方程与非线性微分方程的定义解释线性微分方程与非线性微分方程的区别与联系举例说明线性微分方程与非线性微分方程的解法7.3 常微分方程的应用介绍常微分方程在物理、工程等领域的应用举例说明常微分方程解决实际问题的方法第八章：数值计算方法8.1 数值计算方法的概念引入数值计算方法的定义解释数值计算方法的意义举例说明数值计算方法的计算过程8.2 数值积分与数值微分引入数值积分与数值微分的定义解释数值积分与数值微分的意义举例说明数值积分与数值微分的计算方法8.3 常微分方程的数值解法引入常微分方程的数值解法的定义解释常微分方程的数值解法的意义举例说明常微分方程的数值解法第九章：概率与统计（续）9.1 描述统计与推断统计引入描述统计与推断统计的定义解释描述统计与推断统计的意义举例说明描述统计与推断统计的方法9.2 假设检验与置信区间引入假设检验与置信区间的定义解释假设检验与置信区间的意义举例说明假设检验与置信区间的计算方法9.3 回归分析与相关分析引入回归分析与相关分析的定义解释回归分析与相关分析的意义举例说明回归分析与相关分析的方法第十章：高等数学在实际问题中的应用10.1 高等数学在物理学中的应用介绍高等数学在经典力学、电磁学等物理学领域中的应用举例说明高等数学解决物理学问题的方法10.2 高等数学在工程学中的应用介绍高等数学在土木工程、机械工程等工程领域中的应用举例说明高等数学解决工程学问题的方法10.3 高等数学在经济学、生物学等领域的应用介绍高等数学在经济学、生物学等领域中的应用举例说明高等数学解决经济学、生物学等领域问题的方法重点解析第一章：导数与微分重点：理解导数和微分的定义及其几何意义，掌握基本函数的导数和微分计算。
高等数学(经管类专业适用)-6.1.2A教学课件-PPT精选文档
《高等数学》 (经济类专业适用） 高等教育出版社
2019/2/23
问题
从 n 个不同元素中取出 mm ( n ) 个不同元素，一
m n (1 n ) (2 n ) [( n m 1 ) ] 排列数公式：P n
共有多少种排列？
问题
从 n 个不同元素中取出 n 个元素，共有多少种排列？
n n ( nn 1 ) (2 ) 2 1 n ! 全排列公式： P n
问题
从n 个不同元素中任取可以重复的 m 个元素，一共的排
列数 N 有多少种？
重复排列数：
《高等数学》 (经济类专业适用） 高等教育出版社
N nm
back next 退出
2019/2/23
概念
一般地，从 n 个不同元素中取出 mm ( n ) 个元
n ( n 1 ) ( n 2 )( n m 1 ) 组合数公式： C m !
back next 退出
《高等数学》 (经济类专业适用） 高等教育出版社
2019/2/23
现有1，3，5，9三个数字，求： 例1 （1）可以组成多少个没有重复数字的二位数？ （2）任取两数字相加，可以得到多少个不同的和数？ 问题引导 （3）可以组成多少个可重复数字的二位数？ 在实际问题中如何 解 这三个问题不仅与2个数字有关，还要考虑与它们的 求解种数呢？ 顺序是否无关，以及数字是否可重复． （1） （2） （3）
m 2 1 A PA ( ) n 6 3 m 3 1 B PB ( ) n 6 2
back next 退出
《高等数学》 (经济类专业适用） 高等教育出版社
2019/2/23
例4
高等数学(微积分)课件--§6.1定积分的概念与性质
y = f (x)
O a
b x
3
无限细分、无限求和
处理该类问题的基本思路： 无限细分(化曲为直)、无限求和！
y y= f (x)
O
a
b
x
4
曲边梯形的面积计算—分割
设函数在区间[a,b]上连续, y=f(x)≥0 y 分割：
任意插入n-1个分点：
a x0 x1 xn 1 xn b
T1 t0 t1 t n 1 t n T2
把[T1,T2]分成n小段[ti-1, ti] (i=1,2,…,n),每小段 时间长度∆ti= ti- ti-1 ;相应地,位移也分成n段∆si v ②取近似: ∆siv(i)∆ti (i=1,2,…,n) v vt ③求和:
浙江财经学院本科教学课程 ----经济数学(一)
微积分
第六章 定积分
§6.1定积分的概念与性质 §6.2微积分基本定理 §6.3定积分计算方法 §6.4定积分的应用 §6.5广义积分初步
1
§6.1定积分的概念与性质
一、曲边梯形的面积 二、定积分的定义 三、定积分的几何意义 四、定积分的基本性质 在本节中我们将从一些实际问题的计算里 提炼出一类关于“和式极限”计算的数学问 题,从而引申出定积分的概念,并探讨它的性 质、几何意义。
s v i ti
i 1 n
④取极限: 所求位移为
s lim
0
T1
T2
v t (其中 maxt )
i i i 1
1i n i
n
O
t 0 ... ti 1 t i ... t n
t
10
解决此类求和问题的数学模式
高等数学微积分课件6.1.1 点集
D 的边界是圆周
上一页 | 首页 | 下一页
四川大学数学学院 2005
既不开，也不闭的集合
