人教版初中数学勾股定理知识点

第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
1、勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222a b c +＝ 勾股定理的证明： 方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，221
4()2
ab b a c ⨯+-=，化简可证．
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221
422
S ab c ab c =⨯+=+
大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ ∴222
a b c +=
方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，211
2S 222
ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证
17.2 勾股定理的逆定理
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +＝，那么这个三角形是直
角三角形. 3、互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
4、勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称
a ，
b ，
c 为一组勾股数
常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等 例、在Rt △ABC 中，a=3，b=4，求c ． 错解
由勾股定理，得
诊断 这里默认了∠C 为直角．其实，题目中没有明确哪个角为直角，当b ＞a 时，∠B 可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况．
当∠B 为直角时，
例、已知Rt △ABC 中，∠B=RT ∠，
，
c= b. 错解 由勾股定理，得
b
a c
b
a
c c
a
b
c
a
b
c
b
a H
G F E
D
C
B A
a b
c
c
b
a
E
D C
B
A
诊断 这里错在盲目地套用勾股定理“a 2＋b 2=c 2”．殊不知，只有当∠C=Rt ∠时，a 2＋b 2=c 2才能成立，而当∠B=Rt ∠时，则勾股定理的表达式应为a 2＋c 2=b 2．
正确解答 ∵∠B=Rt ∠， 由勾股定理知a 2＋c 2=b 2．
∴b=22
c a +=22(22)(2)+=10
例、若直角三角形的两条边长为6cm 、8cm ，则第三边长为________． 错解 设第三边长为xcm ．由勾股定理，得x 2=62＋82．
x=22
68+=3664+=10
即第三边长为10cm ．
诊断 这里在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边，∴第三边可能是斜边，也可能是直角边．
正确解法 设第三边长为xcm ． 若第三边长为斜边，由勾股定理，得
x=22
68+=3664+=10(cm)
若第三边长为直角边，则8cm 长的边必为斜边，由勾股定理，得
x=22
86-=28=27(cm)
因此，第三边的长度是10cm 或者27cm.
例、如图，已知Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是高，AM 是中线，且AM=
1
2
BC=23AD.又RT △ABC 的
周长是(6+23)cm.求AD ．
错解 ∵△ABC 是直角三角形，
∴AC:AB:BC=3:4:5
∴AC ∶AB ∶BC=3∶4∶5． ∴AC=
312(6+23)=33+，AB=412(6+23)=6233+，BC=5
12
(6+23)=
1553
6
+ 又∵
12AC AB •=1
2
BC AD • ∴AD=AC AB BC •=33623
231553
++⨯
+ =
(33)2(33)5(33)
+•++=2
5(3+3)(cm) 诊断 我们知道，“勾三股四弦五”是直角三角形中三边关系的一种特殊情形，并不能代表一般的直角三角形
的三边关系．上述解法犯了以特殊代替一般的错误．
正确解法∵AM=
23
3
AD ∴MD=222(
3)3AD AD =3AD 又∵MC=MA ，∴CD=MD ．
∵点C 与点M 关于AD 成轴对称． ∴AC=AM ，∴∠AMD=60°=∠C ． ∴∠B=30°，AC=
1
2
BC ，AB=3BC
∴AC+AB+BC=1
2
BC+3BC+BC=6+23.
∴BC=4．
∵1
2BC=233AD ， ∴AD=1
2233
BC
=3(cm)
例、在△ABC 中，a ∶b ∶c=9∶15∶12， 试判定△ABC 是不是直角三角形．
错解 依题意，设a=9k ，b=15k ，c=12k(k ＞0)． ∵a 2＋b 2=(9k)2＋(15k)2=306k 2，c2=(12k)2=144k 2， ∴a 2＋b 2≠c 2．∴△ABC 不是直角三角形．
诊断 我们知道“如果一个三角形最长边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”．而上面解答错在没有分辨清楚最长边的情况下，就盲目套用勾股定理的逆定理．
正确解法 由题意知b 是最长边．设a=9k ，b=15k ，c=12k(k ＞0)． ∵a 2＋c 2=(9k)2＋(12k)2=81k 2＋144k 2=225k 2． b2=(15k)2=225k 2，∴a 2＋c 2=b 2． ∴△ABC 是直角三角形．
例、已知在△ABC 中，AB ＞AC ，AD 是中线，AE 是高．求证：AB 2－AC 2=2BC·DE 错证 如图． ∵AE ⊥BC 于E ， ∴AB 2=BE 2＋AE 2， AC 2=EC 2＋AE 2．
∴AB 2－AC 2=BE 2－EC 2 =(BE ＋EC)·(BE －EC) =BC·(BE －EC)．
∵BD=DC ， ∴BE=BC －EC=2DC －EC ． ∴AB 2－AC 2=BC·(2DC －EC －EC)=2BC·DE ．
诊断 题设中既没明确指出△ABC 的形状，又没给出图形，因此，这个三角形有可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形．∴高AE 既可以在形内，也可以与一边重合，还可以在形外，这三种情况都符合题意．而这里仅只证明了其中的一种情况，这就犯了以偏概全的错误.剩下的两种情况如图所示.
，
正确证明由读者自己完成．
例、已知在△ABC中，三条边长分别为a，b，c，a=n，
b=
2
4
n
-1，c=
24
4
n+
(n是大于2的偶数).求证:△ABC是直角三角形.
错证1∵n是大于2的偶数，∴取n=4，这时a=4，b=3，c=5．∵a2＋b2=42＋32=25=52=c2，
∴△ABC是直角三角形(勾股定理的逆定理)．
由勾股定理知△ABC是直角三角形．
正解∵a2+b2=n2+(
2
4
n
-1)2=n2+
4
16
n
-
2
2
n
+1=
4
16
n
+
2
2
n
+1
c2=(
24
4
n+
)2=(
2
1
4
n
+)2=
4
16
n
+
2
2
n
+1
由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形. 诊断证明1错在以特殊取代一般．。