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海洋科學一：海洋數學海洋數學─航線問題教學領域：數學科 教學節數：2 節 適用年級：高二教 學 設 計 理 念哥倫布說地球是圓的。

當然，這未必全然是正確的，但船隻最短航線是弧形這點也是無庸置疑的。

如何讓學生瞭解船隻兩點最短航線距離的計算，成了這兩節課知能傳達的主要 目標，希望透過理想球面的介紹，能使學生針對此問題具有初步而明確的概念。

在學生學過球面方程式後，融入三角函數基本概念，協助學生釐清對海上 船隻航線實際行進路線距離計算，且球面距離為球上兩點間最短距離之認知。

期望有助於海上救難、休閒旅遊之路程規劃，以達節省燃料，減少有害物質排 放海中污染海洋，進而達到保護海洋、愛護海洋之海洋保育的終極目標。

【指導教授】國立臺灣海洋大學 商船學系 航運管理學系 陳志立教授 李選士教授 戴世麒老師【設計者】基隆市立中山高級中學229海洋科學一：海洋數學教 學 概 念 篇一領 ○域 架 構 圖坐標表示法 向 高中數學 第三冊 量 內 積 空間坐標系 空間向量 平面方程式 直線方程式 圓與球面 圓 球 面 一次方程組二主 ○題 分 析空間坐標系 球面距離 航線問題 三角函數 球面方程式230海洋科學一：海洋數學三教 ○案 設 計 架 構球面距離 航線問題釐清 航線認知觀念建立 空間坐標系統應用三角函數 概念解題231海洋科學一：海洋數學教 學 說 明 篇海洋教育能力指標1-5-5 從生態旅遊中體認自然保育與人類生活的息息相關。

3-5-4 察覺生活中與海洋相關之生活體驗與文化。

5-5-11 瞭解海洋環境變遷、過度使用對生態環境的影響，並提出因應對策。

融入其他 融入其他學科相關領域 其他學科相關領域無學習目標一、培養學生具備以數學思考問題、分析問題和解決問題的能力。

二、培養學生具備實際生活應用和學習相關學科所需的數學知能。

三、培養學生欣賞數學內涵中以簡馭繁的精神和結構嚴謹完美的特質。

教學目標1.認知方面 1-1 瞭解船隻航線非直線。

1-2 瞭解球面距離的意義。

2.技能方面 2-1 能適當建立空間坐標系統。

2-2 能配合三角函數概念解決球面距離的問題。

3.情意方面 3-1 海洋佔地表百分比高過陸地 ， 我們如何與海洋和平共存 ， 進而融入日常生活之中 。

3-2 過度破壞海洋環境、耗費海洋資源，等同於扼殺所有物種的生命。

學生背景分析1. 高一基礎數學第一冊，龍騰版，3-5 多項式方程式。

2. 高一基礎數學第二冊，龍騰版，2-5 正餘弦定理。

3. 高一基礎數學第二冊，龍騰版，3-1 三角函數的圖形。

4. 高一基礎數學第二冊，龍騰版，3-2 三角函數和角公式。

5. 高二基礎數學第三冊，龍騰版，1-4 平面向量的內積。

6. 高二基礎數學第三冊，龍騰版，2-2 空間坐標系。

7. 高二基礎數學第三冊，龍騰版，2-3 空間向量的坐標表示法。

8. 高二基礎數學第三冊，龍騰版，3-3 球面方程式。

232海洋科學一：海洋數學預期成效1. 釐清球面距離與平面直線距離的不同。

2. 使學生瞭解球面上兩點最短航線的性質。

3. 使學生瞭解最短航線表現方式，除了利用向量方式表示的優點外，思考是否有其它 方法。

4. 強化空間圖形結構的概念。

233海洋科學一：海洋數學教 學 活 動 篇一教 ○材 內 容古代希臘哲學家畢達哥拉斯在海邊發現，最初露出水平線的總是船尾的梢，然後 出現帆，最後才看到整個船身，他由此便推測出，地球的表面一定是圓的。

