7年级春季班第12讲：全等三角形的综合 -教师版

初一数学春季班（教师版）

本节课通过推理和专题训练，学会运用全等三角形的判定方法去解决三角形全等的综合问题．通过添加辅助线解决相关的边角证明问题，本节的内容相对综合，难度稍大．

全等三角形综合主要是通过全等得出结论，进而求出相应的边和角之间的关系．对于稍复杂的会通过添加平行线，倍长中线或截长补短等方法，解决综合问题．

全等三角形的综合

内容分析

知识结构

模块一：全等三角形判定的综合

知识精讲

【例1】 已知：AE ＝ED ，BD ＝AB ，试说明：CA ＝CD ． 【难度】★ 【答案】见解析．

【解析】在△ABE 与△DBE 中，

AE ED AB BD BE BE =⎧⎪

=⎨⎪=⎩， ()ABE DBE SSS ∴∆≅∆，

AEB DEB ∴∠=∠， AEC DEC ∴∠=∠．

在△ACE 与△DCE 中，

AE ED AEC DEC CE CE =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

， ()AEC DEC SAS ∴∆≅， CA CD ∴=（全等三角形的对应边相等）

． 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理的应用．

【例2】 如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BE ＝CE ，试说明：AE ＝DE ． 【难度】★ 【答案】见解析．

【解析】在△ABC 和△DCB 中，

AB DC

AC DB BC CB =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

， ∴△ABC ≌△DCB （S.S.S ）

， ∴∠ABC=∠DCB ． 在△ABE 和△DCE 中，

AB DC ABC DCB BE CE =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

， ∴△ABE ≌△DCE （S.A.S ）

， ∴AE=DE （全等三角形的对应边相等）．

【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理的应用．

例题解析

A

B

E

C

D

A

B

C

D

E

【例3】 已知：AB ∥CD ，OE ＝OF ，试说明：AB ＝CD ． 【难度】★ 【答案】见解析．

【解析】//AB CD Q ，A D B C ∴∠=∠∠=∠，．

(..)A D B C

A D AOE DOF AOE DOF OE OF AOE DOF A A S AO DO ∴∠=∠∠=∠∠=∠⎧⎪

∆∆∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴=，在和中，，

(..)

AO DO AOB DOC A D

B C AOB DOC A A S =⎧⎪

∆∆∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴∆≅∆在和中， AB CD ∴=（全等三角形的对应边相等）

． 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的综合应用．

【例4】 如图：A 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AE =CF ，过E 、F 分别作BE ⊥AC 、

DF ⊥AC ，且AB =CD ，AB ∥CD ．试说明：BD 平分EF ． 【难度】★★ 【答案】见解析．

【解析】∵AB ∥CD ，∴∠A=∠C ．

在△AGB 和△CGD 中，A C

AGB CGD AB CD ∠=∠∠=∠=⎧⎪

⎨⎪⎩

∴ΔAGB ≌ΔCGD(AAS)， ∴BG=DG ．

∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ， ∴∠BEG=∠DFG=90°． 在△BGE 和△DGF 中，BGE DGF BEG DGF BG DG ∠=∠∠=∠=⎧⎪

⎨⎪⎩

∴ΔBGE ≌ΔDGF (A .A .S )， ∴GE=GF ， 即BD 平分EF ． 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的应用．

A

B

C

D

E

F

O

A

B

C

D

E

F

G

【例5】 如图，已知AD =AE ，AB =AC ．试说明：BF =FC ． 【难度】★★ 【答案】见解析．

【解析】ABE ACD ∆∆在和中，

AD AE

A A A

B A

C =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

，()ABE ACD SAS ∴∆≅∆， B C ∴∠=∠． BD AB AD CE AC AE BD CE =-=-∴=Q ，，．

BDF CEF ∆∆在和中，

DFB EFC

B C

BD CE ∠=∠⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

，(..)BDF CEF A A S ∴∆≅∆ ， .BF CF ∴= 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的应用．

【例6】 如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠C ＝90°，D 是斜边上AB 上任一点，

AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，CH ⊥AB 于H 点，交AE 于G ．

试说明：BD ＝CG ． 【难度】★★ 【答案】见解析．

【解析】90AC BC ACB =∠=︒Q ，， 45CAH CBD ∴∠=∠=︒．

CH AB CH AH ACG CAH CBD ⊥∴=∴∠=∠=∠Q ，，． 90CH AB BF CD CHD CFB ⊥⊥∴∠=∠=︒Q ，，． CDH BDF HCD DBF ∠=∠∴∠=∠Q ，．

ACE ACG HCD CBF CBD DBF ∠=∠+∠∠=∠+∠Q ，，

ACE CBF ∴∠=∠． ACE CBF V V 在和中，ACE CBF

AEC CFB AC BC ∠=∠⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩，

ACE CBF AAS CAG BCD ∴∴∠=∠V V ≌（），． CAG BCD AGC CDB ACG CBD AC BC ∠=∠⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

V V 在和中，，AGC CDB ASA BD CG ∴∴=V V ≌（），．

【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的综合应用．

A

B

C

D E

F

G

H

A

B

C

D

E

F