高中数学椭圆题型完美归纳(经典)
高中数学椭圆大题题型归纳总结(145分推荐)
高中数学椭圆大题题型归纳总结（145分推荐）一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）1.已知椭圆M：x29+y2b2=1(b>0)的一个焦点为(2,0)，设椭圆N的焦点恰为椭圆M短轴上的顶点，且椭圆N过点．(1)求N的方程;(2)若直线与椭圆N交于A，B两点，求|AB|．2.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为√32，过点P(1,0)作直线交椭圆于点C，D(与A，B均不重合).当点D与椭圆E的上顶点重合时，|AD|=√5．(1)求椭圆E的方程(2)设直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为√22，直线y=k(x−1)与椭圆C交于不同的两点M,N．(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为√103时，求k的值．4.已知F是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点，焦距为4，且C过点P(√3,1)．(1)求C的方程；(2)过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1与C交于A，B两点，l2与C交于D，E两点，记AB的中点为M，DE的中点为N，试判断直线MN是否过定点，若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．5.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合，过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=43|AB|．(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点．若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．6. 若椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2=1(a >b >0)的顶点到直线l 1：y =x 的距离分别为√2和√22． (1)求椭圆C 的标准方程(2)设平行于l 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求直线l 的方程．7. 设椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，椭圆的上顶点为点B ，点A 为椭圆C 上一点，且3F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ． (1)求椭圆C 的离心率；(2)若b =1，过点F 2的直线交椭圆于M ，N 两点，求线段MN 的中点P 的轨迹方程．8. 已知椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的焦距为2，且长轴长与短轴长之比为√2：1． (Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)若不与坐标轴平行的直线l 与椭圆相切于点P ，O 为坐标原点，求直线OP 与直线l的斜率之积．9.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，短轴的一个端点到椭圆的一个焦点的距离为2√2．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y=x−1与椭圆C交于不同的A、B两点，求△AOB(O为坐标原点)的面积．10.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，离心率为√22.直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(Ⅲ)延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率．11.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．12.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，其左焦点到点P(2,1)的距离为√10，过原点O作直线OP的垂线l交椭圆C于A，B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求△ABP的面积．13. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，且经过点H(−2,1)．(1)求椭圆C 的方程;(2)过点P(−3,0)的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线HA ，HB 分别交x 轴于M ，N 两点，点G(−2,0)，若PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：1λ+1μ为定值．14. 设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，O 为原点，椭圆的右顶点和上顶点分别为A 、B ，点D(0,2)，椭圆C 的离心率为√22，且∠OAB =∠ODA ．(1)求椭圆C 的方程；(2)不与x 轴平行的直线l 与椭圆C 交于不同点P 、Q ，已知点P 关于x 轴对称点为点M ，点Q 关于原点的对称点为点N ，且D 、M 、N 三点共线，求证：直线l 过定点．15. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，短轴的一个端点到椭圆的一个焦点的距离为2√2． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y =x −1与椭圆C 交于不同的A 、B 两点，求△AOB(O 为坐标原点)的面积．16. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，焦距为2． (1)求椭圆C 的方程；(2)设A ，B 为椭圆C 上两点，O 为坐标原点，k OA ⋅k OB =−12.点D 在线段AB 上，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，连接OD 并延长交椭圆C 于E ，试问|OE||OD|是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由．17. 设椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35． (1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．18. 已知F(c,0)是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点，直线y =x −c 交椭圆C 于M ，N 两点，交y 轴于点A ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =α1MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =β1NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，α1+β1=−6． (1)求椭圆C 的离心率e ；(2)B 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =α2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +β2ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求α22+β22的值．19. 已知椭圆C ：x 24+y 2=1，F 为右焦点，圆O ：x 2+y 2=1，P 为椭圆C 上一点，且P 位于第一象限，过点P 作PT 与圆O 相切于点T ，使得点F ，T 在OP 的两侧． (1)求椭圆C 的焦距及离心率． (2)求四边形OFPT 面积的最大值．20.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆E上的一动点，且|PF1|的最小值是1，当PF1垂直长轴时，|PF1|=32．(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在斜率为−1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A、B两点，与椭圆E相交于C、D两点，且|CD|⋅|AB|=24√27若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．21.已知A，B为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点，P是椭圆C上一点(异于A，B)，满足k PA⋅k PB=−49，且a=6.斜率为−1的直线l交椭圆C于S，T两点，且|ST|=4．(1)求椭圆C的方程及离心率．(2)如图，设直线l1:y=x+m与椭圆C交于M，N两点，求四边形MSNT面积的最大值．22.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，短轴长等于焦距，且经过点P(0,1)．(1)求椭圆E的方程；(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线与E交于A、B两点，线段AB的中点为C，D是y轴上一点，且CD⊥AB.求证：线段CD的中点在x轴上．23.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴的两个端点分别为A(−2,0),B(2,0)，离心率为√32．(1)求椭圆C的方程；(2)P为椭圆C上异于A,B的动点，直线AP,PB分别交直线x=−6于M,N两点，连接NA并延长交椭圆C于点Q．(ⅰ)求证：直线AP,AN的斜率之积为定值；(ⅰ)判断M,B,Q三点是否共线，并说明理由．24. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率是√22，点F 是椭圆E 的左焦点，点A 为椭圆E 的右顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且S ⅰABF =√2+12．(1)求椭圆E 的方程；(2)设点P(m,0)为椭圆E 长轴上的一个动点，过点P 作斜率为ba 的直线l 交椭圆E 于S ，T 两点，证明：|PS|2+|PT|2为定值．25. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为2√23，左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴的上端点为P ，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−7． (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点Q(1,0)且不与y 轴垂直的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，是否存在点T(t,0)，使得直线TM 与TN 的斜率之积为定值？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．26.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，过椭圆C右焦点并垂直于x轴的直线PM交椭圆C于P，M(点P位于x轴上方)两点，且△OPM(O为坐标原点)的面积为32．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l交椭圆C于A，B(A,B异于点P)两点，且直线PA与PB的斜率之积为−94，求点P到直线l距离的最大值．27.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为√22，且点(2√33,−√33)在C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过F2的直线l与C交于A，B两点，若|AF1|⋅|BF1|=103，求|AB|．28.