半开半闭区间
A {x | a x b} (a, b]
a
(a, b] 的边界点是 a 和 b
上一页 | 首页 | 下一页
四川大学数学学院 2005
b
既不开，也不闭的集合
内开外闭的圆环
D {( x, y ) | a x y b }
例子
A {( x, y ) | 0 x y a }
2 2 2
有界开区域：有界、开、连通
上一页 | 首页 | 下一页
四川大学数学学院 2005
B {( x, y ) | a x y b }
2 2 2 2
有界闭区域：有界、闭、连通
上一页 | 首页 | 下一页
四川大学数学学院 2005
邻域（neighborhood） 回忆： R 中的邻域：
U ( x0 , ) {x | x x0 }
{x | x0 x x0 } ( x0 , x0 )
x
x0 x 0 上一页 | 首页 | x 下一页 0
四川大学数学学院 2005
上一页 | 首页 | 下一页
四川大学数学学院 2005
内点（interior point) 点 M 0 是点集 V 的一个内点，如果存在
使
0
U (M 0 , ) V
M0
V 的内点属于V
V
上一页 | 首页 | 下一页
四川大学数学学院 2005
外点（exterior point) 点 M 0 是点集 V 的一个外点，如果存在
高等数学课件 第六章(6-1平面图形的面积)
从而面积元素为
于是得面积
《高等数学》第六章第一节
1. 直角坐标系 例1 求由曲线 及 所围成平面图形的面积.
Байду номын сангаас
解 面积元素 (如图) , 在积分区间 [0, 2] 上作定积分, 即所求的面积是
《高等数学》第六章第一节
思考题: 求由星形线 所围成图形的面积.
《高等数学》第六章第一节
2.极坐标情形
线 所围成的曲边扇形，求其面积公式.
问题:设平面图形 是由曲线 ( )与射
, 且当x由0变到a时, 由
变到0, 则有
可得
一般地，当曲边梯形的曲边 y = f (x) ( f (x) 0 , x[a, b] )
由参数方程 给出时, 若
(1) 在 (或 )上具有连续导数，且
《高等数学》第六章第一节
(2) 连续,
则曲边梯形的面积为
《高等数学》第六章第一节
例4 求摆线第一拱 与
轴围成的面积.
解 上图为摆线形成的过程，所求面积为：
《高等数学》第六章第一节
应用定积分来计算平面图形面积, 对于 在不同坐标系下的情况我们分别加以介绍.
6.1.2 平面图形面积
《高等数学》第六章第一节
1.直角坐标情形
问题： 设曲边形由两条曲线 及直线
《高等数学》第六章第一节
思考题:求由 围成的面积.
如果平面区域是由曲线 , 及 直线 所围成 ,它的面积是定积分
解 由于椭圆关于两个坐标轴都对称 , 故椭圆面积为 A = 4A1, 其中A1为椭圆在第一象限的面积, 因此
利用椭圆的参数方程
, 0 2,
x
y
a
高等数学数学PPT课件精选全文完整版
归转化思想。
做
学生进行练习训练，个人独立思考与分组讨论相结合。
训
学生上黑板演示解题过程，其他学生点评，教师分析总结。
01
课程尚处于建设阶段，教学资源有待于进 一步完善，现有教学资源还没有得到充分 利用。
进一步开拓更多的学习资源，团队教师增 进针对教学方法和教学资源建设与利用方 面的交流。
பைடு நூலகம்
02
教学内容和教学设计在不断变化的社会需 求、学生思想，以及不断产生的新技术面 前有些滞后。
教学问题
转变传统的教学理念和改变旧的教学模式 探索、建立了新的教学模式和教学方法。
教学对象
教学对象为一年级学生，对大学学习环境、学习 方式需要有一定的适应期 。 教师向学生介绍大学学习的特点与方法，帮助学 生尽快度过适应期。
教学特色
通过不同形式的自主学习 、探究活动，让 学生体验
数学发现和创造的历程，发展他们的创 新意识 。
课程内容及授课学时数（1学期，共64课时）
序号 1 2 3 4 5 6
课程内容 第一章 函数的极限与连续 第二章 导数与微分 第三章 导数应用 第四章 不定积分 第五章 定积分 第六章 空间解析几何
授课学时 12 12 6 16 16 2
导向
依据
度
专业
满足 专业培养目
标
必需 够用
理论知识以“必需、够用”为原则,教学内 容体现“专业性”
教学内容的针对性
专业理论知识需求
后续课程学习要求
教学内容的适用性
高等数学基本要求 教学内容的针对性
淡化严格论证 强化数学应用 注重数学软件
符合课程目标
教学内容选择 辅助多媒体教学 自主学习能力
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
图形的面积 .
解: 由
y2 x y x2
得交点 (0, 0) , (1, 1)
d A ( x x2)dx
y
因此， A
1
( xx2)dx
0
2
x
3 2
1 x3
1
3 30
1
3
y2 x (1,1) y x2
O xx d x1 x
a
8
例2. 计算抛物线 y2 2x 与直线 y x 4 所围图形 的面积 .
