立体几何中用传统法求空间角

-立体几何中的传统法求空间角

知识点：

一．异面直线所成角：平移法 二．线面角

1.定义法：此法中最难的是找到平面的垂线.1.）求证面垂线，2）.图形中是否有面面垂直的结构，找到交线，作交线的垂线即可。

2.用等体积法求出点到面的距离sinA=d/PA 三．求二面角的方法

1

21的中点,

值。

点D 的正弦

值；

又90BCA ︒∠=，∴AC ⊥BC .

∴BC ⊥平面PAC .

（Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，

∴1

2

DE BC =，

又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E .

∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角， ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB ，又PA=A B ，

∴△ABP 为等腰直角三角形，∴

AD AB =

， ∴在Rt △ABC 中，60ABC ︒∠=，∴1

2

BC AB =.

∴在Rt △ADE 中，sin 2DE BC DAE AD AD ∠=

==， 考向三：二面角问题

在图中做出下面例题中二面角

如图5

（1（2

因此BG

又。

（2）

在

在

法二：（1）取AD 中点为G ，因为,.PA PD PG AD =⊥

又,60,AB AD DAB ABD =∠=︒∆为等边三角形，因此，BG AD ⊥，从而AD ⊥平面PBG 。 延长BG 到O 且使得PO ⊥OB ，又PO ⊂平面PBG ，PO ⊥AD ，,AD OB G ⋂= 所以PO ⊥平面ABCD 。

以O 为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB ，OP 分别为x 轴，z 轴，平行于AD 的直线

为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系。

设11

(0,0,),(,0,0),(,,0),(,,0).

22P m G n A n D n -则

由于

3(0,1,0),(

,0,0),()22n m AD DE FE ===+-

得0,0,,,AD DE AD FE AD DE AD FE DE FE E ⋅=⋅=⊥⊥⋂=

AD ∴⊥平面DEF 。

（2）

由

30,0,0,b PA n a c PD n ⋅=--=⋅=得

由得 取

21111

A B C D -中，

（1（2（3）18．（（1）证明：如图，连接

1D B

，依题意有：在长方形

11

A ADD 中，

11

AD AA ==，

1111111111111A ADD A D AD A D AD B AB A ADD AB A D A D D E

D E AD B AD AB A ⇒

⊥⎫

⇒⊥⎫

⎪⊥⇒⊥⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪=⎭

四边形平面又平面平面．………4分

∴点E 到平面

1ACD （3）于F 1

EC D --∴

∠…10分

sin 26DCF DCF DC ∠=

=⇒∠=，∴3BCF ∠=．……………………12分

∴

tan

3

BE

BE BC π

=

⇒=2AE AB BE =-=-

故2AE =时，二面角1D EC D

--的平面角为4π

．……………………………14分

练习.如图，在四面体A BCD -中，2,1AB AD BD DC ====,且BD DC ⊥，二面角A BD C

--

大小为60．

(1)求证：平面ABC ⊥平面BCD ；

(2)求直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值．

17．解：(1)在四面体A BCD -中，取BD BC 、中点分别为 M N 、，连接MN ，则//MN DC

BD DC ⊥,则MN BD ⊥

又AD AB ==AM BD ⊥

AMN ∴∠中，1

1,2

AM MN ==60AMN ∠=, 可知又,则BD ∴(2)过过BDC 中，于是与平面ABC