已知椭圆C：x2m2+y2=1(m>1)的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作直线l 交椭圆C于A(x1,y1)，B(x2,y2)，其中y1>0，y2<0，△AF1F2、△BF1F2的重心分别为G1、G2．(Ⅰ)若G1坐标为(13,16)，求椭圆C的方程；(Ⅱ)设△BF1G1和△ABG2的面积为S1和S2，且43≤S1S2≤53，求实数m的取值范围．29.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，A，B分别是它的左､右顶点，F是它的右焦点，过点F作直线与C交于P，Q(异于A，B)两点，当PQ⊥x轴时，△APQ的面积为92.(Ⅰ)求C的标准方程；(Ⅱ)设直线AP与直线BQ交于点M，求证：点M在定直线上．30.如图，椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(0,−1)，且离心率为√22．(1)求椭圆E的方程；(2)若经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．答案和解析1.【答案】解：(1)由椭圆M ：x 29+y 2b 2=1(b >0)的一个焦点为(2,0)，得c =2，且b 2=a 2−c 2=9−4=5， ∴椭圆N 的焦点为(0,−√5)，(0,√5). 又椭圆N 过点(√22,√3)，∴椭圆N 的长轴长为(√2(√2=2√6．∴椭圆N 的半长轴长为√6，半焦距为√5，则短半轴长为1． ∴N 的方程为x 2+y 26=1；(2)联立{y =x −2x 2+y 26=1，得7x 2−4x −2=0．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=47,x 1x 2=−27，∴|AB|=√2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2⋅√(47)2−4×(−27)=127．【解析】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查弦长公式的应用，属于中档题．(1)由已知可得椭圆N 的焦点坐标，再由椭圆定义求得椭圆N 的长半轴长，结合隐含条件求得短半轴长，则椭圆N 的方程可求；(2)联立直线方程与椭圆N 的方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求|AB|．2.【答案】解：(1)当点D 与椭圆E 的上顶点重合时，有D (0,b )，所以|AD |=√a 2+b 2=√5.① 又因为离心率e =√a 2−b 2a=√32，② 由①②解得a =2，b =1，所以E 的方程为x 24+y 2=1．(2)由题意，易知直线CD 的斜率不为0，所以设直线CD 的方程为x =my +1，联立方程组{x 24+y 2=1,x =my +1,得(m 2+4)y 2+2my −3=0，显然Δ>0，设C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2)，则y 1+y 2=−2mm 2+4，y 1y 2=−3m 2+4． 由(1)得A (−2,0)，B (2,0)，所以k 1=y 2x2+2，k 2=y 1x1−2，k 1k 2=y 2(x 1−2)y 1(x 2+2)=y 2(my 1−1)y 1(my 2+3)=my 1y 2−y 2my 1y 2+3y 1=my 1y 2−(y 1+y 2)+y 1my 1y 2+3y 1=−mm 2+4+y 1−3mm 2+4+3y 1=13为定值．【解析】本题考查椭圆方程及几何意义，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，考查计算能力，属于中档题． (1)解方程√a 2+b 2=√5.①√a 2−b 2a=√32，②即得解； (2)设直线CD 的方程为x =my +1，联立方程组{x 24+y 2=1,x =my +1,得(m 2+4)y 2+2my −3=0，得到韦达定理，再利用韦达定理化简k 1k 2即得证．3.【答案】解：(1)∵椭圆一个顶点为A (2,0)，离心率为√22， ∴{a =2c a =√22a 2=b 2+c 2,∴b =√2, ∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1；(2)联立直线y =k(x −1)与椭圆C 的方程， 消去y 整理得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−4=0， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=4k 21+2k2，x 1x 2=2k 2−41+2k 2，=2√(1+k 2)(4+6k 2)1+2k 2，∵A(2,0)到直线y =k(x −1)的距离为|k|√1+k 2，∴△AMN 的面积S =12·2√(1+k2)(4+6k 2)1+2k 2·|k|√1+k2=|k|√4+6k 21+2k 2，∵△AMN 的面积为√103，∴|k|√4+6k 21+2k 2=√103， 解得，经检验Δ>0，∴k =±1．【解析】本题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，三角形面积等，属于中档题．(1)根据椭圆一个顶点为A (2,0)，离心率为√22，可建立方程组，从而可求椭圆C 的方程；(2)直线y =k(x −1)与椭圆C 联立，消元可得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−4=0，从而可求|MN|，A(2,0)到直线y =k(x −1)的距离，利用△AMN 的面积为√103，可求k 的值．4.【答案】解：(1)由题意可得{2c =43a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a 2=6或2(舍)，b 2=2，故椭圆C 的方程为x 26+y 22=1．(2)由题意知，当l 1，l 2其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为0，此时直线MN 为x 轴； 当l 1，l 2的斜率都存在且不为0时， 设l 1：x =my −2(m ≠0)， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{x =my −2x 26+y 22=1，化简可得(m 2+3)y 2−4my −2=0且Δ>0， 所以y 1+y 2=4m m 2+3，y 1y 2=−2m 2+3， 则x 1+x 2=m(y 1+y 2)−4=−12m 2+3，∴M (−6m 2+3,2mm 2+3)， 同理由{x =−1my −2x 26+y 22=1，可得N (−6m 23m 2+1,−2m 3m 2+1)，则k MN =2m m 2+3+2m3m 2+1−6m 2+3+6m 23m 2+1=4m3(m 2−1)，所以直线MN 的方程为y −2mm 2+3=4m3(m 2−1)(x +6m 2+3)，化简得y =4m3(m 2−1)x +2mm 2−1=4m 3(m 2−1)(x +32)，故直线MN 恒过定点(−32,0). 综上，直线MN 过定点(−32,0)．【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程 ，考查圆锥曲线中的定点问题，训练了直线与圆锥曲线位置关系的应用(1)由已知条件得到关于a ，b ，c 的方程组，求解方程组得到a 2，b 2的值，则椭圆方程可求；(2)当l 1，l 2其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为0，此时直线MN 为x 轴；当l 1，l 2的斜率都存在且不为0时， 设l 1：x =my −2(m ≠0)， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线方程与椭圆方程，求出M 坐标，用−1k 代换k ，得到点N 的坐标，进一步得到MN 所在直线方程，得到直线MN 过定点．5.【答案】解：(1)因为F 为C 1的焦点且AB ⊥x 轴，可得F(c,0)，|AB|=2b 2a，设C 2的标准方程为y 2=2px(p >0)，因为F为C2的焦点且CD⊥x轴，所以F(p2,0)，|CD|=2p，因为|CD|=43|AB|，C1，C2的焦点重合，所以{c=p22p=43⋅2b2a，消去p，可得4c=8b23a，所以3ac=2b2，所以3ac=2a2−2c2，设C1的离心率为e，由e=ca，则2e2+3e−2=0，解得e=12(−2舍去)，故C 1的离心率为12；(2)由(1)可得a=2c，b=√3c，p=2c，所以C1：x24c2+y23c2=1，C2：y2=4cx，联立两曲线方程，消去y，可得3x2+16cx−12c2=0，所以(3x−2c)(x+6c)=0，解得x=23c或x=−6c(舍去)，从而|MF|=x+p2=23c+c=53c=5，解得c=3，所以C1和C2的标准方程分别为x236+y227=1，y2=12x．【解析】【试题解析】本题考查抛物线和椭圆的定义、方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．(1)由F为C1的焦点且AB⊥x轴，F为C2的焦点且CD⊥x轴，分别求得F的坐标和|AB|，|CD|，由已知条件可得p，c，a，b的方程，消去p，结合a，b，c和e的关系，解方程可得e的值；(2)由(1)用c表示椭圆方程和抛物线方程，联立两曲线方程，解得M的横坐标，再由抛物线的定义，解方程可得c，进而得到所求曲线方程．6.【答案】解：(1)由直线l1：y=x可知其与两坐标轴的夹角均为45°，故长轴端点到直线l1的距离为√22a，短轴端点到直线l1的距离为√22b，所以√22a=√2，√22b=√22，解得a=2，b=1，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设直线l ：y =x +t(t ≠0)，联立{y =x +t x 24+y 2=1，整理得5x 2+8tx +4t 2−4=0，则△=64t 2−16×5(t 2−1)>0，解得−√5<t <√5， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−8t5，x 1x 2=4t 2−45， 故y 1y 2=(x 1+t)(x 2+t)=(x 1+x 2)t +x 1x 2+t 2=t 2−45，因为OA ⊥OB ，即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=4t 2−45+t 2−45=0． 解得t =±2√105，满足−√5<t <√5且t ≠0，所以直线l 的方程为y =x +2√105或y =x −2√105．【解析】(1)由长轴端点到直线l 1的距离为√22a ，短轴端点到直线l 1的距离为√22b ，解得a =2，b =1，即可得椭圆C 的标准方程． (2)设直线l ：y =x +t(t ≠0)，联立{y =x +tx 24+y 2=1，整理得5x 2+8tx +4t 2−4=0，由即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=4t 2−45+t 2−45=0.解得t =±2√105，即可． 本题考查了椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．7.【答案】解：(1)设A(x 0,y 0)，B(0,b)，F 1(−c,0)，由3F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 得{3x 0+4c =03y 0+b =0, {x 0=−4c3y 0=−b 3，即A(−43c,−b 3)， 又∵A(x 0,y 0)在椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1上，∴(−43c)a 22+(−13b)2b 2=1，得ca =√22，即椭圆C 的离心率为e =√22；(2)由(1)知，e =√22，又∵b =1，a 2=b 2+c 2，解得a 2=2，b 2=1，∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1，当线段MN 在x 轴上时，中点为坐标原点(0,0)， 当线段MN 不在x 轴上时，设直线MN 的方程为x =my +1，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 代入椭圆方程x 22+y 2=1中，得(m 2+2)y 2+2my −1=0，∵点F 2在椭圆内部， ∴△>0，y 1+y 2=−2mm 2+2，则x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2=4m 2+2， ∴点P(x,y)的坐标满足x =2m 2+2，y =−mm 2+2， 消去m 得，x 2+2y 2−x =0(x ≠0)，综上所述，点P 的轨迹方程为x 2+2y 2−x =0．