0
2
8a2 π sin4 u du 0
π
16a2 2 sin4 u du 0
O
(令u t ) 2
2πa x
16a2 3 1 π 3π a2 42 2
a
11
二、 极坐标系下的面积公式
设 r( ) C[ , ] , r( ) 0 , 求由曲线 r r( ) 及
射线 , 围成的曲边扇形的面积 . 在区间[ , ]上任取小区间 [ , d ]
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA 1 r( )2 d
2
d
所求曲边扇形的面积为
r r( )
A 1 r2( )d
2
O
x
a
12
例5. 计算心形线 r a(1 cos ) (a 0) 所围图形的
面积 .
解: A 2 π 1 a2 (1 cos )2 d 02
(利用对称性)
a2 π 4cos4 d
y c ,y d(c d )围成, 则在[c, d]上任取小区间 [y,ydy], 得到面微元
dA | g2( y) g1( y) |dy y
所求面积是：
d
A c g2 ( y) g1( y) dy
d
ydy y
c
x g1( y)
x g2(y)
O
x
a
7
例1. 计算两条抛物线 y2 x , y x2 在第一象限所围
“分割，近似，取极限”
n
的方法求出
F lim x 0 i1
f (i )xi
这样就归结为求 f 定积分:
b
n
a
f (x) dx
lim
x 0 i1
f (i )xi
a
3
二 、微元法
第一步 用“分割、近似”的方法求出 F 在 [x,xdx] 内的近似值： d F f (x) dx 称为所求量 F 的微元. 第二步 将微元从 a 到 b 进行“ 无限累加 ”，得出 F 的精确值，即 f 的积分表达式：
解: 由 y2 2x 得交点 y x4
(2, 2) , (8, 4)
y y2 2x (8,4)
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
d
A
(
y
4
1 2
y2)
dy
A
4 2
(
y
4
1 2
y2)dy
O
yx4 x
(2, 2)
1 2
y2
4y
1 6
y3
4 2
18
a
9
例3.
求椭圆 x2 a2
y2 b2
第六章 定积分的应用
利用微元法解决: 定积分在几何上的应用 定积分在物理上的应用
a
1
第一节 微元法
第六章
一、很多实际问题归结为定积分问题 二 、微元法
a
2
一、很多实际问题归结为定积分问题
1) 如果所求量 F 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有
有关的一个整体量 ; 2) F 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过
0
2
(令 t
2
)
π
8a2 2 cos4t dt 0
d
8a2 3 1 π 3 πa2
O
2a x
422 2
a
13
心形线
例6. 计算心形线 r a(1 cos ) (a 0) 与圆 r a
所围图形的面积 .
1 2cos cos 2
解: 利用对称性 , 所求面积
A 1 πa2 2
在[a, b]上任取小区间 [x,xdx], 则在 [x,xdx]
上的面积微元是：
dA | f2(x) f1(x) |dx 所求面积是：
y y f1(x) y f2 (x)
b
A a f2 (x) f1(x) dx
a
6
O axxdx b x
若平面图形由连续曲线 xg1(y)与 xg2(y) 及直线
2
π
π 2
1 2
a2
(1
cos
)2
d
1 2
(1
cos
2
)
1 πa2 a2 2
π
π 2
(3 2
2 cos
1 2
cos
2
y
)
d
1 π a2 a2 3 π 2
2
4
5 πa2 2a2 4
O
a 2a x
a
15
例7. 求双纽线 r 2 a 2cos 2 所围图形面积 .
解: 利用对称性 , 则所求面积为
y
A 4
π 4
1
a2
cos2
d
02
π 4
π
a2 4 cos 2 d (2 )
0
π
O
ax
a2sin 2 4 a2
0
π 4
如何 用定积分表示该双纽线与圆 r a 2 sin
所围公共部分的面积 ？
答案:
π
A 2 6 a2 sin2 d 0
π 4
π 6
1 a2 2
cos 2
d
a
16
1
所围图形的面积 .
解: 利用对称性 , 有 d A y dx
y
b
a
A 40 y d x
利用椭圆的参数方程
O
ax
x a cost (0 t 2 π)
y bsin t
应用定积分换元法得
A 4
0
π bsin t (a sin t) dt
4ab
π
2 sin2 t dt
0
4
2
ab
1 2
b
F a f (x) dx
这种分析方法称为微元法 (或元素法). 微元法在几何和物理中有很多应用.
a
4
第二节
第二节
第六章
平面图形的面积
一、 直角坐标系下的面积公式 二、 极坐标系下的面积公式
a
5
一、直角坐标系下的面积公式
设两条连续曲线 y f1(x)与 y f2(x) 及直线
x a , x b (a b) 所 a = b 时得圆面积公式
a
10
例4. 求由摆线 x a (t sin t), y a (1 cost) (a 0)
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解:
A
2π
a (1 cost) a (1 cost)dt
0
a2 2π (1 cost)2 dt 0
y
4a2 2π sin4 t dt