7年级春季班第12讲：全等三角形的综合 -教师版

初一数学春季班（教师版）本节课通过推理和专题训练，学会运用全等三角形的判定方法去解决三角形全等的综合问题．通过添加辅助线解决相关的边角证明问题，本节的内容相对综合，难度稍大．全等三角形综合主要是通过全等得出结论，进而求出相应的边和角之间的关系．对于稍复杂的会通过添加平行线，倍长中线或截长补短等方法，解决综合问题．全等三角形的综合内容分析知识结构模块一：全等三角形判定的综合知识精讲【例1】 已知：AE ＝ED ，BD ＝AB ，试说明：CA ＝CD ． 【难度】★ 【答案】见解析．【解析】在△ABE 与△DBE 中，AE ED AB BD BE BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()ABE DBE SSS ∴∆≅∆，AEB DEB ∴∠=∠， AEC DEC ∴∠=∠．在△ACE 与△DCE 中，AE ED AEC DEC CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AEC DEC SAS ∴∆≅， CA CD ∴=（全等三角形的对应边相等）． 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理的应用．【例2】 如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BE ＝CE ，试说明：AE ＝DE ． 【难度】★ 【答案】见解析．【解析】在△ABC 和△DCB 中，AB DCAC DB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DCB （S.S.S ）， ∴∠ABC=∠DCB ． 在△ABE 和△DCE 中，AB DC ABC DCB BE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DCE （S.A.S ）， ∴AE=DE （全等三角形的对应边相等）．【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理的应用．例题解析ABECDABCDE【例3】 已知：AB ∥CD ，OE ＝OF ，试说明：AB ＝CD ． 【难度】★ 【答案】见解析．【解析】//AB CD Q ，A D B C ∴∠=∠∠=∠，．(..)A D B CA D AOE DOF AOE DOF OE OF AOE DOF A A S AO DO ∴∠=∠∠=∠∠=∠⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴=，在和中，，(..)AO DO AOB DOC A DB C AOB DOC A A S =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴∆≅∆在和中， AB CD ∴=（全等三角形的对应边相等）． 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的综合应用．【例4】 如图：A 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AE =CF ，过E 、F 分别作BE ⊥AC 、DF ⊥AC ，且AB =CD ，AB ∥CD ．试说明：BD 平分EF ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】∵AB ∥CD ，∴∠A=∠C ．在△AGB 和△CGD 中，A CAGB CGD AB CD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴ΔAGB ≌ΔCGD(AAS)， ∴BG=DG ．∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ， ∴∠BEG=∠DFG=90°． 在△BGE 和△DGF 中，BGE DGF BEG DGF BG DG ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴ΔBGE ≌ΔDGF (A .A .S )， ∴GE=GF ， 即BD 平分EF ． 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的应用．ABCDEFOABCDEFG【例5】 如图，已知AD =AE ，AB =AC ．试说明：BF =FC ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】ABE ACD ∆∆在和中，AD AEA A AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE ACD SAS ∴∆≅∆， B C ∴∠=∠． BD AB AD CE AC AE BD CE =-=-∴=Q ，，．BDF CEF ∆∆在和中，DFB EFCB CBD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)BDF CEF A A S ∴∆≅∆ ， .BF CF ∴= 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的应用．【例6】 如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠C ＝90°，D 是斜边上AB 上任一点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，CH ⊥AB 于H 点，交AE 于G ．试说明：BD ＝CG ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】90AC BC ACB =∠=︒Q ，， 45CAH CBD ∴∠=∠=︒．CH AB CH AH ACG CAH CBD ⊥∴=∴∠=∠=∠Q ，，． 90CH AB BF CD CHD CFB ⊥⊥∴∠=∠=︒Q ，，． CDH BDF HCD DBF ∠=∠∴∠=∠Q ，．ACE ACG HCD CBF CBD DBF ∠=∠+∠∠=∠+∠Q ，，ACE CBF ∴∠=∠． ACE CBF V V 在和中，ACE CBFAEC CFB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ACE CBF AAS CAG BCD ∴∴∠=∠V V ≌（），． CAG BCD AGC CDB ACG CBD AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩V V 在和中，，AGC CDB ASA BD CG ∴∴=V V ≌（），．【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的综合应用．