第六章 6.4 几个初等函数构成的映射

w zi . zi
w ei0 z z0 .
z z0
( 无附加条件 )
( 由附加条件确定0 , z0)
11
例 设区域 D {z :| z | 1, Imz 0}, 求一共形映射将D映射成
单位圆域。 P161 例6.18
解
(z)
(w)
1
1
01
z1
z1 z1
z z
1 1
2
i
w
z z
5 单位圆域。 P157 例6.14
解
(z)
(z1 )
4π
z1 4 z
5
π 5
w
(4 (4
z z
)5 )5
i i
z2 z15
(w)
w z2 i
1
1
z2 i
(z2 )
5
二、指数函数 w ez
1. 映射特点
(z) hi (h 2π)
Hale Waihona Puke w ez(w) h (h 2π)
特别地
πi
( z1 )
2i
(z)
解
πi
令 w1 ze 4 ,
则 w w14 .
如图，所求的象区域 G 为：
{ } G z : | z| 16, Imz 0 .
π 4π
4 2
πi
w1 ze 4
(w)
2i
(w1 )
π
w w14
16
16
π 4
2
4
例 设区域 D {z : 0 arg z 4 }, 求一共形映射将 D映射成
w1 ez1
(w1 )
π
1
1
特点 指数函数 w ez 将水平带形域变为角形域。
结论 指数函数 w ez 在 z 平面上是第一类保角映射。
6
二、指数函数 w ez
1. 映射特点
(z) hi (h 2π)
w ez
(w) h (h 2π)
特别地
πi
( z1 )
w1 ez1
(w1 )
π
1
1
将 i 0, i ,
1r i
z1
i
zi zi
有
z1
k i
再要w 求将
z zz z
1
i ii i
,6 1 ,
i
1
得
k
ii,
z z故
iiz1
6
ii
zi zi
.
(w) 1
w z2 i z2 i
(z1 )
π
6
01
z2 z16
(z2 )
13
例 设区域 D {z :| z | 2, | z 1| 1},求一共形映射将D映射成
1 1
2
i
(z1 )
z2 z12
01
1
w z2 i z2 i
(z2 )
注 从上半单位圆域到上半平面的映射为 w ( z 1)2 . 公式
z1
12
例 设区域 D 由两个圆弧围成(如图所示)，其中 r 1, 求一 共形映射将 D 映射成单位圆域。P160 例6.17
解
i
(z)
π 6
(z4 )
z2 iz1
3i (z2)
z3
π 3
z2
z4 ez3
πi (z3)
15
例 设区域 D {z :| z | 2, Imz 0}, 求一共形映射将D映射成
单位圆域。
解
2
z1
z 2
(z)
2
z z
2 2
2
i
w
(z1 )
z z
2 2
2
i
(w)
1
1
w z5 i z5 i
(z4 )
0
2π n
0 R
w zn znw
n 0 2π
n 0 Rn
结论 幂函数 w zn 在 z 平面上除原点外是第一类保角映射。
在角形域 0
0
上，如果0
2 n
,
则幂函数 w zn 是
共形映射。
3
例
求区域 D
{z :
arg z
, 0 |
z |
2} 在映射 w
(
z
e
4
i
)4
4
2
下的像区域。
1 2
i
(z2 )
z3 2πz2
z4 ez3
πi (z3)
14
例 设区域 D {z :| z | 2, | z 3 | 1},求一共形映射将D映射成
单位圆域。
解
2
z1
z2 z2
(z)
6
3
2
4
(z1 )
π
e3
i
(
z2 z2
)
i
e w
π 3
i
(
z z
2 2
)
i
2 03
(w)
1
1
w z4 i z4 i
特点 指数函数 w ez 将水平带形域变为角形域。
在水平带形域 0 y h上，如果 h 2 , 则指数函数 w ez
是共形映射。
7
例 求区域 D {z : Re z , Im z 0}在映射 w eiz 下的
2
2
象区域。
(z)
解 令 w1 iz , 则 w ew1.
如图，所求的象区域 G 为：
§6.4 几个初等函数构成的映射
一、幂函数 二、指数函数 三、综合举例
1
一、幂函数 w zn, ( n 2 整数 )
1. 映射特点
令 z r ei , 则有 w r en in , 即 | w | r n, arg w n .
0
2π n
0 R
w zn znw
n 0 2π
n 0 Rn
工具
w k z z2 . z z1
公式 从上半单位圆域到第一象限的映射
为
z1
w
.
z 1
10
三、综合举例
主要步骤 (一般)
(3) 将角形域( 或者带形域 )映射为上半平面
工具 w zn , w n z . ( 对于角形域 )
w ez .
( 对于带形域 )
(4) 将上半平面映射为单位圆域
工具
1
z2
1 z1
G { z : | z| 1, Re z 0}.
i
(w)
w ew1
i
π 2
π 2
w1 iz ,
(w1 )
π 2
i
π 2
i
8
例 设区域 D {z : Im z }, 求一共形映射将 D 映射成
2
上半平面。 P158 例6.15
解
(z) πi
2(z i)
(w)
we 2
π 2
i
z1
z
π 2
i
π 2
i
(z1 )
z2 2z1
w ez2
πi
(z2 )
9
三、综合举例
主要步骤 (一般) (1) 预处理 使区域的边界至多由两段圆弧(或直线段)构成。
工具 几种简单的分式映射、幂函数、指数函数等。
(2) 将区域映射为角形域(或者带形域 )
方法 将区域边界的一个交点 z1 映射为 ;
[ 另一个(交)点 z2 映射为 0 ]。
特点 幂函数 w zn 扩大顶点在原点的角形域( 或扇形域 )。
类似地，根式函数 w n z 作为幂函数的逆映射，其映射
特点是缩小顶点在原点的角形域( 或扇形域 )。
2
一、幂函数 w zn, ( n 2 整数 )
1. 映射特点
令 z r ei , 则有 w r en in , 即 | w | r n, arg w n .
单位圆域。 P159 例6.16
解
(z)
1 i 将 2 , 0 0 ,
(w)
2 0 1 2
z1
z z2
(z1 )
0
i
1 2
有 z1 w
e2kπi
再要求e将2πi
(
z
zz z
22
),
(1z z2
)
i
i i
i
,
1
得 k 1,
故
z1
z z2
.
1
w z4 i z4 i
(z4 )
z2 iz1