【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的简单性质以及椭圆方程，考查动点的轨迹方程，是中档题．(1)设A(x 0,y 0)，B(0,b)，F 1(−c,0)，通过3F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 求出A 的坐标，转化求解离心率；(2)求出椭圆C 的方程为x 22+y 2=1，当线段MN 在x 轴上时，中点为坐标原点(0,0)，当线段MN 不在x 轴上时，设直线MN 的方程为x =my +1，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，代入椭圆方程x 22+y 2=1中，得(m 2+2)y 2+2my −1=0，通过韦达定理，转化求解轨迹方程即可．8.【答案】解：(I)已知椭圆中2c =2，且2a2b =√2，又a 2=b 2+c 2，解得a =√2，b =1， ∴椭圆的方程为x 22+y 2=1；(Ⅱ)由题意：可设l 的方程为y =kx +m(k 存在且k ≠0) 与椭圆C 联立消去y 可得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0， 由直线l 与椭圆C 相切，可设切点为(x 0,y 0)， 由判别式△=0可得m 2=1+2k 2， 解得x 0=−2km ,y 0=1m ，因此，直线OP 的斜率为k OP =−12k ，直线l 的斜率为k ， 即直线OP 与直线l 的斜率之积为−12．【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．(Ⅰ)通过焦距，结合长轴长与短轴长之比为√2：1.求出a ，b ，然后求解椭圆方程． (Ⅱ)设出直线方程，与椭圆方程联立，设切点为(x 0,y 0)，利用△=0，推出直线OP 的斜率为k OP =−12k ，直线l 的斜率为k ，然后求解即可．9.【答案】解：(1)依题意可设椭圆C 的方程为x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)， 则{a 2=b 2+c 2=(2√2)2e =c a=√22，解得{a =2√2c =2 ∴b 2=a 2−c 2=8−4=4， ∴椭圆C 的方程为x 28+y 24=1;(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立方程{x 28+y 24=1y =x −1消去y并整理得：3x 2−4x −6=0， 所以{x 1+x 2=43x 1⋅x 2=−2， |AB|=√1+12|x 1−x 2|=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2[(43)2−4×(−2)]=4√113.即：|AB|=4√113， 又∵原点O(0,0)到直线y =x −1的距离为d =√2=√22， ∴△AOB 的面积S =12|AB|⋅d =12×4√113×√22=√223．【解析】【试题解析】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，属于中档题．(1)根据椭圆的离心率及性质，即可求得b 2的值，求得椭圆方程；(2)利用直线与椭圆的位置关系，以及点到直线的距离，弦长公式，三角形的面积公式，即可得．10.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知，c =1，e =c a =√22，∵a 2=b 2+c 2，∴a =√2,b =1， ∴椭圆的方程为x 22+y 2=1．(Ⅱ)设直线l 的方程为y =k(x −1)(k ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{y =k(x −1)x 22+y 2=1，消去y 得，(2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2=0， 则x 1+x 2=4k 22k 2+1，∵M 为线段AB 的中点，∴x M =x 1+x 22=2k 22k 2+1，y M =k(x M −1)=−k2k 2+1，∴k OM =y M x M=−12k，∴k OM ⋅k l =−12k ×k =−12为定值．(Ⅲ)若四边形OAPB 为平行四边形，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x P =x 1+x 2=4k 22k 2+1，y P =y 1+y 2=k(x 1+x 2)−2k =−2k2k 2+1，∵点P 在椭圆上，∴(4k 22k 2+1)2+2×(−2k2k 2+1)2=2，解得k 2=12，即k =±√22， ∴当四边形OAPB 为平行四边形时，直线l 的斜率为k =±√22．【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及曲直联立、中点坐标公式、平面向量的坐标运算等知识点，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． (Ⅰ)由题可知，c =1，e =c a=√22，再结合a 2=b 2+c 2，解出a 和b 的值即可得解；(Ⅱ)设直线l 的方程为y =k(x −1)(k ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线l 的方程和椭圆的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，写出两根之和与系数的关系；由于M为线段AB 的中点，利用中点坐标公式可用k 表示点M 的坐标，利用k OM =yMx M 可求出直线OM 的斜率，进而得解；(Ⅲ)若四边形OAPB 为平行四边形，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用平面向量的线性坐标运算可以用k 表示点P 的坐标，再将其代入椭圆方程即可得到关于k 的方程，解之即可得解．11.【答案】(1)解：由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，由已知椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1， 可得：a +c =3，a −c =1， ∴a =2，c =1， ∴b 2=a 2−c 2=3， ∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1；(2)证明：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) 联立{y =kx +m x 24+y 23=1，消去y 可得(3+4k 2)x 2+8mkx +4(m 2−3)=0，则{ Δ=64m 2k 2−16(3+4k 2)(m 2−3)=3+4k 2−m 2>0x 1+x 2=−8mk3+4k 2x 1x 2=4(m 2−3)3+4k 2, 又y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2=3(m 2−4k 2)3+4k 2，因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)，∴DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴y 1y 2+x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=0， ∴3(m 2−4k 2)3+4k 2+4(m 2−3)3+k 2+16mk3+4k 2+4=0，∴7m 2+16mk +4k 2=0， 解得：m 1=−2k,m 2=−2k 7，且均满足3+4k 2−m 2>0，当m 1=−2k 时，l 的方程y =k(x −2)，直线过点(2,0)，与已知矛盾； 当m 2=−2k7时，l 的方程为y =k(x −27)，直线过定点(27,0)． 所以，直线l 过定点，定点坐标为(27,0)．【解析】本题考查椭圆的性质及应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，综合性强，属于中档题．(1)由已知椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，可得：a +c =3，a −c =1，从而可求椭圆的标准方程；(2)直线与椭圆方程联立，利用以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)，结合根的判别式和根与系数的关系求解，即可求得结论．12.【答案】解：(1)设椭圆左焦点为F(−c,0)，则由题意得{√(2+c)2+1=√10c a=12，解得{a =2c =1，则b 2=a 2−c 2=3， 所以椭圆方程为x 24+y 23=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由AB ⊥OP 及k OP =12得k l =−2， 所以直线l 为2x +y =0， 由{2x +y =0x 24+y 23=1,得：19x 2−12=0⇒x 1x 2=−1219, ∴|AB |=√1+k 2|x 1−x 2|=√5√4819=4√28519， 因为点P(2,1)到直线l 的距离为d =|OP |=√5, 所以S △ABP =12×d ×|AB|=12×√5×4√28519=10√5719．【解析】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数y ，运用韦达定理和弦长公式，考查两点间的距离公式，考查了学生的运算能力，属于中档题．(1)运用两点的距离公式以及离心率公式，可得a ，c 的值，由a ，b ，c 的关系，可得b ，进而得到椭圆方程；(2)根据垂直直线斜率间的关系，求出直线l 的方程，联立椭圆方程，消去y ，运用韦达定理和弦长公式，及两点间的距离公式，即可得到面积．13.【答案】解：(1)由题意知e =√1−b 2a2=√22;又椭圆C 经过点H(−2,1)，所以4a 2+1b 2=1; 解得a 2=6，b 2=3，所以椭圆C 的方程为x 26+y 23=1．(2)证明：设直线AB 方程为x =my −3，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由{x =my −3x 26+y 23=1联立消元得(m 2+2)y 2−6my +3=0，所以△=36m 2−12(m 2+2)>0，y 1+y 2=6mm 2+2，y 1y 2=3m 2+2， 由题意知，y 1，y 2均不为1． 设M(x M ,0)，N(x N ,0)，由H ，M ，A 三点共线知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， 所以x M −x 1=(−y 1)(−2−x M )，化简得x M =x 1+2y 11−y 1;由H ，N ，B 三点共线，同理可得X N =x 2+2y 21−y 2;由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(x M +3,0)=λ(1,0)，即λ=x M +3; 由PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，同理可得μ=x N +3; 所以1λ+1μ=1x M +3+1x N +3=1x 1+2y 11−y 1+3+1x 2+2y 21−y 2+3=1−y 1x 1−y 1+3+1−y 2x 2−y 2+3=1−y 1(m −1)y 1+1−y 2(m −1)y 2=1m−1(1−y 1y 1+1−y 2y 2)=1m−1(y 1+y 2y 1y 2−2)=1m−1(6m m 2+23m 2+2−2)=2，所以1λ+1μ为定值．【解析】本题主要考查了椭圆的概念及标准方程椭圆的性质及几何意义，直线与椭圆的位置关系 以及圆锥曲线中的定点与定值问题，属中档题 (1)由题意根据椭圆的概念得椭圆C 的方程;(2)设直线AB 方程为x =my −3，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线与椭圆联立消元得(m 2+2)y 2−6my +3=0，由题意知，y 1，y 2均不为1.