ABCD EFGHABCDEF【例7】 如图1，△ABD 和△AEC 中，AB =AD =BD ，AE =EC =AC ，连接BE 、CD ． （1）请判断：线段BE 与CD 的大小关系是___________；（2）观察图2，当△ABD 和△AEC 分别绕点A 旋转时，BE 、CD 之间的大小关系是 否会改变；（3）观察图3和图4，若四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，猜想类似的结论是______， 在图4中证明你的猜想；（4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明），如图5，BB 1与EE 1的关系 是_________；它们分别在哪两个全等三角形________________；请在图6中标出较小的 正六边形AB 1C 1D 1E 1F 1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点，能构造出两个全等三 角形?【难度】★★★【答案】（1）BE CD =；（2）不变；（3）AE CG =，证明见解析；（4）11BB EE =，11ABB AEE ∆∆和，连接FF 1，可证11ABB AFF ∆≅∆． 【解析】（3）如图4，ABCD DEFG Q 四边形与四边形都是正方形，90AD CD DE DG ADC GDE ∴==∠=∠=︒，，， CDG ADE ∴∠=∠． 在△ADE 和△CDG 中，AD CDADE CDG DE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE CDG SAS ∴∆∆≌， AE CG ∴=．【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的综合应用．ABCD E图1 ABC DE 图2 A B CD E FG ABC D EFG图4图3A BCD E B 1E 1ABCDEF 图6图5【例8】 已知△ABC 中，AB =AC =6cm ，BC =4cm ，B C ∠=∠，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以1cm /s 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线 段CA 上由点C 向点A 运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使 △BPD 与△CQP 全等?（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时 出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）①全等，理由如下： 1111.t BP CQ cm =∴==⨯=Q 秒，63.AB cm D AB BD cm =∴=Q ，点为的中点，4413PC BC BP BC cm PC cm ==∴==Q 又﹣，， ﹣， PC BD ∴=． 在△BPD 和△CQP 中，BD CPB C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (..)BPD CPQ S A S ∴∆≅∆．②P Q V V BP CQ ≠∴≠Q ，． BPD CPQ B C ∆∆∠=∠Q 又和全等，． 23BP CP cm BD CQ cm ∴====，．2s =1.5/Q P Q t V cm s ∴=∴点与点运动的时间，；（2）x P Q 设经过秒后点与点第一次相遇，1.526x x =+⨯由题意得：， 解得：24x =． 此时点P 的运动路程为24厘米．因为66416ABC C =++=V ， 所以P Q AC 点、点在边上相遇． 即24P Q AC 经过秒点与点第一次在边上相遇．【总结】本题综合性加强，主要考查了动点与全等三角形判定定理和性质定理的结合， 解题时注意分析动点的运动轨迹．ABCDP Q1、 倍长中线法；2、 添加平行线构造全等三角形；3、 截长补短构造全等的三角形；4、 图形的运动构造全等三角形．【例9】 已知三角形的两边分别为5和7，求第三边上的中线长x 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】16x <<．【解析】57AB AC ==如图所示，，．AD E AD DE =延长至，使∵AD 是BC 边上中线， ∴BD =CD ． 在△BDE 与△CDA 中，AD DE EDB ADC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(..)BDE CDA S A S ∆∆≌， ∴7BE AC ==．在ABE ∆中，∵BE AB AE AB BE -+＜＜， ∴7575AD -<<+，∴16x <<．【总结】本题主要考查了中线倍长辅助线及三角形三边关系的综合应用．模块二：添加辅助线构造全等三角形知识精讲例题解析【例10】 在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，AE ＝EF ，试说明：BF ＝AC ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】AD G DG AD BG =延长至，使，连接．∵AD 是BC 边上中线， ∴BD =CD ． 在△BDG 与△CDA 中，AD DGGDB ADC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(..)BDG CDA S A S ∆∆≌， ∴BG AC G CAD =∠=∠，．AE EF CAD EFA =∴∠=∠Q ， ． EFA DFB ∠=∠Q ， DFB G ∴∠=∠， BF BG BF AC ∴=∴=，．【总结】本题中一方面主要考查了辅助线的添加，另一方面考查了等腰三角形的性质的运用，教师可选择性讲解．【例11】 如图所示，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AC =BF ．试说明：AE =EF ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】AD M MD FD MC =延长至点，使，连接．∵AD 是BC 边上中线， ∴BD =CD ． BD CDBDF CDM BDF CDM DF DM =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，..BDF CDM S A S MC BF M BFD ∴∆∆∴=∠=∠≌（）, ，． AC BF AC MC M EAF =∴=∴∠=∠Q ，，． .BFD AFE EAF AFE AE EF ∠=∠∴∠=∠∴=Q ，，【总结】本题中一方面主要考查了辅助线的添加，另一方面考查了等腰三角形的性质的运用，教师可选择性讲解．ABCDEF【例12】 已知：如图所示，△ABC 中，D 为BC 上一点，AB =AC ， ED =DF ，试说明：BE =CF ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】//E EM AC BC M 过点作交于点，则BME ACB ∠=∠． AB AC ABC ACB =∴∠=∠Q ，， ABC BME BE EM ∴∠=∠∴=，． //EM AC EMD FCD ∴∠=∠Q ，． 在△EMD 与△FCD 中，EMD FCDED DF EDM FDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(..)EDM FDC A A S EM CF BE CF ∴∆≅∆∴=∴=，，．【总结】本题主要考查了平行线的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．