偉大的哲 學家亞里斯多德也發現，越往北走，看到北極星離地面越高，而越往南走，看到北極 星離地面越低，他解釋說，這正是因為大地是圓的緣故。

西元 1519 年，葡萄牙探險家 麥哲倫率船隊完成了首次環繞地球的航行，人類終於真正認識到地球是球形的。

另外， 哥倫布為了要證明地球是圓的 ， 也因而誤打誤撞地發現美洲新大陸 。

因此 ， 航線軌跡(不 論是空中或海面)是弧線而非直線是無庸置疑的。

然而，弧線長如何計算，且所謂『差之毫釐，失之千里』在航線問題上更顯重要。

鐵達尼號沉船原因一說即是航線計算錯誤，夜半撞上冰山，導致一樁美事在首航時卻 成憾事，而令後人唏噓不已。

在高中有限的知識下，我們應用基本三角函數，結合空間坐標向量，在球面上模 擬航線軌跡，教導學生初步解決的方法與技巧，期望學生對相關問題能有基本的認識 與知能。

234海洋科學一：海洋數學二教 ○主題名稱 教學準備 教學方法 學習評量案 設 計海洋數學—航線問題教學時間 100 分鐘(2 節) 1.教材來源：教科書、自編教材。

2.教室資源：黑板、粉筆、球型模型或物品。

3.教學媒材：自編講義。

4.準備活動：預習本章節之內容、準備與本單元相關的教學資料。

講述、圖表製作、腦力激盪、問答。

1.課堂討論與聽講專心度。

2 口頭提問。

3 學習單。

4 心得分享。

第海洋教育 能力指標 教學 目標一節課教學 資源 自製 講義 評量 方式教學活動 壹、準備活動 一、熟悉本單元教學內容。

二、準備本單元相關教學資料。

海 3-5-41-1貳、引起動機（ 引起動機 15 分鐘） 引用實例如： 1. 古代希臘哲學家畢達哥拉斯在海邊發現，最初 露出水平線的總是船尾的梢，然後出現帆，最 後才看到整個船身。

球型 2. 哲學家亞里斯多德發現，越往北走，看到北極 物品 星離地面越高，而越往南走，看到北極星離地 面越低。

3. 西元 1519 年，葡萄牙探險家麥哲倫率船隊完 成了首次環繞地球的航行。

4. 哥倫布為了要證明地球是圓的，因而誤打誤撞 地發現美洲新大陸。

5. 藉由上述實例說明球面距離與一般平面直線 距離的不同。

參、發展活動 (25 分鐘) 一、建構適當空間坐標系統： 1.引導學生選擇設置適當的空間座標系統。

(1)說明空間坐標系統分有『右手系』與 黑板 『左手系』兩套坐標系統。

(2)一般而言，若無特別說明，空間坐標 系統採用 『右手系』 坐標系統為原則。

235能踴躍 發言並 回答問 題海 3-5-4 1-2能專心 聽講海洋科學一：海洋數學 海洋教育 教學 能力指標 目標 2-1教學活動 2.確認學生瞭解所建置之空間圖形結構。

