平面向量中的几何方法

跟踪演练 2 如图，平行四边形 ABCD 中， 已知 AD＝1，AB＝2，对角线 BD＝2，求对 角线 AC 的长． 解 设A→D＝a，A→B＝b，则B→D＝a－b，A→C＝a＋b，而|B→D|＝|a －b|＝ a2－2a·b＋b2＝ 1＋4－2a·b＝ 5－2a·b＝2，∴5－2a·b ＝4，∴a·b＝12，又|A→C|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝ 6，∴|A→C|＝ 6，即 AC＝ 6.
探究（一）：平面几何中的垂直问题
证明 法一 设A→D＝a，A→B＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又D→E＝D→A
＋
→ AE
＝
－
a
＋
b 2
，
→ AF
＝
→ AB
＋
→ BF
＝
b
＋
a 2
，
所
以
→ AF
→ ·DE
＝
b＋a2
·－a＋b2
＝
－
12a2
－34a·b＋
b22＝
－12|a|2
高中数学·必修4·人教版
2.5 平面向量应用举例 2．5.1 平面几何中的向量方法
[学习目标] 1．经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及
其它一些实际问题的过程． 2．体会向量是一种处理几何问题的有力工具． 3．培养运算能力、分析和解决实际问题的能力．
[知识链接] 1．向量可以解决哪些常见的几何问题？
[预习导引] 1．向量方法在几何中的应用
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共
线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ x1y2－x2y1＝.0
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常
用 向 量 垂 直 的 等 价 条 件 ： 非 零 向 量 a ， b ， a⊥b⇔a·b ＝
答 (1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共 线、三线共点等位置关系． (2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度 量问题．
2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎 样的？ 答 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示 问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为 向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距 离，夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系．
探究（一）：平面几何中的垂直问题
规律方法 对于线段的垂直问题，可以联想到两个 向量垂直的条件(向量的数量积为0)，而对于这一条 件的应用，可以考虑向量关系式的形式，也可以考 虑坐标的形式．
探究（一）：平面几何中的垂直问题
跟踪演练 1 如图，点 O 是△ABC 的外心，E 为三角形内一点，满足O→E＝O→A＋O→B＋O→C， 求证：A→E⊥B→C. 证明 ∵O 为外心，∴|O→C|＝|O→B|. ∵B→C＝O→C－O→B， A→E＝O→E－O→A＝(O→A＋O→B＋O→C)－O→A＝O→B＋O→C，
＋
1 2
|b|2
＝
0.故
→ AF
⊥
D→E，即 AF⊥DE.
探究（一）：平面几何中的垂直问题
法二 如图建立平面直角坐标系，设正方形的 边长为 2，则 A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)， A→F＝(2,1)，D→E＝(1，－2)． 因为A→F·D→E＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以A→F⊥D→E，即 AF⊥DE.
0⇔ x1x2＋y1y2＝0 .
(3)求夹角问题 ，往往 利用向量的夹角公 式
cos
θ
＝
a·b |a||b|
＝
x21x＋1xy221＋y1xy222＋y22.
(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、
向量模的公式：|a|＝ x2＋y2.
探究（一）：平面几何中的垂直问题
例1 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB， BC的中点，求证：AF⊥DE.
探究（一）：平面几何中的垂直问题
∴
→ AE
→ ·BC
＝
(
→ Fra Baidu bibliotekB
＋
→ OC
→ )·( OC
－
→ OB
)
＝
|
→ OC
|2
－
|
→ OB
|2
＝
0
，
即
A→E·B→C＝0.
故A→E⊥B→C.
探究（二）：推断线段长度关系
例题1：如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=a， AD=b，BD=m，那么对角线AC的长是否确定？
再见
D A
C B
根据上述思路，你能推断平行四边形两条对角线 的长度与两条邻边的长度之间具有什么关系吗？
平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边 长的平方和的两倍.
思考：如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？
规律方法 向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求 解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公 式|a|2＝a2 求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入 公式：若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.