【例13】 △ABC 中，AB =AC ，E 为AC 延长线交于一点，且BD =CE ，连接DE 交底BC于G ．试说明：GD =GE ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】//D DF AC BC F 过点作交于，DFG ECG FDG E DFB ACB ∠=∠∠=∠∠=∠则，，． AB AC B ACB B DFB BD DF =∴∠=∠∴∠=∠∴=Q ，，，． BD CE DF CE =∴=Q ，．在△DGF 与△EGC 中，DGF EGCDF EG GDF E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()..DFG ECG A SA GD GE ∴∆≅∆∴=，．【总结】 本题主要考查了平行线的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．【例14】 己知，△ABC 中，AB =AC ，CD ⊥AB ，垂足为D ，P 是射线BC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC 垂足分别为E 、F ，试说明PE 、PF 与CD 的关系． 【难度】★★【答案】当点P 在线段BC 上时，PE PF CD +=； 当点P 在B C 的延长线上时，PE PF CD -=． 【解析】（1）当点P 在线段BC 上时，连接AP ，PE AB PF AC CD AB ⊥⊥⊥Q ，，，111222ABP ACP ABC S AB PE S AC PF S AB CD ∆∆∆∴=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅，，．ABP ACP ABC S S S ∆∆∆+=Q ，111222AB PE AC PF AB CD ∴⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅． AB AC =Q ， PE PF CD ∴+=；（2）当点P 在BC 的延长线上时，连接AP ， PE AB PF AC CD AB ⊥⊥⊥Q ，，，111222ABP ACP ABC S AB PE S AC PF S AB CD ∆∆∆∴=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅，，．ABP ACP ABC S S S ∆∆∆-=Q ，111222AB PE AC PF AB CD ∴⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅． AB AC =Q ， PE PF CD ∴-=．【总结】本题主要考查了利用三角形的面积关系说明线段间的关系．FE D CA BPFEDC A B P【例15】 已知，如图在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC ，BC >AB ，∠A +∠C =180°．试说明：AD =CD ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】D DE BA BA E ⊥过点作交的延长线于， D DF BC F ⊥过点作，垂足为， 则90E BFD DFC ∠=∠=∠=︒．BD ABC DAE DBF ∠∴∠=∠Q 平分，．E BFDBED BFD ABD FBD BD BD ∠=∠⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中, ， ..ABD EBD A AS ∴∆≅∆（）， DE DF ∴＝． 180180BAD C BAD EAD ∠+∠=︒∠+∠=︒Q ，， EAD C ∴∠=∠．..E DFC AED CFD EAD CDE DFAED CFD A A S AD CD∠=∠⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴=在和中，（）， 【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合运用，注意辅助线的添加．【例16】 已知，如图，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，D 是AC 的中点，AF ⊥BD于E ，交BC 于F ，连结DF ．试说明：∠ADB =∠CDF ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】 A AN BC BC N BD M ⊥过点作交于点，交于点，90 BAC AE BD ABD FAC ∠=︒⊥∴∠=∠Q ，，．45ABC AB AC C BAM DAM ∆∴=∠=∠=∠=︒Q 是等腰直角三角形，，． 在△BAM 与△ACF 中，ABD FACAB ACBAM C ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩， (..)BAM CAF A S A AM CF ∴∆≅∆∴=，． D AC AD CD ∴=Q 为中点，．在△AMD 与△CFD 中，MAD C AD C D M F C A ∠=∠==⎧⎪⎨⎪⎩，(..)AMD CFD S A S ADB CDF ∴∆≅∆∴∠=∠，．【总结】本题考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．【例17】 如图，BC ∥AD ，EA 、EB 分别平分∠DAB 、∠CBA ，CD 过点E ，试说明：AB ＝AD +BC ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】AB AF AD EF =在上截取，连接．EA DAB DAE FAE ∠∴∠=∠Q 平分，． AF ADFAE DAE DAE FAE AE AE =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，(..)FAE DAE S A S AD AF D AFE ∴∆≅∆∴=∠=∠，，．//180BC AD D C ︒∴∠+∠=Q ，，180AFE BFE C BFE ︒∠+∠=∴∠=∠Q ，．EB CBA FBE CBE ∠∴∠=∠Q 平分，． C BFE FBE CBE FBE CBE BE BE ∠=∠⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，(..)FBE CBE A A S BC BF AB AD BC ∴∆≅∆∴=∴=+，，．【总结】本题主要考查截长补短辅助线的运用．【例18】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，108BAC ∠=o ，BD 平分ABC ∠．试说明:BC AB CD =+． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】AB CE CD =在上截取，连接DE ．108AB AC BAC ︒=∠=Q ，， (180)236C ABC BAC ︒︒∴∠=∠=-∠÷=． (180)272CED CDE C ︒︒∴∠=∠=-∠÷=， 108BED BAD ︒∴∠==∠． BD ABC ABD EBD ∠∴∠=∠Q 平分，．