相似三角形专题复习学生版

相似三角形知识点复习题纲

知识点1 有关相似形的概念

(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.

(2)如果两个边数相同的多边形的 相等， 比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念

（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是

=b

a

，或写成=b a : ．注：在求线段比时，线段单位要统一。

（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果 的比等于 的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：

a

d

c b =．②()a c

a b c d b d

==在比例式：：中，

a 、d 叫 ，

b 、

c 叫比例 ,

d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的 ， 此时有2b ad =。

（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中=AC AB ≈

0.618AB ．即12AC BC AB AC == 简记为：长短＝全长

注：黄金三角形：顶角是 0

的等腰三角形。黄金矩形： 与 的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质：

①bc ad d c b a =⇔=::；②2

::a b b c b a c =⇔=⋅．

（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：

（3）反比性质(把比的前项、后项交换)：．

（4）合、分比性质：

a c a

b

c d

b d b d ±±=⇔=

． （5）等比性质：如果)0(≠++++===

=n f d b n

m f e d c b a ，那么b a

n f d b m e c a =++++++++ ． 注：①此性质的证明运用了“ 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例

计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为 ．

③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：

b

a f d

b e

c a f e

d c b a f

e d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-

f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理

1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成

比例.

由DE ∥BC 可得： , , , 注：三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.

2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.

已知AD ∥BE ∥CF, 可得 等

注：平行线分线段成比例定理的推论：

平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果 ，那么 等。知识点5 相似三角形的概念

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“ ”表示，读作“相似于”

．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形 相等， 成比例．

注：①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在 位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：

相似三角形的相似比是有顺序的．

③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为 的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边 ，而相似要求对应边 知识点6 三角形相似的判定定理

1. 三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(

或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 定理的基本图形：

用数学语言表述是：BC DE // ， ∴ ADE ∆∽ABC ∆．

2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为： ． 3、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：

4、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为： ．

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、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．

(2)如果一个直角三角形的 和一条 与另一个直角三角形的 和一条 对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．

注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，

则AD 2

=

，AB 2

= ，AC 2

= 。 知识点8 相似三角形常见的图形

1

、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：

（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）

(3)(2)

A

D E 1

2

A

A

D

D E E

141

B C

(3)

B