设M(x M ,0)，N(x N ,0)，由H ，M ，A 三点共线知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，所以x M −x 1=(−y 1)(−2−x M )，化简得x M =x 1+2y 11−y 1;由H ，N ，B 三点共线，同理可得X N ，由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得λ，μ表达式，从而证得1λ+1μ为定值．14.【答案】解：(1)∵椭圆C 的离心率为√22， ∴a =√2c ，b =c ， 又∵∠OAB =∠ODA ， ∴tan∠OAB =tan∠ODA ， ∴ba =a2，∴a 2=2b ， ∴2b 2=2b ，∴b =1，a =√2， 故椭圆的方程为x 22+y 2=1．(2)由题意，可设直线l:x =my +n ，P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)，M(x 1,−y 1)、N(−x 2,−y 2)， 联立方程{x =my +n x 2+2y 2=2，得(m 2+2)y 2+2mny +n 2−2=0， ∴{y 1+y 2=−2mn m 2+2y 1⋅y 2=n 2−2m 2+2， Δ=4m 2n 2−4(m 2+2)(n 2−2)>0，即m 2+2>n 2． DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,−y 1−2)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x 2,−y 2−2)， ∵D 、M 、N 三点共线，∴DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴x 1(−y 2−2)=x 2(y 1+2)， ∴(my 1+n)(−y 2−2)=(my 2+n)(y 1+2)， ∴2my 1y 2+(2m +n)(y 1+y 2)+4n =0． ∴2m ·n 2−2m 2+2+(2m +n)·−2mn m 2+2+4n =0，∴m =2n ．∴直线l 过定点(0,−12).【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程，考查椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系及圆锥曲线中的定点值问题，属于较难题． (1)根据条件可得关于a 、b 的方程，求解可得椭圆C 的方程；(2)由题意，可设直线l:x =my +n ，P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)，M(x 1,−y 1)、N(−x 2,−y 2)，与椭圆方程联立，根据D 、M 、N 三点共线，可得m =2n ，从而可得结论．15.【答案】解：(1)依题意可设椭圆C 的方程为x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)， 则{a 2=b 2+c 2=(2√2)2e =c a =√22，解得 {a =2√2c =2， ∴b 2=a 2−c 2=8−4=4， ∴椭圆C 的方程为x 28+y 24=1 ;(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)， 联立方程{x 28+y 24=1y =x −1 ，消去y ， 并整理得：3x 2−4x −6=0， 所以{x 1+x 2=43x 1·x 2=−2， |AB |=√1+12|x 1−x 2|=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√2[(43)2−4×(−2)]=4√113·即：|AB|=4√113， 又∵原点O (0,0)到直线y =x −1的距离为d =√2=√22， ∴△AOB 的面积S =12|AB|⋅d =12×4√113×√22=√223.【解析】【试题解析】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，属于中档题．(1)根据椭圆的离心率及性质，即可求得b 2的值，求得椭圆方程；(2)利用直线与椭圆的位置关系，以及点到直线的距离，弦长公式，三角形的面积公式，即可得．16.【答案】解：(1)由已知得e =c a =√22且2c =2，所以a =√2，c =1，所以b =1，所求椭圆方程为x 22+y 2=1．(2)设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，D(x 3,y 4)， 由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得{x 3=2x 1+x23,y 3=2y 1+y 23.设|OE||OD|=λ，则结合题意可知OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以E(λx 3,λy 3). 将点E(λx 3,λy 3)代入椭圆方程，得λ2(x 322+y 32)=1.即1λ2=x 322+y 32=(2x 1+x 23)22+(2y 1+y 23)2，变形，得1λ2=49，(x 122+y 12)+49(x 1x 22+y 1y 1)+19(x 222+y 22)(∗)， 又因为点A ，B 均在椭圆上，且k OA ⋅k OB =−12，所以{ x 122+y 12=1,x 222+y 22=1,k OA ⋅k OB=y 1x 1⋅y 2x 2=−12,代入(∗)式解得λ=3√55. 所以|OE||OD|是定值，为3√55．【解析】本题考查椭圆的性质和方程，圆锥曲线中的定值问题，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．(1)由题给条件求出a ，b ，进而得到方程．(2)设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，D(x 3,y 4)，由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得{x 3=2x 1+x23,y 3=2y 1+y 23. ，设|OE||OD|=λ， 则结合题意可知OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以E(λx 3,λy 3)，将点E(λx 3,λy 3)代入椭圆方程，得λ2(x 322+y 32)=1， 由此得1λ2=49，由条件求出λ，进而求出答案．17.【答案】解：(1)将点(0,4)代入椭圆C 的方程得16b 2=1，∴b =4，由e =ca =35，得1−16a 2=925，∴a =5， ∴椭圆C 的方程为x 225+y 216=1；(2)过点(3,0)且斜率为45的直线为y =45(x −3)， 设直线与椭圆C 的交点为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，将直线方程y =45(x −3)代入椭圆C 方程，整理得x 2−3x −8=0， 由韦达定理得x 1+x 2=3，y 1+y 2=45(x 1−3)+45(x 2−3)=45(x 1+x 2)−245=−125．由中点坐标公式AB 中点横坐标为32，纵坐标为−65， ∴所截线段的中点坐标为(32,−65).【解析】【试题解析】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键． (1)椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(0,4)，可求b ，利用离心率，求出a ，即可得到椭圆C 的方程；(2)过点(3,0)且斜率为45的直线为y =45(x −3)，代入椭圆C 方程，整理，利用韦达定理，确定线段的中点坐标．18.【答案】解：(1)由条件可得A(0,−c)，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1+c)，MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c −x 1,−y 1)，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2+c)，NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c −x 2,−y 2)． 由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =α1MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =β1NF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得， (x 1,y 1+c)=α1(c −x 1,−y 1)，(x 2,y 2+c)=β1(c −x 2,−y 2)， ∴x 1=α1(c −x 1)，x 2=β1(c −x 2)，∴α1=x 1c−x 1，β1=x2c−x 2(由已知，x 1≠c ，x 2≠c)， ∴α1+β1=x 1c−x 1+x2c−x 2=c(x 1+x 2)−2x 1x 2c 2−c(x1+x 2)+x 1x 2．由方程组{y =x −c,b 2x 2+a 2y 2−a 2b 2=0.得(a 2+b 2)x 2−2a 2cx +a 2c 2−a 2b 2=0， ∴x 1+x 2=2a 2c a 2+b2，x 1x 2=a 2c 2−a 2b 2a 2+b 2．∴a 2c 2a 2+b2−2a 2c 2−2a 2b 2a 2+b 2=c 2+b 2+a 2−a 2b 2a 2+b 2=−6 化简得，2a 2=3c 2，即e =√63．(2)设B(x,y)，由OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =α2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +β2ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得，x =α2x 1+β2x 2，y =α2y 1+β2y 2， 将它们代入b 2x 2+a 2y 2−a 2b 2=0并结合b 2x 12+a 2y 12−a 2b 2=0和b 2x 22+a 2y 22−a 2b 2=0化简得，(α22+β22)a 2b 2+2α2β2(b 2x 1x 2+a 2y 1y 2)=a 2b 2．又y 1y 2=(x 1−c)(x 1−c)=x 1x 2−c(x 1+x 2)+c 2=b 2c 2−a 2b 2a 2+b 2， ∴b 2x 1x 2+a 2y 1y 2=b 2(a 2c 2−a 2b 2)a 2+b 2+a 2(b 2c 2−a 2b 2)a 2+b 2=a 2b 2(3c 2−2a 2)a 2+b 2=0，∴(α22+β22)a 2b 2=a 2b 2，所以，α22+β22=1．【解析】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，平面向量的坐标运算，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．(1)由条件可得A(0,−c)，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立直线方程和椭圆方程，结合韦达定理以及向量的坐标运算可得a ，b ，c 的关系，即可求离心率．(2)设B(x,y)，结合题意以及向量的坐标运算可得x =α2x 1+β2x 2，y =α2y 1+β2y 2，代入b 2x 2+a 2y 2−a 2b 2=0，结合韦达定理化简整理即可得出答案．19.【答案】解：(1)在椭圆C ：x 24+y 2=1中，a =2，b =1，所以c =√a 2−b 2=√3， 故椭圆C 的焦距为2c =2√3， 离心率e =ca =√32；(2)设P(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)，则x 024+y 02=1，故y02=1−x024，所以|TP|2=|OP|2−|OT|2=x02+y02−1=34x02，所以|TP|=√32x0，SΔOTP=12|OT|⋅|TP|=√34x0，又O(0,0)，F(√3,0)，故SΔOFP=12|OF|⋅y0=√32y0，因此S四边形OFPT =SΔOFP+SΔOTP=√32⋅(x02+y0)=√32⋅√x024+x0y0+y02=√32⋅√1+x0y0，由x024+y02=1，得2√x024⋅y02≤1，即x0⋅y0≤1，所以S四边形OFPT =√32⋅√1+x0y0≤√62，当且仅当x024=y02=12，即x0=√2，y0=√22时等号成立．【解析】本题考查椭圆的几何性质以及椭圆的标准方程，关键是掌握椭圆的标准方程的形式．