ABD EBDBDA BDE BAD BED BD BD ∠=∠⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中， ， (..)BDA BDE A A S AB BE ∴∆≅∆∴=，．BC BE CE BC AB CD =+∴=+Q ，．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质定理及三角形内角和定理的应用．ABCD【例19】 如图，已知ABC ∆中，AD 是BAC ∠的角平分线，2B C ∠=∠．试说明：AB BD AC +=． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】AC E AE AB DE 在边上取点，使＝，连接． AD BAC BAD CAD ∠∴∠∠Q 平分，＝． 在△AMD 与△CFD 中，AB AEBAD EAD AD AD =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩(..)ABD AED S A S DE BD AED B ∴∆∆∴=∠=∠≌，，． 22B C AED C ∠=∠∴∠=∠Q ，．AED C CDE C CDE ∠=∠+∠∴∠=∠Q ，，DE CE CE BD ∴=∴=，． AC AE CE AC AB BD =+∴=+Q ，．【总结】本题主要考查了角平分线的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．【例20】 在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，若AB >AD ，DC =BC ．试说明：180B D ︒∠+∠=． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】AB AF AD FC =在上截取，连接．AC DAB DAC FAC ∠∴∠=∠Q 平分，． (..)AD AFADC AFC DAC FACAC ACADC AFC S A S D AFC CD CF =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴∠=∠=在与中，，， DC BC FC BC CFB B =∴=∴∠=∠Q ，，，180B D AFC CFB ∴∠+∠=∠+∠=︒．【总结】本题主要考查了角平分线的性质及全等三角形的判定与性质．FABCD【例21】 如图，在△ABC 中，AB =AC ，延长AB 到D ，使BD =AB ，取AB 的中点E ，连接CD 和CE ，试说明：CD =2CE ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】延长CE 到H ，使EH =CE ，连接BH ． ∵E 是AB 的中点， ∴AE = BE ． 在△AEC 与△BEH 中， AE BEAEC BEH CE EH =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴AEC BEH ≅V V ， ∴A EBH BH AC AB BD ∠=∠===，．∵AB =AC ， ∴13∠=∠．∵13CBD A CBH ABH ∠=∠+∠∠=∠+∠，， ∴CBD CBH ∠=∠． 在△CBD 与△CBH 中， BD BHCBD CBH CB CB =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴CBD CBH ≅V V ， ∴2CD CE =．【总结】本题主要考查了中线倍长辅助线与全等三角形的判定的综合运用．【例22】 已知：正方形ABCD 中，∠BAC 的平分线交BC 于E ，试说明：AB +BE =AC ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】E EF AC F ⊥过点作于点，则90AFE CFE ∠=∠=︒． 9045ABCD B ACB ∴∠=︒∠=︒Q 四边形是正方形， ，， 180904545FEC ACB ︒︒︒︒∴∠=--==∠， EF FC ∴=． AE BAC BAE FAE ∠∴∠=∠Q 是的平分线，． BABE AFE BAE FAE AE AE AFE ∠⎧⎪∆∆∠∠=∠=⎨⎪=⎩在和中，(..)ABE AFE A A S ∴∆≅∆， AB AF BE EF FC ∴===，． AF FC AC AB BE AC +=∴+=Q ，．【总结】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．231ABCDEFH【例23】 如图：在△ABC 中，∠ABC =2∠C ，AD ⊥BC ，延长AB 到E ，使BD =BE ，延长ED 到F ，交AC 于F ，说明AF =DF =CF 的理由． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】BD BE =Q ，E BDE ∴∠=∠， 2ABC E BDE BDE ∴∠=∠+∠=∠． 2ABC C BDE C ∠=∠∴∠=∠Q ，．BDE FDC C FDC DF CF ∠=∠∴∠=∠∴=Q ，，．9090AD BC ADF FDC DAF C ︒︒⊥∴∠+∠=∠+∠=Q ，，， ADF DAF AF DF AF DF CF ∴∠=∠∴=∴==，，．【总结】本题综合性较强，主要考查了等腰三角形的性质运用，教师可选择性讲解．【例24】 已知AD 为△ABC 的角平分线，AB ＞AC ，试说明：AB －AC ＞BD －DC ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】AB AE AC DE =在上截取，连接． DAE D A A BC C D A ∴∠=∠∆Q 为的角平分线，．AE ACADE ADC DAE DAC AD AD =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，，(..)ADE ADC S A S DE DC ∴∆∆∴=≌，．BDE BE BD DE BE BD DC ∆>-∴>-Q ，在中，，AB AC BD DC ∴->-．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及三角形三边关系的综合应用．ABCDEF【例25】 已知，如图1正方形ABCD 中，E 是BC 中点，EF ⊥AE 交∠DCE 外角的平分线于F ．（1）试说明：AE =EF ．（2）如图2，如当E 是BC 上任意一点，而其它条件不变时，AE =EF 是否仍然成 立，试加以分析说明． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）AB H EH 取的中点，连接．90ABCD AB BC B BCD ︒∴=∠=∠=Q 是正方形，，， 90EAH AEB ︒∴∠+∠=． 90AE EF FEC AEB EAH FEC ︒⊥∴∠+∠=∴∠=∠Q ，，．H AB E BC AH BH BE BC ∴===Q 为中点，为中点，， 45BHE ︒∴∠=， 18045135AHE ︒︒︒∴∠=-=．45CF DCG FCD ∠∴∠=︒Q 为的角平分线，， 135ECF AHE ECF ︒∴∠=∴∠=∠，． AHE ECFAHE ECF AH EC EAH FEC ∠=∠⎧⎪∆∆=⎨⎪∠=∠⎩在和中，(..)AHE ECF A S A AE EF ∴∆≅∆∴=，；（2）成立．