最新(完美版)第八章习题答案_数值分析

第八章习题解答

3、设方程()0f x =有根，且'0()m f x M <≤≤。试证明由迭代格式1()k k k x x f x λ+=- (0,1,2,)k =产生的迭代序列{}0k k x ∞=对任意的初值0(,)x ∈-∞+∞，当20M λ<<时，均收敛于方程的根。

证明：

设()()x x f x ϕλ=-，可知()x ϕ在(,)-∞∞上可导

对于任意给定的λ值，满足条件'0()m f x M <≤≤时

（1）''()1()x f x ϕλ=- 则1'()11M x m λϕλ-≤≤-< 又20M

λ<<，M>0 则02M λ<<时，11M λ-<- 所以11'()11M x m λϕλ-<-≤≤-< 若令max{1,1}L M m λλ=--，则可知'()1x L ϕ≤<

（2）由0()(0)'()(0)'()x

x x dx x ϕϕϕϕϕε=+=+⎰ 则()lim 1x x L x ϕ→∞⎛⎫≤< ⎪⎝⎭

所以，存在一个数a ，当x a >时，()x x ϕ<

同时，()x ϕ在[,]a a -内有界，即存在0b >使得[,]x a a ∀∈-，()x b ϕ<

我们选取 max{,}c a b =，则对任意x 有0()max{,}x c x ϕ<

则对给定的任意初值0x ，设0max{,}d c x =

则0[,]x d d ∈-，于是在区间[,]d d -上有()x d ϕ<

即满足映内性

有（1）、（2）可知，()x ϕ满足收敛定理

迭代序列0{}k k x ∞=收敛于方程的根

6. 给出计算...222+++=x 的迭代格式，讨论迭代格式的收敛性，并证明2=x

解：构造迭代格式10,1,2,k x k +==∙∙∙

2k x ≤

令()x ϕ=x ⎤∈⎦时，()x ϕ⎤∈⎦

'()

x ϕ=，当x ⎤∈⎦时，1

'()12x ϕ<<

所以，迭代格式收敛，且收敛于()x x

ϕ=

在⎤⎦上的根，即x=x=2