(1)根据题意，由椭圆的标准方程分析可得a、b的值，计算可得c的值，据此计算可得答案；(2)设P(x0,y0)，结合椭圆的方程分析可得四边形OFPT面积的表达式，结合基本不等式的性质分析可得答案．20.【答案】解：(1)由题意，点P椭圆上的一动点，且|PF1|的最小值是1，得a−c=1，因为当PF1垂直长轴时，|PF1|=32，所以b2a=32，即2b2=3a，又由a2=b2+c2，解得a=2，b=√3，所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1．(2)假设存在斜率为−1的直线l，不妨设为y=−x+m．由(1)知，椭圆E左右焦点为F1(−1,0)，F2(1,0)，所以以线段F1F2为直径的圆方程为x2+y2=1．由题意，圆心(0,0)到直线l的距离d=√2<1，即得|m|<√2，又|AB|=2√1−d 2=2√1−m 22=√2×√2−m 2，联立方程组{x 24+y 23=1y =−x +m ，消去y ，整理得7x 2−8mx +4m 2−12=0，由题意，△=(−8m)2−4×7×(4m 2−12)=336−48m 2=48(7−m 2)>0， 解得m 2<7，又|m|<√2，所以m 2<2． 又由韦达定理，得x 1+x 2=8m 7，x 1x 2=4m 2−127，所以|CD|=√1+k 2|x 2−x 1|=√2×√Δ7=4√6√7−m 27，若|CD||AB|=24√27， 则√2×√2−m 2×4√67×√7−m 2=24√27， 整理得m 4−9m 2+8=0， 解得m 2=1，或m 2=8．又m 2<2，所以m 2=1，即m =±1.故存在符合条件的直线l ，其方程为y =−x +1，或y =−x −1．【解析】本题主要考查了椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系、圆锥曲线中的定点与定值问题，还涉及了直线与圆方程的应用，属于中等题．(1)根据题中条件得到a −c =1，2b 2=3a ，结合椭圆的性质：a 2=b 2+c 2，建立关于a ，b 的方程组即可求解；(2)由题意，设出直线l 方程y =−x +m ，根据题设条件得到|m|<√2，联立直线l 与椭圆得方程组，利用韦达定理、圆中弦长公式以及两点间距离的坐标公式，依次计算得到|AB|、|CD|关于m 的表达式，由|CD |⋅|AB |=24√27进而可求得m 的值，于是可给出相应的结论．21.【答案】解：(1)设点P 为(x,y )，点A ，B 的坐标分别为(−6,0)，(6,0)．因为k PA ⋅k PB =yx+6⋅yx−6=−49，所以4x 2+9y 2=144即x 236+y 216=1．因为P在椭圆C上，所以x236+y2b2=1，所以b2=16．故椭圆C的方程为x236+y216=1,c=√a2−b2=√62−16=2√5．所以离心率e=ca =2√56=√53．(2)因为，所以四边形MSNT的面积S MSNT=12|ST|⋅|MN|．由题意得|ST|=4，则S MSNT=2 |MN|．即当|MN|取到最大值时，S MSNT取到最大值．联立直线l1与椭圆C的方程，可得13x2+18mx+9m2−144=0．由，可得m2<52．设点M，N的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则x1+x2=−18m13，x1x2=9m2−14413，所以|MN|=√2[(−18m13)2−4×9m2−14413]=12√2√−m2+5213．显然当m=0时，|MN|取到最大值24√2613，故S MSNT的最大值为48√2613．【解析】本题考查椭圆几何性质、标准方程以及圆锥曲线中面积最值问题，属于一般题；(1)本题考查椭圆标准方程以及几何性质，根据斜率乘积求出x、y的一个关系，再根据点在椭圆上及椭圆的性质求解即可；(2)本题考查圆锥曲线中面积以及最值问题，对四边形MSNT面积进行正确转化，进而联立直线与椭圆方程，再利用弦长公式求解即可．22.【答案】解：(1)由椭圆E 经过点P(0,1)，得b =1，由短轴长等于焦距，得2b =2c ，则c =1， 所以a =√b 2+c 2=√12+12=√2， 故椭圆E 的方程为x 22+y 2=1．(2)设直线l 的方程为x =ty +1(t ≠0)， A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，C (x 0,y 0)，联立直线与椭圆方程：{x =ty +1x 2+2y 2=2，得(t 2+2)y 2+2ty −1=0， 由题意，得△>0，且y 1+y 2=−2tt 2+2，y 1y 2=−1t 2+2， 则y 0=y 1+y 22=−t t 2+2，x 0=ty 0+1=2t 2+2，即C (2t 2+2,−tt 2+2)， 设D (0,u )，由得：u+tt 2+2−2t 2+2·1t=−1，解得u =tt 2+2，所以y 0+u =0，所以y 0+u 2=0，故线段CD 的中点在x 轴上．【解析】本题主要考查了直线与椭圆的关系，椭圆的标准方程，考查运算能力，属于中档题．(1)根据题目条件，可得b =c =1，进而可求出a ，可求方程．(2)设直线l 的方程为x =ty +1(t ≠0)，联立直线与椭圆方程，消去x 得(t 2+2)y 2+2ty −1=0，由韦达定理可得y 1+y 2=−2tt 2+2，y 1y 2=−1t 2+2，则可求C 点坐标，设D (0,u )，由建立等式解得u ，由y 0+u 2=0，可证结果．23.【答案】解：(1)由题意得a =2,e =c a=√32， 所以c =√3,b 2=a 2−c 2=1， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(2)(ⅰ)证明：设P(x 0,y 0)，因为P 在椭圆C 上，所以x 024+y 02=1．因为直线AP 的斜率为y 0x 0+2，直线BP 的斜率为y 0x 0−2， 所以直线BP 的方程为y =y 0x 0−2(x −2)． 所以点N 的坐标为N(−6,−8y 0x0−2)．所以直线AN 的斜率为−8y 0x 0−2−6+2=2y 0x0−2． 所以直线AP,AN 的斜率之积为：y 0x 0+2⋅2y 0x 0−2=2y 02x 02−4=2(1−x 024)x 02−4=−12．(ⅰ)M,B,Q 三点共线．因为点P 异于A ，B 两点，可知直线AP 的斜率存在且不为零．设直线AP 斜率为k(k ≠0)，则直线AP ：y =k(x +2)，可得M(−6,−4k)． 由(ⅰ)可知直线AP,AN 的斜率之积为−12，所以直线AN 的斜率为−12k ， 所以直线AN 的方程为y =−12k (x +2)．联立直线AN 与椭圆方程得，{x 2+4y 2−4=0,x =−2ky −2,可得(4+4k 2)y 2+8ky =0．解得Q 点的纵坐标为−2k 1+k2，所以Q 点的坐标为Q(2k 2−21+k 2,−2k 1+k 2)．所以，直线BQ 的斜率为−2k1+k 2−02k 2−21+k 2−2=k2，直线BM 的斜率为−4k−0−6−2=k2． 因为直线BQ 的斜率等于直线BM 的斜率，所以M,B,Q 三点共线．【解析】本题考查椭圆的定义及几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率与直线的方程，属于中档题．(1)结合条件和椭圆的几何性质可求得a ，b ，c ，即可求得椭圆的方程；(2)(ⅰ)设P(x 0,y 0)，求得直线AP 的斜率并求出直线BP 方程，求得点N 的坐标，再求得直线AN 的斜率，根据点P 在椭圆上，可证明直线AP,AN 的斜率之积为定值； (ⅰ)根据直线AP 的斜率存在且不为零，设直线AP 斜率为k ，则可得直线AP 方程，求出点M ，根据(ⅰ)中的直线AP,AN 的斜率之积为−12，求出直线AN 的斜率为−12k ，可得直线AN 的方程，联立直线AN 与椭圆方程，求得点Q 坐标，根据直线BQ ，BM 斜率相等，可判定结论．24.【答案】解：(1)F(−c,0)，A(a,0)，B(0,b)，则S △ABF =√2+12=12(a +c)b ， 即(a +c)b =√2+1，即(a +c)√a 2−c 2=√2+1． 又e =ca =√22，a =√2c ，代入上式中得到，(√2c +c)√2c 2−c 2=√2+1， 解得c =1，于是a =√2，b =1．。
高中数学_椭圆,知识题型总结
陈氏优学教学课题椭圆知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.讲练结合一.椭圆的定义1．若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是 知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。
讲练结合二．利用标准方程确定参数1．椭圆2214x y m+=的焦距为2，则m = 。
2．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。
知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质（1）对称性对于椭圆标准方程，把x 换成―x ，或把y 换成―y ，或把x 、y 同时换成―x 、―y ，方程都不变，所以椭圆是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a 和y=±b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a ，|y|≤b 。
（3）顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。
a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4）离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。
高中数学椭圆大题经典例题
高中数学中椭圆大题的经典例题题目：已知椭圆 C：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为√3/3，过点 A(0,b) 和 B(a,0)的直线与原点的距离为√3/2。
(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 P 是椭圆 C 上一点，E、F 是椭圆 C 上的两动点，如果直线 PE，PF 的斜率都存在，且满足 kPE * kPF = -2/3，试探究△OEF 的形状，并说明理由。
(3)试问：是否存在以 PE，PF 为邻边的平行四边形？如果存在，求出所有这样的平行四边形；如果不存在，说明理由。
解析：(1)由题意，离心率 e = c/a = √3/3，直线 AB 的方程为 y = -√3x + b，利用点到直线的距离公式得到 b = √3/2。
又因为 a^2 = b^2 + c^2，解得 a = √3, b = 1。
所以椭圆 C 的方程为 x^2/3 + y^2 = 1。
(2)设 P(x0,y0)，E(x1,y1)，F(x2,y2)，由 kPE * kPF = -2/3，得到 (y0 - y1)(y0 - y2) / (x0 - x1)(x0 - x2) = -2/3。
根据椭圆方程和斜率公式，化简得到 (x0^2 - 1)(x0^2 - 3) = -4(x0^2 - 1)，解得 x0^2 = 1 或 x0^2 = 3（舍去）。
所以△OEF是直角三角形。
(3)假设存在以 PE，PF 为邻边的平行四边形，则 PE // PF，即存在 m，使得 kPE = kPF = m。
联立方程求解得 m = -√5/5 或 m = √5/5。
当 m = -√5/5 时，P(-√15/3, √15/5)，E(-√15/5, √15/5)，F(-√15/5, -√15/5)，此时ΔOEF 是等腰三角形，不满足题意。
当 m = √5/5 时，P(-√15/3, -√15/5)，E(-√15/5, -√15/5)，F(-√15/5, √15/5)，此时ΔOEF 是等腰三角形，满足题意。
高中数学：学霸归纳总结椭圆性质及最经典题型讲解
高中数学：学霸归纳总结椭圆性质及最经典题型讲解
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1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a<c，则集合P为空集．
第1课时椭圆及其性质
思维提升：
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
思维提升：
(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧
①注意椭圆几何性质中的不等关系