90ABCD AB BC B BCD ︒∴=∠=∠=Q 是正方形，，， 90EAH AEB ︒∴∠+∠=． 90AE EF FEC AEB EAH FEC ︒⊥∴∠+∠=∴∠=∠Q ，，．4518045135AH EC BH BE BHE AHE ︒︒︒︒=∴=∴∠=∴∠=-=Q ，，，．45CF DCG FCD ∠∴∠=︒Q 为的角平分线，， 135ECF AHE ECF ︒∴∠=∴∠=∠，． AHE ECFAHE ECF AH EC EAH FEC ∠=∠⎧⎪∆∆=⎨⎪∠=∠⎩在和中，(..)AHE ECF A S A AE EF ∴∆≅∆∴=，．【总结】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．ABCDE FGA BCDE FG图1图2HH【例26】 如图，点D 、E 三等分△ABC 的BC 边．试说明：AB +AC ＞AD +AE ． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】AD F DF AD BF =延长至，使，连接，AE G EG AE CG =延长至，使，连接．D E BC BD DE EC ∴==Q 、三等分，． DF ADBDF EDA BDF EDA BD DE =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，..BDF EDA S AS ∴∆≅∆（）， BF AE ∴=． 2ABF AB BF AF AB AE AD ∆+>∴+>Q 在中，，． 2AC AD AE +>同理可证：．22AB AE AC AD AD AE ∴+++>+， 即 AB AC AD AE +>+．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及三角形三边关系的应用，注意辅 助线的添加．【例27】 已知：如图，在△ABC 的边上取两点D 、E ，且BD =CE ．试说明：AB +AC ＞AD +AE ． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】BC M AM N MN AM =取中点，连并延长至，使， BN DN ND AB P 连、，延长交于．BD CE DM EM =∴=Q ，．在△AEM 与△NDM 中，AM MN AME NMD EM DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()..DMN EMA S A S ∴∆∆≌， DN AE ∴=．BN CA =同理可证：．BN BP PN DP PA AD +>+>Q ，， BN BP DP PA PN AD ∴+++>+． BN AB DN AD AB AC AD AE ∴+>+∴+>+，．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及三角形三边关系的应用．ABCDE M NP【例28】 如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是CB 延长线的一点，且∠D =60°，E 是AD上一点，DE =DB ．试说明：AE =BE +BC ． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】DC F CF BD AF =延长到，使，连接．AB AC ABC ACB ABD ACF =∴∠=∠∴∠=∠Q ，，．在△ABD 与△ACF 中，AB ACABD ACF BD CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD ACF SAS AD AF ∴∴=V V ≌，．60ADB ADF AD DF ︒∠=∴∆∴=Q ，是等边三角形，．AD AE DE DF DB BC CF =+=++Q ，，AE DE DB BC CF ∴+=++．60DE DB ADB DEB ︒=∠=∴∆Q ，，也是等边三角形， DE BE DB CF AE BE BC ∴===∴=+，．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质的综合 运用，综合性较强，注意对学生进行适当的引导．【习题1】 如图△ABC 和△DBC 中，∠ABP =∠DBP ，∠ACP=∠DCP ，P 是BC 上任意一点，试说明：P A =PD ．【难度】★ 【答案】见解析．【解析】ABC DBC ∆∆在和中，ABP DBPBC BC ACP DCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，(..)ABC DBC S A S AB BD ∴∆≅∆∴=，．ABP DBP ABP DBP BP BP AB BD ∠=∠⎧⎪∆∆=⎨⎪=⎩在和中，(..)ABP DBP S A S PA PD ∴∆≅∆∴=，．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用．随堂检测ABCDPABCDE F【习题2】 已知，△ABC 中，AB =5，AC =3，则中线AD 的取值范围是_________． 【难度】★【答案】14AD <<．【解析】AD E DE AD EC =延长至点，使，连接． 2AD x AE x ==设，则．在△ABD 与△ECD 中，BD CDADB EDC AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(..)5ABD ECD S A S CE AB ∴∆≅∆∴==，． 322814AC x x =∴<<∴<<Q ，，．即14AD <<．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及三角形三边关系的应用．【习题3】 从正方形ABCD 的顶点A 作∠EAF =45°，交DC 于F ，BC 于E ，试说明：DF +BE =EF ．【难度】★ 【答案】见解析．【解析】CD G DG BE AG =延长到，使，连接． ABCD Q 四边形为正方形，90AB AD B ADC ADG ︒∴=∠=∠=∠=，，ADG B ∴∠=∠．(..)B AB AD ABE ADG B ADGABE ADG S A S AE AG BA E E DA D G G=⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪⎩∴∆≅∆∴=∠=∠=在和中， ，， 45EAF ︒∠=Q ，904545GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF ︒︒︒∴∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=-=，即EAF GAF ∠=∠．(..)AE AG AEF AGF EAF GAFAF AFAEF AGF S A S EF GF=⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴=在和中， ， GF DG DF BE DF BE DF EF =+=+∴+=Q ，．【总结】本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质的运用，利用旋转作辅 助线构造全等是解题的关键．