(1)以簡易坐標系結構模型並舉例說明坐 標軸、坐標平面等基本結構。

(2)抽問同學回答問題。

教學 資源評量 方式黑板 二、確定球面半徑大小，以設置正確之空間坐標 系統。

海 3-5-4 2-2 肆、綜合活動 (10 分鐘) 一、教師綜合整理本節之重點，協助同學歸納統 整，以加深同學印象。

二、討論提問。

能踴躍 發言236海洋科學一：海洋數學第海洋教育 能力指標 教學 目標二節課教學 資源 評量 方式教學活動 壹、準備活動 相關圖形先行繪於黑板上。

貳、引起動機 (5 分鐘) 簡要口述前節課程內容，以銜接本節課程。

黑板能專心 聽講海 3-5-4 海 1-5-52-23-1參、發展活動 (33 分鐘) 黑板 一、利用三角函數基本概念，將經緯度對應各點 標示在球面上。

1.提示三角函數基本定義。

2. 利用三角函數基本定義將經緯度轉換為 空間坐標系統。

(1)球面半徑 R、東經度α、北緯度β。

(2)球面坐標 x = Rcosβ cosα , y = Rcosβ sinα , z = Rsinβ。

二、利用三角函數和角公式與向量內積概念，求 出球面上兩點所夾大圓之圓心角。

1.提示三角函數和角公式。

2.提示向量內積定義。

3.引導學生將相關資料代入式中。

4.由向量內積結果推得圓心角角度(弧度)。

三、利用扇形弧長關係式，求出球面上兩點間之 球面距離。

1.提示扇形之弧長公式。

2.推算出弧長，即兩點間球面距離。

能專心 聽講能踴躍 發言並 回答問 題海 5-5-113-2肆、綜合活動 (12 分鐘) 一、重點回顧。

二、討論提問。

三、心得分享。

四、學生自評表填寫。

自評表能踴躍 發言並 回答問 題237海洋科學一：海洋數學學 生 學 習 篇1. 設想地球是個圓球體，已知沿著赤道，經度 10 度間的距離是 1113 公里，那麼沿北緯 20° 線，經度 10 度間的距離最接近 下面那個數值 ? (A) 1019 (B) 1027 (C) 1035 (D) 1046 (E) 1054 o (已知 sin 20° = 0.3420 , cos 20° = 0.9397) (85 學測 ) Ans : (D)2.如右圖，臺灣地理中心碑位於東經 121 ，北緯 24 的 A 2. 如右圖，臺灣地理中心碑位於東經 121° ，北緯 24° 的 處附近，它到東經 1210，北緯 390 的 B 地(遼東半島西 A南端附近一小島 處附近，它到東經 121° ，北緯 39° 的 B 地 (遼東半島 )的球面距離大約是多少公里 ?(地球半 西南端附近一小島 )的球面距離大約是多少公里 ? 徑 R=6400 公里， π=3.14) (南一) (地球半徑 R 6400 公里，π 3.1416) (南一) Ans :1676 公里00N • •B •AO•3. 設一地球儀的球心為空間坐標的原點，有兩個城市的坐標分別為 A(1 , 2 , 2) , B (2 , − 2 , 1) o 假定地球為半徑等於 6400 公里的圓球 , 試問飛機從 A 城市直 飛至 B 城市的最短航線長最接近下列那一個選項的值 ? (94 數乙) Ans : (5) (1) 8000 公里 (2) 8500 公里 (3) 9000 公里 (4) 9500 公里 (5) 10000 公里4. 設地球的半徑為 6378 公里(赤道半徑)，A 地在東經 90° 的赤道上，B 地在東 經 45° ，北緯 45° ，試求 A 與 B 兩地的球面距離 (用 π 表示 ) o Ans : 2126π 公里238○一學 生 學 習 自 評 統 計 表 年 班教師：評量項目學生自評統計很滿意滿意不錯一般待改進1.我能仔細聆聽課程，適時發表自己的看法2.我能瞭解球面距離與平面直線距離的不同3.我能利用配方法完成球面方程式之標準式4.我能瞭解球面方程式之標準式所具有的意義5.我能適當的設置空間座標系統6.我能清楚瞭解所設置的空間結構7.我知道三角函數基本概念中廣義角的定義8.我能應用三角函數之和角公式9.我能應用向量的內積概念10.我能求出扇形的弧長11.我能從生態旅遊中體認自然保育與人類生活的息息相關12.我能察覺生活中與海洋相關之生活體驗與文化13.我能瞭解海洋環境變遷、過度使用對生態環境的影響14.我能瞭解與海洋和平共存的重要性，並融入日常生活之中15.我能瞭解過度破壞海洋環境、耗費海洋資源，等同於扼殺所有物種的生命教學評量篇○二教 師 檢 核 能 力 指 標 達 成 狀 況評量項目非常不符合大多不符合符合大多符合非常符合1.學生是否能瞭解船隻航線非直線□ □ □ □ □2.學生是否能瞭解球面距離的意義□ □ □ □ □3.學生是否能適當建立空間坐標系統□ □ □ □ □4.學生是否能配合三角函數概念解決球面距離的問題□ □ □ □ □5.學生是否能瞭解海洋環境變遷、過度使用對生態環境的影響□ □ □ □ □6.學生是否能瞭解與海洋和平共存的重要性，並融入日常生活中 □ □ □ □ □7.學生是否能瞭解過度破壞海洋環境、耗費海洋資源，等同於扼殺所有物種的生命□ □ □ □ □ ○三教師教學省思球面，雖是一個完美而簡單的圖形，但畢竟為空間立體圖形，對於社會組(文組)傾向的同學仍屬相當抽象的課程內容，尤其是圖形概念羸弱者更甚。