在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系．
②利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系．
(2)求椭圆的离心率问题的一般思路
求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围．。
高中数学椭圆题型归类(全)
高中数学椭圆题型归类目录曲线与方程题型1：曲线的方程的判断题型2：直接法求曲线的方程题型3：定义法求曲线的方程题型4：相关点法求曲线的方程题型5：参数法求曲线的方程题型6：交轨法求曲线的方程椭圆题型1：求轨迹(椭圆)方程题型1.1：定义法求轨迹(椭圆)方程题型1.2：直接法求轨迹(椭圆)方程题型1.3：相关点法求轨迹(椭圆)方程题型1.4：参数法求轨迹(椭圆)方程题型2：求椭圆标准方程题型2.1：已知椭圆上一点及焦点，定义法求椭圆标准方程题型2.2：已知椭圆上两点，待定系数法求椭圆标准方程题型2.3：已知a,b,c关系，方程组法求椭圆标准方程题型3：椭圆的定义题型4：椭圆的对称性题型5：椭圆的离心率题型5.1：求椭圆的离心率题型5.2：求椭圆的离心率取值范围题型6：椭圆的弦中点题型7：椭圆的焦点三角形题型8：椭圆的弦长题型9：椭圆中的三角形面积题型10：直线与椭圆的位置关系题型10.1：直线与椭圆的位置关系题型10.2：椭圆的切线方程题型11：椭圆的求值问题题型12：椭圆中求取值范围问题题型13：椭圆中最值问题题型14：椭圆的定值问题方法是先猜后证。
猜法：取特殊情况或极端情况，此不赘述。
题型14.1：和差相消为定值题型14.2：乘除相约为定值题型14.3：消参数为定值题型15：椭圆的定点问题方法是先猜后证。
猜法：取两种特殊情况或极端情况的交点，或利用对称性判断定点在某直线上，此不赘述。
题型15.1：直线恒过定点题型15.2：曲线恒过定点题型16：证明、探究问题题型1：曲线的方程的判断1.已知曲线C 1,C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则“f 1(x 0,y 0)=f 2(x 0,y 0)”是“点M(x 0,y 0)是曲线C 1与C 2的交点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2.方程|y|-1=表示的曲线是()A.两个半圆B.两个圆C.抛物线D.一个圆 3.方程(x+y-1)=0所表示的曲线是()A.B.C.D.题型2：直接法求曲线的方程1.到（0,2）和（4，-2）距离相等的点的轨迹方程___________2.设动点P 到点F(-1,0)的距离是到直线y=1的距离相等，求点P 的轨迹方程，并判定此轨迹是什么图形.3.动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2||||=PB PA ），求动点P 的轨迹方程？题型3：定义法求曲线的方程1.由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹方程为．2.过点（-2,0）的直线与圆221x y +=相交于A，B，求弦AB 中点M 的轨迹方程。
高考数学椭圆中的经典结论
高中数学中椭圆的经典结论（一）1.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.7.椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q,A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+.13.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程22002222x x y y x y a b a b+=+.高中数学中椭圆的经典结论（二）1.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.2.过椭圆22221x y a b+=(a ＞0,b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.3.若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1,F 2是焦点,12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+.4.设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin c e aαβγ==+.5.若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1-时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6.P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.7.椭圆220022()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.8.已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.则（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.。
高中数学椭圆知识总结(精选4篇)
高中数学椭圆知识总结第1篇空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：(1)共面：平行、相交(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线xxx的角：范围为(0°，90°)esp.空间向量法两异面直线间距离:公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面xxx的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影xxx的锐角。
空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，xxx的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，xxx的角为0°角由此得直线和平面xxx角的取值范围为[0°，90°]最小角定理:斜线与平面xxx的角是斜线与该平面内任一条直线xxx角中的最小角三垂线定理及逆定理:如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直高中数学椭圆知识总结第2篇一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx(k为常数，k≠0)二、一次函数的性质：的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
高中数学-椭圆常考题型汇总及练习
高中数学-椭圆常考题型汇总及练习高中数学-椭圆常考题型汇总及练第一部分：复运用的知识一）椭圆几何性质椭圆的第一定义是：平面内与两定点F1、F2距离和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。
两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（2c）。
椭圆的几何性质以x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1为例：范围由标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式2≤x^2/a^2 + y^2/b^2 ≤1，即abx≤a，y≤b。
这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里（封闭曲线）。
该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题。
椭圆还有以下对称性：关于原点、x轴、y轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。
椭圆的顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b)。
长轴为A1A2，长度为2a；短轴为B1B2，长度为2b。
椭圆的离心率e有以下几个性质：（1）椭圆焦距与长轴的比e=c/a，其中c为焦距；（2）a^2=b^2+c^2，即a是长半轴长，b是短半轴长；（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关。
当e接近于1时，椭圆越扁；当e接近于0时，椭圆越接近圆。
椭圆还有通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）和焦点三角形等性质。
二）运用的知识点及公式在解题过程中，我们需要掌握以下知识点和公式：1、两条直线.2、XXX定理：若一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个不同的根x1,x2，则2bc/(a(x1+x2))=-1，x1+x2=-b/a。
1.中点坐标公式：对于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，它们的中点坐标为(x,y)，其中x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2.2.弦长公式：如果点A(x1,y1)和点B(x2,y2)在直线y=kx+b(k≠0)上，则y1=kx1+b，y2=kx2+b。
高中数学 椭圆专题(经典例题 考题 练习)附答案
高中数学椭圆专题一．相关知识点1．椭圆的概念平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。
这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数}。
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集。
2．椭圆的标准方程和几何性质3．椭圆中常用的4个结论(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处。
(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2。
(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a。
(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c。
一、细品教材1．(选修1－1P34例1改编)若F1(3,0)，F2(－3,0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是()A.x225＋y216＝1 B.x2100＋y29＝1 C.y225＋x216＝1 D.x225＋y216＝1或y225＋x216＝12．(选修1－1P42A组T6改编)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A.22 B.2－12C．2－ 2 D.2－1走进教材答案1．A; 2．D 二、双基查验1．设P是椭圆x24＋y29＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．8 C．6 D．182．方程x25－m＋y2m＋3＝1表示椭圆，则m的范围是()A．(－3,5) B．(－5,3) C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)3．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或214．已知椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为________。
圆锥曲线：有关椭圆的小题总结 高考数学
m足∠ = ∘ ,则
∘
≥ = ,
【解析】由题意得： +
=
，所以当＞＞，则＜ ＜ ，所
以表示焦点在轴上的椭圆，所以对，错，当 = ＞时，曲线
+
= ，所以表示圆，半径为 ，当 = , ＞时，曲线为
= ，所以 = ± ，所以表示两条直线，故选：
为
以只要求∠ 为直角时点横坐标的值，因为 = ，所以当
∠ 为直角时，点在圆 + = 上，解方程组:
得: =
±
,
所以点 横坐标的取值范围是:
+ =
�� +
−
＜＜
.
=
试卷讲评课件
【例3】已知椭圆
x2
上任意一点,则当点Q为椭圆短轴的端点时,∠AQB最大.