ABCD EFGG【习题4】 已知，E 是AB 中点，AF =BD ，BD =5，AC =7，求DC 的长． 【难度】★★ 【答案】2．【解析】FE G EF GE BG =延长至，使，连接．E AB AE BE ∴=Q 是中点，．AE BEAFE BGE AEF BEG FE GE =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，(..)AFE BGE S A S ∴∆≅∆，GB AF G AFG DFC ∴=∠=∠=∠，． AF BD GB BD =∴=Q ，，D G AFG DFC CD CF ∴∠=∠=∠=∠∴=，． 752AC AF DC CF AC AF ==∴==-=Q ，，．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形性质的综合运用，教 师在讲解时注意针对性的引导．【习题5】 如图，△ABC 中，AB <AC ，AD 是中线，试说明：∠DAC <∠DAB ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】AD E AD DE BE =延长到点，使，连接．AD BD CD ∴=Q 为中线，．BD CDBDE CDA BDE CDA DE AD =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，(..)BDE CDA S A S BE AC DAC E ∴∆≅∆∴=∠=∠，，． AB AC AB BE <∴<Q ，， E DAB DAC DAB ∴∠<∠∴∠<∠，．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及三角形边角关系的综合应用，注 意添加适当的辅助线将问题进行转化．ABCD E【习题6】 △ABC 中，AB >AC ，AD 是∠BAC 的平分线，P 是AD 上任意一点，试说明：AB -AC >PB -PC ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】AB E AE AC PE =在上取一点，使，连接，则AB AE AB AC BE -=-=．AD BAC EAP CAP ∠∴∠=∠Q 平分，． AEP ACP ∆∆在和中，AE ACEAP CAP AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(S.A.S)AEP ACP PE PC ∴∆≅∆∴=，．BPE ∆在中，BE PB PE AB AC PB PC >-∴->-Q ，．【总结】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质及三角形三边关系的 综合应用．【习题7】 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG =CF ，试说明：∠BAD=∠CAD ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】GE M EM GE CM =延长到点，使，连接．E BC BE CE ∴=Q 是中点，．BE CEBEG CEM BEG CEM GE EM =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，(..)BEG CEM S A S BG CM BGE M ∴∆≅∆∴=∠=∠，，． BG CF CM CF M F BGE F =∴=∴∠=∠∴∠=∠Q ，，，//EF AD BGE BAD F CAD ∴∠=∠∠=∠Q ，，，BAD CAD ∴∠=∠．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及平行线的性质的综合运用．MABCD E F G ABCDP E【习题8】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE ．试说明：BE +DF =AE ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】CB G BG DF AG =延长到，使，连接．ABCD Q 四边形为正方形，//90AB AD AB CD D ABC ︒∴=∠=∠=，，． //AB CD AFD BAF EAF BAE ∴∠=∠=∠+∠Q ，．9018090ABC ABG ABC D ︒︒︒∠=∴∠=-∠==∠Q ，． AB ADABG ADG ABG D BG DF =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，(..)ABG ADF S A S G AFD BAG DAF EAF ∴∆≅∆∴∠=∠∠=∠=∠，，．G AFD EAF BAE BAG BAE EAG ∴∠=∠=∠+∠=∠+∠=∠．GE AE ∴=，BE DF BE GB GE AE ∴+=+==．【总结】本题主要考查了在正方形背景下的辅助线的添加及全等三角形的综合运用．【习题9】 如图所示，△ABC 是边长为1的正三角形，∠ BDC = 120°，BD =CD ，以D 为顶点作一个60°的∠MDN ，点M 、N 分别在AB ，AC 上，求△AMN 的周长． 【难度】★★★ 【答案】2【解析】AC E CE BM DE =延长到点，使，连接． 60ABC ABC ACB ︒∆∴∠=∠=Q 为正三角形，．12030BDC BD BC DBC DCB ︒︒∠==∴∠=∠=Q ，，， 9090MBD ACD ECD MBD ︒︒∴∠=∠=∴∠==∠，． BM CEMBD ECD MBD ECD BD BC =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，(..)MBD ECD S A S BDM EDC MD DE ∴∆≅∆∴∠=∠=，，．6060MDN BDM NDC ︒︒∠=∴∠+∠=Q ，，60EDC NDC EDN MDN ︒∴∠+∠==∠=∠． MD DEMDN EDN MDN EDN DN DN =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，，(..)MDN EDN S A S MN EN ∴∆≅∆∴=，．AM MN AN AM EN AN AM NC CE AN ∴++=++=+++ AM BM NC AN AB AC =+++=+，112ABC AM MN AN ∆∴++=+=Q 边长为1，．ABCDEFGABCDMNE【习题10】 如图，已知梯形ABCD 中，AB =CD =10厘米，BC =8厘米，∠B =∠C ，点E为AB 的中点．点P 在线段BC 上由B 点向C 点运动，同时点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动．（1） 若点P 与Q 都以2厘米/秒的速度运动，经过1．5秒后，△BPE 与△CQP 是否全等?请说明理由；（2） 若点P 的速度为3厘米/秒，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△PBE 与 △CQP 全等? 【难度】★★★【答案】（1）全等；（2）3/cm s 或15/4cm s ． 【解析】（1） 1.533BP CQ ==经过秒后，，，则BP CQ =．