试卷讲评课件
【证明】如图,设 , ≤ ＜, ＜ ≤ ,过点作
⊥ ,垂足为,则 = + , = − , = ,所以
∠ =
∠ =
+
,∠
=
−
迹E的方程为
+
=
所以动圆C的圆心轨迹E的方程为
+
=
，
+
=
试卷讲评课件
x2
练习3.已知A、B分别为椭圆E： 2
高中数学椭圆常见题型总结
P
的轨迹方程。
8、已知动圆 C过点 A( 2,0) ，且与圆 C2 : ( x 2)2 y2 64 相内切，则动圆圆心的轨迹方
程为
；
9、已知椭圆的焦点在 y 轴上，焦距等于 4，并且经过点 P(2, 2 6) ，则椭圆方程为
；
10、已知中心在原点，两坐标轴为对称轴的椭圆过点
标准方程为
；
A( 3 , 5) ， B( 3, 5) ，则该椭圆的 22
(C ) 16(2 3)
(D ) 16(2- 3)
x2 3、 P 是椭圆
25
y2 1 上的一点， F1 和 F2 为左右焦点，若
9
F1PF2 60 。
（1）求 F1PF2 的面积；（ 2）求点 P 的坐标。
焦半径问题
x2
１椭圆
12
y2 3
1的左右焦点分别为 F1 、 F2 ，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1 的中点在 y
轴上，那么 PF1 是的 PF2 的
倍；
椭圆的中点弦问题
例 1、已知椭圆 ax 2 by2 1(a b 0) 与直线 x y 1 0 相交于 A 、 B 两点， C 是 AB
的中点，若 AB 2 2 ， OC 的斜率为 2 ，求椭圆方程。 2
高中数学
1、直线 l 交椭圆 x2 y 2 1于 A、 B 两点， AB 中点的坐标是 (2,1) ，则直线 l 的方程为 16 12
1 k2 x1 x2
1 k 2 (x1 x2) 2 4x1x2
3 、椭圆的中点弦：
x2 y2 设 A(x1, y1), B( x2 , y2 ) 是椭圆 a2 b2 1(a b 0) 上不同两点，
M ( x0, y0 ) 是线段 AB 的中点，可运用 点差法 可得直线 AB 斜率，且 kAB
高考椭圆经典题型与高频考点归纳解析
解题篇经典题突破方法LLL L LL高二数学2020年12月L工L丿LLJ !"#$%&'()高*"+归■四川省巴中中学平面解析几何是高中数学的重点和难点！是每年高考的必考内容之一，一般出现2到3道选择题、填空题及一道解答题，分值在22分到27分之间。
选择题、填空题以直线与直线、直线与圆的位置关系、圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质为主，分值在10分到15分！难度中等居多，有时也出现难度较大的题目°解答题一般以椭圆或抛物线为载体，以直线与圆锥曲线的位置关系为主线，结合函数、方程、不等式、平面向量、导数等主体知识，探究轨迹方程、曲线性质、位置关系、定点（或定值、定线）、最值（或范围）以及存在性，每年必考一道解答题，分值12分，在次压轴题甚至压轴题的位置，综合性强、难度大，具有举足轻重的地位，素有“得解几者得天下”的说法"其中，椭圆的多层面考查一直是高考试卷中平面解析几何内容的“重头戏）题型最丰富，出镜率最高，最能体现基础性、综合性、应用性、创新性的高考数学学科“四翼”核心素养考查要求°下面就最新高考试卷中椭圆的经典题型与高频考点进行归纳解析"一、经典基础题一椭圆的定义、标准方程及其几何性质问题对椭圆的定义、标准方程及其几何性质等基础理论知识的考查，通常出现在选择题、填空题中间偏后的位置，难度以中档居多°有时也出现在小题靠前的位置或大题的第一问，属于简单的必得分题°高频考点一椭圆的定义对椭圆定义的考查方式通常有：（1）利用定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆'2）利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长和离心率等；（3）利用定义求折线段的和（或差）的最值°!!已知两圆C1:（$—4）2+y2= 169C2：（$+4&+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆肖斌（特级教师）心M的轨迹方程为（&2222y y_■6448B48+642222C二—！L=1d三+二=1486464十48解析：设圆M的半径为厂，则\MC1\+ \MC2\=（13—r）+（3+t）=16>8= I C1C2\,故M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆"设椭圆的标准方程为+T2=1（a>bb>0）,贝2a=16,2c=8°于是a=8,c=4,b2=a2—c2=48°故所求的轨迹方程为右+4-=1,选D°反思升华：平面内与两个定点=],=2的距离的和等于常数（大于\=1=2\）的点的轨迹叫作椭圆"集合P={M\\M=1\+\M=2 =2a+,\=1=2\=2：其中a>0,c>0,且a,c 为常数：（1）若a>c,则集合P为椭圆；（2）若a =c则集合P为线段;（3）若a'c则集合P 为空集°!"（2020年四川省巴中中学月考试题）已知椭圆C：2+y2=1的右焦点为=上顶点为A,点P是该椭圆上的动点，当△PA=的周长最大时,A PA=的面积为解析：设椭圆C的左焦点为=1，则\P=\+\P=1\=2a°于是△#'=的周长为\A=\+\P=\+\AP\=a+(2a—\P=1\)+ \AP\=3a+\AP\—\P=1\$3a+\A=1\= 3a+a=4a,当且仅当A,=1,P三点共线时取等号°解得P，所以S”s△'==1+s△#==1=2\==1\\1a—y#\= 143Jn"""解题篇经典题突破方法丁今虫"""""高二数学2020年12月反思升华：处理圆锥曲线中折线段的最值问题，一般是先通过圆锥曲线的定义和圆锥曲线的对称性将折线中的和或差变为直线段，然后利用“两点之间线段最短）“垂线段最短三角形中任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边”等平几性质找到取得最值的临界条件，并求出最值"!#已知=1、=2是椭圆c:—$+y&b =1（&>b>0）的两个焦点,P为椭圆C上的一点，且/=1P=2=60。
(完整版)高中数学椭圆经典例题详解
椭圆标准方程典型例题例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系222c b a +=可求出m 的值．解：方程变形为12622=+my x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以2262=-m ，5=m 适合．故5=m ．例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a 和b （或2a 和2b ）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a by a x ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92=a ，故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a bx a y ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+ba ．又b a 3=，联立解得812=a ，92=b ，故椭圆的方程为198122=+x y ．例3 ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解．（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ① 由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=PF ，3522=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ． 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12FPF Rt ∆中，21sin 1221==∠PF PF F PF ， 可求出621π=∠F PF ，3526cos21=⋅=πPF c ，从而310222=-=c a b ．∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x ．例5 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 21=∆求面积． 解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限． 由余弦定理知： 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α．①由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2得 αcos 12221+=⋅b PF PF ． 故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b 2tan 2αb =．例6 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．例7 已知椭圆1222=+y x ， （1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④，③，②，①，y y y x x x y x y x 222222212122222121①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ，将③④代入得022121=--+x x y y yx ．⑤（1）将21=x ，21=y 代入⑤，得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ，0416436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求．（2）将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）（3）将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分）（4）由①＋②得 ：()2222212221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 212222124y y y y y -=+， ⑨将⑧⑨代入⑦得：()224424212212=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-x x y x x x ， 即 12122=+y x ．此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．例8 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程． 解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221mx x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =． 说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式． 用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．例9 以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．解：如图所示，椭圆131222=+y x 的焦点为()031，-F ，()032，F ． 点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为（－9，6），直线2FF 的方程为032=-+y x ． 解方程组⎩⎨⎧=+-=-+09032y x y x 得交点M 的坐标为（－5，4）．此时21MF MF +最小．所求椭圆的长轴：562221==+=FF MF MF a ，∴53=a ，又3=c ，∴()3635322222=-=-=c a b ．因此，所求椭圆的方程为1364522=+y x ．例10 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k ．∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ，且4≠k ． 说明：本题易出现如下错解：由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k ．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆．例11 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．解：方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα． 因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈．说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0cos 1>-α，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，αsin 12=b ． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0．例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程． 分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．解：设所求椭圆方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )．由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-⋅=-⋅+⋅,11)32(,1)2()3(2222n m n m 即⎩⎨⎧=+=+,112,143n m n m 所以151=m ，51=n ．故所求的椭圆方程为151522=+y x ．例13 知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段，求线段中点M 的轨迹．分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹． 解：设点M 的坐标为),(y x ，点P 的坐标为),(00y x ，则2x x =，0y y =．因为),(00y x P 在圆122=+y x 上，所以12020=+y x ．将x x 20=，y y =0代入方程12020=+y x 得1422=+y x ．所以点M 的轨迹是一个椭圆1422=+y x ．说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为),(y x ，设已知轨迹上的点的坐标为),(00y x ，然后根据题目要求，使x ，y 与0x ，0y 建立等式关系， 从而由这些等式关系求出0x 和0y 代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x ，y 的方程， 化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握．例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得， 也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ．(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122． 在21F AF ∆中，3cos22112212122πF F AF F F AF AF -+=，即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ； 所以346-=m ．同理在21F BF ∆中，用余弦定理得346+=n ，所以1348=+=n m AB ．(法3)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标． 再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=．例15 椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为A ．4 B ．2 C ．8 D ．23解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为2F ，由椭圆第一定义得10221==+a MF MF ，所以82101012=-=-=MF MF ，又因为ON 为21F MF ∆的中位线，所以4212==MF ON ，故答案为A ．说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆．(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即a MF MF 221=+，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．例16 已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上．利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围． 解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点． ∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41．由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122yx n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。
(完整版)高中数学_椭圆,知识题型总结,推荐文档
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()
点的轨迹叫椭圆
若，则动点的轨迹为线段；
若，则动点的轨迹无图形
．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
．在椭圆的两种标准方程中，都有和；
当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。
椭圆的的简单几何性质
对于椭圆标准方程，把
，方程都不变，所以椭圆是以
②椭圆（
表示，记作。
越小，因
椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：
），，；
），，；
）,，；知识点四：椭圆与（
，，
，，
关于x轴、y轴和原点对称
，，
=，短轴长=
，，椭圆，（
和，
知识点四：椭圆与（
，，
，，
关于x轴、y轴和原点对称
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，，椭圆，（
和，
可化为，即，
当时，椭圆的焦点在
当时，椭圆的焦点在
程中的参数、、的值。
其主要步骤是
与椭圆（）共焦点的椭圆方程可设为（
与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的
长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。
离心率，因为
表示为，当越小时，椭圆越扁，越大；当越大，椭圆趋近圆，。
高中数学必修2椭圆常见题型与典型方法归纳
椭圆常见题型与典型方法归纳考点一 椭圆的定义椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆.这两定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距.椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=ac(0<e<1)的动点M 的轨迹叫做椭圆.这个定点是椭圆的焦点，这条定直线叫做椭圆的准线，这个常数e 是椭圆的离心率.注意：当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F =的点的轨迹是线段12FF ; 当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F <的点的轨迹不存在. 例 动点P 到两个定点1F （- 4，0）、2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为 （ ） A 、椭圆 B 、线段12,F F C 、直线12,F F D 、不能确定考点二 椭圆的标准方程一 标准方程1焦点在x 轴上 标准方程是：22221x y a b +=（其中222,0).b a c a b =->>焦点的坐标分别为(,0),(,0)c c -2焦点在y 轴上 标准方程是：22221y x a b +=（其中222,0).b a c a b =->>焦点的坐标分别为(0,),(0,)c c -3焦点位置判断 哪项分母大焦点就在相应的轴上 如 求22179x y +=的焦点坐标 4 椭圆过两定点，焦点位置不确定时可设椭圆方程为221mx ny +=（其中0,0m n >>）例 已知椭圆过两点1),(2)A B -，求椭圆标准方程5 与12222=+b y a x （a ＞b ＞0）共焦点的椭圆为12222=+++kb y k a x二 重难点问题探析: 1.要有用定义的意识例 已知12,F F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若2212F A F B += 则AB =________。
高中数学解析几何专题之椭圆(汇总解析版)
圆锥曲线第1讲 椭圆【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义：平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2（212F F a >）的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。
注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作a 2）大于这两个定点之间的距离21F F （记作c 2），否则点的轨迹就不是一个椭圆。
具体情形如下：（ⅰ）当c a 22>时，点的轨迹是椭圆； （ⅱ）当c a 22=时，点的轨迹是线段21F F ； （ⅲ）当c a 22<时，点的轨迹不存在。
注2：若用M 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为aMF MF 221=+（c a 22>，cF F 221=），即2121F F MF MF >+.注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件：aMF MF 221=+千万不可忘记。
2. 椭圆的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （10<<e ）的点的轨迹叫做椭圆。
二、椭圆的标准方程（1）焦点在x 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是12222=+b y a x （0>>b a ）； （2）焦点在y 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是12222=+b x a y （0>>b a ）.注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看长半轴跟谁走。
长半轴跟x 走，椭圆的焦点在x 轴；长半轴跟y 走，椭圆的焦点在y 轴。
（1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。
若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设其方程为12222=+b y a x （0>>b a ）或12222=+b x a y （0>>b a ）；若题目未指明椭圆的焦点究竟是在x 轴上还是y 轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为122=+ny mx （0>m ，0>n ，且n m ≠）. 三、椭圆的性质以标准方程12222=+b y a x （0>>b a ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。
高中数学椭圆的经典知识总结
高中数学椭圆的经典知识总结椭圆知识点总结1. 椭圆的定义：1,2（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x （222a b c =+）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
2. 椭圆的几何性质：（1）椭圆（以12222=+by a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a=，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。
⑥通径22b a2.点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b+>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b+<3．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切； （3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；如:直线y ―kx ―1=0与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；4、焦半径（圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径0r ed a ex ==±，其中d 表示P 到与F 所对应的准线的距离。
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椭圆题型归纳一、知识总结1.椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) .2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 12222=+bx a y （a ＞b ＞0）焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，可设方程为221(0,0)mx ny m n +=>>不必考虑焦点位置，求出方程。
3.范围. 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．|x|≤a ，|y|≤b ． 4.椭圆的对称性椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 5.顶点椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。
长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .|B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ．在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即c 2＝a 2－b 2．6.离心率7.椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a⋅=-，即0202y a x b K AB-=。
)10(<<=e ace定义及其应用例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程；例 2.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是例3.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ∆的周长等于 ；例4.设圆22(1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ；椭圆的方程例1.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程；例 2.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程；例3.求经过点(2,3)-且与椭圆229436x y +=有共同焦点的椭圆方程；注：与椭圆22221x y a b+=共焦点的椭圆可设其方程为222221()x y k b a k b k +=>-++； 例 1.在ABC ∆中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b ac >>且,,b a c 成等差数列时顶点A 的轨迹；例2.已知x 轴上一定点(1,0)A ，Q 为椭圆2214x y +=上任一点，求AQ 的中点M 的轨迹方程；例3.设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于,A B 两点，点P 是直线l 上满足1PA PB =的点，求点P 的轨迹方程；例4.中心在原点，一焦点为F 的椭圆被直线32y x =-截得的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆的方程；焦点三角形问题例1. 已知椭圆2211625x y +=上一点P 的纵坐标为53，椭圆的上下两个焦点分别为2F 、1F ，求1PF 、2PF 及12cos F PF ∠；椭圆的几何性质例1.已知P 是椭圆22221x y a b +=上的点，的纵坐标为53，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则12PF PF 的最大值与最小值之差为例2.椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的四个顶点为,,,A B C D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为 ；例3.若椭圆22114x y k +=+的离心率为12，则k = ； 例 4.若P 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且01215PF F ∠=，02175PF F ∠=，则椭圆的离心率为例1.方程22221(1)x y m m +=-表示准线平行于x 轴的椭圆，求实数m 的取值范围；椭圆的第二定义的应用例1. 方程2x y =++所表示的曲线是 例2.求经过点(1,2)M ，以y 轴为准线，离心率为12的椭圆的左顶点的轨迹方程； 例 3.椭圆221259x y +=上有一点P ，它到左准线的距离等于52，那么P 到右焦点的距离为例4．已知椭圆13422=+y x ，能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ，使它到左准线的距离为它到两焦点12,F F 距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。
例5．已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标．求离心率例1. 椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点为1(,0)F c -，(,0)A a -，(0,)B b 是两个顶点，如果1F 到直线AB ，则椭圆的离心率e = 例2.若P 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且12PF F α∠=，212PF F α∠=，则椭圆的离心率为例3. 1F 、2F 为椭圆的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，1PF PQ ⊥，且1PF PQ =，则椭圆的离心率为 ；例1.椭圆22143x y +=上的点P 到直线270x y -+=的距离最大时，点P 的坐标 例 2.方程22sin cos 1x y αα-=(0απ<<)表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围；（1）直线与椭圆的位置关系例1. 当m 为何值时，直线:l y x m =+与椭圆22916144x y +=相切、相交、相离？例2.曲线22222x y a +=（0a >）与连结(1,1)A -，(2,3)B 的线段没有公共点，求a 的取值范围。
例3.过点)0 ,3(-P 作直线l求OAB ∆例4.求直线cos sin 2x y θθ+=和椭圆2236x y +=有公共点时，θ的取值范围(0)θπ≤≤。
（二）弦长问题例1.已知椭圆22212x y +=，A 是x 轴正方向上的一定点，若过点A ，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为3134，求点A 的坐标。
例2.椭圆221ax by +=与直线1x y +=相交于,A B 两点，C 是AB 的中点， 若22||=AB ，O 为坐标原点，OC 的斜率为22，求,a b 的值。
例3.椭圆1204522=+y x 的焦点分别是1F 和2F ，过中心O 作直线与椭圆交于,A B 两点，若2ABF ∆的面积是20，求直线方程。
（三）弦所在直线方程例1.已知椭圆221164x y +=，过点(2,0)P 能否作直线l 与椭圆相交所成弦的中点恰好是P ；例2. 椭圆E 中心在原点O ，焦点在x 轴上，其离心率32=e ,过点(1,0)C -的直线l 与椭圆E 相交于,A B 两点，且C 分有向线段AB 的比为2. （1）用直线l 的斜率(0)k k ≠表示OAB ∆的面积；（2）当OAB ∆的面积最大时，求椭圆E 的方程．例 4.已知11022(,),(1,),(,)A x y B y C x y 是椭圆22143x y +=上的三点，F 为椭圆的左焦点，且,,AF BF CF 成等差数列，则AC 的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。
（四）关于直线对称问题例 1.已知椭圆22143x y +=，试确定m 的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线4y x m =+对称；例2.已知中心在原点，焦点在y 轴上，长轴长等于6，离心率322=e ，试问是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同两点,A B ，且线段AB 恰被直线21-=x 平分？若存在，求出直线l 倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。
考点十.最值问题例1．若(2,3)P -，2F 为椭圆1162522=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求2MP MF +的最大值和最小值。
分析：欲求2MP MF +的最大值和最小值 可转化为距离差再求。
由此想到椭圆第一定义212MF a MF =-, 1F 为椭圆的左焦点。
例2．(2,6)P -,2F 为椭圆1162522=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求2MP MF +的最大值和最小值。
F 2F 1M 1M 2o例3．求定点(,0)A a 到椭圆12222=+by a x 上的点之间的最短距离。
3.三角函数法例4．求椭圆14222=+y x 上的点(,)M x y 到直线:24l x y +=的距离的最值；4.判别式法把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。
例5.已知定点(A -，点F 为椭圆2211612x y +=的右焦点，点M 在该椭圆上移动时，求2AM MF +的最小值，并求此时点M 的坐标；（第二定义的应用）例6．已知1F 、2F 分别为椭圆22110064x y +=的左、右焦点，椭圆内一点M 的坐标为(2,6)-，P 为椭圆上的一个动点，试分别求：（1）253PM PF +的最小值； （2）2PM PF +的取值范围．考点十一. 轨迹问题例1．到两定点(2,1)，(2,2)--的距离之和为定值5的点的轨迹是 ( ) A ．椭圆 Ｂ．双曲线Ｃ．直线Ｄ．线段例2．已知点(3,0)A ，点P 在圆221x y +=的上半圆周上(即y ＞0)，∠AOP 的平分线交PA 于Q ，求点Q 的轨迹方程。
例3.已知圆22:(3)100C x y -+=及点(3,0)A -，P 是圆C 上任一点，线段PA 的垂直平分线l 与PC 相交于Q 点，求Q 点的轨迹方程。
题型十二.椭圆与数形结合例1． 关于x 22220x kx k -+=有两个不相等的实数解，求实数k 的取值范围.仰望天空时，什么都比你高，你会自卑;俯视大地时，什么都比你低，你会自负;只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。