105AB E AB BE =∴=Q ，为中点，． 85BC CP BE CP =∴=∴=Q ，，．BE CPBPE CQP B C BP CQ =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中， ，(..)BPE CQP S A S ∴∆≅∆；（2）BPE CQP ∆≅∆当时，由（1）可知5BE =，5CP ∴=． 83BC BP CQ =∴==Q ，．3/13/P cm s s Q cm s ∴∴Q 点速度为，运动时间为，点速度为． 45BPE CPQ BP CP CQ ∆≅∆===当时，同理可得：，，4153//34P cm s s Q cm s ∴∴Q 点速度为，运动时间为，点速度为．综上点Q 的运动速度为3/cm s 或15/4cm s ． 【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，注意分类讨论，综合性较强．A BCDE PQ【作业1】 已知：如图，OD ⊥AD ，OH ⊥AE ，DE 交GH 于O ．若∠1=∠2，试说明：OG =OE ． 【难度】★ 【答案】见解析．【解析】OD AD OH AE ⊥⊥Q ，，90ADO GDO AHO EHO ∴∠=∠=∠=∠=． 12ADO AHOAOD AOH AO AO ∠=∠⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，(..)AOD AOH A A S OD OH ∴∆≅∆∴=，．DOG HOE DOG HOE OD OH GDO EHO ∠=∠⎧⎪∆∆=⎨⎪∠=∠⎩在和中，(..)DOG HOE S A S OG OE ∴∆≅∆∆∴=，．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合运用．【作业2】 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．试说明：AD < (AB +AC )． 【难度】★ 【答案】见解析．【解析】延长AD 到点E ，使AD DE =，连接BE ，AD Q 为BC 边上的中线， BD CD ∴=．BD CDBDE CDA BDE CDA AD DE =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，(..)BDE CDA S A S BE AC ∴∆≅∆∴=，．ABE ∆在中，AB BE AE +>Q ，2AB AC AD ∴+>，1()2AD AB AC ∴<+．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形三边关系的综合运用．课后作业AGODEH1 2ABCDE【作业3】 已知：AB //ED ，∠EAB =∠BDE ，AF =CD ，EF =BC ，试说明：∠F =∠C ． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】EB 连接//AB ED ABE DEB ∴∠=∠Q ，．EAB BDEABE DEB ABE DEB BE EB ∠=∠⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，(..)ABE DEB A A S AE DB ∴∆≅∆∴=，．AF CD AEF DBC EF BC AE DB =⎧⎪∆∆=⎨⎪=⎩在和中，(..)AEF DBC S S S F C ∴∆≅∆∴∠=∠，．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的综合运用．【作业4】 △ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，试说明：∠C =2∠B ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】AB AE AC DE =在上截取，连接．AD CAB CAD EAD ∠∴∠=∠Q 是的平分线，．AC AECAD EAD CAD EAD AD AD =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，(..)CAD EAD S A S CD DE C AED ∴∆≅∆∴=∠=∠，，．AB AC CD AB AE BE DE BE EDB B =+=+∴=∴∠=∠Q ，，，． 22AED EDB B B C B ∠=∠+∠=∠∴∠=∠Q ，．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质及角平分线的性质的综合运用．ABCDE【作业5】 已知：如图，E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且∠BAE =∠CDE ．试说明：AB =CD ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】AE F AE EF CF =延长到点，使，连接．E BC BE CE ∴=Q 是的中点，． AE EFABE FCE AEF FEC BE CE =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，(..)ABE FCE S A S AB FC BAE F ∴∆≅∆∴=∠=∠，，，BAE CDE F CDE FC CD AB CD ∠=∠∴∠=∠∴=∴=Q ，，，．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的综合运用．【作业6】 如图所示，已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE =CD ，EF =AC ．试说明：EF ∥AB ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】AD G AD DG EG =延长到点，使，连接ADC GDE ∆∆在和中， AD DGADC GDE CD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩Q (..)ADC GDE S A S CAD G AC EG ∴∆≅∆∴∠=∠=，，．EF AC EF EG EFD G CAD EFD =∴=∴∠=∠∴∠=∠Q ，，，．AD BAC BAD CAD BAD EFD ∠∴∠=∠∴∠=∠Q 平分，，，//EF AB ∴【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质及平行线的判定定理的综合运用， 注意辅助线的添加．A BCDE FABCD EF G【作业7】 在直角三角形ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE 垂直于BD ，试说明BD =2CE ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】BA CE F 延、交于点901809090.45.22.567.5.9067.522.5.BAC FAC BAC AB AC ABC ACB BD ABC ABD DBC ADB CE BD BEC BCE ACE ABD ACE ︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒∠=∴∠=-==∠=∴∠=∠=∠∴∠=∠=∴∠=⊥∴∠=∴∠=∴∠=∴∠=∠Q Q Q Q ，，平分，，，，，，ABD ACF ∆∆在和中，BAC FAC AB AC ABD ACE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩Q ， (..)ABD ACF S A S ∴∆≅∆， 67.5BD CF ADB F ︒∴=∠=∠=，，F BCE ∴∠=∠．F BCEFBE CBE ABD DBC BE BE ∠=∠⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩在和中，，(..)FBE CBE A A S ∴∆≅∆．22EF CE CF CE BD CE ∴=∴=∴=，，．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的综合运用．ABCDE F【作业8】 已知：点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 都是等边三角形，且AN 、BM 相交于O ．（1） 试说明：AN =BM ； （2）求∠AOB 的度数；（3）若AN 、MC 相交于点P ，BM 、NC 交于点Q ，试说明：PQ ∥AB ． 【难度】★★【答案】（1）见解析；（2）120︒；（3）见解析． 【解析】（1）,ACM CBN ∆∆Q 是等边三角形，60.(..).AC MC CB CN MCA NCB ACN MCN MCA MCB NCB MCA ACN MCB AC MCACN MCB ACN MCBCN CB MCB ACN S A S AN BM ︒∴==∠=∠=∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠=∠=⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴=Q Q ，，，，，在和中，， （2）MCB ACN ∆≅∆Q ，OBA CNA CBM CNA ∴∠=∠∴∠=∠，． 60180120.NOB AOB NOB OAB OBA OAB CNA NCB AOB NOB ︒︒︒∠∆∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=∴∠=-∠=Q 是的外角，，（3）PQ 连接18060. (S.A.S)6.0//.MCQ ACM BCN MCQ ACP CAP CMQ AC MC MCQ ACP CAN CMB CAP CMQ MCB AC CP CQ CPQ CPQ CPQ ACM N CMB CA PQ AB N ︒︒︒∆≅∆∴∠∠=-∠-∠=∴∠=∠∆∆=⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴∆≅∆∴=∴∆∴∠=∴∠=∠∠=∴Q Q Q 在和中，，为等边三角形，，，，，，【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形外角的性质的综合运用， 解题时注意观察角度间的关系．ABC PQOM N【作业9】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，试说明：AD 平分∠CDE ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】DE F EF BC AF AC =延长至点，使，连接、．180180ABC AED ABC AED AEF ︒︒∠+∠=∴∠=-∠=∠Q ，．在△ABC 与△AEF 中，AB AEABC AEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩Q ， () ABC AEF SAS AC AF ∴∆≅∆∴=，． 在△ADC 与△ADF 中，AC AF CD FD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩Q ，(..)ADC ADF S S S ADE ADC ∴∆≅∆∴∠=∠，， AD CDE ∴∠平分．【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合运用，注意辅助线的添加．【作业10】 如图点M 是△ABD 的边AB 所在直线上的任意一点（点B 除外），其中AB =AD =BD ，作∠DMN =60°，射线MN 与∠DBA 外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系? 【难度】★★★ 【答案】DM MN =．【解析】AD AF AM FM =在上截取，联接．AB AD BD ABD ==∴∆Q ，为等边三角形， 60A ABD AFM ︒∴∠=∠=∴∆，是等边三角形，()60120606060,11806060.2AFM AMF DFM FDM FMD DMN DMF BMN FDM BMN BN DBE DBN ︒︒︒︒︒︒︒︒∴∠=∠=∴∠=∴∠+∠=∠=∴∠+∠=∴∠=∠∠∴∠=-=Q Q ，，，，，为的角平分线，120MBN MBD NBD MBN DFM ︒∠=∠+∠=∴∠=∠Q ，． AD AB AF AM DF BM ==∴=Q ，，．在△DFM 与△MBN 中，FDM BMNDFM MBN DF BM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩Q ，(..)DFM MBN A S A DM MN ∴∆≅∆∴=，．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质，作辅助线构 造全等是解题的关键．ABNDEMABC DE F F31 / 31 七年级春季班 【作业11】 已知，如图1所示，在△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE ，且点B 、A 、D 在一条直线上，连接BE 、CD ，M 、N 分别为BE 、 CD 的中点．（1）试说明：①BE =CD ；②AN =AM ；（2）在图1的基础上，将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变， 得到图2所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立．【难度】★★★【答案】（1）见解析；（2）成立．【解析】BAC DAE ∠=∠Q ①， BAE CAD ∴∠=∠．在△ABE 与△ACD 中， AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(..)ABE ACD S A S ∴∆≅∆，BE CD ∴=；ABE ACD ∆≅∆Q ②，ABE ACD BE CD ∴∠=∠=，． M N BE CD Q 、分别是、的中点，BM CN ∴=．在△ACN 与△ABM 中，AB AC ABM ACN BM CN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(..)ABM ACN S A S ∴∆≅∆，AM AN ∴=．（2）成立，证明过程如（1）．【总结】本题考查了旋转的性质和三角形全等的判定和性质的综合运用，综合性较强．A BC D E N M 图1 A B C D EM N 图2。